Oscilaciones y Ondas

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLEM.A.S.

Ejemplos de algunas oscilaciones

Oscilación: variación o perturbación de un cuerpo o sistema cuando su movimiento cambia continuamente pasando por valores máximos y mínimos.

Características del M.A.S.

Desplazamiento (x): o elongación distancia de la partícula en un instante dado respecto a su posición de equilibrio.

Amplitud (A): desplazamiento máximo en un movimiento oscilatorio., es decir, la elongación máxima del movimiento. Varia entre –A y A

Período (T): Tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, es decir, el tiempo de “una” oscilación, vibración o ciclo completo.

Frecuencia (f): Cantidad de veces que se repite un fenómeno en el tiempo. Corresponde al número de oscilaciones completas realizadas en la unidad de tiempo. Su unidad es el Hertz (Hz); también es frecuente notar simplemente s-1 (o 1/s). La frecuencia es inversa al período.

Velocidad o frecuencia angular (ω): Velocidad con que se recorre la trayectoria. Se relaciona con el perìodo y la frecuencia, porque

sf

T1

T

f

2

2

HzT

f1

Definición del M.A.S.

Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos regulares de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Como se puede observar en el esquema, éste se puede expresar siempre mediante senos y cosenos. El movimiento periódico se llama a menudo movimiento armónico.

Funciones Seno y Coseno

M.A.S. y movimiento circular

Existe una relación directa entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular: un movimiento circular uniforme se proyecta como un movimiento armónico simple en su propio plano. Es por ello que a la hora de definir las magnitudes que definen el movimiento armónico simple conviene tener en mente la analogía con el movimiento circular.

FLASH M.A.S.

El argumento de la función coseno, (ωt+φ) se denomina fase de movimiento y la constante φ se denomina constante de fase. Esta constante corresponde a la fase cuando t=0. La amplitud A y la constante de fase φ pueden determinarse a partir de la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 del sistema. Haciendo t=0 en x=A

cos (ωt+φ) se tiene:

Posición en el M.A.S.

)cos( tAx

cos0 Ax

La ecuación de posición también se puede expresar como: )( tAsenx

decidir entre seno y coseno dependerá simplemente de la fase de la oscilación en el momento que elijamos t=0.

Si en la figura proyectamos el vector vt (velocidad tangencial) sobre el eje x tendremos que utilizando un nuevo ángulo de proyección definido como el valor de , pero como y por ser ángulos con lados respectivamente perpendiculares obtenemos la de

o bien

)( tAsenv

cos tvvAvt t

)cos( tAv )( tAsenv

Velocidad en el M.A.S.

tsenvv

tvv

0

0 cos

La velocidad en un M.A.S. puede utilizar las siguientes expresiones:

Asenv 0

220

2202 xxxxfv

Aceleración en el M.A.S.

)cos( tAxSi reemplazamos

Reduciendo nuestra expresión a:

xa 2

Posición, Velocidad y Aceleración

Cuando el desplazamiento es máximo en cualquier sentido, la velocidad es cero porque en ese momento ella debe cambiar su sentido. En ese instante, la aceleración tiene un valor máximo pero está dirigida en sentido opuesto a la elongación.

La velocidad aumenta conforme la partícula se mueve hacia la posición de equilibrio y después disminuye al moverse hacia su máxima elongación, tal como ocurre en un péndulo.

La máxima elongación es A, la máxima velocidad es ωA, y la máxima aceleración es ω2A.

Resumen de expresiones matemáticas del M.A.S.

xa 2

)cos( tAx

cos0 Ax )( tAsenx

)( tAsenv

tsenvvtvv 00 cos

220

2202 xxxxfv

sf

T1

PERÍODO

HzT

f1

FRECUENCIA

f 2FRECUENCIA ANGULAR

POSICIÓN

VELOCIDAD

ACELERACIÓN

ssf

T 025,040

111

Para calcular su período utilizando la fórmula:

Luego su pulsación la obtenemos como:

s

radsf 804022 1

1.- Un punto material oscila con un movimiento armónico simple de 40 Hz de frecuencia. Calcular su periodo y su pulsación (frecuencia angular).

EJE

RC

ICIO

S

2.-Un móvil describe un movimiento vibratorio armónico simple de amplitud A. ¿Qué distancia recorre en un intervalo de tiempo igual a un periodo? Razona la respuesta.

El punto vibrante recorre, si el tiempo de recorrido es un periodo, 4 veces la amplitud, según los siguientes pasos (tomando como ejemplo un movimiento en el eje vertical):a) Sube desde la posición de equilibriob) Baja desde la máxima elongación a la posición de equilibrio.c) Baja desde la posición de equilibrio hasta la máxima elongaciónd) Sube desde la máxima elongación hasta la posición de equilibrio.

EJE

RC

ICIO

S

3.- Un objeto ligado a una pared cuya posición viene dada por la ecuación x=(5cm) cos(9,90s -1 t)

a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?; ¿en qué instante se alcanza por primera vez ésta velocidad?

b) ¿cuál es la aceleración máxima del objeto?; ¿en qué instante se alcanza por primera vez ésta aceleración?

Primero identificamos las magnitudes de la ecuación dada:

A=5cm ω=9,90s-1

a) La velocidad máxima del objeto será cuando pase por la posición central o de equilibrio. Utilizamos la ecuación de velocidad

EJE

RC

ICIO

S

Oscilaciones y Ondas

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

Oscilaciones Amortiguadas

¿Qué entendemos por amortiguamiento?

En nuestro estudio de MAS hemos supuesto que no actúan fuerzas de roce en ningún oscilador. Sin embargo, si esto fuese por completo correcto podríamos observar que en un péndulo o en una pesa sujeta a un resorte las oscilaciones se producirían indefinidamente sin detenerse jamás.Lo que realmente observamos es que la amplitud de la oscilación va disminuyendo gradualmente hasta ser cero como resultado del roce, es cuando notamos que el oscilador se detiene. Sucede entonces que las fuerzas de rozamiento disipan la energía mecánica y producen un movimiento amortiguado denominado MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

El péndulo deja de oscilar en el tiempo mientras se disipa su energía hasta detenerse

Oscilaciones Amortiguadas

El amortiguamiento afecta a una fuerza que tiene siempre sentido opuesto al sentido del movimiento de la partícula oscilante disipando la energía del sistema.

Sistema masa-resorte

Fuerza restauradora del resorte opuesta al movimiento

Fuerza restauradora del resorte opuesta al movimiento

Posición natural del resorte

-A

A

En un sistema oscilante masa resorte la fuerza que restaura el resorte hacia su posición de equilibrio es afectada por el roce del aire haciendo que varíe la amplitud de la elongación hasta llegar a detenerse.

Elongación amortiguada -A

Elongación amortiguada A

Otro caso, donde el amortiguamiento del movimiento es débil, es decir, la amplitud disminuye lentamente en el tiempo, se denomina subamortiguado.

Ejemplos de oscilaciones amortiguadasSUBAMORTIGUACION

En el esquema de la derecha observamos a una niña que se divierte en un columpio impulsada al inicio por su amigo. Cuando dejan de empujarle el columpio disminuiría gradualmente la amplitud debido al roce del aire hasta llegar a la posición de equilibrio donde A=0

A

-A

A=0Recuerda que el roce es la resistencia al movimiento

Luego existe un caso donde el amortiguamiento se denomina amortiguamiento crítico debido a que el amortiguamiento tiene un valor mínimo en el que la amplitud irá disminuyendo.

Ejemplos de oscilaciones amortiguadasAMORTIGUAMIENTO CRITICO

Es critico ya que, cualquier otro valor inferior al crítico dará cause a un movimiento subamortiguado.

Consideremos un péndulo sumergido en un fluido viscoso. Si la viscosidad del fluido es considerable el péndulo regresa rápidamente al equilibrio al quedar en libertad y no oscila, así el sistema vuelve al equilibrio en el tiempo mas corto posible sin sobrepasar siquiera la posición de equilibrio.

Ejemplos de oscilaciones amortiguadasSOBREAMORTIGUACION

Si el amortiguamiento es muy grande se dice entonces que el movimiento es sobreamortiguado.

Existen distintos grados de amortiguamiento, algunos podrían afectar el movimiento lentamente en el tiempo mientras que otros podrían causar que el oscilador se detuviera rápidamente.

Volviendo al péndulo sumergido en un fluido, si la viscosidad es aun mayor, se dice que el sistema es sobremortiguado, en este caso, el péndulo regresa al equilibrio sin pasar nunca por el punto de equilibrio, pero el tiempo para alcanzar el equilibrio es mayor que en el caso de la amortiguación crítica.En el esquema de la derecha el péndulo pasaría por las posiciones 1 hasta llegar a la 5 pero en un tiempo mayor que en una amortiguación crítica.

1

23 45

Frecuencia natural de vibración y oscilaciones forzadas

La frecuencia natural de un oscilador es aquella que tendría si no existiera amortiguación ni un sistema impulsor (como el niño empujando el columpio), es decir, cuando desplazamos el cuerpo a una amplitud determinada y luego lo soltamos para que comience su oscilación en el tiempo.

Si quisiéramos ir suministrado energía a un sistema amortiguado para que mantenga su oscilación sin detenerse, entonces hablaremos de un oscilador forzado ya que aplicáremos una fuerza externa que forzará a que el sistema continúe la oscilación

Frecuencia impulsora y Frecuencia natural

En un sistema formado por un objeto colgado a un resorte, podemos suministrar energía moviendo el punto de soporte del resorte hacia arriba y hacia abajo con un MAS.

Al principio el movimiento es complicado pero finalmente alcana un estado en el que la energía se introduce al mismo tiempo que se disipa, de manera que el sistema oscila con la misma frecuencia de la fuerza externa impulsora y con amplitud constante y, por ende, con energía constante, este estado es denominado estado estacionario.

La amplitud y, por lo tanto la energía de un sistema en estrado estacionario, no sólo depende de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.

En otros términos, las oscilaciones forzadas tendrán la frecuencia de la fuerza externa y no la frecuencia natural del cuerpo. Sin embargo, la respuesta del cuerpo depende de la relación entre la frecuencia impulsora y la frecuencia natural. Una sucesión de pequeños impulsos aplicados con la frecuencia adecuada puede producir una oscilación de gran amplitud. Un muchacho en un columpio se da cuenta de ello, porque al impulsarse a intervalos de tiempo adecuados puede hacer que el columpio se mueva con una gran amplitud

Frecuencia impulsora y Frecuencia natural

La amplitud y, por lo tanto la energía de un sistema en estado estacionario, no sólo depende de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Si la frecuencia impulsora es aproximadamente igual a la frecuencia natural del sistema, éste oscilará con una amplitud relativamente grande.

Resonancia

Cuanto mayor sea la diferencia entre la frecuencia impulsora y la frecuencia del resonador, menor será la amplitud de oscilación del sistema resonador. O bien, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencia impulsora y resonante, mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada (en el resonador).

La resonancia tiene lugar siempre que la frecuencia de la fuerza impulsora sea similar a la frecuencia del sistema oscilante o entonces sistema resonador.

La amplitud de oscilación de un sistema resonante depende de la magnitud de la fuerza impulsora, pero también de la relación entre la frecuencia impulsora y la frecuencia del resonador.

Puedes observar lo mencionado en un simple ejercicio. Toma una regla con dos dedos desde uno de sus extremos y hazla oscilar con un ángulo pequeño para observar su oscilación natural. Luego cuando este movimiento parezca conservarse haz movimientos de tu mano adelante y atrás como la figura y sentirás la resonancia

Ejemplos de resonancia

“Cuando un geek descubre que su chica quiere a otro, decide saltar a la frecuencia de resonancia del puente como venganza.”Si el puente vibra a su frecuencia de resonancia puede desmoronarse fácilmente. Por eso cuando un ejército cruza un puente suele romper el paso de la formación, pues la vibración que provocan tantos pies a la vez podría derribarlo.

Otro caso sería el de un vaso de vidrio que se rompe con un bajo amortiguamiento mediante una onda sonora con una frecuencia igual o muy próxima a la frecuencia natural de vibración del mismo