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Osc. Ondas y Termodinámica

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA

MÓDULO 2: ONDAS

Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté

http://www.elaula.es/


Módulo 2: Ondas

Lección 5. Movimiento ondulatorio. Ondas en una cuerda.

5.1 Introducción al mov. ondulatorio Definiciones.5.2 Función de onda. 5.3 Ondas armónicas.5.4 Velocidad de propagación.5.5 Energía de la onda.5.6 Ondas en medios absorbentes. Atenuación.5.7 Reflexión y transmisión de ondas.5.8 Superposición de ondas en una cuerda Ondas estacionarias.

Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.

6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos6.2 Potencia e intensidad de la onda. Densidad de energía.

6.3 Percepción del sonido. Decibelios.6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras6.5 Superposición de ondas sonoras.6.6 Efecto Doppler6.7 Cualidades del sonido.

Lección 7. Óptica Física

7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.7.2 Principio de Huygens-Fresnel.7.3 Reflexión y refracción.7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.7.5 Polarización.7.6 Interferencias.7.7 Difracción.


5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.

Qué es una onda?

• Propagación de una perturbación con velocidad finita a través del espacio.• Se produce un transporte de energia y cantidad de movimiento.• No se produce un transporte de masa.

v



Tipos de ondas: según la naturalesa de la perturbación• Ondas mecánicas: perturbación de la posición del medio material. El medio en el que se propagan tiene que ser elástico.

- ondas en una cuerda, en un muelle, vibraciones en una barra, ondas superficiales en flúidos, etc.

- ondas de presión en fluidos (ondas acústicas).

• Ondas electromagnéticas: perturbación del campo electromagnético. Se pueden propagar en elvacio o en un medio material.

- ondas radio y de TV;- microondas;- radiación infrarroja, visible o ultravioleta;- rayos X y gamma.



• Si la perturbación se produce una sola vez se produce un pulso de onda.• Si el extremo de la cuera realiza un MAS durante un intervalo de tiempo ∆ t y después se para se produce un tren de pulsos. • Si el extremo de la cuera realiza un MAS produce una onda armónica.

Pulsos, trenes de pulsos y ondas armónicas



Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación

• Ondas transversales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de propagación (ondas en cuerdas, en barras, en mueles, ondas electromagnéticas.....)

v

v

Ondas longitudinales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de propagación (ondas en barras, en mueles, ondas sonoras, etc...)



Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación

• Ondas en la superficie de los líquidos



ONDAS PLANAS (1D)

ONDAS CIRCULARES (2D) ONDAS ESFÉRICAS (3D)


5.2 Función de onda.



Función de onda viajeraEs una función matemática que describe adecuadamente una perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.




c




Expresión general de la Función de onda.

c




O sistema fijo. O' se mueve con el pulso


c

Definimos

O '

y '






c

x

x '

Definimos

O '

y '




Respecto de O la perturbación es una función de la posición y del tiempo


y = f x ,t


Definimos

c

x

x '

O '

y '






Respecto de O' la perturbación sólo depende de la posición y ' = f x '

y = f x ,t


Definimos

c

x

x '

O '

y '






Respecto de O' la perturbación sólo depende de la posición

Relacionando x con x' e y con y':

y ' = f x '

y = f x ,t


Definimos

c

x

x '

O '

y '







Relacionando x con x' e y con y':

y ' = f x '

y = f x ,t


Definimos

c

x

x '

O '

y '

y = y '






Respecto de O' la perturbación sólo depende de la posición y ' = f x '

y = f x ,t


Definimos

c

x

x '

c t

O '

y 'Relacionando x con x' e y con y':

y = y '







y = y '

y ' = f x '

y = f x ,t


Definimos

c t c

x

x '

O '


x = x ' c t







y = y '

y ' = f x '

y = f x ,t

y ' = f x '


Definimos

c t c

x

x '

O '


x = x ' c t



Función de onda viajera

función de onda de una perturbaciónque viaja hacia x positivas

Es una función matemática que describe adecuadamente una perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.




y = y '

y ' = f x '

y = f x ,t

y ' = f x '


y = f x−c t

Definimos

c t c

x

x '

O '


x = x ' c t



Función de onda viajera

función de onda de una perturbaciónque viaja hacia x positivas

Es una función matemática que describe adecuadamente una perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.




y = y '

y ' = f x '

y = f x ,t

y ' = f x '

y = f xc t


perturbación que viaja hacia x negativas

y = f x−c t

Definimos

c t c

x

x '

O '


x = x ' c t


5.3 Ondas armónicas.

Ondas armónicas

Es cuando la función de ondaf(x-ct) es del tipo seno o coseno



Ondas armónicas


y = f x−c t



Ondas armónicas


y = f x−c t

y = y0 cos k x−c t

y = y0 cos kx− t



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t

k : número deonda ([k]=m-1)



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t

=kc ω : frec. angular de la onda ( [ω]=s-1 )




Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t

=kc ω : frec. angular de la onda ( [ω]=s-1 )


c : velocidadde la onda



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t


=kc ω : frec. angular de la onda ( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial




Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t




'foto' de la cuerda



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t




λ : longitudde onda

'foto' de la cuerda



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t



Periodicidad temporal



'foto' de la cuerda



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t





Cada puntode la cuerda realiza un MAS de fre-cuencia ω


'foto' de la cuerda



Ondas armónicas


y = f x−c t


y = y0 cos kx− t





Cada puntode la cuerda realiza un MAS de fre-cuencia ω


t

Para x fijo

'foto' de la cuerda



Relación entre λ, f= /2ω π y c



Relación entre λ, f= /2ω π y c • Suponer que generamos una onda en una cuerda




c

• Suponer que generamos una onda en una cuerda




c


• En un tiempo t el primer frente de onda avanza hasta c·t

c t




c



• Se generan N oscilaciones en el tiempo t

c t




=c tN

c t

c




• La longitud de onda será:




=c tN

=c tf t

c t

c








=c tN

=c tf t

=cf

c t

c








Relación entre estos parámetros =c tN

=c tf t

=cf

c t

c








Relación entre estos parámetros

=cf

T=1f=

2

f=

2

=k c

=T c

k=

c=

2 f f

=2

=c tN

=c tf t

=cf

y0: amplitud de la onda

k: número de onda

:λ longitud de onda

c: velocidad de la onda

:ω frecuencia angular

f: frecuencia

T: periodo

de la onday del MAS de cada punto

c t

c

y = y0 cos k x− t







Ejercicios:1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describecorrectamente el desplazamiento de una onda armónica en función de x y t? a) y=Asin(k(x-vt))b) y=Asin(kx-ft)c) y= Α sin(kt−ω t))d) y=Asin(2π (kx-ω t))e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))

2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:

a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?

y x , t = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t



Ejercicios:1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describecorrectamente el desplazamiento de una onda armónica en función de x y t? a) y=Asin(k(x-vt))b) y=Asin(kx-ft)c) y= Α sin(kt−ω t))d) y=Asin(2π (kx-ω t))e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))

2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:

a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?

y x , t = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t

=cf

T=1f=

2

f=

2

=k c

=T c

k=

c=

2 f f

=2

y = y0 cos k x− t



Ejercicio: Una cuerda se mantiene en tensión y de hace vibrar transversalmente uno de sus extremos, de manera que se genera una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la cuerda a una velocidad v=240m/s. El desplazamiento transversal máximo de cualquier punto de la cuerda es de 1 cm y la distancia entre máximos consecutivos de 3 m. ¿Cuál es la velocidad transversal máxima que tendrá una mosca que está fuertemente cogida a la cuerda?

=cf

T=1f=

2

f=

2

=k c

=T c

k=

c=

2 f f

=2

y = y0 cos k x− t



Notación compleja:

Consiste en representar la función de onda armónica como la

parte real del número complejo: y = y0 ej t− x

c



Notación compleja:



c

Re

y re

y = y0 e j

Imy0



Notación compleja:



c

Efectivamente son expresiones equivalentes:

Re

y re

y = y0 e j

Imy0



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c

Re

y re

y = y0 e j

Imy0



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c

Re

y re

Im

y = y0 cos [t− xc ] j sin [ t− x

c ]

y0

y = y0 e j



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c

Re

y re

ImParte real


c ]

y0

y = y0 e j



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c

y re = y0 cos[t− xc ]

Re

y re

ImParte real


c ]

y0

y = y0 e j



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c


y re = y0 cos[ t− xc ]

Re

y re

ImParte real


c ]

y0

y = y0 e j



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c


y re = y0 cos[ t− xc ]

como ω=k c y el coseno es una función par

Re

y re

ImParte real


c ]

y0

y = y0 e j



Notación compleja:



c


y = y0 ejt− x

c


y re = y0 cos[ t− xc ] y = y0 cosk x − t

como ω=k c y el coseno es una función par

Re

y re

ImParte real


c ]

y0

y = y0 e j


Módulo 2: Ondas


5.1 Introducción al mov. ondulatorio Definiciones.5.2 Función de onda. 5.3 Ondas armónicas.5.4 Ecuación de onda.5.5 Velocidad de propagación.5.6 Energía de la onda.5.7 Ondas en medios absorbentes. Atenuación.5.8 Reflexión y transmisión de ondas.5.9 Superposición de ondas en una cuerda Ondas estacionarias.







5.4 Ecuación de onda.

Ecuación de onda:



Ecuación de onda:Se puede demostrar que la función de onda, del tipo y=y(xct), cumple la ecuación diferencial:

Ecuación de onda

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0




Ecuación de onda

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

gradiente




Ecuación de onda

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

gradienteVelocidadde la onda




Ecuación de onda

Principio de superposición:

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0





Ecuación de onda


Si son dos soluciones de la ecuación de onda (i/e, dos ondas), y

1+y

2 también es solución de la

ecuación de onda.

y1 , y2

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0





Ecuación de onda



1+y


ecuación de onda.

y1 , y2

∂2 y1 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1 y2

∂ t²= 0

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

?





∂2 y1

∂ x²∂

2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

Ecuación de onda



1+y


ecuación de onda.

y1 , y2

∂2 y1 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1 y2

∂ t²= 0

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

?





∂2 y1

∂ x²∂

2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

Ecuación de onda



1+y


ecuación de onda.

y1 , y2

∂2 y1 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1 y2

∂ t²= 0

∂2 y1

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²

∂2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

?





∂2 y1

∂ x²∂

2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

Ecuación de onda



1+y


ecuación de onda.

Si por un medio se propagan dos o más ondas, la onda resultante es la suma (punto a punto) de cada una de las ondas que se propagan.

y1 , y2

∂2 y1 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1 y2

∂ t²= 0

∂2 y1

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²

∂2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

?





∂2 y1

∂ x²∂

2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

Ecuación de onda



1+y


ecuación de onda.

y1 , y2

∂2 y1 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y1 y2

∂ t²= 0

∂2 y1

∂ x²−

1c²

∂2 y1

∂ t²

∂2 y2

∂ x²−

1c²

∂2 y2

∂ t²= 0

∂2 y

∂ x²−

1c²

∂2 y∂ t²

= 0

?


Si por un medio se propagan dos o más ondas, la onda resultante es la suma (punto a punto) de cada una de las ondas que se propagan.


5.5 Velocidad de propagación.

Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda




• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F

c





• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso

O' c






• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la izquierda haciendo un MCU

O' c







2da ley de Newton para un de la cuerda sO' c







2da ley de Newton para un de la cuerda

∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

sin /2≈/2

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

m= ssin /2≈/2

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

m= ssin /2≈/2

aN=c² /R

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

2 F 2= s

c²R

m= ssin /2≈/2

aN=c² /R

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

2 F 2= s

c²R

m= ssin /2≈/2

aN=c² /R

s=R

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

2 F 2= s

c²R

m= ssin /2≈/2

aN=c² /R

s=R

F = Rc²R

sO' c








∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN

2 F 2= s

c²R

m= ssin /2≈/2

aN=c² /R

s=R

F = Rc²R

c = F

s

Velocidadde las ondasen unacuerda tensa

O' c



Velocidad de propagación de las ondas mecánicas




c = F

En una cuerda:




c = F

En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticasdel medio




c = F


Relacionado con propiedades inerciales




c = F



En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:




c = F




c = Y

Sólidos




c = F




c = Y

SólidosMódulo de Young

Densidad

LL

=−1Y

F




c = F




c = Y

Sólidos

c = B

LíquidosMódulo de Young

Densidad

LL

=−1Y

F




c = F




c = Y

Sólidos

c = B


Densidad

Módulo de compresibilidad

Densidad

VV

=−1

BPL

L=

−1Y

F




c = F




c = Y

c = P

Sólidos

Gases

c = B


Densidad


Densidad

VV

=−1

BPL

L=

−1Y

F

c = R TM




c = F




c = Y

c = P

c = R TM

Sólidos

Gases

c = B


Densidad


Densidad

Presión

Peso molecular

Cte. adiabática del gas

Temperatura(en K)

VV

=−1

BPL

L=

−1Y

F

=1.666 monoat.=1.4 diat.




c = F




c = Y

c = P

c = R TM

Sólidos

Gases

c = B


Densidad


Densidad

Presión

Peso molecular

Cte. adiabática del gas

Temperatura(en K)

VV

=−1

BPL

L=

−1Y

F

Ejercicio: buscar en tablas el valor de estas magnitudes y calcular c para el acero, el agua y el aire a 0ºC.Solución: c

acero=5060 m/s c

agua=1450 m/s c

aire=330 m/s

=1.666 monoat.=1.4 diat.


Ejercicios

Ejercicio (prob. 33): Atamos un diapasón a un alambre y generamos ondas transversales de frecuencia 440Hz y 0.5mm de amplitud. El alambre tiene una densidad lineal de 0.01kg/m y está sometido a una tensión de 1000N. Determinar:

a) periodo y frecuencia de las ondas en el alambreb) Velocidad de las ondasc) Escribir la función de onda en el alambred) Velocidad y aceleración máxima de un punto del alambred) ¿Qué potencia debe suministrar el diapasón para que la amplitud sea constante?

Solución:

T=2.27·10-3 sv=316.2 m/sv

max=1.38 m/s a

max=3822 m/s2

P=3.02 W


5.6 Energía de la onda.

Energía de las ondas mecánicas en una dimensión



Energía de las ondas mecánicas en una dimensión• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda




• En un instante t1 ha llegado hasta P

1

P1




P1

P2

c

• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda


1

• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt





1


• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda:

P1

P2

c




E =12m vmax

2

P1

P2

c



1






E =12m vmax

2

P1

P2

c

m= l



1






E =12m vmax

2 vmax= y0

P1

P2

c

m= l



1






E =12m vmax

2 vmax= y0

E =12 l 2 y0

2 Energía de untrozo de cuerda l

P1

P2

c

m= l



1






E =12m vmax

2 vmax= y0

E =12 l 2 y0

2

=E l

=12 2 y0

2

Energía de untrozo de cuerda

Densidadde energía

l

P1

P2

c

m= l



1






E =12m vmax

2 vmax= y0

m= l

E =12 l 2 y0

2

=E l

=12 2 y0

2

P =E t

=12 2 y0

2 c

c= l t

Energía de untrozo de cuerda

Densidadde energía

Potencia transmitida

l

P1

P2

c



1




Módulo 2: Ondas









5.7 Ondas en medios absorbentes.

Atenuación de la energía de la onda



Atenuación de la energía de la onda• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente

−d

x




d =− dx

• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente

• Se observa experimentalmente:

−d

x




d =− dx



Coeficiente de atenuación depende del medio y de la frecuencia de la onda

−d

x




d =− dx




Sonido 10kHz en aire a 20ºC 20% humedad → β = 0.063 m-1

70% humedad → β = 0.022 m-1

−d

x




d =− dx



d

=− dx



70% humedad → β = 0.022 m-1

−d

x




d =− dx



d

=− dx ∫0

d

=−∫0

xdx



70% humedad → β = 0.022 m-1

−d

x




d =− dx



d

=− dx ∫0

d

=−∫0

xdx

ln 0 =− xCoeficiente de atenuación depende del medio y de la frecuencia de la onda


70% humedad → β = 0.022 m-1

−d

x




d =− dx



d

=− dx ∫0

d

=−∫0

xdx

ln 0 =− x

= 0 e− x



70% humedad → β = 0.022 m-1

−d

Atenuación de la energía

x




d =− dx



d

=− dx ∫0

d

=−∫0

xdx

ln 0 =− x

= 0 e− x



70% humedad → β = 0.022 m-1

−d • Como

y = y0 e− x

2

E≈A²


Atenuaciónde la amplitud

x




d =− dx



d

=− dx ∫0

d

=−∫0

xdx

ln 0 =− x

= 0 e− x


• Algunas veces puede interesar un coef. de atenuación grande (para aislamientos acústicos)


70% humedad → β = 0.022 m-1

−d • Como

y = y0 e− x

2

E≈A²


Atenuaciónde la amplitud

x


Ejercicios.

Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se propaga por una cuerda es (un unidades del SI):

Determinar la potencia media de la onda.

Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?

Solución: P = 0.8 W d = 2.77m

y x , t = 0.04 cos 20 x100 t


Ejercicios.

Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se propaga por una cuerda es (un unidades del SI):

Determinar la potencia media de la onda.

Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?

Solución: P = 0.8 W d = 2.77m

y x , t = 0.04 cos 20 x100 t

= 0 e− x

y = y0 e− x

2

P =E t

=12 2 y0

2 c


Módulo 2: Ondas









5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.

• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite




• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte

• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte

• La onda transmitida nunca se invierte






• La onda transmitida nunca se invierte Vamos ademostrarlo



Obtención de la onda transmitida y reflejada



• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c

1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2


y

O x




1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2


y i = y0 i cos k 1 x− t

yr = y0 r cos k1 x t

y t = y0 t cos k2 x− t

ω es la misma en 1 y 2

y

O x




1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r

• En x=0 se debe cumplir:

y t

y i yr

y

O x




1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y t

y i yr

y

O x

y0 t cos− t = y0 i cos − t y 0 r cos t




1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r

• En x=0 se debe cumplir:cos t = cos − t

y t

y i yr

y

O x





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t

y t

y i yr

y

O x





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t

• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)

y t

y i yr

y

O x





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

y t

y i yr

y

O x





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

−k 2 y 0 t sin − t =−k1 y 0 i sin − t − k1 y0 r sin t

y t

y i yr

y

O x





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

−sin − t

y t

y i yr

y

O x






1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

−sin − t

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

−sin − t Combinando las dos ecuaciones:

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k 1−k2

k 1k2

y 0 i

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k 1−k2

k 1k2

y 0 i

=k c

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k 1−k2

k 1k2

y 0 i =c2−c1

c1c2

y 0 i

=k c

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k 1−k2

k 1k2

y 0 i =c2−c1

c1c2

y 0 i

=k c c= F

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k1−k2

k1k2

y0 i =c2−c1

c1c2

y0 i =1−2

12

y0 i

=k c c= F

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0


y0 r =k1−k2

k1k2

y0 i =c2−c1

c1c2

y0 i =1−2

12

y0 iCoeficientede reflexión

=k c c= F

y t

y i yr

y

O x


k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r





1 , k

1 y μ

2 , c

2 , k

2






y t = y i y r


y0 t = y0 i y0 r

cos t = cos − t


dy t

dx x=0

= dy i

dx x=0

dyr

dx x=0

−sin − t

k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r Combinando las dos ecuaciones:

k2 y0 i k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r

y0 r =k1−k2

k1k2

y0 i =c2−c1

c1c2

y0 i =1−2

12

y0 i

y0 t =2 k1

k1k2

y0 i =2 c2

c1c2

y0 i =2 1

12

y0 i

Coeficientede reflexión

Coeficientede transmisión

=k c c= F

Ejercicio: demostrar,y t

y i yr

y

O x








• La onda transmitida nunca se invierte

R =1−2

12

T =2 1

12


Módulo 2: Ondas









5.9 Superposición de ondas en una cuerda.

Supondremos dos ondas en la misma dirección:• Misma dirección• Misma amplitud• Igual frecuencia• Diferente fase inicial



Supondremos dos ondas en la misma dirección:

y1 = y0 cosk x− t • Misma dirección• Misma amplitud• Igual frecuencia• Diferente fase inicial

y2 = y0 cos k x− t






La interferencia de ambas ondas será:

y = y1 y2 = y0 cosk x− t y0 cosk x− t








y = y0 [cos k x− t cos k x− t ]







y = y1 y2 = y0 cosk x− t y0 cosk x− t cos Acos B=2 cos AB2 cos A−B

2

y = y0 [cos k x− t cos k x− t ]A B








y = 2 y0 cos 2 cosk x− t2

cos Acos B=2 cos AB2 cos A−B

2

y = y0 [cos k x− t cos k x− t ]A B










2


El mov. resultante es una onda armónica

A B










2



La amplitud depende de δ

A B










2




A B

=0 A=2 y0

Int. constructiva










2




A B

=0 A=2 y0

= A=0

Int. constructiva

Int. destructiva



Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:



Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda



Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda• En la reflexión se produce un desfase de π rad.




y D = y0 cosk x− t

y I = y0 cosk x t

• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda• En la reflexión se produce un desfase de π rad.• La onda resultante es la suma de y

D e y

I





y I = y0 cosk x t


y = yD y I = y0 cos k x− t y0 cos k x t


D e y

I





y I = y0 cosk x t



y = y0 [cos k x− t cos k x t ]


D e y

I





y I = y0 cosk x t


y = yD y I = y0 cos k x− t y0 cos k x tcos Acos B=2cos AB

2 cos A−B2

y = y0 [cos k x− t cos k x t ]A B


D e y

I





y I = y0 cosk x t



y = 2 y0 cos k x2 cos t−

2

cos Acos B=2cos AB2 cos A−B

2



D e y

I





y I = y0 cosk x t




2


2



D e y

I

cos A2 =−sin A





y I = y0 cosk x t




2


2



D e y

I

y =−2 y0 sin k x cos t−2

cos A2 =−sin A





y I = y0 cosk x t




2


2



D e y

I


La amplitud dependede la posición x

cos A2 =−sin A





y I = y0 cosk x t




2


2



D e y

I


Aparecen nodos y vientres

La amplitud dependede la posición x

cos A2 =−sin A





y I = y0 cosk x t




2


2



D e y

I


Aparecen nodos y vientres

Puntos queno oscilan

Puntos con amplitud máxima

sin k x=0 sin k x=1La amplitud dependede la posición x

cos A2 =−sin A



Superposición de ondas en direcciones opuestas: Cuerda sujeta por los dos extremos.





• Tendremos un nodo en x=0 y x=L







x=0 sin k 0 =0Se cumple siempre






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

Se cumple siempre






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n

k=2






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2k=

2

• Para diferentes valores de n obtenemos la

Serie armónica

L = n

2n=1,2,...

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2k=

2


Serie armónica

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n

L = n

2n=1,2,...






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2k=

2


Serie armónica

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n

L = n

2n= ,1 ,2 ...





y =−2 y 0 sin k x cos t−2

x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2k=

2


Serie armónica

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n

L = n

2n=1,2,...






x=0 sin k 0 =0

x=L sin k L = 0

L = n

k= n

2k=

2


Serie armónicaOndas estacionarias cuerda sujeta por los dos extremos

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = n

L = n

2n=1,2,...




y =−2 y0 sin k x cos t−2 L = n

2n=1,2,...





Si las ondas generadas no cumplen esta condición, las sucesivas reflexiones estaran ligeramente desfasadas y acabarán anulándose.

L = n

2n=1,2,...




http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs

http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs



Superposición de ondas en direcciones opuestas: Cuerda sujeta por un extremo.





• Tendremos un nodo en x=0 y un vientre en x=L







x=0 sin k 0 = 0Se cumple siempre






x=0 sin k 0 = 0

x=L sin k L = 1

Se cumple siempre






x=0 sin k 0 = 0

x=L sin k L = 1

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = 2n1

2






x=0 sin k 0 = 0

x=L sin k L = 1

L = 2n1

2k= 2n1

4k=

2

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = 2n1

2






x=0 sin k 0 = 0

x=L sin k L = 1

L = 2n1

2k= 2n1

4k=

2


Serie armónica

L = 2n1

4n=0,1,2, ...

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = 2n1

2






x=0 sin k 0 = 0

x=L sin k L = 1

L = 2n1

2k= 2n1

4k=

2


Serie armónica

L = 2n1

4n=0,1,2, ...

Ondas estacionarias cuerda sujeta por un extremo

Se cumple siempre

Se cumple si:

k L = 2n1

2


Ejercicios

Ejercicio (prob. 37): En una cuerda tensa dispuesta horizontalmente uno de sus extremos está fijado a la pared, mientras el otro pasa por una polea y se cuelga una masa m. En la cuerda se producen ondas estacionarias. ¿Qué masa m' se ha de añadir a la m inicial si queremos que la frecuencia del sexto armónico sea ahora igual a la frecuencia del séptimo armónico de antes?

Solución: m' = 13m / 36

Ejercicio: Calcular cuál es la velocidad de propagación en una cuerda de 3m de longitud sabiendo que la frecuencia del tercer armónico es de 60Hz.

Ejercicio: Una cuerda fijada por los dos extremos tiene una longitud de 40cm y una masa de 8g. Sabemos que esta cuerda entra en resonancia a las frecuencias de 424Hz y de 530Hz sin que entre en resonancia a ninguna frecuencia intermedia.¿Cuánto vale la tensión a la que está sometida la cuerda?


4.1 Principio de superposición.

Representación fasorial.

Principio desuperposición

x = x1 x2

Será muy útil para representar la suma de varios MAS

x

y

x1x2 x

A1

A2

A = A1 A2

Es la componente x

del vector A = A1 A2


5.1. Conceptos básicos

Vector velocidad

● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado

● En una dimensión:

x

y

z

x

r t

r t =x t i y t jz t k

i

j

k

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