OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA MÓDULO 1 ...Osc. Ondas y Termodinámica Módulo 1:...

Osc. Ondas y Termodinámica

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA

MÓDULO 1: OSCILACIONES

Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté


Módulo 1: Oscilaciones

Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)

1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.

(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)

1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo

de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.

Lección 2. Oscilaciones amortiguadas

2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones

amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y

sobreamortiguamiento.

Lección 3. Movimiento Armónico Forzado

3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.

Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.

3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.

3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura

de la resonancia.

Lección 4. Superposición de varios MAS

4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.

4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.

4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.

4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.


Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)

Lección 3: Movimiento armónico forzado.



Lección 3: Movimiento armónico forzado




http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/





http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E








http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU



http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU



3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.

Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:




Fel =− k x




F r =− b v

Fel =− k x

v




F r =− b v

Fel =− k x

Fosc = F0 cos t

v




F r =− b v

Fel =− k x

Fosc = F0 cos t

v

• Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente




F r =− b v

Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:

∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente

v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas


v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

x 2 x 02 x =

F0

mcos t

Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω

0

2 =k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v




F r =− b v


∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x

x bm

x km

x =F0

mcos t

x 2 x 02 x =

F0

mcos t

Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y no homogénea.

Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω

0

2 =k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v


Busquemos la solución de la Ec. diferencial:

3.2 Solución de la ecuación diferencial

x 2 x 02 x =

F0

mcos t



De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:


x 2 x 02 x =

F0

mcos t

Solución de laec. diferencialhomogénea

Solución particularde la ec. diferencialno homogenea

Solución generalde la ec. diferencialno homogénea

= +





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x 2 x 02 x = 0




= +





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x 2 x 02 x = 0

x t =A e−t cos1 t




= +





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x 2 x 02 x = 0

x t = A cos t−

Probaremos con:

x t =A e−t cos1 t




= +





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x 2 x 02 x = 0

x t = A cos t−

Probaremos con:

x t =A e−t cos1 t

+




= +





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x 2 x 02 x = 0

x t = A cos t−

Probaremos con:

x t =A e−t cos1 t

Estado transitorio

Estado estacionario

+




= +


Estado transitorio y estado estacionario.


+




+

Estado transitorio




+

Estado transitorio

Estado estacionario

x t = A cos t−




+

Estado transitorio

Estado estacionario

x t = A cos t−

• El estado transitorio es muy complejo.




+

Estado transitorio

Estado estacionario

x t = A cos t−


• Transcurrido un tiempo el estado transitorio desaparece y queda sólo el MAS estacionario.

t ≈ 5




+

Estado transitorio

Estado estacionario

x t = A cos t−


• Transcurrido un tiempo el estado transitorio desaparece y queda sólo el MAS estacionario.

• La frecuencia del MAS estacionario es la misma que la de la fuerza oscilante.

t ≈ 5


La solución estacionaria del movimiento es:


x t = A cos t−




x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.




x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−

x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=

F0

mcos t





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−


F0

mcos t

cos t−=cos t cos sin t sin

sin t−=sin t cos−cos t sin





x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−


F0

mcos t

usando: cos t−=cos t cos sin t sin

sin t−=sin t cos−cos t sin se llega a:


sin t A {02−2sin −2cos } cos t {A 0

2−2cos2 A sin −F0

m }= 0




x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−


F0

mcos t




Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nulo



m }= 0




x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−


F0

mcos t



tan =2

02−

2


Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nuloFase inicial del mov.

es el desfase entre F y x



m }= 0




x 2 x 02 x =

F0

mcos t

x t = A cos t−

x = A cos t−

x =−A sin t−

x =−A ² cos t−


F0

mcos t



tan =2

02−

2 A=F0 /m

02−22422


Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nuloFase inicial del mov.

es el desfase entre F y x Amplitud del mov.



m }= 0

















de la resonancia.







Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).

3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'




Es equivalente a una masa m que realiza un MCU




Es equivalente a una masa m que realiza un MCU− b v

− k x




La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:

Es equivalente a una masa m que realiza un MCU− b v

− k x

F = md²dt²

x x '

2da ley de Newton




F = md²dt²

x x '



2da ley de Newton

F = m x md²dt²

acos t

− b v

− k x




F = md²dt²

x x '



2da ley de Newton

F = m x md²dt²

acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m

− b v

− k x




F = md²dt²

x x '



Por la 3ra ley de Newton, sobre Mm actúa una fuerza:

2da ley de Newton

F = m x md²dt²


−F =− m x m a2 cos t Fuerza de m sobre Mm

− b v

− k x




F = md²dt²

x x '




2da ley de Newton

F = m x md²dt²


Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de Mm es:

∑ F =− k x − b x [− m x m a2 cos t ] = M−m x

−F =− m x m a2 cos t Fuerza de m sobre Mm

− b v

− k x




F = md²dt²

x x '




2da ley de Newton

F = m x md²dt²


Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de Mm es:

∑ F =− k x − b x [− m x m a2 cos t ] = M−m x

−F =− m x m a2 cos t

x bM

x kM

x =m a2

Mcos t

Fuerza de m sobre Mm

• Es una oscilación forzada con

• M es la masa total de la máquina• m es la masa del rotor descentrado

F0 = m a2

− b v

− k x



Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un Δx=6mm. Determinar:

a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en resonancia.

b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω

0)

Solución:

= 386 rpm A = 1.03 cm



Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un Δx=6mm. Determinar:

a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en resonancia.

b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω

0)

Solución:

= 386 rpm A = 1.03 cm

F0 = m a2

A=F0 /m

02−22422

















de la resonancia.







Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento

3.4 Resonancia en amplitud y energía.

A=F0 /m

02−22422




A=F0 /m

02−22422

• Para tiende a cero∞




A=F0 /m

02−22422

• Para tiende a cero• Para tiende a F

0 /mω

02=F

0/k

∞

0




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k

• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo

∞

0




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k

• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer

∞

0




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k


F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k


Buscamos la ω que hace máxima A:

F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k



D2 = 02−22 4 22

F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k



D2 = 02−22 4 22

d D2

d=−20

2−

22 82

= 0

F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k



D2 = 02−22 4 22

d D2

d=−20

2−

22 82

= 0

−02−2 22 = 0

F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k



D2 = 02−22 4 22

d D2

d=−20

2−

22 82

= 0

−02−2 22 = 0

max = 02 − 22

F 0

k

∞

0

A




A=F0 /m

02−22422


0 /mω

02=F

0/k



D2 = 02−22 4 22

d D2

d=−20

2−

22 82

= 0

−02−2 22 = 0

max = 02 − 22

F 0

k

∞

0

A

• Frecuencia para la que A es máxima. (resonancia en amplitud)• Si ≪0 max≈0


Para la velocidad del MAF tenemos:


x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2

−sin t− =cos t − −/2




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2


є




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2


= −

2

siendo є

v t = A cos t−

Velocidad del MAF




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2


= −

2

siendo є

• є es el desfase entre F y vv t = A cos t−

Velocidad del MAF




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2


Ver que además se cumple:

tan = tan −

2

= −

2

siendo є


Velocidad del MAF




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2



tan = tan −2 =−

1tan

= −

2

siendo є


Velocidad del MAF




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

−sin a =cos a/2



tan =2

02−2

tan = tan −2 =−

1tan

tan =

2−0

2

2

= −

2• є es el desfase entre F y v

siendo є

v t = A cos t−

Velocidad del MAF




x t = A cos t−

v t =dxdt

=− A sin t−

v t = A cos t−

−sin a =cos a/2



tan =2

02−2

tan = tan −2 =−

1tan

tan =

2−0

2

2

= −

2• є es el desfase entre F y v• є es cero si ω = ω

0Velocidad del MAF

siendo є


v t = A cos t−


La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max

(v20)

E =12

m v02


v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

Z = m 02−

22

42

Definimos: Impedancia del oscilador

v0

v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

Z = m 02−

22

42 Z = m

2−

k

2

b2

ejercicio: 02=

km

, 2=bm


v0

v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

Z = m 02−

22

42 Z = m

2−

k

2

b2

ejercicio: 02=

km

, 2=bm

v0 =F0

Z


v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02


v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

Z = m 02−

22

42 Z = m

2−

k

2

b2

ejercicio: 02=

km

, 2=bm

v0 =F0

Z


Z Tiene un mínimo para ω=ω

0 (Z

min= b)

Además se cumple:

ejercicio

v t = A cos t−v0



(v20)

E =12

m v02



v t = A cos t−


(v20)

v0 = A=F0

m02−

2

242

2

v0 =F0

m 02−

22

42

v02≈

1

Z2E

Z = m 02−

22

42 Z = m

2−

k

2

b2

ejercicio: 02=

km

, 2=bm

v0 =F0

Z


E =12

m v02

v0 es máximo

cuando =0v0

Z Tiene un mínimo para ω=ω

0 (Z

min= b)

Además se cumple:

ejercicio

v t = A cos t−v0



Resonancia (en energía)




Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía





ω de la fuerza impulsora = ω0






v02≈

1

Z2E




= 0

En resonancia se cumple:



v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

v =F 0

Zcos t−

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

A=F0 /m

02−

2

24 2

2

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos 0 t−

2

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos 0 t−

2 F = F0 cos0 t

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos 0 t−

2 F = F0 cos0 t F

Representación fasorial

Resonancia

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos 0 t−

2 F = F0 cos0 t

v

F


Resonancia

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos 0 t−

2 F = F0 cos0 t

v

xF


Resonancia

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos0 t−

2 F = F0 cos0 t

F


Noresonancia

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos0 t−

2 F = F0 cos0 t

x

F


Noresonancia

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

v02≈

1

Z2E




Z = m 02−22

42 = 0




Z = m2= b

tan =2

02−

2 =∞=

2 = −

2 = 0

v =F 0

Zcos t− v =

F0

bcos0 t

x = A cos t−

A=F0 /m

02−

2

24 2

2A=

F0

m20

=F0

b0

x =F0

b0

cos0 t−

2 F = F0 cos0 t

v

x

F


2−=−

Noresonancia

v02≈

1

Z2E


Ejercicios

Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:

La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia y desfase entre x y F:

Solución: A=0.042m v

0=0.42 m/s

ωRES

= 20 rad/s

δ=6.67 · 10 -3 rad

Z = m 02−

22

42

tan =2

02−

2

= −

2

x = A cos t−

A=F0 /m

02−22422

Z = m2−

k

2

b2

v0 = A =F0

Z

F = F 0 cos t

= 2 =0

Q

⟨Ps⟩ =F 0

2 b

2Z2

v = A cos t−
















3.5 Potencia suministrada al oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura

de la resonancia.







3.5 Potencia suministrada al oscilador.



• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.




• La Froz

disipa toda la potencia de la fuerza impulsora



Potencia suministrada al oscilador:

Ps = F⋅v


• La Froz





P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0

Zcos t−


• La Froz






Zcos t−


• La Froz


P s =F0

2

Zcos cos2

t sin cos t sin t

cosa−b = cos acosb sin asin b





Zcos t−


• La Froz


P s =F0

2

Zcos cos2

t sin cos t sin t

P s =F0

2

Z cos1cos2 t

2 sin

12

sin 2 t


cos2a=1cos2a

2

sin 2a =2 sin a cosa





Zcos t−


• La Froz


P s =F0

2

Zcos cos2

t sin cos t sin t

P s =F0

2

Z cos1cos2 t

2 sin

12

sin 2 t P s =

F02

2 Zcos cos cos2 t sin sin 2 t


cos2a=1cos2a

2






Zcos t−


• La Froz


P s =F0

2

Zcos cos2

t sin cos t sin t

P s =F0

2

Z cos1cos2 t

2 sin

12

sin 2 t P s =

F02

2 Zcos cos cos2 t sin sin 2 t

P s =F0

2

2 Zcos cos 2 t−


cos2a=1cos2a

2


Potencia suministrada aloscilador por unidad de tiempo


La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:




⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02

2 Zcos cos 2 t− dt




⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]




⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]

⟨Ps⟩ =

2

F02 cos

2 Z∫0

2/

dt




⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]

⟨Ps⟩ =

2

F02 cos

2 Z∫0

2/

dt

⟨Ps⟩ =F0

2 cos

2 Z




⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]

⟨Ps⟩ =

2

F02 cos

2 Z∫0

2/

dt

⟨Ps⟩ =F0

2 cos

2 Z

⟨Ps⟩ =F0

2 b

2Z2

cos = b /Z


Potencia promedio



⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]

⟨Ps⟩ =

2

F02 cos

2 Z∫0

2/

dt

⟨Ps⟩ =F0

2 cos

2 Z

⟨Ps⟩

El comportamiento de <Ps>

es similar al de la E

⟨Ps⟩ =F0

2 b

2Z2

cos = b /Z


Potencia promedio



⟨Ps⟩ =1T∫0

2/ F02


⟨Ps⟩ =

2

F02

2 Z [∫0

2/

cos dt ∫0

2/

cos2 t− dt ]

⟨Ps⟩ =

2

F02 cos

2 Z∫0

2/

dt

⟨Ps⟩ =F0

2 cos

2 Z

Z = b , =0

⟨Ps⟩ =12

F02

b

⟨Ps⟩

El comportamiento de <Ps>

es similar al de la E

⟨Ps⟩ =F0

2 b

2Z2

cos = b /Z


En resonancia es máxima⟨Ps⟩

Potencia promedio


Podemos representar normalizada.

3.6 Anchura de la resonancia.

⟨Ps⟩

es máxima

⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩

⟨Ps⟩RES

estará normalizada




⟨Ps⟩

es máxima


⟨Ps⟩RES

estará normalizada

A medida que disminuye β la resonancia se hace más 'estrecha'




⟨Ps⟩

es máxima


⟨Ps⟩RES

estará normalizada


Anchura de la resonancia

Es la anchura del pico para ⟨Ps⟩

⟨Ps⟩RES

= 0.5




⟨Ps⟩

es máxima


⟨Ps⟩RES

estará normalizada




⟨Ps⟩RES

= 0.5

= 2 − 1

21




⟨Ps⟩

es máxima


⟨Ps⟩RES

estará normalizada




⟨Ps⟩RES

= 0.5

= 2 − 1

= 2=0

Q

Donde Q es el factor de calidad del oscilador

Q =0

2Se puede demostrar si β<<ω

0

21


Ejercicios

Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:

La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia, desfase entre x y F, factor de calidad y anchura de la resonancia:

Solución: A=0.042m v

0=0.42 m/s

ωRES

= 20 rad/s

δ=6.67 · 10 -3 rad Q=100 Δω=0.2 rad

Z = m 02−

22

42

tan =2

02−

2

= −

2

x = A cos t−

A=F0 /m

02−22422

Z = m2−

k

2

b2

v0 = A =F0

Z

F = F 0 cos t

= 2 =0

Q

⟨Ps⟩ =F 0

2 b

2Z2

v = A cos t−


Ejercicios

Solución: F

0=6.55 · 10 -4 N

<Ps>=3.6 · 10 -5 W

Z = m 02−

22

42

tan =2

02−

2

= −

2

v = A cos t−

x = A cos t−

A=F0 /m

02−22422

Z = m2−

k

2

b2

v0 = A =F0

Z

F = F 0 cos t

= 2 =0

Q

⟨Ps⟩ =F 0

2 b

2Z2

Ejercicio: un péndulo simple está formado por una masa m=3kg y un cuerda de longitud l=1m. El sistema está amortiguado siendo β=0.001 s-1. Si queremos mantener el péndulo oscilando con su frecuencia natural y con una amplitud de de 2º, determinar el valor F

0 de la fuerza oscilante que debemos aplicar y la potencia disipada

por el sistema.


Cuestiones (contesta razonadamente).

1. En régimen estacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el amortiguamiento es igual a la introducida por la fuerza oscilante.

2. La potencia media suministrada a un oscilador forzado decae exponencialmente con el tiempo.

3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un ejemplo de oscilador resonante.

4. Si ω0 < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor

que ω0.

5. Después de un periodo transitorio, la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado es

6. Las unidades del factor de calidad de un oscilador son las mismas que la de la frecuencia angular.

7. En el estado estacionario, si ω tiende a ω0 el desfase entre la fuerza

impulsora y la velocidad tiende a cero.

02−2


5.1. Conceptos básicos

Vector velocidad

● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado

● En una dimensión:

x

y

z

x

r t

r t =x t i y t jz t k

i

j

k

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