Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 1 de 13

1

FSICA 2 BACHILLERATO MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE. PNDULO SIMPLE

1. Qu se entiende por perodo y frecuencia de un movimiento circular uniforme?. Y de un movimiento vibratorio?.

2. Cundo se produce un movimiento oscilatorio?. Qu tiempo emplea una partcula oscilante en desplazarse desde un extremo al otro extremo de la oscilacin?.

3. Comprueba las igualdades importantes:

Cos = Sen ( +2pi ) Sen = Cos (

2pi ) Cos = Sen (

2pi ) Sen = Cos ( +

2pi )

4. En un movimiento armnico simple, la posicin, la velocidad y la aceleracin varan peridicamente. Son iguales los perodos en los tres casos?. Relacin entre el m.a.s. y el m.c.u. Caractersticas ms importantes del m.a.s

5. a) Define el m.a.s. y sus magnitudes ms caractersticas: elongacin, amplitud, periodo, frecuencia y fase. b) En el m.a.s., cundo sucede que: a) la velocidad es mxima; b) la velocidad es mnima; c) la aceleracin es mxima; d) la aceleracin es mnima ?.

6. a) Deduce la expresin matemtica que da el valor de la elongacin en funcin del tiempo cuando la fase inicial es en un movimiento armnico. b) Deduce el valor de la velocidad y de la aceleracin en el m.a.s. c) Deduce el valor de la velocidad y de la aceleracin de un m.a.s. en funcin de la elongacin. d) Cul es la expresin de la fuerza que origina el m.a.s?.

7. Demuestra que si una masa m est sometida a una fuerza que cumple F = kx, el cuerpo ejecuta un m.v.a.s de perodo km

.2T pi=

8. Qu caracterstica bsica distingue un m.a.s. de un movimiento vibratorio cualquiera?. SOL: En el movimiento armnico simple la aceleracin es proporcional a la elongacin y de signo contrario.

9. Puede escribirse la ecuacin de posicin de un oscilador armnico indistintamente en funcin del seno o del coseno?. En qu se diferencian ambas formas?. Cundo conviene usar una u otra?.

10. Dos partculas tienen m.a.s. con la misma frecuencia y amplitud y se mueven en la misma trayectoria. Averigua la diferencia de fase en los siguientes casos: a) Se cruzan en el centro de la trayectoria. b) Se cruzan en el punto medio de la amplitud. SOL: a) Tienen la misma elongacin y velocidad opuesta 1 = (pi/2) rad; 2 = ( pi/2) rad; desfase = pi rad; b) 1 = (pi/6) rad; 2 = (5pi/6) rad; desfase = (2pi/3) rad.

11. a) Qu transformaciones energticas tienen lugar en un cuerpo que posee un m.v.a.s ?. b) Energa cintica, potencial y mecnica de un oscilador armnico. c) Por qu permanece constante la energa mecnica?.

12. En general, el movimiento de un pndulo es armnico?. Bajo qu condiciones podemos decir que un pndulo simple oscila de forma armnica?. SOL: Para ngulos muy pequeos (menores de 14 0'245 rad) se puede aplicar la siguiente aproximacin: Sen . El error relativo cometido con la aproximacin anterior es menor del 1%.

13. a) Bajo qu condiciones podemos decir que un pndulo simple oscila de forma armnica?. Cul es la fuerza restauradora en el caso del pndulo simple?. b) De qu depende el perodo de un pndulo simple si la amplitud de la oscilacin es pequea comparada con la longitud del pndulo?.

14. Cul es la fuerza recuperadora en el caso de un pndulo simple? Es de tipo elstico o de tipo gravitatorio?

15. Resuelve el siguiente problema que se propuso a Galileo: Una cuerda cuelga de una torre alta de modo que el extremo superior es invisible e inaccesible, pero el extremo inferior s se ve y se puede tocar. Cmo averiguaras la longitud de la cuerda?.

16. a) Razona si es cierta o falsa la siguiente afirmacin: "En el movimiento del pndulo, la componente del peso en la direccin del hilo se contrarresta en todo instante con la tensin de ste". b) Tenemos un reloj de pndulo que adelanta. Justifica si hemos de aumentar o disminuir la longitud del pndulo para corregir la desviacin. SOL: Aumentar la longitud. c)Dos pndulos tienen distinta longitud: la de uno es doble de la del otro. Qu relacin existe entre sus perodos de oscilacin?. SOL: 0'707/1.

17. Si se duplica la energa mecnica de un oscilador armnico, explique qu efecto tiene: a) En la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) En la velocidad y el perodo de oscilacin. SOL: a) A1 =A 2 ; la frecuencia es la misma. b) El perodo de las oscilaciones es el mismo; v1= 2 v.

18. En qu casos puede considerarse un movimiento pendular como un movimiento armnico simple?. Demuestra que la frmula del perodo de oscilacin de un pndulo simple es T = 2pi g/L

19. Dos pndulos tienen distinta longitud: la de uno es doble que la del otro. En qu relacin estn sus perodos de oscilacin?. SOL:

21

20. Una partcula vibra con una frecuencia de 30 Hz y una amplitud de 5 cm. Calcula la velocidad mxima y la aceleracin mxima con que se mueve. SOL: 9'4 m/s; 1'8.103 m/s2

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 2 de 13

2

21. Cmo se modifica la energa mecnica de un oscilador en los siguientes casos?. a) Si se duplica la frecuencia. b) Si se duplica la masa. c) Si se duplica el periodo. d) Si se duplica la amplitud.

22. Una partcula de 5 g de masa animada de m.a.s. vibra con una amplitud de 0'2 cm y una velocidad mxima de 8 m/s. Con qu frecuencia vibra la partcula? Cunto vale la constante recuperadora?. SOL: N = 640 Hz; k = 8.104 N/m

23. Una partcula vibra con una frecuencia de 5 Hz. Cunto tiempo tardar en desplazarse desde un extremo hasta la posicin de equilibrio?. SOL: Un cuarto de periodo = 0'05 s

24. Una masa de 0'5 kg cuelga de un resorte de k = 50 N/m. Si la desplazamos 5 cm y la soltamos, calcula: a) La frecuencia. b) La velocidad que tiene cuando pasa por la posicin de equilibrio. SOL: a) N = 1'6 Hz; b) v = 0'5 m/s

25. Una partcula de 250 g tiene un periodo de vibracin de 0'04 s. Calcula la constante recuperadora. SOL: k= 6200 N/m

26. Una partcula vibra de modo que tarda 0'5 s en ir desde un extremo a la posicin de equilibrio, distantes entre s 8 cm. Si para t = 0 la elongacin de la partcula es 4 cm, halla la ecuacin que define este movimiento. SOL: x = 8.102. Sen (pi t + pi/6) m

27. Un m.a.s. est definido por la siguiente ecuacin: x = 0'4. Sen (120 t + pi/6) con las unidades en el SI. Calcula: a) Las condiciones iniciales xo, vo. b) La frecuencia del movimiento. SOL: a) xo = 0'2 m; vo = 42 m/s; b) N= 19'1 Hz

28. Un muelle se alarga 25 cm cuando se cuelga de l una masa de 2 kg. Calcula la frecuencia y la velocidad mxima de oscilacin de la masa, sabiendo que la amplitud del movimiento es 5 cm. Dato: gO = 9'8 m/s2. SOL: N = 1 Hz; vmx.= 0'31 m/s

29. Una partcula de 0'25 kg vibra con una amplitud de 0'15 m y una energa mecnica de 12 J. Calcula: a) La constante recuperadora. b) La frecuencia de vibracin. c) La energa cintica de la partcula cuando se encuentra a 5 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) k = 1070 N/m; b) N = 10'4 Hz; c) EC = 10'7 J

30. Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se aade otra masa de 300 g la frecuencia de oscilacin es de 0'5 Hz. Determina: a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. b) El valor de la amplitud de oscilacin en el segundo caso, si la energa mecnica es la misma en los dos casos. SOL: a) m = 0'1 kg; k = 3'95 N/m; b) A = 0'05 m

31. Una partcula vibra de acuerdo con la ecuacin x = 0'08. Sen 100 t en unidades del SI. Calcula: a) La frecuencia. b) La velocidad mxima de vibracin. c) La velocidad de la partcula cuando se encuentra a 5 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) N = 16 Hz; b) vmx.= 8 m/s; c) v = 6'2 m/s

32. Una masa de 0'2 kg que est unida a un resorte se mueve con m.a.s. con un periodo de 0'5 s. Si la energa potencial mxima del sistema es 5 J, calcula: a) La constante del resorte. b) La amplitud del movimiento. SOL: a) k = 32 N/m; b) A = 0'56 m

33. Una partcula de 0'05 kg vibra con una amplitud de 0'4 m y una frecuencia de 25 Hz. a) En qu puntos de la trayectoria la energa cintica es el 80 % de la energa total?. b) En qu puntos la energa cintica y la energa potencial coinciden?. c) Cunto vale la energa total?. SOL: a) En los puntos de elongacin x = 0'18 m; b) En los puntos de elongacin x = 0'28 m; c) ET = 99 J

34 Una masa de 2 kg cuelga de un resorte. Si aadimos a la masa anterior otra de 0'5 kg, el resorte se alarga 4 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. Con qu frecuencia lo har?. Dato: go = 9'8 m/s2. SOL: N = 1'2 Hz

35. Una partcula de 50 g vibra de forma que, en un punto situado a 4 cm de la posicin de equilibrio, la energa cintica y la energa potencial coinciden, y son iguales a 2 J. a) Cunto vale la amplitud?. b) Cunto vale la frecuencia?. SOL: a) A = 5'7 cm; b) N = 36 Hz

36. Un cuerpo de 0'2 kg est unido a un resorte horizontal, sin rozamiento, sobre una mesa, a lo largo del eje OX, con una frecuencia angular w = 8 rad/s. En el instante t = 0, el alargamiento del resorte es de 4 cm respecto a la posicin de equilibrio y el cuerpo lleva una velocidad de 0'2 m/s. Determina: a) La amplitud y la fase inicial del m.a.s. realizado por el cuerpo. b) La constante elstica del resorte y la energa mecnica del sistema. SOL: a) A = 4'7.102 m; = 58 ; b) k = 12'8 N/m ; Emec = 0'014 J

37. Un oscilador armnico constituido por un muelle, de masa despreciable, y una masa de 0'04 kg en su extremo, tiene un periodo de oscilacin de 2 s. a) Cul debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idntico al primero, para que la frecuencia de oscilacin se duplique?. b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es de 0'1 m, cunto vale, en cada caso, la mxima energa potencial del oscilador y la mxima velocidad alcanzada por la masa?. SOL: a) m = 0'01 kg; b) EP = 2.103 J; vmx.= 0'31 m/s; vmx.= 0'63 m/s

38. Una partcula animada de m.a.s. inicia el movimiento en el extremo (+) de su trayectoria y tarda 0'25 s en llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 0'1 m. Calcula: a) El perodo y la frecuencia del movimiento. b) El nmero de vibraciones que realiza en un minuto. c) Las constantes del movimiento. d) la posicin de la partcula 0'5 s despus de iniciado el movimiento. SOL: a) T = 1 s; N = 1 Hz; b) 60; c) A = 0'1 m; w = (2pi) rad/s; = (pi/2) rad; d) x = 01.Sen (2pit + pi/2) (S.I.) x (t = 0'5 s) = 0'1 m

39. Una partcula se mueve con m.a.s. entre dos puntos distantes entre s 0'2 m y realiza 4 vibraciones por segundo. Si la partcula en el instante t = 0 se encuentra en la posicin x = A/2 y se dirige hacia el extremo (+), calcula: a) la ecuacin del movimiento. b) En qu instante pasa por primera vez por la posicin de equilibrio. c) En qu instante alcanzar por primera vez el valor mximo de x. SOL: a) A = 0'1 m; w = (8pi) rad/s; = (pi/6) rad; x = 0'1. Sen (8pit + pi/6) (S.I.); b) t = (5/48) s; c) t = (1/24) s

40. Una masa de 0'2 kg est sujeta a un resorte y realiza un m.a.s. con un perodo de 0'25 s. Si la energa mecnica del sistema es 2 J, calcula la constante del resorte y la amplitud del movimiento. SOL: k = 130 N/m; A = 0'18 m

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 3 de 13

3

41. Un oscilador armnico vibra de forma que, para t = 0, se encuentra a 4'0 cm de la posicin de equilibrio con una velocidad vo = 0'87 m/s. Si la frecuencia del movimiento es de 2 Hz, calcula: a) La constante de fase y la amplitud del movimiento. b) La elongacin y la velocidad en el instante t = 0'5 s. c) El valor mximo de la velocidad. SOL: a) = (pi/6) rad; A = 0'08 m; b) x(t = 0'5 s) = 0'04 m; v(t = 0'5s) = 0'87 m/s; c) vmx.= wA = 1 m/s; |vmx.| = 1 m/s

42. Una partcula de 5 g de masa efecta un m.a.s. cuyo perodo es 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongacin es 0'7 cm y su velocidad 4'39 cm/s, calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La mxima aceleracin de la partcula. c) La constante elstica. d) La fuerza recuperadora. e) La fuerza recuperadora mxima. f) La posicin de la partcula cuando se mueve con una velocidad de 6 cm/s. SOL: a) = (pi/4) rad; A = 1 cm; b) amx.= 0'4 m/s2; c) k = 0'2 N/m; d) F = kx = 0'2.x N; e) Fmx.= kA = 2.103 N; f) v = w 22 xA x =

2

22

w

vA = 3.103 m

43. Una masa de 1 kg cuelga de un resorte cuya constante elstica es k = 100 N/m y puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 0'1 m de su posicin de equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula: a) La ecuacin del movimiento de la masa. b) El perodo de oscilacin. c) La velocidad y la aceleracin mximas. d) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra a 5 cm por encima de la posicin de equilibrio. SOL: a) = (pi/2) rad; w = 10 rad/s; y = 0'1.Sen (10t + pi/2) m; b) T = 0'63 s; c) |vmx.| = 1 m/s; |amx.| = 10 m/s2; F = ky = 5N

44. De un resorte se ha colgado una masa de 5 kg, y se produce un alargamiento de 18 cm. Ms tarde, el sistema se estira 7'5 cm y se suelta. Calcula: a) La constante elstica del muelle. b) La amplitud del movimiento. c) El perodo del movimiento. d) La energa potencial elstica del muelle en el instante en que se deja en libertad la masa para que vibre. SOL: a) g = 9'8 m/s2; k = 270 N/m; b) A = 7'5.102 m; c) T = 0'86 s; d) EP = 0'76 J

45. Una partcula de 0'25 kg de masa vibra con m.a.s. de forma que, para t = 0, pasa por la posicin de equilibrio en sentido positivo. Si tarda 1 min y 40 s en dar 125 oscilaciones completas y el valor mximo de la fuerza recuperadora es 25 N, calcula: a) Las constantes del movimiento. b) La ecuacin del movimiento, expresada en seno y en coseno. SOL: a) A = 1'62 m; w = 7'85 rad/s; = 0; b) x = 1'62. Sen (7'85 t) = 1' 62. Cos (7'85 t pi/2)

46. Un muelle elstico de 10 cm tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical mientras que el otro est unido a una masa que descansa en una superficie horizontal sin rozamiento. Se le aplica una fuerza de 20 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 15 cm. En esta posicin se suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 1'57 rad/s. Calcula: a) La constante recuperadora del resorte. b) La masa que oscila. c) La ecuacin del m.a.s. resultante. d) Las energas cintica y potencial cuando x = 2 cm. SOL: a) k = 400 N/m; b) m = 160 kg; c) x = 0'05. Sen (

2t

2pi+pi ); d) EC = 0'42 J; EP = 0'08 J

47. Una partcula de 2 kg vibra a lo largo del eje OX por la accin de una fuerza recuperadora F = 10 x. Inicialmente se encuentra a +2 m del origen, movindose con una velocidad de 10 m/s hacia la posicin de equilibrio. Calcula: a) El periodo del movimiento. b) El instante que pasa por primera vez por el origen. SOL: a) T = 2'81 s; b) t = 0'19 s

48. Una masa de 0'1 kg est unida a un resorte de constante elstica k = 80 N/m. Se separa de su posicin de equilibrio 20 cm y se deja en libertad para que oscile libremente. Calcula: a) La frecuencia con que oscila. b) La energa mecnica con que inicia el movimiento. c) La velocidad que posee cuando tiene una elongacin de 15 cm. d) La ecuacin que define este movimiento. SOL: a) N = 4'5 Hz; b) Emec = 1'6 J; c) v = 3'7 m/s; d) x = 0'2. Sen (28 t + pi/2)

49. Una partcula de 5 g se mueve con m.a.s. Si su frecuencia es 25 Hz y su amplitud 8 cm, calcula: a) Su periodo. b) La frecuencia angular. c) Su velocidad mxima. d) La constante recuperadora. SOL: a) T = 0'04 s; b) w = 157 rad/s; c) vmx. = 12'6 m/s; d) k = 123 N/m

50. Una partcula que est animada de m.a.s., tiene una aceleracin de 8 m/s2 cuando se encuentra a 0'15 m de la posicin de equilibrio. Calcula su periodo. SOL: T = 0'86 s

51. Una masa con m.a.s. tiene una velocidad de 2 m/s cuando se encuentra a 0'05 m de la posicin de equilibrio, y cuando se encuentra a 0'02 m de dicha posicin, la velocidad es de 3 m/s. Calcula la frecuencia angular y la amplitud. SOL: w = 49 rad/s; A = 6'5.102 m

52. A un resorte de constante k se le une una masa m y se le hace oscilar. Cunto debe variar la masa m para que la frecuencia angular aumente en un 20 %?. SOL: Debe disminuir en un 31 %

53. Un cuerpo tiene un m.a.s. con una frecuencia de 5 Hz, una amplitud de 0'1 m, e inicia su movimiento (t = 0) desde un extremo (+) de la trayectoria. Calcula: a) Su elongacin al cabo de 2 s. b) La velocidad cuando la elongacin vale la mitad de la amplitud. SOL: a) x = + 0'1 m; b) v = 2'7 m/s

54. Determina la ecuacin de un movimiento vibratorio armnico de amplitud 0'1 m si efecta 150 vibraciones en un minuto y si la fase inicial es

4pi

rad. Representa grficamente este movimiento. SOL: x = 0'1. Cos [5pit 4pi

] m.

55. Cuando una masa de 1 kg se cuelga de un muelle vertical de masa despreciable, el perodo de las oscilaciones es de 1'43 s. Cuando una masa desconocida reemplaza a la masa de 1 kg, el perodo es de 1'85 s. Calcula: a) La masa desconocida. b) La constante elstica del muelle. SOL: a) 1'67 kg; b) k = 19'3 N/m

56. Una masa de 100 g colgada de un resorte lo alarga 10 cm. Este sistema oscila con una amplitud de 2 cm. Calcular: a) La constante elstica k del resorte; b) El perodo de vibracin, c) La velocidad mxima; d) La velocidad y aceleracin a 1 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) k = 10 N/m; b) T = 0'628 s; c) vmx = 0'2 m/s; d) v = 0'173 m/s; a = 1 m/s2.

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 4 de 13

4

57. Un oscilador est formado por una masa de 2 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica k = 50 N/m. Las condiciones iniciales son xo = 0'1 m y vo = 0'2 m/s. Calcula la ecuacin del movimiento. SOL: x(t) = 0'1077.Cos (5t 0'3805)

58. Un punto material recorre un segmento de 10 cm con m.a.s. de frecuencia 5 Hz. Determina las ecuaciones del movimiento si en t = 0, el punto est a + 2'5 cm de la posicin de equilibrio. SOL: A = 5 cm; w = 10 pi rad/s; 1 = pi/6 rad; 2 = 5pi/6 rad; x1 = 0'05. Sen (10pit + pi/6) = 0'05. Cos (10pit pi/3) v1 = 0'5.pi. Cos (10pit + pi/6) = 0'5.pi.Sen (10pit pi/3); a1 = 5 pi2. Sen (10pit + pi/6) = 5 pi2.Cos (10pit pi/3); x2 = 0'05. Sen (10pit + 5pi/6) = 0'05. Cos (10pit + pi/3); v2 = 0'5pi. Cos (10pit + 5pi/6) = 0'5.pi. Sen (10pit + pi/3); a2 = 5 pi2. Sen (10pit + 5pi/6) = 5 pi2. Cos (10t + /3);

59. Un muelle en posicin horizontal tiene uno de sus extremos unidos a un muro y el otro extremo est unido a una masa puntual de 0'01 kg apoyada sobre un suelo horizontal sin rozamiento; el conjunto vibra con una frecuencia de 3 Hz. En el instante inicial pasa por el centro de oscilacin con una velocidad de 5 cm/s en sentido negativo. Determina: a) El tiempo que debe transcurrir hasta que alcance la velocidad cero; b) La ecuacin del movimiento; c) La expresin de la energa cintica en funcin del tiempo; d) La aceleracin en el instante en el que se anula la velocidad; e) La energa mecnica de la masa oscilante SOL: a) t = T/4 = (1/12) s; b) A = vmx/w = 2'65.10-3 m; y(t) = 2'65.10-3.Sen (6pit + pi) (S.I.) ; c) v(t) = 0'05.Cos (6pit + pi) (S.I.); Ecin = .m v2 = 1'25.105.Cos2 (6pit + pi) J; d) amx = 0'942 m/s2; e) Emec = 1' 25.105 J

60. Una partcula que oscila con movimiento armnico simple se encuentra en xo = 0'03 m cuando t = 0. En ese instante, su velocidad es de (0'12pi) m/s. Si su perodo de oscilacin es de 0'5 s, calcula: a) La fase inicial y la amplitud. b) Las ecuaciones de la posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo, as como sus valores para t = 0. c) La velocidad y aceleracin mximas. SOL: = (5pi/4) rad; A = 0'0424 m; b) x = 0'0424. Sen (4pit + 5pi/4); v = 0'5328. Cos (4pit + 5pi/4); a = 6'69. Sen (4pit + 5pi/4); xo = 0'03 m; vx,o = 0'376 m/s; ao = 4' 73 m/s2; c) vmx = 0' 5328 m/s; amx = 6' 69 m/s2

61. Un oscilador armnico est formado por una masa de 0'1 kg colgada de un resorte de masa despreciable y de constante elstica 10 N/m. Las condiciones iniciales son x0 = 0'1 m y vx0 = 0'3 m/s. Calcular: a) Perodo y frecuencia angular; b) Amplitud; c) Fase inicial; d) Ecuacin del movimiento. SOL: a) T = 0'628 s; w = 10 rad/s; b) A = 0'1044 m; c) = 0'2914 rad; d) x(t) = 0'1044. Cos (10 t 0'2914); o bien ' = 1'279 rad; x(t) = 0'1044. Sen (10 t + 1'279)

62. Un oscilador armnico est formado por una masa de 0'5 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica 1250 N/m. Las condiciones iniciales son posicin inicial xo = 0'1 m y velocidad inicial vxo= 14'1 m/s. Calcular: a) Frecuencia angular, amplitud y fase inicial de este movimiento. b) Ecuaciones de la posicin y velocidad en funcin del tiempo. SOL: a) w = 50 rad/s; A = 0'3 m; = 2'808 rad; x(t) = 0'3. Sen (50t + 2'808); v(t) = 15. Cos (50t + 2'808); o bien: ' = 1'23 rad; x(t) = 0'3. Cos (50t +1'23); v(t) = 15. Sen (50t +1'23)

63. Un oscilador armnico est formado por una masa de 2'4 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica 200 N/m. Las condiciones iniciales son xo = 0'15 m y vxo = 0'45 m/s. Calcular: a) Frecuencia angular o pulsacin; b) Amplitud; c) Fase inicial; d) Ecuacin del movimiento. e) Posicin de la masa oscilante para t = 3 s. SOL: a) w = 9'128 rad/s; b) A = 0'1578 m; c) = 1'253 rad; d) x = 0'1578. Sen (9'128 t + 1'253) (S.I.); o bien; ' = 0'3175 rad; x(t) = 0'1578. Cos (9'128 t 0'3175); d) x = 0'05 m

64. Un cuerpo vibra con m.a.s. Cuando se encuentra en la mitad de la amplitud, qu porcentaje de energa es cintica y qu porcentaje es energa potencial?. En qu punto las dos energas son iguales. SOL: 75 %; 25 %; x =

2A

65. A una masa m = 0'1 kg situada sobre un plano horizontal y unida a un resorte, se le aplica una fuerza horizontal de 2 N que la separa 5 cm de la posicin de equilibrio. Al suprimir la fuerza se origina un movimiento vibratorio armnico simple con rozamiento nulo. Calcula la energa potencial elstica y cintica: a) En el instante de iniciarse el m.v.a.s.; b) Cuando pasa por la posicin de equilibrio; c) Cuando pasa a 2 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) EP = 0'05 J; EC = 0; b) EP = 0; EC = 0'05 J; c) EP = 0'008 J; EC = 0'042 J

66. Una masa de 0'2 kg est unida a un muelle de forma que oscila con una frecuencia angular de 10 rad/s y amplitud 10 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Calcular: a) la energa mecnica de la masa oscilante; b) La velocidad y aceleracin de la masa cuando la elongacin es de 6 cm; c) Para qu valores de la elongacin, la velocidad de la masa es 0'5 m/s?. SOL: a) Emc = .kA2 = 0'1 J; b) v = w 22 xA = 0'8 m/s; a = 6 m/s2; c) x = 0'0866 m/s

67. Una partcula de 0'6 kg de masa se mueve con m.a.s. Su perodo es de 0'25 s y la amplitud de su movimiento es 10 cm. Calcular: a) Las expresiones de la aceleracin y de la fuerza; b) El valor de la constante elstica; c) Su energa total; d) Su energa cintica y potencial elstica cuando la partcula est a 5 cm de su posicin de equilibrio. SOL: b) 379 N/m ; c) 1'895 J ; d) 1'42 J ; 0'47 J.

68. Un punto material de masa 10 g ejecuta un movimiento vibratorio armnico tal que para t = 0 su velocidad es nula. a) Si adems en ese instante su elongacin es 10 cm, cul es su amplitud?; b) Si para el instante t = 5 s el mvil pasa por primera vez por las posicin 5 cm, cul es la pulsacin, periodo y frecuencia?; c) Escribe la ecuacin del movimiento; d) Qu energa mecnica tiene el mvil?. SOL: a) A = 10 cm; b) w = (2pi/15) rad/s; T = 15 s; N = 0'066 Hz; c) x (t) = 0'1.Sen [(2pi/15) t pi/2] ; d) Emc = 8'77.106 J.

69. Una partcula de 0'5 kg que describe un movimiento armnico simple de frecuencia (5/pi) Hz tiene, inicialmente, una energa cintica de 0'2 J y una energa potencial de 0'8 J. a) Calcula la posicin y la velocidad iniciales, as como la amplitud de la oscilacin y la velocidad mxima; b) Haz un anlisis de las transformaciones de energa que tienen lugar en un ciclo completo. Cul ser el desplazamiento en que las energas cintica y potencial son iguales?. SOL: a) w = 10 rad/s; k = 50 N/m; A = 0'2 m; x0 = 0'17888 m; v0 = 0'8944 m/s; b) x = 0'1414 m

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 5 de 13

5

70. Un nio de 30 kg se columpia con una amplitud de 0'5 m en un columpio de 3 m de longitud. Con qu periodo y frecuencia se columpia?. Cul es la velocidad mxima del muchacho?. Dato: gO = 9'8 m/s2. SOL: T = 3'2 s; N = 0'29 Hz; vmx.= 0'91 m/s

71. Un pndulo simple de 2 m de longitud tiene un perodo de 2'84 s para pequeas oscilaciones: a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar de la medicin; b) Si la velocidad de la bolita del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio es de 0'4 m/s, calcula la amplitud de oscilacin; c) Si la oscilacin comienza en uno de los extremos, escribe la ecuacin de la posicin en el eje x. SOL: a) 9'79 m/s2; b) 0'18 m; c) x = 0'18. Cos 2'21 t = 0'18. Sen (2'21 t +

2pi )

72. Si la longitud de un pndulo se aumenta en un 25 %, en qu porcentaje vara el periodo? SOL: Aumenta en un 12 %

73. Un pndulo simple de 0'5 m de longitud oscila con un perodo de 1'43 s para pequeas oscilaciones. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar de la medicin. b) Si la velocidad de la bolita del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio es de 0'36 m/s, calcula la amplitud de oscilacin. c) Si la oscilacin comienza en uno de los extremos, escribe la ecuacin de la posicin de la bola que oscila. SOL: a) 9'653 m/s2; b) 0'082 m; c) x = 0'082. Cos 4'39 t = 0' 082. Sen (4'39 t +

2pi )

74. Un pndulo simple de 0'8 m de longitud tiene un perodo de 1'8 s para pequeas oscilaciones. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar de la medicin. b) Si la celeridad de la bolita del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio es de 0'35 m/s, calcula la amplitud de la oscilacin. c) Si la oscilacin comienza en el extremo de la derecha, escribe la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo. a) 9'748 m/s2; b) 0'1 m; c) x = 0'1.Cos 3'49 t = 0'1. Sen (3'49 t +

2pi )

75. Un astronauta ha instalado en la Luna un pndulo simple de 0'86 m de longitud y comprueba que oscila con un periodo de 4'6 s. Cunto vale la aceleracin de la gravedad en la Luna? SOL: gLuna = 1'6 m/s2

76. Una masa de 10 kg que cuelga de un hilo de 1 m de longitud se desplaza hasta que el hilo forma un ngulo de 12 con la vertical y se suelta para que comience a oscilar. a) Lo har con m.a.s.?.b) En caso afirmativo, con qu perodo oscilar?. c) Cul es la velocidad mxima?. d) Cunto vale la frecuencia angular?. e) Cunto vale la aceleracin mxima?. f) Con qu energa mecnica oscilar?. g) Escribe la ecuacin del movimiento. SOL: a) El pndulo tiene m.a.s. porque el error relativo es 0'67 %; b) T = 2 s; c) vmx.= 0'65 m/s; d) w = 3'14 rad/s; e) A = 0'21 m; |amx| = 2 m/s2; f) Em = 0'021 J; g) x = 0'21.Sen (3'14t + pi/2) m

77. Una masa de 100 gramos alarga un resorte 9'8 cm. Este sistema oscila con una amplitud de 10 cm. Calcular: a) La constante k del resorte; b) El periodo de vibracin; c) La velocidad mxima; d) La velocidad y la aceleracin a 5 cm de la posicin de equilibrio. SOL: g = 9'8 m/s2; a) k = 10 N/m; b) T = 0'628 s; c) v = 1 m/s; d) v = 0'865 m/s; a = 5 m/s2.

78. Un m.v.a.s. tiene por ecuacin x = 0'02.Sen (w t + pi/6) en unidades del S.I. Calcular los valores de la elongacin x en los instantes: a) t = 0; b) t = T/4; c) t = T/2; d) t = 3 T/4 y e) t = T. SOL: a) x = 0'01 m; b) x = 0'0173 m; c) x = 0'01 m; d) x = 0'0173 m/s; e) x = 0'01 m.

79. La ecuacin de un m.v.a.s es x = 0'1.Sen(3pit + pi/2) en unidades del S.I. Determinar las caractersticas del movimiento y hallar las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin en funcin del tiempo. SOL: A =0'1 m; w = 3pi rad/s; = pi/2 rad; N = 1'5 Hz; T = 0'66 s; x = 0'1.Sen (3pit + pi/2) = 0'1.Cos 3pit; v = 0'3.pi.Cos (3pit + pi/2) = 0'3.pi.Sen 3pit; a = 0'9. pi2.Sen (3pit + pi/2) = 0'9.pi2.Cos 3pit

80. La velocidad mxima de un m.a.s. es de 0'5pi m/s en el tiempo t = (11/60) s y el valor mximo de la aceleracin es de 0'25pi2 m/s2. Hallar las caractersticas del movimiento y sus ecuaciones. SOL: A = 10 cm; w = 5pi rad/s; T = 0'4 s; N = 2'5 Hz; = (pi/12) rad; x = 0'1.Sen (5pit + pi/12); v = 0'5 pi.Cos (5pit + pi/12); a = 2'5. pi2.Sen (5pit + pi/12)

81. Un cuerpo cuya masa es 0'1 kg posee un m.a.s. a lo largo de un segmento vertical AB de 10 cm de longitud. El periodo de vibracin es de 2 s. Calclese: a) La velocidad y aceleracin en el punto medio AB; b) La velocidad y aceleracin en el extremo B; c) La fuerza recuperadora en el extremo B. SOL: a) v = 0'157 m/s; a = 0; b) v = 0; || a = 0'493 m/s2 ; c) || F = 0'049 N.

82. Una masa A de 1 kg cuelga de un muelle, si se aade otra masa B de 0'3 kg el sistema se alarga 2 cm ms. Se quita la masa repentinamente, de forma que el sistema se pone a oscilar. Calcular: a) La cte elstica del muelle; b) La frecuencia angular de vibracin; c) La energa del oscilador. SOL: a) 147 N/m; b) 12'12 rad/s; c) 0'029 J.

83. Una partcula de 0'6 kg de masa se mueve con m.a.s. Su periodo es de 0'25 s y la amplitud de su movimiento es 10 cm. Calcular: a) Las expresiones de la aceleracin y de la fuerza; b) El valor de la constante elstica; c) Su energa total; d) Su energa cintica y potencial elstica cuando la partcula est a 5 cm de su posicin de equilibrio. SOL: b) 379 N/m; c) 1'895 J; d) 1'42 J; 0'47 J.

84. A un resorte cuando se le cuelga un cuerpo de 10 kg de masa se alarga 2 cm. A continuacin se le aade una masa de otros 10 kg y se le da al conjunto un tirn hacia abajo, de forma que el sistema se pone a oscilar con una amplitud de 3 cm. Determina: a) El periodo y la frecuencia del movimiento, b) La posicin, velocidad, aceleracin y fuerza recuperadora a los 0'5 s de iniciado el mismo; c) La diferencia de fase entre ese instante y el inicial. Dato: g = 9'8 m/s2 (P.A.U.). SOL: a) k = 4900 N/m; T = 0'4 s; N = 2'5 Hz; w = 15'65 rad/s; b) y (t) = 0'03.Sen (15'65t + 3pi/2); v (t) = 0'03.15'65.Cos (15'65t + 3pi/2); a (t) = - 0'03.15'652.Sen (15'65t + 3pi/2); F = ky = 4900.0'03.Sen (15'65t + 3pi/2); y(t = 0'5 s) = 8'7.10-4 m; v (t =0'5 s) = 0'47 m/s; a (t = 0'5 s) = 0'2 m/s2; F(t = 0'5 s) = 4'26 N; c) = (t = 0'5 s) (t = 0) = 7'825 rad = (2pi + 1'54) rad. Los dos instantes estn desfasados 1'54 rad.

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 6 de 13

6

85. Una masa de 0'1 kg colgada de un resorte lo alarga 10 cm. Este sistema oscila con una amplitud de 2 cm. Calcular: a) La constante elstica k del resorte; b) El perodo de vibracin, c) La velocidad mxima; d) La velocidad y aceleracin a 1 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) k = 10 N/m; b) T = 0'628 s; c) vmx = 0'2 m/s; d) v = 0'173 m/s; a = -1 m/s2.

86. Un pndulo de un reloj tiene un periodo de 1 s en un lugar donde g = 9'8 m/s2. Si su longitud se aumenta en 1 mm. Cunto atrasar en 24 horas?. (Emplear 4 cifras significativas). SOL: 174 s.

87. Un cuerpo de 1'4 kg de masa se une a un muelle de cte elstica 15 N/m. El sistema se pone a oscilar horizontalmente con una amplitud de 2 cm. Determina: a) La energa total del sistema; b) Las energas cintica y potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es 1'3 cm; c) La velocidad mxima del cuerpo. (P.A.U.). SOL: a) Etotal = Ec + EP = .kA2 = 3.10-3 J; b) EP = 1'3.10-3 J; Ec = 1'7.10-3 J; c) vmx = 6'5.10-2 m/s.

88. Una masa puntual de 10 gramos est sujeta a un muelle que vibra con una frecuencia de 3 Hz. En el instante inicial pasa por el centro de la vibracin con una velocidad de 5 cm/s en sentido negativo. Determina: a) El tiempo que debe transcurrir hasta que alcance la velocidad cero; b) La ecuacin del movimiento; c) La expresin de la energa cintica en funcin del tiempo; d) La aceleracin en el instante en el que se anula la velocidad. SOL: a) t = T/4 = (1/12) s; b) A = vmx/w = 2'65.10-3 m; y (t) = 2'65.10-3.Sen (6pit + pi) (S.I.) ; c) v(t) = 1'59.10-2.Cos (6pit + pi) (S.I.); Ecin = .m v2 = 1'25.10-5.Cos2 (6pit + pi) J; d) amx = 0'942 m/s2.

89. Un cuerpo de masa m se encuentra situado sobre una superficie horizontal que ejecuta vibraciones horizontalmente con una frecuencia de 3 Hz. Si el coeficiente de rozamiento esttico entre el cuerpo y la superficie es = 0'5, determina el valor mximo de la amplitud de las vibraciones para que el cuerpo no deslice. SOL: A 0'014 m.

90. Al caer un insecto de 20 mg de masa en una telaraa, sta se pone a vibrar con una frecuencia de 10 Hz. Calcula la frecuencia de oscilacin cuando caiga un insecto de 15 mg. SOL: 11'547 Hz.

91. Un cuerpo de masa 0'5 kg cuelga de un resorte. Al aadirle una masa suplementaria de 50 g, el resorte se alarga 4 cm. Al retirar la segunda masa, la primera comienza a oscilar. Con qu frecuencia lo har?. SOL: 0'79 Hz.

92. Un cuerpo vibra con m.a.s. Cuando se encuentra en la mitad de la amplitud, qu porcentaje de energa es cintica y qu porcentaje es potencial elstica?. En qu punto las dos energas son iguales?. SOL: 75 % y 25 % respectivamente; x = 0'707A.

93. Una partcula de 2 kg de masa se mueve a lo largo del eje X, y hacia el origen, sometida a una fuerza F = 10x i . En el instante inicial se encuentra a 0'2 m del origen y acercndose a l con una velocidad de 10 m/s. Calcula: a) El periodo del movimiento; b) El instante en el que pasa por el origen por primera vez; c) La velocidad en dicho instante. SOL: a) T = 2'8099 s; b) t = 0'02 s; v = (2'236.A) m/s, siendo A la amplitud del mvto.

94. Un punto material de masa m = 10 g ejecuta un movimiento vibratorio armnico tal que para tiempo cero su velocidad es cero. a) Si adems en ese instante su elongacin es 10 cm, cul es su amplitud?; b) Si para el instante t = 5 s el mvil pasa por primera vez por las posicin 5 cm, cul es la pulsacin, periodo y frecuencia?; c) Escribe la ecuacin del movimiento; d) Qu energa mecnica tiene el mvil?. SOL: a) A = 0'1 m; b) w = (2 pi/15) rad/s; T = 15 s; N = 0'066 Hz; c) x (t) = 0'1.Sen [(2pi/15)t pi/2]; d) Emc = 8'77.10-6 J.

95. Sobre una superficie plana horizontal y sin rozamiento se encuentra en reposo un cuerpo de masa 0'4 kg unido a un resorte de constante elstica k = 10 N/m. Otra masa de 0'6 kg se desliza sin rozamiento, hacia la primera con una velocidad de 4 m/s. Si el choque entre ambos cuerpos es totalmente inelstico (ambos cuerpos quedan unidos despus del choque), determina la amplitud y periodo de las oscilaciones del conjunto. SOL: A = 0'7589 m; T = 1'98 s.

96. Una masa de 0'2 kg est unida a un resorte y se mueve con m.a.s. con un periodo de 0'5 s. Si la energa mecnica del sistema es de 2 J, calcula. a) La constante elstica del resorte; b) La amplitud del movimiento. SOL: k = 31'58 N/m; A = 0'35 m.

97. Cuando una masa de 0'256 kg se cuelga de un muelle vertical de masa despreciable, el periodo de las oscilaciones es de 0'8 s. Cuando una masa desconocida sustituye a la masa anterior, el periodo es de 0'5 s. Calcula: a) La masa desconocida; b) La constante elstica del muelle. SOL: a) 0'1 kg; b) k = 15'79 N/m.

98. Un oscilador est formado por una masa de 2 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica k = 50 N/m. Las condiciones iniciales son xo = 0'1 m y vo = 0'2 m/s. Calcula la posicin y velocidad del bloque para t = 10 s. SOL: x = 0'08989 m; v = 0'324 m/s.

99. Un cuerpo de masa 0'2 kg cuelga de un muelle. Cuando se tira de l 5 cm por debajo de su posicin de equilibrio oscila con un periodo de 0'5 s. a) Cul es su velocidad al pasar por la posicin de equilibrio?; b) Cul es su aceleracin cuando se encuentra 5 cm por encima de su posicin de equilibrio?; c) Cunto se acortar el muelle si se quita el cuerpo?. SOL: a) v = 0'6283 m/s; b) a = 7'89 m/s2; c) l = 0'063 m.

100. Dos partculas tienen m.a.s. de la misma amplitud y frecuencia y se mueven en trayectorias paralelas. Averigua la diferencia de fase en los siguientes casos: a) Se cruzan en el centro de la trayectoria, b) Se cruzan en el punto medio de la amplitud. SOL: Si se cruzan, tanto en el centro de la trayectoria como en el punto medio de la amplitud, la elongacin es la misma, pero la velocidad es opuesta. En el primer caso la diferencia de fase es de pi rad; y en el segundo caso la diferencia de fase es de 2pi/3 radianes.

101. Una masa de 0'1 kg colgada de un resorte lo alarga 5 cm. Este sistema oscila con una amplitud de 2 cm. Calcular: a) La constante elstica k del resorte; b) El perodo de oscilacin; c) La velocidad y la aceleracin cuando la elongacin sea de 1 cm. SOL: a) k = 20 N/m; b) T = 0'44 s; c) v = 0'245 m/s; a 2 m/s2.

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 7 de 13

7

102. Una masa de 0'1 kg colgada de un resorte lo alarga 0'1 m. Este sistema oscila con una amplitud de 8 cm. Calcular: a) La constante elstica del resorte; b) El perodo de vibracin; c) La velocidad mxima; d) La velocidad a 5 cm de la posicin de equilibrio; e) La aceleracin a 5 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) k = 10 N/m; b) T = 0'628 s; c) vmx = 0'8 m/s; d) v = 0'624 m/s; a = 5 m/s2.

103. A la masa m = 0'1 kg unida a un resorte horizontal, se le aplica una fuerza horizontal de 4 N que la separa 10 cm de la posicin de equilibrio. Al suprimir la fuerza aplicada se origina un m.a.s. en el caso ideal de rozamiento nulo. Hallar la energa potencial elstica y la energa cintica: a) En el instante de iniciarse el movimiento; b) Cuando pasa por la posicin de equilibrio; c) Cuando la masa pasa a 3 cm de la posicin de equilibrio. SOL: a) EP = 0'2 J; EC = 0; b) EP = 0; EC = 0'2 J; c) EP = 0'018 J; EC = 0'182 J.

104. Una masa de 0'1 kg alarga un resorte 10 cm. Este sistema oscila con una amplitud de 5 cm. Calcular: a) La constante elstica k del resorte y el perodo de vibracin; b) Velocidad y aceleracin cuando pasa por la posicin de equilibrio; c) Velocidad y aceleracin cuando la elongacin es de 3 cm. SOL: a) k = 10 N/m; T = 0'628 s; b) v = 0'5 m/s; a = 0; c) v = 0'4 m/s; a = 3 m/s2.

105. Un mvil describe un movimiento armnico simple entre los puntos P1 (1 m, 0) y P2 (1m, 0). La frecuencia del movimiento es 0'5 Hz e inicialmente se encuentra en el punto P1. Hallar: a) La pulsacin del movimiento; b) La ecuacin de la elongacin en funcin del tiempo; c) Posicin del mvil 0'5 s despus de comenzado el movimiento; d) Velocidad del mvil en funcin del tiempo; e) Velocidad del mvil en el punto de abscisa 0'5 m; f) Velocidad mxima. SOL: a) w = pi rad/s; b) x =1.Sen(pit pi/2) (S.I); c) x = 0; d) v = dt

dx= pi.Cos(pit pi/2) (S.I); e) v = 2'72 m/s; f) vmx = pi m/s.

106. Un mvil describe un m.v.a.s, siendo los puntos extremos de su trayectoria el P1 (1, 2) y el P2 (3, 2), coordenadas expresadas en metros. Sabiendo que inicialmente se encuentra en P2 y que su aceleracin viene dada en todo instante por la expresin: a = pi2 s (S.I), determinar: a) Ecuacin de la elongacin en funcin del tiempo; b) Posicin del mvil al cabo de 1 s; c) Ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo; d) Velocidad del mvil al cabo de 1'5 s. SOL: a) s = 2.Sen(pit + pi/2) (S.I); b) s = 2; el mvil se encuentra en P1(1, 2); c) v = ds/dt = 2pi.Cos(pit + pi/2) (S.I); d) v = 2pi m/s.

107. La elongacin de un mvil que describe un m.v.a.s. viene dada, en funcin del tiempo, por la expresin: x = 2.Cos(pit + pi/4) (S.I). Determinar: a) Amplitud, frecuencia y perodo del movimiento; b) Fase del movimiento en t = 2 s; c) Velocidad y aceleracin del mvil en funcin del tiempo; d) Posicin, velocidad y aceleracin del mvil en t = 1 s; e) velocidad y aceleracin mximas del mvil; f) Desplazamiento experimentado por el mvil entre t = 0 y t = 1 s. SOL: a) A = 2 m; N = 0'5 Hz; T = 2 s; b) = 9pi/4 rad; c) v = 2pi.Sen(pit + pi/4) (S.I); a = 2pi2.Cos(pit + pi/4) (S.I); d) x1= 1' 4142 m; v1 = 4'44 m/s; a1 = 13'96 m/s2; e) vmx = 2pi m/s; amx = 2pi2 m/s2; f) x = 2'83 m/s.

108. El chasis de un automvil de 1200 kg de masa est soportado por 4 resortes de constante elstica 20000 N/m cada uno. Si en el coche viajan 4 personas de 60 kg de masa cada una, hallar el perodo de vibracin del automvil al pasar por un bache. SOL:

km

.2T pi= = 20000360

.2pi = 0'84 s.

109. Una masa de 0'2 kg unida a un muelle de constante elstica k = 20 N/m oscila con una amplitud de 5 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. a) Calcular la energa total del sistema y la velocidad mxima de la masa. b) Hallar la velocidad de la masa cuando la elongacin sea de 3 cm. c) Hallar las energas cintica y potencial elstica del sistema cuando el desplazamiento sea igual a 3 cm. d) Para qu valores de la elongacin la velocidad del sistema es igual a 0'2 m/s?. SOL: a) ET = 2'5.10-2 J; vmx = 0' 5 m/s; b) v = 0'4 m/s; c) EC = 1'6.10-2 J; EP = 0'9.10-2 J; d) x = 4'58.10-2 m = 4'58 cm.

110. Al apoyar con velocidad nula un cuerpo de 20 kg de masa sobre un muelle elstico dispuesto verticalmente, ste se comprime 10 cm. Calcular la deformacin que experimenta dicho muelle si el cuerpo se deja caer desde 2 m por encima de l. Dato: g = 9'8 m/s2 SOL: x = 0'74 m.

111. Un mvil describe un m.a.s. de 0'2 m de amplitud y 2'5 s de perodo. Escribir la ecuacin de su elongacin en los casos siguientes: a) El tiempo empieza a contarse cuando la elongacin es mxima y positiva. b) dem, cuando la elongacin es nula, y el movimiento hacia la derecha. c) dem, cuando la elongacin es nula, y el movimiento hacia la izquierda. SOL: a) x = 0'2.Sen(0'8pit + pi/2) (S.I); b) x = 0'2.Sen0'8pit (S.I); c) x = 0'2.Sen(0'8pit + pi) (S.I).

112. Se cuelga de un resorte un cuerpo de 0'5 kg de masa y se estira luego hacia abajo 0'2 m, dejndolo oscilar a continuacin. Se observa que en estas condiciones el perodo de oscilacin es de 2 s. a) Cul es la velocidad del cuerpo cuando pasa por la posicin de equilibrio?. b) Si se suelta el cuerpo del resorte, cunto se acortar ste?. SOL: a) v = (0'2pi) m/s; b) l = 1m.

113. Se sostiene con la palma de la mano abierta una caja de tizas. De repente se comienza a mover la mano verticalmente con un m.a.s. de 5 cm de amplitud y frecuencia progresivamente creciente. Para qu frecuencia dejar la caja de tizas de estar en contacto con la mano?. Dato: g = 9'8 m/s2. SOL: kA mg N 2'23 Hz.

114. Una partcula de masa 1 mg efecta un m.a.s. que puede expresarse por la ecuacin s = A.Sen 2pit/T, siendo el perodo de 0'01s. Cuando t = T/12, la velocidad vale v = 0'314 m/s. Calcula la amplitud del movimiento y la energa total de la partcula. SOL: A = 5'77.10-4 m; ET = 6'58.10-8 J.

115. Una masa de 20 g oscila con un m.a.s. de 5 cm de amplitud. Cuando la elongacin es de 3 cm, la celeridad es de 0'1 m/s. Calcula el periodo de este movimiento y la velocidad mxima que alcanza la partcula. SOL: T = 2'513 s; vmx = 0'125 m/s.

116. Se sita verticalmente un resorte con una longitud natural de 0'6 m y se sujeta por un extremo. Al unir una bola de 10 kg al otro extremo, quedando suspendida, se observa un alargamiento de 5'0 cm. Se provocan pequeas oscilaciones de la bola cuyo periodo es T. A continuacin se coloca el conjunto formado por la bola y el resorte sobre una mesa horizontal sin rozamiento, se fija el extremo libre y

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 8 de 13

8

se empuja la bola, la cual describe un movimiento circular uniforme de periodo 3T. Determina, tomando g = 10 m/s2. a) La constante recuperadora del resorte. b) El valor del periodo T de las oscilaciones. c) El radio de la circunferencia que describe la bola. SOL: a) k = 2000 N/m; b) T = 0'444 s; c) R = 0'675 m.

117. A un resorte, cuya longitud natural cuando est colgado de un punto fijo es de 40'0 cm, se le pone una masa de 50 g en su extremo libre. Cuando la masa est en la posicin de equilibrio, la longitud del resorte es 45'0 cm. La masa se desplaza 6'0 cm hacia abajo y se suelta (posicin P). Calcula: a) El valor de la constante elstica del resorte. b) La aceleracin del cuerpo cuando la partcula pasa a 2'0 cm por encima de P. SOL: a) k = 9'8 N/m; b) a = 7'8 m/s2.

118. El asiento de un tractor est colocado sobre un resorte. Cuando se sienta una persona de 70 kg, la frecuencia de vibracin es de 7 Hz. Cul es la frecuencia de de las vibraciones si se sienta otra persona de masa 95 kg?. SOL: N = 6 Hz.

119. Desde el punto A, a 3 m de un muelle de k = 8 N/m, se dispara un cuerpo de 1 kg a 4 m/s, hacia el resorte. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'1. Calcula, tomando g = 10 m/s2: a) la mxima compresin del muelle; b) la distancia de A a la que se detendr el cuerpo en su movimiento de retorno. SOL: a) 1 m; b) 0 m.

3 m

A m = 1 kg vo = 4 m/s = 0'1 k = 8 N/m

120. Un motor elctrico de 20 kg debe ir montado sobre cuatro muelles iguales. Calcula cul debe ser la constante recuperadora de cada uno de estos resortes si se desea que la frecuencia de oscilacin del motor sea de 4 Hz.

SOL: k4

m.2T pi=

k420

.225'0 pi= k =3158'27 N/m.

121. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte cuya constante elstica es k = 200 N/m y puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa hacia arriba 10 cm desde su posicin de equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula: a) La ecuacin del movimiento de la masa; b) La velocidad y aceleracin mximas; c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5 cm por encima de la posicin de equilibrio y la aceleracin de la masa en ese instante. SOL: a) y = 0'1.Sen (10t + pi/2); b) |vmx| = 1 m/s; |amx| = 10 m/s2; c) F = 10 N; a = 5 m/s2.

122. Una masa m = 1.10-3 kg que describe un movimiento armnico simple (m. a. s.), tarda 1 s en desplazarse desde un extremo de la trayectoria al otro extremo. La distancia entre ambos extremos es de 5 cm. Determina: a) El periodo del movimiento; b) La energa cintica de la partcula en t = 2'75 s, sabiendo que en t = 0 su elongacin era nula; c) El primer instante en que las energas cintica y potencial del sistema coinciden. SOL: a) T = 2 s; b) EC = 1'54.106 J; c) t = 0'25 s.

123. Una partcula de 0'5 kg que describe un movimiento armnico simple de frecuencia (5/pi) Hz tiene, inicialmente, una energa cintica de 0'2 J y una energa potencial de 0'8 J. a) Calcula la posicin y la velocidad iniciales, as como la amplitud de la oscilacin y la velocidad mxima; b) Haz un anlisis de las transformaciones de energa que tienen lugar en un ciclo completo. Cul ser el desplazamiento en que las energas cintica y potencial son iguales?. SOL: a) k = 50 N/m; x0 = 0'18 m; v0 = 0'87 m/s; A = 0'2 m; vmx = 2 m/s; b) x = 0'14 m.

124. Estudie la relacin entre el movimiento vibratorio armnico simple y el movimiento circular uniforme. PAU LOGSE, sepbre 2000.

125. La fuerza mxima que acta sobre una partcula que realiza un movimiento armnico simple es 2.10-3 N, y la energa total es de 5.10-4 J. a) Escribe la ecuacin del movimiento de esa partcula, si el perodo es de 4 s y la fase inicial es de 30. b) Cunto vale la velocidad al cabo de 1 s de iniciarse el movimiento?. SOL: a) x = 0'5.Cos (pit/2 + pi/6) (S.I.); b) v = ( 0'217pi) m/s

126. Una masa puntual de masa 2 g se mueve con movimiento armnico simple a lo largo de una recta horizontal. Para t = 0 se encuentra 7'1 cm a la derecha del punto de equilibrio movindose hacia la izquierda y sus energas cintica y potencial valen ambas 1.105 J. Escribe la ecuacin de movimiento de la partcula. SOL: x = 0'1. Cos (1'4t + 0'78) (S.I.)

127. a) Halla la ecuacin de un oscilador A que se suelta desde el extremo x = +2 cm de la posicin de equilibrio, y su perodo es de 2 s. b) Halla la ecuacin de un oscilador B idntico al anterior, pero la oscilacin parte de la posicin de equilibrio hacia amplitudes positivas. c) En qu puntos se cruzan stos?. SOL: a) xA = 0'02 cos pit (S.I); b) xB = 0'02 cos (pit + pi/2) = 0'02 sen pit (S.I.); c) Se cruzan a 1'41 cm de la posicin de equilibrio.

128. Tenemos dos osciladores armnicos cuyas ecuaciones de posicin son x1 = A cos (wt + pi/2) y x2 = A cos (wt pi/2). Determina: a) La posicin inicial; b) El sentido en que comienzan a moverse uno y otro oscilador; c) El punto en el que se cruzan; d) La diferencia de fase entre los dos. SOL: a) x1(0) = 0; x2 (0) = 0; b) x1 comienza a oscilar por el eje negativo, y x2 comienza a oscilar por el eje positivo; c) 0; d) pi rad.

129. Una partcula oscila en el eje X con movimiento armnico simple. Si parte de la posicin de equilibrio y comienza a oscilar hacia la derecha con una amplitud de 4 cm y una frecuencia de 1/3 Hz, determina: a) La ecuacin de posicin escrita en funcin del seno y del coseno; b) La velocidad y la aceleracin cuando t = 5 s; c) La velocidad cuando pasa por la posicin x = 1 cm; d) El desplazamiento neto y el espacio recorrido en 1 s. SOL: a) x = 0'04sen(2pit/3) = 0'04cos(2pit/3 pi/2) m; b) v(5) = 0'0418 m/s; a(5) = 0'15 18 m/s2; c) v = 0'0811 m/s; d) 3'46 cm; 4'54cm.

130. Una masa de 50 g unida a un resorte horizontal de constante elstica k = 200 N/m es soltada despus de haber sido desplazada 2 cm con respecto a su posicin de equilibrio. a) Determina su perodo y su frecuencia de oscilacin. b) Escribe su ecuacin de movimiento. c) Calcula la velocidad mxima de su movimiento. d) Halla la aceleracin mxima. e) Establece la velocidad y la aceleracin cuando la posicin es x = 1cm. f) Representa con los valores correspondientes las grficas x, v y a en funcin del tiempo. SOL: a) T = 0'1 s; N = 10Hz; b) x = 0'02 cos (63'24t); c) vmx = 1'26 m/s; d) amx = 80 m/s2; e) v = 1'09 m/s; a = 40 m/s2

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 9 de 13

9

131. Un oscilador est formado por una masa de 0'1 kg colgada de un resorte de masa despreciable y de constante elstica k = 10 N/m. Las condiciones iniciales son x0 = 0'1m y vx0 = 0'3 m/s. Calcular: a) Perodo y frecuencia angular; b) Amplitud; c) Fase inicial; d) Ecuacin del movimiento. SOL: a) T = 0'628 s; w = 10 rad/s; b) A = 0'1044 m; c) x(t) = 0'1044.Cos(10t 0'2914); x(t) = 0'1044.Sen(10t + 1'279)

132. Al calcular experimentalmente el valor de la constante elstica del resorte de un oscilador armnico, un alumno monta una experiencia cambiando la masa colgante cada vez que mide el tiempo que invierte en dar 10 oscilaciones. De esta manera obtiene la siguiente tabla de datos:

Masa colgante (g) 100 150 200 250 Tiempo de 10 oscilaciones (s) 14'0 17'2 19'2 22'2

a) Calcula el valor de la constante elstica. b) Cunto valdr el perodo de oscilacin cuando se cuelgue una masa de 225 g?. SELECT, junio 1987. SOL: a) k = 2'04 N/m; b) T = 2'08 s

133. Al estudiar experimentalmente el movimiento de un oscilador armnico, se obtuvieron estos datos: N de oscilaciones Tiempo invertido (s)

experiencia 1 15 16'5 experiencia 2 20 22'0 experiencia 3 25 27'5

a) Calcula el valor de la constante elstica del resorte, sabiendo que la masa colgante es de 100 g. b) Escribe la ecuacin del movimiento si la amplitud es de 5'0 cm. SELECT, sepbre 1987. SOL: a) k = 3'26 N/m; b) x = 0'05. Cos 5'71t (S.I.)

134. Un oscilador armnico de constante elstica 400 N/m tiene un perodo de 2'0 s cuando la masa que se le une es m. En el supuesto de que se duplique la masa, qu valor pasa a tener el perodo?. SELECT, sepbre 1987. SOL: T = 2 2 s

135. Un oscilador est formado por una masa de 2 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica k = 50 N/m. Las condiciones iniciales son xo = 0'1 m y vo = 0'2 m/s. Calcula las ecuaciones del movimiento.

SOL: w = m

k= 5 rad/s; x(t) = 0'1077.Cos (5t 0'3805); v(t) = 5.0'1077.Sen (5t 0'3805); a(t) = 25.0'1077. Cos (5t 0'3805)

136. Una masa de 0'2 kg est unida a un muelle de forma que oscila con una frecuencia angular de 10 rad/s y amplitud 10 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Calcular: a) La energa mecnica de la masa oscilante; b) La velocidad y aceleracin de la masa cuando la elongacin es de 6 cm; c) Para qu valores de la elongacin, la velocidad de la masa es 0'5 m/s?. SOL: a) k = mw2 = 20 N/m; Emec = .kA2 = 0'1 J; b) v = w 22 xA = 0'8 m/s; a = 6 m/s2; c) x = 0'0866 m/s

137. Una partcula de 0'5 kg que describe un movimiento armnico simple de frecuencia (5/pi) Hz tiene, inicialmente, una energa cintica de 0'2 J y una energa potencial de 0'8 J. a) Calcula la posicin y la velocidad iniciales, as como la amplitud de la oscilacin y la velocidad mxima; b) Haz un anlisis de las transformaciones de energa que tienen lugar en un ciclo completo. Cul ser el desplazamiento en que las energas cintica y potencial son iguales?. SOL: a) w = 10 rad/s; k = 50 N/m; A = 0'2 m; x0 = 0'17888 m; v0 = 0'8944 m/s; b) x = 0'1414 m

138. Una bola de masa m = 10 g describe un movimiento armnico simple (m.a.s.) a lo largo del eje X entre los puntos A y B que se muestran en la figura. a) Cunto vale la amplitud del m.a.s. que describe la bola?. b) Si en el punto B la aceleracin del movimiento es a = 5 m/s2, cunto valdr el perodo del m.a.s.?. c) Cunto valdr la energa mecnica total del oscilador en el punto C?. SOL: a) A = 0'1 m; b) T = 0'895 s; c) 2'5.10-3 J.

139. En la determinacin de la constante elstica k, por el mtodo dinmico, valora la influencia que tienen las siguientes magnitudes: a) La masa total del resorte; b) La amplitud de las oscilaciones; c) El nmero de medidas efectuadas; d) La longitud del resorte. SOL: k = (4pi2m) / T2 = mw2.

140. Un muelle, cuya constante de elasticidad es k, est unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posicin de equilibrio, el sistema comienza a oscilar. Determina: a) El valor del perodo de las oscilaciones T y su frecuencia angular w. b) Las expresiones de las energas cintica, potencial y total en funcin de la amplitud y de la elongacin del movimiento del sistema oscilante.

SOL: a) T = 2pi km ; w =

m

k ; b) EC = .k.(A2 x2); EP = . k x2; Emec = EC + EP = .kA2 141. Un muelle de constante elstica k = 200 N/m, longitud natural Lo = 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente, se engancha de su extremo libre un bloque de masa M = 5 kg y se deja estirar el conjunto lentamente hasta alcanzar el equilibrio esttico del sistema. a) Cul ser la longitud del muelle en esta situacin?. Si, por el contrario, una vez enganchado el bloque se liberase bruscamente el sistema, producindose por tanto oscilaciones: b) Calcula la longitud del muelle en las dos posiciones extremas de dicha oscilacin.

SOL: a) Mg = k.L L = LF Lo = Mg/k LF = 0'745 m. b) Si se liberase bruscamente el sistema, la energa mecnica del sistema se mantendr constante porque todas las fuerzas que actan sobre l (peso y fuerza elstica) son conservativas: .ky2 = mgy y = A = 0'49 m; LF = 0'5 + 0'49 = 0'99 m.

142. Una masa m = 1.103 kg que describe un movimiento armnico simple, tarda 1 s en desplazarse desde un extremo de la trayectoria al otro extremo. La distancia entre ambos extremos es de 5 cm. Determinar: a) El perodo del movimiento. b) La energa cintica de la

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 10 de 13

10

partcula en t = 2'75 s, sabiendo que en t = 0 su elongacin era nula. c) El primer instante de tiempo en que la energa cintica y potencial del sistema coinciden. SOL: a) T = 2 s; b) Ec = 1'5.10-6 J; c) t = 0'25 s

143. Una partcula de masa m = 10 g oscila armnicamente segn la expresin x = A.sen wt. En la figura se representa la velocidad de esta partcula en funcin del tiempo. a) Determina la frecuencia angular, w, y la amplitud A, de la oscilacin. b) Calcula la energa cintica de la partcula en el instante t1 = 0'5 s, y la energa potencial en t2 = 0'75 s. Coinciden?. Por qu?.

SOL: a) T = 1 s; w = (2pi) rad/s; A = (1/pi) m; b) EC = 0'02 J; EP = 0'02 J. Para t = 0'5 s, la velocidad es mxima: la energa cintica es mxima y la energa potencial es nula. Para t = 0'75 s, la velocidad es nula: la energa cintica es nula y la energa potencial es mxima. La energa mecnica se conserva porque la fuerza elstica es conservativa.

144. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural l0 = 10 cm. Cuando colgamos un cuerpo de masa m = 0'1 kg de su extremo inferior, su longitud en equilibrio es leq = 20 cm. Considera g = 10 m/s2. a) Cul es la constante recuperadora de este resorte?. Supn que, partiendo de la posicin de equilibrio, desplazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armnicamente. b) Con qu amplitud oscilar?. c) Con qu frecuencia?. d) Ecuacin del movimiento. e) Con qu velocidad pasar por la posicin de equilibrio?. f) Haz una representacin grfica de la longitud del resorte en funcin del tiempo, a partir del instante en que soltamos m.

SOL: a) k = mg/x = 10 N/m; b) A = 0'05 m; c) w = km

= 10 rad/s; T = (pi/5) s; N = (5/pi) Hz; d) x = 0'05. cos 10t; e) v = 0'5 m/s;

145. Un pndulo simple est construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud l = 2m. Para pequeas oscilaciones, su perodo de oscilacin en un cierto lugar resulta ser T = 2'84 s. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el perodo. b) Considera que el movimiento de la bolita es prcticamente paralelo al suelo, a lo largo de un eje OX con origen, O, en el centro de la oscilacin. Sabiendo que la velocidad de la bolita cuando pasa por O es de 0'4 m/s, calcula la amplitud de su oscilacin y representa grficamente su posicin en funcin del tiempo, x (t). Toma origen para el tiempo, t = 0, en un extremo de la oscilacin. SOL: g = 9'78 m/s2; b) v = Aw A = 0'18 m; x = 0'18. cos 2'2t

146. La ecuacin del movimiento de una partcula, de masa 100 g, unida al extremo de un resorte viene dada por: x = 0'4 cos (0'7t 0'3) m. Se pide: a) Amplitud y perodo del movimiento. b) Energa cintica de la partcula en el instante t = 2 s. SOL: a) A = 0'4 m; T = 8'97 s; b) EC = 3'125.103 J

147. De un resorte elstico de constante k = 500 N/m, cuelga una masa puntual de 5 kg. Estando el conjunto en equilibrio, se desplaza la masa 10 cm, dejndola oscilar libremente a continuacin. Calcular: a) La ecuacin del movimiento armnico que describe la masa puntual. b) Los puntos en que la aceleracin de esta masa es nula. SOL: a) y = 0'1. cos 10t; b) a = 10.cos 10t 10t = (2n + 1).(pi/2) (2pit/T) = (2n + 1).(pi/2) t = (2n + 1).T/4. Son, por tanto, puntos para los que el tiempo es un nmero impar de cuartos del perodo: T/4, 3T/4

148. Una butaca est montada sobre un muelle. Cuando se sienta una persona de 75 kg, oscila con una frecuencia de 1 Hz. Si sobre ella se sienta ahora otra persona de 50 kg, a) Cul ser la nueva frecuencia de vibracin?. b) Cunto descender la butaca cuando haya alcanzado el equilibrio?. Dato: g = 9'81 m s2. SOL: a) N = 1'22 Hz; b) x = 0'16 m

149. Del techo de una habitacin cuelga un pndulo simple que realiza 50 oscilaciones completas en 200 s. Si la bolita que constituye el pndulo est situada a 20 cm del suelo, qu altura tiene el techo?. SOL: h = 4'17 m

150. Determina la aceleracin de la gravedad en un lugar de la Tierra, sabiendo que un pndulo simple de 0'8 m tarda 71'8 s en realizar 40 oscilaciones (de pequea amplitud). SOL: g = 9'8 m/s2

151. Calcula el perodo de un pndulo simple: a) De L = 0'556 m si g = 9'75 m/s2. b) En la Luna (g = 1'96 m/s2) si su perodo es de 2 s en un lugar de la Tierra en que g = 9'8 m/s2. SOL: a) 1'5 s; b) 4'47 s.

152. Un pndulo simple de 2 m de longitud tiene un perodo de 2'84 s para pequeas oscilaciones: a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar de la medicin; b) Si la velocidad de la bolita del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio es de 0'4 m/s, calcula la amplitud de oscilacin; c) Si la oscilacin comienza en uno de los extremos, escribe la ecuacin de la posicin en el eje X. SOL: a) 9'79 m/s2; b) 0'18 m; c) x = 0'18. Cos 2'21t (m).

153. La longitud de un pndulo que bate segundos en el ecuador terrestre es de 0'9910 m, y la del que bate segundos en el polo es 0'9962 m. Cunto pesar un cuerpo situado en el ecuador terrestre si en el polo pesa 10 kp?. SOL: 97'59 N

154. Deducir el valor de la aceleracin debida a la gravedad en un punto de la Tierra donde un pndulo simple de 2 m de longitud realiza 50 oscilaciones en 2'5 minutos. SOL: 8'77 m/s2

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 11 de 13

11

155. Un pndulo simple est constituido por una esferita puntual de masa 100 g suspendida de un hilo de longitud 1 m. Se le hace oscilar con una amplitud de 30. a) Cunto vale la energa potencial de la esferita en la mxima elongacin?. b) Qu velocidad mxima adquirir al oscilar?. c) Cunto tiempo invertir en 10 oscilaciones completas?. SOL: a) 0'134 J; b) 1'64 m/s; c) 20 s.

156. Una masa de 1 kg cuelga de un hilo de 1 m de longitud y oscila con una amplitud de 60. Calcular: a) la velocidad con que pasa la masa oscilante por la posicin de equilibrio; b) el valor de la fuerza que origina el movimiento cuando el punto oscilante est en la posicin extrema; c) tensin del hilo en esa posicin. SOL: a) 3'16 m/s; b) 8'66 N; c) 5 N.

157. El perodo de un pndulo simple de 1 m de longitud en la superficie de la Luna es de 4'7 s. Si el radio lunar es de 1738 km, determina: a) La gravedad en la superficie lunar; b) La velocidad de escape en la superficie de la Luna. SOL: a) 1'78 m/s2; b) 2500 m/s.

158. Deduce el valor de la aceleracin de la gravedad en un punto de la Tierra, donde un pndulo simple de 2 m de longitud realiza 50 oscilaciones en 2'5 minutos. SOL: 8'77 m/s2

159. Un pndulo simple de 4 m de longitud oscila con un perodo de 4 s. Cul ser la longitud de otro pndulo que oscila en el mismo lugar con un perodo de 2 s?. SOL: L = 1 m

160. De un fino cordel pendiente del techo de una habitacin colgamos una masa de plomo, siendo la distancia entre su centro y el suelo 0'142 m. La hacemos oscilar y observamos que 50 oscilaciones completas se realizan en 5 minutos y 45'2 segundos. Hacemos que el centro de la bola de plomo est a 2'20 m del suelo, observando que otras 50 oscilaciones completas se realizan en 5 minutos y 14 segundos. Calcular la altura del techo y la aceleracin de la gravedad del lugar. SOL: h = 12 m; g = 9'8 m/s2

161. Un pndulo que bate segundos (semiperodo = 1 segundo), tiene de longitud 1 m. calcular la longitud del pndulo que, en el mismo lugar de la Tierra, tiene un perodo de oscilacin de 10 s. SOL: 25 m.

162. Un reloj de pndulo compensado que bate segundos en el ecuador, se traslada al polo. Calcular el retraso o el adelanto del reloj en un da. (El valor de g en el ecuador es 9'78 m/s2 y en el polo 9'83 m/s2. En los pndulos compensados, la temperatura no ejerce influencia sobre la longitud del pndulo). SOL: En el ecuador T/2 = 1 s; en el polo T'/2 = 0'9974 s. El pndulo, en el ecuador da 86400 semioscilaciones diarias; en el mismo tiempo en el polo 86625 semioscilaciones, por tanto en el polo adelanta 225 s en 1 da.

163. Una partcula realiza un movimiento vibratorio armnico definido por la ecuacin x = 4. Cos )t3( +pi

, en unidades del S.I. Cuando

t = 0, la posicin de la partcula es +1 m. Determinar: a) La fase inicial; b) La diferencia de fase entre dos posiciones cualesquiera de la partcula separadas 2 segundos; c) La fase que corresponde cuando la posicin es x = + 2 m; d) El tiempo necesario para que, a partir de la posicin inicial, la partcula est situada en x = +3 m. SOL: a) = 1'3 rad = rad

4'2pi ; b) = rad3

2pi ; c) 4'2

t3pi

pi= arc cos

43

= 0'722 rad, es decir t = 1'94 s

164. Demostrar que las ecuaciones: a) x = 5 sen t; b) b) x = 10 cos t; c) x = 5 sen t23 pi ; d) x = 2 cos t

21 pi ; e) x = 5 cos ( 6t

pi+ );

f) x = 10 sen (4

t21 pi

pi ) expresadas en unidades del S.I. se pueden obtener a partir de x = A cos (wt + ).

SOL: a) A = 5 m; w = 1 rad/s; rad2pi

= ; b) A = 10 m; w = 1 rad/s; = 0; c) A = 5 m; w = 2

3 pi rad/s; rad2pi

= ;

d) A = 2 m; w = 2pi rad/s; = 0; e) A = 5 m; w = 1 rad/s; 6

pi= rad; f) A = 10 m; w =

2pi rad;

45 pi= rad.

165. Justificar que la ecuacin de un movimiento armnico simple puede emplearse indistintamente en funcin del seno o del coseno introduciendo la correspondiente constante de fase. SOL: a) Si el movimiento se inicia desde el punto de mxima elongacin, debe cumplise que xo = A cuando t = 0, entonces la ecuacin ms sencilla para representar este movimiento es: x = A. cos wt = A. sen (wt + pipipipi/2). b) Si la oscilacin comienza desde la posicin de equilibrio debe cumplirse que xo = 0, cuando t = 0, entonces la ecuacin ms sencilla de representar este movimiento es: x = A. sen wt = A. cos (wt pipipipi/2) o bien x = A.sen wt = A.Cos (wt + pipipipi/2)

La diferencia de fase entre los dos movimientos anteriores radica en la constante de fase. Se dice que ambos movimientos estan "desfasados" pi/2 uno con respecto al otro.

166. La aceleracin de un movimiento queda determinado por la ecuacin a = 0'16 pi2 x , en unidades del S.I. Sabiendo que la amplitud es 0'04 m y que ha comenzado el movimiento cuando x = + A y v = 0, determinar. a) Las ecuaciones del movimiento. b) La velocidad y aceleracin mximas. c) La velocidad y la aceleracin cuando x = A/2. SOL: x = 0'04 m; w = 4pi rad/s; = 0; x = 0'04. cos 4pit m; v = 0'16.pi. sen 4pit m/s; a = 0'64. pi2. cos 4pit m/s2. b) vmx = 0'16.pi m/s; a = 0'64. pi2 m/s2; c) v = 0'08.pi. 3 m/s; a = (0'32.pi2) m/s2

167. Una partcula que oscila con movimiento armnico simple se encuentra en xo = 0'03 m en t = 0. En este preciso instante, su velocidad es de 0'12 m/s. Si su perodo de oscilacin es de 0'5 s, calcula. a) La constante de fase o fase inicial y la amplitud. b) Las ecuaciones de la posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo, as como sus valores en t = 2 s. c) La velocidad y aceleracin mximas. SOL: a) Suponiendo que x = A cos (wt + ), v = w A sen (wt + ); xo = A cos ; vo = w A sen ; w = 2pi/ T = (4pi) rad/s;

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 12 de 13

12

tag = 1/pi 1= 0'308 rad; 2 = (0'308 + pi) rad = 3'45 rad 1 es solucin del problema; 2 no es solucin del problema; A = 3'15.102 m; b) x = 3'15.102. cos (4pit + 0'308) m; v = 0'126pi. sen (4pit + 0'308) m/s; a = 0'504pi2. cos (4pit + 0'308) m/s2; para t = 2 s, x = 0'03 m; v = 0'12 m/s; a = 4'74 m/s2; c) vmx = wA = 0'395 m/s; amx = w2A = 4'97 m/s2 168. La aceleracin de una partcula viene definida por la ecuacin a = w2x. Si para x = 0 es v = 0'25 m/s y para x = 0'1 es v = 0, determinar la amplitud y la frecuencia angular: SOL: A = 0'1 m; w = 2'5 rad/s

169. La ecuacin de posicin de un oscilador armnico viene dada en metros por x = 0'2. cos 4pit. Determina: a) Amplitud, frecuencia angular, perodo y frecuencia. b) Su constante de fase o fase inicial. c) Su ecuacin si hubiese comenzado a oscilar a 0'1 m de su posicin de equilibrio. SOL: a) A = 0'2 m; w = (4pi) rad/s; T = 0'5 s; N = 2 Hz; b) = 0; c) En este caso, para t = 0, 0'1 = 0'2. cos cos = 0'5 = (pi/3) rad, por tanto la ecuacin ser: x = 0'2. cos (4pit pi/3)

170. a) Qu ecuaciones representan los movimientos 1 y 2 de la figura?. b) Cul es el desfase, o diferencia de fase, entre ambos movimientos?. SOL: a) x1= 0'03. sen t4

2pi= 0'03.cos (

2t

42 pi+pi );

x2 = 0'03. cos t42pi

= 0'03. sen (2

t4

2 pi

pi ); b) = pi rad

171. Cul es la ecuacin del m.a.s. representado en la figura?. SOL: x = 0'04. cos t8

2pi = 0'04. sen ( t8

2pi

2pi )

172. Representar grficamente, la posicin, velocidad y aceleracin de un movimiento armnico simple donde la posicin viene dada por la ecuacin: x = A cos wt = A cos t

T2pi ; v = w A sen wt = w A sen t

T2pi ; a = w2 A cos wt = = w2A cos t

T2pi ;

Tiempo 0 T/4 T/2 3T/4 T Tiempo 0 T/4 T/2 3T/4 T Tiempo 0 T/4 T/2 3T/4 T Posicin A 0 A 0 A Velocid. 0 wA 0 wA 0 Aceleracin

w2A 0 w2A 0 w2A

173. A qu se denominan fuerzas recuperadoras elsticas?. Explicar la ley de Hooke. (LOGSE, sepbre 95).

174. La siguiente grfica corresponde a grficas de sendos movimientos armnicos similares. a) Escribe las ecuaciones que los representan. b) Determina el desfase o la diferencia de fase entre ambos. c) Calcula las velocidades la velocidad de los dos movimientos pa primera vez que se cruzan. d) Halla la velocidad y aceleracin mximas que alcanzan. e) Haz un dibujo que represente la posicin y sentido iniciales de los dos movimientos. SOL: a) A = 3'5 cm; T = 1'2 s; w = (5pi/3) rad/s; x1= 3'5.10-2 cos t3

5pi m; x2 = 3'5.10-2 cos ( t3

5pi + ) ; x2(t = 0) = 3'5.10-2 cos 1'75.10-2 = 3'5.10-2 cos cos = 0'5 = rad)3

2( pi y = rad)34( pi .

De las dos posibles soluciones (2pi/3 y 4pi/3), elegimos la menor, pues, como se observa en las grficas, la diferencia de fase entre ambos movimientos es menor que pi. Por tanto, x2 = 3'5.10-2. Cos ( t3

5pi )32pi+ m; b) el desfase es = rad)3

2( pi ; c) De las grficas se observa que la primera vez que se cruzan es para t = 0'4 s. Derivando obtenemos: v1= 5'83.10-2.pi. Sen t3

5pi m/s; v2 = 5'83.10-2.pi. Sen ( t3

5pi )32pi+ m/s;

sustituyendo v1= 0'158 m/s; v2 = 0'158 m/s; d) vmx = wA = 0'183 m/s; amx= w2A = 0'959 m/s2 ; e) vase figura adjunta.

Movimiento armnico simple. Pndulo simple Pgina 13 de 13

13

175. Representa en una misma grfica los movimientos de los siguientes osciladores armnicos: Oscilador A: se suelta desde el extremo x = + 0'02 m de la posicin de equilibrio, y su perodo es de 2 s. Oscilador B: idntico al anterior, pero la oscilacin parte de la posicin de equilibrio hacia amplitudes positivas. Qu ecuaciones representan a ambos osciladores?. En qu puntos se cruzan stos?. SOL: xA = 0'02 cos pit m; xB = 0'02 cos (pit + pi/2) m; se cruzan a x = 1'41.10-2 m de la posicin de equilibrio.

176. Tenemos dos osciladores armnicos cuyas ecuaciones de posicin son x1 = A cos (wt + pi/2) y x2 = A cos (wt pi/2). Determina: a) La posicin inicial. b) El sentido en que comienzan a moverse uno y otro oscilador. c) El punto en que se cruzan. d) La diferencia de fase entre los dos. SOL: a) x1(0) = 0; x2(0) = 0; b) El 1 oscilador comienza a moverse hacia elongaciones negativas; el 2 oscilador comienza a oscilar hacia elongaciones positivas; c) 0; d) = pi rad.

177. Una partcula oscila en el eje X con movimiento armnico simple. Si parte de la posicin de equilibrio y comienza a oscilar hacia la derecha con una amplitud de 0'04 m y una frecuencia de (1/3) Hz, determina: a) La ecuacin de posicin escrita en funcin del seno y del coseno. b) La velocidad y la aceleracin cuando t = 5 s. c) La velocidad cuando pasa por la posicin x = 0'01 m SOL: a) x = 0'04. Sen t3

2pi= 0'04. Cos )

2t3

2( pipi m; b) v (t = 5 s) = 4'18.102 m/s; a (t = 5 s) = 0'15 m/s2; c) v = 0'081 m/s

178. Una masa de 0'05 kg unida a un resorte horizontal de constante elstica k = 20 N/m es soltada despus de haber sido desplazada 0'06 m con respecto a su posicin de equilibrio. a) Determina su perodo y frecuencia angular. b) Escribe su ecuacin de movimiento. c) Calcula la velocidad cuando pasa por la posicin de equilibrio. d) Halla la aceleracin en los extremos. e) Deduce la velocidad y la aceleracin cuando la posicin es x = 0'02 m. SOL: a) T = 0'314 s; w = 20 rad/s; b) x = 0'06. cos 20t; c) vmx= 1'2 m/s; d) a = 24 m/s2; e) v = 1'13 m/s; a = 8 m/s2

179. Si la amplitud de un cuerpo que oscila con movimiento armnico simple es A: a) En qu punto son iguales su energa cintica y su energa potencial. b) En qu punto su energa potencial es el doble que la energa cintica?. c) En qu punto su energa cintica es el doble que su energa potencial. SOL: a) x =

2A

= 0'707A; b) x = A 32

= 0'816 A; c) x = 3

A= 0'577 A

180. Un pndulo simple de 0'8 m de longitud tiene un perodo de 1'8 s para pequeas oscilaciones. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar de la medicin. b) Si la celeridad de la bolita del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio es de 0'35 m/s, calcula la amplitud de la oscilacin. c) Si la oscilacin comienza en el extremo de la derecha, escribe la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo. SOL: a) g = 9'75 m/s2; b) A = 0'1 m; c) x = 0'1. Cos 3'49 t m

181. Un oscilador armnico est formado por una masa de 0'5 kg colgada de un resorte de masa despreciable y constante elstica 50 N/m. Las condiciones iniciales son posicin inicial xo = 0'1 m y velocidad inicial vxo= 14'1 m/s. Calcular: a) Frecuencia angular, amplitud y fase inicial de este movimiento. b) Ecuaciones de la posicin y velocidad en funcin del tiempo. SOL: a)

mk

= = 10 rad/s; b) x(t) = A cos (wt + ); v(t) = Aw sen (wt + ); xo = A cos ; vxo= Aw sen sustituyendo,

=

cosAAwsen

x

v

o

o = tag

1'01'14

141 = 50.tag tag = 2'82 = arc tag 2'82 1 = 1'23 rad; 2 = 4'37 rad. Se puede comprobar que 1 = 1'23 rad es solucin del problema y que 2 = 4'37 rad no es solucin del problema. A = 0'3 m; x(t) = 0'3. cos (50 t + 1'23) m; v(t) = 15. sen (50 t + 1'23) m/s.

182. Una partcula inicia un movimiento armnico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0'1 s en llegar al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm, calcule: a) El perodo del movimiento y la pulsacin. b) La posicin de la partcula 1 s despus de iniciado el movimiento. PAU LOGSE, junio 2003. SOL: a) T = 0'4 s; w = (5pi) rad/s; b) x(t) = 0' 2.Cos 5pit (SI); x = 0'2 m

183. Una partcula describe un movimiento armnico simple de 20 cm de amplitud. Si alcanza su velocidad mxima, de 5 m/s, en el instante inicial, a) Cul ser la aceleracin mxima de la partcula?. b) Cules sern la posicin, la velocidad y la aceleracin de la partcula en el instante t = 1 s?. PAU LOGSE, sepbre 2004. SOL: a) a = 125 m/s2; b) x = 0'026 m; v = 4'956 m/s; a = 16'5 m/s2

184. Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armnico simple. Escriba la ecuacin de dicho movimiento en unidades del S.I: en los siguientes casos: a) su aceleracin mxima es igual a 52 cm/s2, el periodo de las oscilaciones es 2 s y la elongacin del punto al iniciarse el movimiento era 2'5 cm. b) su velocidad es 3 cm/s cuando la elongacin es 2'4 cm y la velocidad es 2 cm/s cuando su elongacin es 2'8 cm. La elongacin al iniciarse el movimiento era nula. PAU LOGSE, junio 2005. SOL: a) x (t) = 0'05. sen ( t + /6); b) x (t) = 0'05. sen ( t + 5/6); b) x (t) = 0'0308. sen 1'55 t

185. Un punto realiza un movimiento vibratorio armnico simple de periodo T y amplitude A, siendo nula su elongacin en el instante inicial. Calcule el cociente entre sus energies cintica y potencial: a) en los instantes de tiempo t = T/12, t = T/8 y t = T/6. b) cuando su elongacin es x = A/4, x = A/2 y x = A. PAU LOGSE, junio 2005. SOL: a) 3 ; 1 ; 1/3 ; b) 15 ; 3 ; 0

186. Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de constante k = 5 N/m, con un movimiento armnico simple de amplitud 1.102 m. a) Cuando la elongacin es la mitad de la amplitud, calcule qu fraccin de la energa mecnica es cintica y qu fraccin es potencial. b) Cunto vale la elongacin en el punto en el cual la mitad de la energa mecnica es cintica y la otra mitad potencial?. PAU LOGSE, septiembre 2005. SOL: a) EC = 0'75.EMec; EP = 0'25. EMec; b) x = 0'707 A

187. De dos resortes con la misma constante elstica k se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene doble longitud que el otro. El cuerpo vibrar con la misma frecuencia?. Razone la respuesta. PAU LOGSE, junio 2006.