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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

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Tema 1: Oscilaciones

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08



1. Movimiento Armónico Simple.

• CCaracterísticas.

• RRepresentación Matemática.

2. Energía del M.A.S.

3. Algunos Sistemas Oscilantes.

• PPéndulo Simple.

• PPéndulo Físico.

• MMasa+Muelle

4. Oscilaciones Amortiguadas.

5. Oscilaciones Forzadas.

Tema 1: OscilacionesÍndice:



Cuando un sistema estable pierde su posición de equilibrio.

Movimiento Armónico Simple

Ejemplosj pEjEjjemplosEjemplos• CCuerdas instrumentos

musicales

• OOscilación de barcos sobre el agua

• RRelojes de péndulo

¿Cuándo ocurre?¿¿Cuándo ocurre?¿Cuándo ocurre?



Es el más básico del Movimiento Oscilatorio

Movimientoforzado

Sistemas Ideales

(sin rozamiento)

Sistemas Reales

Movimientoamortiguado

Oscilador perfecto sin pérdidas




Fx = KxFxFF = Kx

Ecuación diferencial, característica del M.A.S.

Fuerzarestauradora

2º grado

d2x

dt2=

K

mx = 2x

dd2xx

dt2=

K

mx = 2x


Características

desplazamiento

Cte del muelle (rigidez)

Ley de Hooke

Kx = max = md2x

dt2Kx = max = m

d2x

dt2(Newton)

Este sistema estable responde con esta fuerza de recuperación cuando se separa de su posición de equilibrio:



Fase (inicial)Amplitud

x(t) = A cos( t+ )x(t) = A cos( t+ )


Su solución:

verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo

donde(ésta se saca directamentede la ecuación dif.-es el factor multiplicativo de x-.)

Km

es la ‘frecuencia angular’

,A son ctes a determinar

y



Comprobación:

v(t) =v(t) =

a(t) =a(t) = = 2x= 2x

dxdt= A sin( t+ )dx

dt= A sin( t+ )

d2xdt2

= A 2 cos( t+ )d2xdt2

= A 2 cos( t+ )


A, , se determinan por las condiciones iniciales

¿Qué son las condicionesiniciales?

Las condiciones que se tienen de veloc.y desplazamiento en el instante t=0

x(t)



t = 0t = 0


¿Cómo se determinan A y de las condiciones iniciales?

0

0

22 0

0 2

-A sin=x Acos

A= x +

tanv

vA sólo es condición inicial (= x0 ) si v0= 0

Cuidado:

x0 = x(t = 0) = A cos( t+ )

¯¯t=0

= A cosx0 = x(t = 0) = A cos( t+ )

¯¯t=0

= A cos

v0 =dx

dt

¯¯t=0

= A sin( t+ )

¯¯t=0

= A sinv0 =dx

dt

¯¯t=0

= A sin( t+ )

¯¯t=0

= A sin

Dos ecuaciones con dos incógnitas, Ay que se despejan, conocidas v0 y x0



El MAS es un movimiento periódico:

Período de repetición

T = 2T = 2

x(t) = x(t+ T )x(t) = x(t+ T )


El movimiento se repite en las mismas condiciones dedesplazamiento y velocidad

-A )= = - Asin( sin( )t t T

x(t)= x(t +T)x(t)= x(t +T)

cos( cos ( ) cost t T t TA )= A = A

Ambas se verifican si 2T

x(t)= = x(t +T)

x(t)= = x(t +T)



T = 2T = 2 Relación entre el período y la frecuencia angular

f = 1T=

2f = 1

T=

2

Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar D=0 , eligiendo adecuadamente nuestro origen de tiempos. En ese caso:


(s)rad/s

ciclosHz =s

0

La frecuencia lineal:

x(t) = A cos tx(t) = A cos t




Desplazamiento MAS







d2xdt2 = A 2 cos( t+ )d2xdt2 = A 2 cos( t+ )a(t) =a(t) =

v(t) =v(t) = dxdt = A sin( t+ )dxdt = A sin( t+ )

x(t)





Partícula que se mueve sobre una circunferencia, con velocidad cte.

x(t) = A cos( t+ )x(t) = A cos( t+ )

= t+= t+

Es un MASEs un MASMMMMMEs un MAS

MAS y Movimiento Circular

La proyección sobre el eje x:pp y jLa ppproyyyyyección sobre el ejjejjjjje x:La proyección sobre el eje x:

M



Energía potencial:

= 12KA

2 =Cte= 12KA

2 =Cte

Energía cinética:

=1

ETOTAL = U + Ec =12KA

2[cos2( t+ ) + sin2( t+ )]ETOTAL = U + Ec =12KA

2[cos2( t+ ) + sin2( t+ )]

U = 12Kx

2 = 12KA

2 cos2( t+ )U = 12Kx

2 = 12KA

2 cos2( t+ )

Ec =12mv

2 = 12mA

2 2 sin2( t+ )Ec =12mv

2 = 12mA

2 2 sin2( t+ )

KxKx

Energía del MAS

Para: -F = K x



En función del tiempo En función del espacio

Energía del MAS







• Péndulo simple

• Péndulo físico

• Objeto + Muelle verticalj

• Péndulo simple

• Péndulo fífííff sico

• Objbjjeto + Muelle vertical

• PPéndulo simple

• PPéndulo físico

• OObjeto + Muelle vertical

Algunos sistemas oscilantes

Los sistemas oscilantes que vamos a ver:

En clase de problemas



• En qué consiste

Ángulo desplazado

Longitud delarco recorrido

Como s = LComo s = Ld2s

dt2= L

d2

dt2d2s

dt2= L

d2

dt2

Sistema IDEAL

“casi” MAS

Péndulo simple

Cuerda longitud L

Masa m

• Fuerzas que actúan: mg y T

mg sin = md2s

dt2mg sinn = m

d2s

dt2



Tampocoes un M.A.S.

d2

dt2=

g

L

d2

dt2=

g

L(infinitésimos equivalentes)

M.A.S.

Conclusión:Conclusiónnnnn:Conclusión: El movimiento de un péndulo es aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientosangulares.

Péndulo simple

Sin embargo, para ángulos pequeños,

sin

d2

dt2=

g

Lsin

d2

dt2=

g

Lsin



Reescribiendo de la forma habitual

T no depende de la masaEsto también sale por análisis dimensional:

Péndulo simple

d2

dt2= 2d2

dt2= 2

=

rg

L=

rg

L

T =2

= 2

sL

gT =

2= 2

sL

gEcuación de este sistema

Con:

Período del péndulo

[T ] = s,

s[L]

[g]= s[T ] = s,

s[L]

[g]= s



Solución: = 0 cos( t+ )= 0 cos( t+ )

Amplitud angular, [rd] ó grados

Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud):

=

2pL/g2

pL/g

T = T ( 0)T = T ( 0) M.A.S..AA.SA

Péndulo simple

(para )

T = T0

"1 +

1

22sin2

1

20 +

1

22

μ3

4

¶2sin4

1

20 + · · ·

#

=

T = T0TT

"1 +

1

22sin2

1

20 +

1

22

μ3

4

¶2sin4

1

20 + · · ·

#



¿Qué es?

d2

Cuerpo rígido que gira alrededor de un ejeque no pase por su C.M.

dt2=

MgD

Isin

MgD

I= 2d2

dt2==

MgD

Isin

MgD

I== 2

M.A.S.

= I= I

Péndulo físico

El momento de la fuerza (Mg)alrededor de ese eje:

MgD sin = Id2

dt2MgD sin = I

d2

dt2



Comprobar que el péndulo simple también lo verifica, con

Para oscilaciones de gran amplitud, vale la misma fórmula que dimos en el péndulo simple, con:

T0 = 2

sI

MgDT0TT = 2

sI

MgD

Péndulo físico

=

rMgD

I=

rMgD

I

T =2

= 2

sI

MgDT =

2= 2

sI

MgD

Para este sistema:

2I MLD L



• PPierde energía por rozamiento.• NNo mantiene su amplitud.

Ejemplo: Columpio que se para (subamortiguamiento)

• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).• Amortiguamiento crítico.

• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuffuf erte).• Amortiguamiento crítico.

• SSubamortiguamiento (amortiguamiento débil).• SSobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).• AAmortiguamiento crítico.

Oscilaciones amortiguadas

Casos:Casos:CCasos:



Subamortiguamiento

La fuerza de amortiguación se modela con una fuerza proporcional a la velocidad.

Cte > 0

(sistema con amortiguación lineal)

Ecuación diferencial del movimiento subamortiguado.

Kx bdx

dt= m

d2x

dt2Kx b

dx

dt= m

d2x

dt2

F a = bvF a = bv




=m

b=m

b

SubamortiguamientoOscilaciones amortiguadas

Solución:

0 = 0

s1

μb

2m 0

¶20 = 0

s1

μb

2m 0

¶2

x(t) = A0e( b2m)t cos( 0t+ )x(t) = A0e( b2m)t cos( 0t+ )

donde:

amplitud instante inicial

frecuencia del caso no amortiguado=

mb

A(t)

A(t) = A0et/2A(t) = A0et/2

cte detiempo

/K m



bc = constante deamortiguamiento crítico

El sistema no oscila.(sistema sobreamortiguado)

El sistema vuelve a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el tiempo más breve posible.AMORT. CRÍTICO

Si 0 'cb < b DÉBILMENTE AMORTIGUADO

cb bSi

cb = bSi


0 = 0 cuando b = 2m 00 = 0 cuando b = 2m 0

El sistema oscila, con una frecuencia algo menor que la natural, 0



E =1

2KA2 =

1

2m 2A2 =

1

2m 2A20e

t/ = E0et/E =

1

2KA2 =

1

2m 2A2 =

1

2m 2A20e

t/ = E0et/

=E0E0

La Energía de un oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el tiempoy p pLa Energía de un oscilador amortiguadodisminuye exponencialmente con el tiempoLa Energía de un oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el tiempo

A = A0et

2A = A0et

2

Energía del oscilador amortiguado

Cuando t = , A2 =A20e

Cuando t = , A2 =A20e

La energıa disminuyeen un factor 1/eLa energıa disminuyeen un factor 1/e



Factor de calidad del oscilador amortiguado

(adimensional)

interviene en la nueva frecuencia amortiguada:

0 = 0

s1

μ1

2Q

¶20 = 0

s1

μ1

2Q

¶2Q = 0Q = 0

Y se puede relacionar con la pérdida de energía por ciclo:

dE =1E0e

t/ dt =1E dtdE =

1E0EE e t/ dt =

1E dt


El factor de calidad:



En un ciclo:

amortiguamiento débil

O sea:Q =

2

( E/E)cicloQ =

2

( E/E)ciclo

Factor de calidad del oscilador amortiguado


Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclop g pQ es inversamente proporcional a lapérdida relativa de energía por cicloQ es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo

μE

E

¶ciclo

=T ' 2

0=2

Q

μE

E

¶ciclo

=T ' 2

0=2

Q



El sistema oscilante tiende naturalmente a detenerse debido a las pérdidas

Ejemplo: Un columpio

• SSi no se le suministra energía al mismo ritmo que la pierde, su amplitud disminuye.

• SSi se le suministra más energía de la que pierde, su amplitud aumenta.

Oscilaciones forzadas



• SSi se suministra la misma energía que pierde (al mismo ritmo), la amplitud se mantiene constante (estadoestacionario)

Una forma de suministrar la energíagUna foffofof rma desuministrar la energíaUna forma de suministrar la energía




Podemos modelar la fuerza impulsora como:

F (t) = F0 sen( t)F (t) = F0FF sen( t)

Kx bdx

dt+ F0 sen( t) = m

d2x

dt2Kx b

dx

dt+ F0FF sen( t) = m

d2x

dt2

Ecuación del movimiento oscilatorio forzado:

Opuestas al desplazamientoA favor del desplazamiento

F (t)F (((((((t))))))

Fuerzarecuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora

(Newton)XF = ma

XF = ma




Comparativa de movimientos

F (t)F (t) bvbv

• No tiene amortiguación y no necesita ser forzada

• Su frecuencia es la frecuencia 'natural'

• Su amplitud es constantep

• No tiene amortiguación yno necesita ser foffofof rzada

• Su frffrf ecuencia es lafrffrf ecuencia 'natural'

• Su amplitud es constante

• NNo tiene amortiguación y no necesita ser forzada

• SSu frecuencia es la frecuencia 'natural'

• SSu amplitud es constante

0 =pK/m0 =

pK/m

Oscilación ideal

KxKKxx === mama




F (t)F (t)

• TTiende a pararse, debido al amortiguamiento

• FFrecuencia

• SSu amplitud disminuye exponencialmente

0 6= 0;0 = 0

s1

μb

2m 0

¶20 6=66 0;

0 = 0

s1

μb

2m 0

¶2Oscilaciónamortiguada

KxKKxx ===bvbbvv mama

depende de la frecuencia natural

Comparativa de movimientosOscilaciones forzadas



F (t)F (t) KxKx ==bvbv mama

• SSigue oscilando, mientras actúe F(t)

• FFrecuencia, igual a la de la fuerza impulsora

• SSu amplitud depende de y de 00

Oscilaciónforzada

Comparativa de movimientosOscilaciones forzadas



Solución a este sistema (régimen estacionario):

x(t) = A cos( t )x(t) = A cos( t )

A =F0p

m2( 20

2)2 + b2 2A =

F0FFpm

pp2( 2

02)2 + b2 2

Su cte. de fase

Amplitud de la fuerza impulsora

masa del oscilador

frecuencia naturalfrecuencia impulsora

El sistema oscila con la mis que la fuerza impulsora p

El sistema oscila con lamis que lafuffuf erza impulsora

El sistema oscila con la misma frecuencia que la fuerza impulsora

cte. amortiguación


Su amplitud:

tan =b

m( 20

2)ttan =

b

m( 20

2)

menos



Interpretación de la solución. Curvas de resonancia

Diagrama de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza impulsora.

Parámetro: Constante de amortiguación, b.


Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si

desaparece completamente





Diagrama de la potencia media transmitida en función de la frecuencia de la fuerza.

Parámetro: Factor de calidad, Q.

QÀQÀ (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda

(amort. grande) Resonancia ancha y pequeñaQ¿Q¿



:: Anchura de la curva de resonancia, a la mitad dela altura máxima.

QÀQÀPara0=1

Q0=1

Q

medida de la agudeza de la resonancia





• CCaminar con un recipiente de agua

• CColumpio

• PPuentes (marchas marciales sobre puentes)

Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880)

Ejemplos de resonancia

Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tenerun valor suficientemente grande como para que el sistema se deteriore, 710 0P


Potencia del oscilador sin forzar

Cuando Q (sistema ideal), PmaxCuando Q (sistema ideal), PmaPP x



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté(vol. II)•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. RevertéSears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.Pearson Education

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