1. OSCILACIONES

1.1 Movimiento armónico simple (M.A.S.): el muelle elástico

1.2 Otros sistemas con M.A.S.1.3 Oscilaciones amortiguadas.1.4 Oscilaciones forzadas. Resonancia.

Tacoma: http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnwhttp://archive.org/details/SF121 (original)

NH

H

H

Molécula amoniaco

Metrónomos: http://www.youtube.com/watch?v=JWToUATLGzs

Copa:

1.1 Movimiento armónico simple: el muelle elástico

LA IDEA: FUERZA proporcional y opuesta a la POSICIÓN

Posición

Velocidad

Fuerza, aceleración

TIEMPOPOSICIÓN

Posición de equilibrio

Sin rozamiento

Muelle elásticoPosición

Velocidad

Fuerza, aceleración

kxF −=

2

2

dtxdmmaF == 2

2

dtxdx

mk

=− )cos( δω +=⇒ tAx

A

T

En el ejemplo de la figura: δ=0 para que para t=0, x sea A

¡ T y ω no dependen de la amplitud !

AAmplitud:

δDesfase:

km

fT π21

==Periodo:

fmk πω 2=≡

Frecuencia:

tiempo

tiempo

tiempo

Ace

lera

ción

v

eloc

idad

posi

ción

)cos( δω += tAx

)sin( δωω +−== tAdtdxv

xtAdt

xda 222

2

)cos( ωδωω −=+−==

xxmmaF −−==→ ~2ω

En el ejemplo de la figura: δ=π/2 para que para t=0, x sea 0

Interés para …

PuentesInstrumentos musicalesEdificiosRelojes de pénduloRelojes atómicosTela de arañaAmortiguadoresDeformacionesCables colgantesAlas aviones

xF −~ )cos( δω +=⇒ tAx

??

xF

1.2 Otros sistemas con M.A.S.

2

2

dtsdmmaFII ==

s

2

2

dtdLmmgsen θθ =−

θLs =

2

2

dtdLg θθ =−

0θ Amplitud (ángulo) máximo

δ Desfase

Lgf == πω 2 Frecuencias

gL

fT π21

=≡ Periodo

0==−⊥ maTensiónF

)cos(0 δωθθ += t

Solución

El péndulo

!!pequeño! si θθθ ≈sin

2

2

dtxdmkx =−

)cos(

δω +=

tAx

θθ

−−=

~II

II

FmgF

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

2

2

21 dtadCaC =−

)cos( δω += tAa

2

12CCf == πω

1

22CCT π=

a~ −F

algo: x, θ, …

péndulo θθ −−= ~mgF 2

2

dtdLmmgsen θθ =−

ejemplos: muelle elástico donde xkxF −−= ~ 2

2

dtxdmmaF ==

M.A.S. y movimiento circular

)cos( δω += tAx

A

T

tω

0 ,0 == δt

xt

http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/fkw/shm/shm_ita.htm

Péndulo: Visualización de T, peso y velocidad ¿Qué hay mal en esta animación? http://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_simple_fuerzas_velocidad.htm

Varios: Visualización simultánea de posición, velocidad y aceleraciónhttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true

Muelles y péndulos: dobles, caóticos, … http://www.myphysicslab.com/index.html

Péndulo simple, visión separada de elongación, velocidad y fuerza:http://www.physicslessons.com/phe/phe.htm

Muelle: Visualización de la x, v ahttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_SHM_graphs.html

Muelle, visualización x y fuerzahttp://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_horizontal_masa_muelle_teoria.htm

Lissajoushttp://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm

Energía cinética y potencial, conservación de la energía. El muelle como ejemplo:

)cos( δω += tAx

mkf == πω 2

kmT π2=

2

2

dtxdmmakxF ==−=

)sin()cos( δωωδω +−=+== tAtAdtd

dtdxv

)(sin21

21 2222 δωω +== tAmmvEc

)(cos21

21 222 δω +== tkAkxEp

))(cos)(sin(21 2222 δωδωω +++=+= tktmAEEE pcT

kAmA 222

21

21

== ω conservación de la energía

Conservación de la energía del péndulo: (demasiado simples)http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.htmlhttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_pendulum.html

Conservación de la energía de un muelle verticalhttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true

Conservación energía de un muelle (demasiado simple)http://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_pendulum.html

¿Y si el ángulo es grande? (ver práctica del péndulo)

2

2

dtdLmmgsen θθ =−

2

2

dtdLmmg θθ =−

...)2

sin649

2sin

411( 42 +++

×=θθ

armanarm TT

gLTarm π2=

¿Y si la “k” del muelle no es constante? (ver práctica del muelle)

2

2

dtxdmkxF =−=

kmT π2=

kxdx

dEF

kxE

p

p

−==

⇒= 2

21

Ep

x

2

2

dtxdm

dtdxbkx =−−

)cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx

Solución

Caso del “muelle”: bvkxF −−=

Constante de amortiguamiento

220

2 γωω −=

mk

=0ω frecuencia natural

Amplitud disminuye !!!

PARA QUE SEA CORRECTA LA SOLUCIÓN DADA SE DEBE CUMPLIR QUE ω0 > γ

1.3 Oscilaciones amortiguadas

coeficiente de amortiguamiento

mb

2=γ

Decremento logarítmico: Tγλ = Da idea del decaimiento de la oscilación en una oscilación .

)2:autores otros( Tγ

SUBamortiguamiento γ < ω0

Amortiguam. Crítico γ = ω0

SOBREamortiguam. γ > ω0

mk

=0ωmb

2=γ22

02 γωω −= )cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx

)](exp[0 bTAtxx +−= γ])'(exp[])'(exp[ tBtAx ωγωγ +−+−−=20

22' ωγω −=

Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html

1.4 y 1.5 Oscilaciones forzadas. Resonancia Caso del muelle:

)cos(0 tFbvkxF ω+−−=2

2

0 )cos(dt

xdmtFdtdxbkx =+−− ω

)cos( δω +≈ tAx

Solución estacionaria (pasado un cierto tiempo)

222220

20 )( ωωω bmFA +−=

mk

=0ω )(tan 22

0 ωωωδ−

=m

b

ESTACIONARIO

transitorio

12.4 y 5 Oscilaciones forzadas. Resonancia Caso del muelle:

)cos( δω +≈ tAx

Solución estacionaria (pasado un cierto tiempo)

222220

20 )( ωωω bmFA +−=

mk

=0ω )(tan 22

0 ωωωδ−

=m

b

A

Frecuencia de la fuerza ω

Ampl

itud

02

=mb

Oscilaciones forzadashttp://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm

(*) Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html

Copa de vinohttp://www.physics.org/explorelink.asp?id=5212&q=swing&currentpage=1&age=0&knowledge=0&item=7

(*) resGlassDriverShatter2512K_.avi

shock waves in lithotripsy http://www.youtube.com/watch?v=ODL3eEZCY8Mhttp://www.youtube.com/watch?v=jfyvCvulrfg

Muelle, visualización x y fuerzahttp://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_horizontal_masa_muelle_teoria.htm

Muelle: Visualización de la x, v ahttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true

Relación muelle movimiento circularhttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_SHM_circular.html

Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html

2

2

21 dtxdCxC =−

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

xF −~)cos( δω += tAx

2

1

CC

=ω1

22CCT π=

)(sin21

21 2222 δωω +== tAmmvEc

)(cos21

21 222 δω +== tmAkxEp

Oscilaciones amortiguadas

)cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx 220

2 γωω −=2

10 C

C=ω

Oscilaciones forzadas

)__()cos(tiempociertount

tAx>

+≈ δω 222220

20 )( ωωω bmFA +−=

)(tan 22

0 ωωωδ−

=m

b

Tf 122 ππω ==

RESUMEN

mb

2=γ

)cos(0 tFbvkxF ω+−−=

bvkxF −−=