Movimiento Armónico Simple

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x = A sen (t + )

donde

A es la amplitud. la frecuencia angular o pulsación. t + la fase. o o la fase inicial.

Características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que (t+T)+= t++2 .

T = 2/

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x = A sen ( t + )

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A cos ( t + )

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = - A 2 sen ( t + ) = - 2x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsación , la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0).

x0=A·sen v0=A·cos

se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = - m 2 x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m 2

Teniendo en cuenta que = 2 / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa. En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética

Ec = 1/2 m v2

y el valor de la velocidad del m.a.s.

v = dx / dt = A cos ( t + o)

sustituyendo obtenemos

Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 2cos2 ( t + o)

Ec = 1/2 k A2 cos 2( t + o)

a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen2 + cos2 = 1

Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2( t + o)]

Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2( t + o)]

de donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec = 1/2 k [ A2 - x2]

Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.

La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep = 1/2 k x2

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:

Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2

E = 1/2 k A2

En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.

Descripción del M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.

En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale

El ángulo t + que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

Trabajo de rotación

El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando ésta describe

circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girado se le

representa con la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de

rotación o velocidad angular se representa con ω y se mide en

radianes/segundo.

La relación entre las magnitudes angulares y las del movimiento lineal son sencillas si recordamos la expresión de la longitud de la circunferencia (l = 2 · π · r)

distancia = ángulo · radio

d = θ · r

v = ω · r

Con estas expresiones, la energía cinética de rotación de una partícula se

expresa como:

Cuando se trata de un sólido con

muchas partículas, la energía de

rotación del sólido es la suma de todas

las energías de cada una de las

partículas o trozos que lo componen:

La expresión Σ(mi·ri²) se denomina momento de inercia, y de forma análoga a la masa (o masa de inercia), mide la dificultad que tiene un objeto a ponerse en movimiento de rotación respecto a un eje de giro. Pulsando aquí hay algunos momentos de inercia básicos.

Con ésto, la energía de rotación viene dada por la siguiente expresión:

Al igual que una fuerza realiza trabajo cuando produce un desplazamiento, en la mecánica de rotación se realiza un trabajo cuando se produce un giro por efecto de una fuerza.

El trabajo de la fuerza F viene dado por la expresión: W = F · d

y, como la distancia recorrida es: d = θ · r

Se obtiene como trabajo de rotación:

W = F · θ · r

Y, por fín, al producto de la fuerza por la distancia del punto de aplicación de ésta al eje de giro mide la capacidad de producir un giro de esa fuerza, y se denomina par o momento de la fuerza, con lo cual, la expresión del trabajo de rotación queda como:

y la potencia de rotación es la velocidad con que se produce un trabajo de

rotación, ésto es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:

Con todo ésto, la equivalencia entre magnitudes del movimiento lineal y del movimiento de rotación es la siguiente:

Movimiento lineal Movimiento giratorio Relación

Desplazamiento Distancia (d) Ángulo (θ) d = θ · r

Velocidad Velocidad lineal (v) Velocidad angular (ω) v = ω · r

Inercia Masa (m) Momento de inercia

(I)

Causa del

movimiento Fuerza (F)

Par o Momento (M o

C) M = F · r

Energía Energía cinética (EC

= 1/2·m·v²)

Energía de rotación

(EROT=1/2·I·ω²)

Trabajo Trabajo de una

fuerza (W = F·d )

Trabajo de un

momento (W = M·θ)

Potencia

Velocidad de

desplazar una

fuerza (P = F·v)

Velocidad de girar un

momento (P = M·ω)

SISTEMA MASA-RESORTE

Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.

El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. :Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle.La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.

Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a :

En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal.

Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio.

Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.

A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante (recuperadora) con la aceleración a(t).

Pendulo simple

Oscilación libre

En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.

FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases

de ataque y caída

Oscilación amortiguada

Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

FIGURA 02: Oscilación amortiguada

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.

La representación matemática es , donde es el coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud es también una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y son constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.

No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande.)

Oscilación autosostenida

Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.

FIGURA 03: Oscilación autosostenida. La envolvente dinámica

presenta una fase casi estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caída

La acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra habilidad para compensar la energía perdida.

Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos decrescendo.)

Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)

Oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".

Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA

Habrás oído muchas veces que la presión puede matar a un submarinista o romper un submarino, pero ¿por qué ocurre esto?. Cuando un cuerpo se encuentra en el interior de un fluido (sea este líquido o gas) experimenta

fuerzas en toda su superficie, estas fuerzas son siempre perpendiculares a la superficie del cuerpo. Como sobre el cuerpo sumergido actúa una fuerza por

superficie entonces está actuando una presión.

Esto lo puedes comprobar muy fácilmente si haces un agujero en una botella de plástico llena de agua, observarás que el chorro sale perpendicular a la

superficie donde hiciste el agujero.

La presión en el interior de un fluido se denomina presión hidrostática y depende de la densidad del fluido y de la profundidad a la que estemos, esto se conoce como principio fundamental de la hidrostática y matemáticamente

se expresa mediante la ecuación:

Esta expresión es muy importante pues permite calcular la presión dentro de un fluido si sabemos la densidad de éste (d) y la profundidad (h), la profundidad debe ir en unidades del sistema internacional, es decir, en metros y la densidad debe ir obligatoriamente en kg/m3, es frecuente que te den la densidad en otras unidades típicas como g/mL, g/L, g/cm3 en estos casos antes de nada debes pasarla a kg/m3, la presión se obtendrá, por tanto, en unidades del S.I. (Pascales).

Como puedes observar la presión dentro de un mismo fluido sólo depende de la profundidad y no de la forma ni tamaño del recipiente y entonces habrá la misma presión a un metro de profundidad en un río que a un metro de profundidad en un "vaso" de un metro lleno de agua aunque parezca extraño.

LEY DE PASCAL

Aunque los dos sean fluidos hay una diferencia importante entre los gases y los líquidos, mientras que los líquidos no se pueden comprimir en los gases

sí es posible. Esto lo puedes comprobar fácilmente con una jeringuilla, llénala de aire, empuja el émbolo y veras cómo se comprime el aire que está

en su interior, a continuación llénala de agua (sin que quede ninguna burbuja de aire) observarás que por mucho esfuerzo que hagas no hay

manera de mover en émbolo, los

líquidos son incompresibles.

Esta incompresibilidad de los líquidos tiene como consecuencia el principio de Pascal (s. XVII), que dice que si se hace presión en un punto de una masa de líquido esta presión se transmite a toda la masa del líquido.

Como puedes ver en esta experiencia si se hace presión con la jeringuilla en un punto del líquido que contiene la esfera, esta presión se transmite y hace

salir el líquido a presión por todos los orificios.

La aplicación mas importante de este principio es la prensa hidráulica, ésta consta de dos émbolos de diferente superficie unidos mediante un líquido, de tal manera que toda presión aplicada en uno de ellos será transmitida al otro. Se utiliza para obtener grandes fuerzas en el émbolo mayor al hacer

fuerzas pequeñas en el menor.

La presión ejercida en el émbolo 1 se transmitirá al émbolo 2, así pues p1 = p2 y por tanto

que constituye la fórmula de la prensa hidráulica, siendo F y S fuerza y superficie respectivamente. Como S2 es grande, la fuerza obtenida en ese

émbolo F2 también lo será.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Por experiencia sabemos que los cuerpos pesan menos cuando están sumergidos en un líquido, esto se debe a que el fluido (con los gases también ocurre) ejerce sobre el cuerpo una fuerza hacia arriba que llamamos empuje,

esta fuerza hacia arriba.

Sobre la cara inferior actúa más presión que en la superior, por estar a mayor profundidad y, por tanto, la fuerza F2 es mayor que la F1, las dos

fuerzas laterales serán iguales y se anulan una con la otra, así pues sobre el cuerpo sumergido actúa una fuerza hidrostática resultante hacia arriba, el

empuje (E).

Arquímedes (s. III a.C.) fue el primero en darse cuenta de este empuje y además calculó a cuánto equivalía éste, el principio de Arquímedes dice

que cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba, llamada empuje, igual al peso del

fluido que ha desalojado.

Calculemos el peso del fluido desalojado, éste será igual a la masa desalojada multiplicada por la aceleración de la gravedad y a su vez esta masa será igual

al volumen de fluido desalojado (volumen del cuerpo que está sumergido) por la densidad de éste:

E = Peso desalojado = m des· g = d fluido · V sumergido · g

Esta expresión permite calcular el empuje que sufre un cuerpo sumergido en un fluido, la densidad del fluido (dF) debe estar en unidades del S.I. (kg/m3),

el volumen sumergido en m3 y el empuje como es una fuerza saldrá en Newtons.

Sobre un cuerpo sumergido tenemos actuando por tanto dos fuerzas, una es el empuje como acabamos de ver y la otra, lógicamente, es el peso del propio

cuerpo. Si se introduce un cuerpo en el interior de un fluido puede ocurrir que el peso sea mayor que el empuje y entonces el cuerpo se irá al fondo (la

resta de peso menos empuje se denomina "peso aparente"), o bien el empuje será mayor que el peso y entonces flotará y emergerá en parte hasta que el

empuje disminuya hasta igualar el peso y se quede en equilibrio a flote.

LEYES APLICADAS A LOS GASES

Hasta ahora hemos hablado de fluidos en general, pero en el caso de los gases hay que hacer alguna apreciación debido a su compresibilidad, veamos

qué cambia de lo dicho hasta ahora en caso de aplicarlo a gases.

Principio fundamental de la hidrostática: Sigue siendo cierto que la presión aumenta con la profundidad pero la expresión que nos permite calcular ésta ( p = d · g · h) sólo sirve en caso de que la densidad del fluido sea constante, en el caso de líquidos no hay problema pues su densidad es constante pero

los gases son compresibles y por ejemplo en el caso de la atmósfera la densidad cambia mucho con la altitud. Cuanto mas cerca del suelo más

densidad ya que más comprimido está, por tanto no tenemos manera de calcular la presión mediante este principio.

Ley de Pascal: Sigue siendo válida pero hay que tener en cuenta que no toda la presión aplicada se transmitirá por completo a toda la masa de gas, sino

sólo parte ya que el gas se comprime. Esto hace que no se puedan usar gases para construir prensas hidráulicas.

Principio de Arquímedes: Sigue siendo aplicable tal y como hicimos en los líquidos, aunque los empujes que sufren los cuerpos sumergidos en gases

son muy pequeños debido a la baja densidad de éstos.