MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

¿Qué es el movimiento armónico simple?

Un movimiento armónico simple es un movimiento periódico y oscilatorio, sin rozamiento, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido contrario.

Son movimientos vibratorios que se pueden expresar mediante funciones armónicas.

Conceptos previos

Movimiento periódico: - Se repite a intervalos iguales de tiempo

-Periodo T :  Tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación

-Frecuencia F: número de oscilaciones que se realiza en un segundo

(Se deducirá más adelante)

oSe mide en

hertz

Se mide en segundos

-Producido por una fuerza que varía periódicamente y que en todo momento es directamente proporcional al desplazamiento

-El movimiento vibratorio no es uniforme, es producido por una fuerza periódica lo que implica una aceleración variable: Ej: el péndulo

-Oscilación o vibración completa o ciclo: Es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio

•Movimiento Vibratorio:

AMPLITUD

En el péndulo se escribe como A

Es el valor máximo que puede tomar la elongación.

Amplitud

Resorte de Hooke

Constante de Hooke:

K= Constante de Hooke ( )

F= Fuerza Externa (en Newton)

x= Elongación (en metros)

= K

LEY DE HOOKE:“ Fuerza es proporcional a la elongación” Constante de Hooke

X0

Posición de

EquilibrioX

Elongación resorte= 2cm por masa 4 kg

Se considera que en el sistema no hay roce

-Fuerza externa: Fuerza necesaria para sacar el sistema del punto de equilibrio

-Fuerza restauradora: Aplicada por el resorte, necesaria para que el resorte vuelva a su posición de equilibrio Es contraria a Fext

Suma de Fuerzas es 0

De lo anterior se desprende que:

Entonces:

X0

F restauradora = -F externa

Fr= - KxFext = kx

Fuerzas que actúan en el sistema

Ejemplo de lo estudiado:- A un resorte de Hooke, que cuelga

verticalmente, cuya posición de equilibrio es , se le adosa una masa de 4kg. Su elongación es 2cm

a) ¿Cuál es la constante de Hooke?

X0

Se considera Fext= m*g (actúa la gravedad)Fext= 4kg * 10 m/sFext= 40 NX= 2 cm 2* 10-2

40 N = K

2* 10-2

K= 2000

b)¿Cuál es la fuerza de restauración? K= 2000

x= 2* 10-2

Fr= - Kx

Fr= -2000 * 2* 10-2

c) ¿Cuál es la fuerza externa?

Fext = kx

K= 2000x= 2* 10-2

Fext= 2000 * 2* 10-2 F ext= 40 N

Fr= -40 N

Trabajo Si la fuerza es constante se tiene que:Método del gráfico

Podemos determinar el trabajo realizado entre las posiciones x1 y x2 calculando el área sombreada, es decir: w= Fx x: distanciaF: fuerza externa

Se deduce la fórmula para M.A.S

1 40

2

4

6

W= ½ * Kx

Aceleración

Magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2.

En M.A.S es siempre negativa

Deducción fórmula:F= -Kx

ma = -Kx

a= -Kx m

Se considera que el resorte no tiene masa

x: elongación cualquierak: constantem: masa que mueve el sistema

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.

Energía cinéticaEs periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.

Energía potencial elásticaLa energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por:

Energía mecánicaNo depende de la posición. Es constante

VelocidadLa velocidad varía en el M.A.S: Al aplicarle una fuerza el punto de máxima

velocidad es el punto de equilibrio En los extremos (de elongación y

contracción) la velocidad es igual a 0.

Deducción de la fórmula:Ep = ½ Kx0 2

½ kx + ½ mv2 = ½ Kx0 2 /* 2kx2 + mv2 = Kx0 2

mv2 = Kx0 - kx2

mv2 = K (x0 2- x2 )

V =

Periodo

Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - w2x (para M.A.S cinemática) tenemos:

 

Si sustituimos - por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

k

m2T

T

4mk

2

2

22 mk

)x(mmaF

kxF

•Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa

Oscilación de un resorte horizontal,

masa adosada

Oscilación de un resorte vertical, masa adosada

Oscilación de un péndulo

Ejemplos MAS

Péndulo

Es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso.

Es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de

circunferencia cuyo radio es la longitud,l

Se tiene las siguiente fórmulas:

Ecuación del movimiento

Sólo si el ángulo es pequeño se trata de una M.A.S

Resorte

Un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido

Tabla ejemplo resorte con masa adosada