VIBRACIONES MECÁNICAS Cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión permanece estable en gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida momentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con diversos aparatos que permiten la disipación de la vibración de forma rápida y segura. Otro ejemplo, es cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto. En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a un sistema físico que se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S.) Para inicial, vamos a definir algunos conceptos básicos sobre el tema. Amplitud (A): Desplazamiento máximo respecto de

la posición de equilibrio. Periodo (T): Tiempo en realizar una oscilación

completa.

Frecuencia angular (ω): Ángulo que barre la partícula con M. A. S. por unidad de tiempo (velocidad angular). Se mide en radianes sobre segundo.

√

Frecuencia (f): Número de oscilaciones de la partícula por unidad de tiempo. Está dada en ciclos sobre segundo, es decir en Hertz (H).

Constante de fase (ø): Ángulo que determina el momento en que se analiza el movimiento. Posición (0) Equilibrio ø = 0

Elongación (x): Posición de la partícula en cualquier instante a partir de la posición de equilibrio.

( ) ( ) Graficando el movimiento anterior se tiene: Para el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) el cual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por

simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequeña, medida desde la posición de equilibrio, y se le aplica una velocidad. Desde ese momento, el resorte ejerce una

fuerza sobre la masa que tiende a regresarla a su posición de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión (o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido contrario a la deformación. Dicha suposición se conoce como Ley de Hooke para resortes lineales. Es decir, la fuerza FR (fuerza recuperadora elástica) que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa está dada por

donde la x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación.

Igualando estos 2 resultados, se obtiene el Problema de valor inicial (PVI) que moldea el sistema masa-resorte:

n n n n r al ( ) ( )

n ( ) ( )

Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Tenemos que la ecuación auxiliar es:

Despejando r, obtenemos sus raíces imaginarias.

√

√

Anteriormente definimos la frecuencia angular de la siguiente forma √

, entonces

tenemos que , de tal forma que la solución de este conjunto lo constituyen las dos funciones . Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

( ) Derivando la ecuación anterior tenemos

( ) ( ) n Debemos de encontrar las contantes c1 y c2. Esto lo haremos a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Cuando la masa se encuentra a n ( ) ( ) , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) ( ) ( ) ( )

Obteniendo así que

Sustituyendo los resultados en la solución general, se obtiene la siguiente expresión para la posición instantánea de la masa en un instante cualquiera t:

( )

Expresamos la ecuación anterior de manera compacta: ( ) ( )

Se tiene que ( ) y también ( ) ( ) de manera que: ( )

Utilizando una identidad trigonométrica, se tiene [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

Así obtenemos

De las siguientes igualdades, se tiene ( ) ( ) ( )

( ) De esta manera obtenemos que

√ Y obtenemos que

an

r (

)

Si c2>0, entonces Si c2<0, entonces

Con los valores de c1 y c2, obtenidos anteriormente

, se tiene que

a l u √

l ngul an

Resumiendo estos datos, se puede expresar la expresión ( ) ( ) como

( ) √

(√

)

Hemos dicho que en el movimiento vibratorio es importante saber qué está pasando con la

energía. Para ello necesitamos reescribir la ecuación diferencial (PVI)

, en

una forma alternativa. Consideremos entonces que

Utilizando la definición de velocidad

tenemos

Aplicando la regla de la cadena

se obtiene

Aplicando nuevamente la definición de velocidad usado anteriormente, se tiene que

Separando variables, tenemos que

Finalmente, integrando obtenemos E, la energía total del sistema

∫ ∫

En esta expresión identificamos los siguientes términos: La energía total del sistema

La energía cinética del sistema, debido a que el campo se mueve con velocidad .

La energía potencial del resorte, debido a que el resorte se comprime o elonga una distancia .

La ecuación de la energía, se conoce como la Ley de Conservación de Energía para el caso de un sistema masa-resorte y señala que la suma de la energía cinética y potencial del resorte es siempre una constante. Esto significa que, cuando se pierde energía potencial, se gana energía cinética y viceversa, de tal suerte que el resultado de su suma no cambia. En consecuencia, cuando la distancia de la masa a la posición de equilibrio disminuye, entonces aumenta la velocidad, y la máxima velocidad de la masa se obtiene justo cuando ésta pasa por la posición de equilibrio del sistema. Por otra parte, cuando la masa se aleja, aumenta la energía potencial del resorte y disminuye su energía cinética. Cuando ésta última finalmente se anula, se obtiene la mayor elongación o comprensión del resorte; a estos puntos se los conoce como puntos de retorno. Ejemplo: Considere una masa de 2 kg que está unida a una pared por medio de un resorte de constante k=200 N/m; que se comprime el resorte una distancia de 0.03 m y se le suelta con una velocidad de 0.4 m/s hacia la posición de equilibrio. Determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo, calcule también la frecuencia de oscilación, la amplitud y el ángulo de fase. Datos: ( ) ( ) El PVI que describe la posición de x(t)de la masa es

La ecuación auxiliar de esta expresión es

De manera que la solución general es ( )

Al derivar con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de la masa ( )

Utilizando las condiciones iniciales, tenemos ( ) ( )

( ) ( ) De esta manera obtenemos el valor de las constantes c1 y c2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de solución general, obtenemos la solución particular y obtenemos una ecuación que relaciona la distancia de compresión y elongación de la masa con respecto al tiempo

( ) Expresamos x(t) en su expresión ( ) ( ) Recordando que

√

√

n la r n ( ) ( )

Para obtener la Amplitud y el ángulo de fase, se tiene que

√ √( ) ( )

(

) (

)

Como c2>0 entonces ø Sustituyendo en la ecuación ( ) ( ), tenemos la posición de la masa con respecto a su posición de equilibrio

( ) ( ) La amplitud es a r u n a angular na ural ra

l r

a r u n a la n

El ángulo de fase es ø La gráfica de la posición es

CASO DE UN RESORTE COLOCADO VERTICALMENTE Los problemas anteriores trataron de oscilaciones horizontales. ¿Qué sucede cuando el resorte se coloca verticalmente? Supongamos que se tiene un resorte colocado verticalmente con su extremo superior fijo. Al colocar un cuerpo de masa m en su extremo libre, el resorte sufre una deformación en su longitud . Sea la longitud de la deformación del resorte al quedar la masa m en reposo, esto es, al estar m en su posición de equilibrio. En esta posición ocurre que , de donde se puede determinar el valor de la constante del resorte, a saber:

Al colocar m en una posición inicial e imprimirle una velocidad inicial , m tiende a oscilar en torno a su posición de equilibrio. En la siguiente figura se muestra un esquema del resorte vertical.

Las dos fuerzas que en todo momento actúan sobre la masa m son la fuerza del resorte FR y la fuerza de la gravedad mg. Cuando el resorte está alargado, ambas fuerzas apuntan en sentidos diferentes; y cuando el resorte está comprimido, apuntan en el mismo sentido. Ejemplo: Un resorte cuelga verticalmente de un techo, el resorte se elonga un centímetro cuando se coloca una masa de 1.5 kg y después el sistema queda en equilibrio. Posteriormente se elonga el resorte una cantidad adicional de 1.5 cm y se suelta a partir del reposo. Determine la constante del resorte, la posición y la velocidad de la masa en el tiempo t0. ¿Cuál es la frecuencia de oscilaciones de la masa y la amplitud del movimiento? Datos:

Cuando el resorte se enlonga 0.01 m, el sistema está en equilibrio; esto significa que

( )( )

La posición de la masa, con respecto al su posición de equilibrio, está dada por la solución PVI que es

Su ecuación auxiliar es

Cuyas raíces reales son . Entonces la solución general de la ED y su derivada están dadas por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para encontrar las contantes c1 y c2, utilizamos las condiciones iniciales . Sustituyendo en las ecuaciones anteriores tenemos

( ) ( ) ( ) ( )

Finalmente, tenemos los valores de , sustituyéndolas en las ecuaciones de la posición y la velocidad obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )

Para obtener la amplitud, tenemos

√ √( ) ( ) La amplitud es a r u n a angular na ural ra

l r

a r u n a la n

la n r gun

PENDULO SIMPLE La ecuación diferencial que hemos estado viendo , describe el movimiento de muchos otros sistemas mecánicos simples. Por ejemplo, un péndulo simple consta de una masa m balanceándose de unos a otro lado en un plano vertical dispuesto en el extremo de un resorte (o, mejor una varilla sin masa o hilo) de longitud l. Podemos especificar la posición de la masa en el tiempo t en función del ángulo. Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son: La atracción gravitatoria; conocida comúnmente como peso,

w=mg que siempre está orientada verticalmente en la dirección del eje y.

La tensión del hilo; que aquí se indicará como T, cuyo valor cuando el péndulo se encuentra en posición vertical es exactamente igual al del peso.

En una posición desplazada del equilibrio, el hilo formará un ángulo θ respecto a la vertical. En esta situación el peso de la partícula puede descomponerse en dos fuerzas, Fx y Fy.

Teniendo en cuenta que el movimiento se producirá únicamente en la dirección del eje x, puesto que el hilo se ha definido como inextensible y tomando en cuenta la Segunda ley de Newton, la ecuación del movimiento resultan ser:

Donde la aceleración se relaciona con el ángulo de acuerdo con

Reuniendo estos dos últimos resultados, obtenemos que

r

Donde obtenemos

Para ángulos pequeños, donde es posible suponer que , obtenemos la ED

Ejemplo: Un péndulo de 20 cm de longitud y de 0.5kg de masa oscila. Si en el tiempo t=0, el

ángulo y la velocidad angular son ( )

( )

, respectivamente,

determinar el periodo de movimiento, la amplitud, el ángulo de fase ( ) ( ) Datos:

( )

( )

Sustituyendo los datos que tenemos en la ED del movimiento angular tenemos

Su ecuación auxiliar es

Cuyas raíces reales son . Entonces la solución general de la ED y su derivada están dadas por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para encontrar las contantes c1 y c2, utilizamos las condiciones iniciales. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores tenemos

( ) ( )

( ) ( )

Finalmente, tenemos los valores de

, sustituyéndolas en las ecuaciones de

la posición y la velocidad obtenemos

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Para obtener la amplitud, tenemos

√ √(

)

(

)

√

Para el ángulo de fase tenemos

(

) (

)

Para reescribir ( ) en su forma ( ) ( ), se tiene

( ) √

( ) ( )

√

( )

a r u n a angular na ural ra

l r l n

Vibraciones amortiguadas libres Continuando el desarrollo del estudio de las vibraciones, supongamos que se agrega ahora un dispositivo mecánico (amortiguador) al sistema masa-resorte que tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando.

El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que esta fuerza en

magnitud es proporcional a la rapidez, es decir; donde c > 0 es la constante de proporcionalidad. Entonces, la fuerza que ejerce el amortiguador es

donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguación va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces:

donde FR es la fuerza del resorte, lo que se puede escribir como:

La ecuación modela el movimiento amortiguado de la masa. En este caso, la fuerza de amortiguación produce una pérdida de energía en el sistema masa-resorte, pues ahora no se satisface la ecuación de conservación de la energía. Es de notar que todos los parámetros del modelo (m, c y k) son cantidades positivas. La misma ecuación diferencial modela al sistema masa-resorte colocado verticalmente. La ecuación característica de la ecuación diferencial es

Las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son

El signo del radicando determina el tipo de movimiento del sistema. Tenemos tres posibilidades: que el radicando en cuestión sea positivo, negativo o cero. Analicemos a continuación cada uno de estos casos.

Movimiento sobreamortiguado √ En este caso, las dos raíces que aparecen en son diferentes y ambas son negativas, esto implica directamente que la solución de la ED lineal homogénea es

Las dos funciones exponenciales que aparecen en son decrecientes, en consecuencia, no se espera vibración alguna y el sistema tiende rápidamente a regresar a su posición de equilibrio, por esa razón decimos que el movimiento es sobreamortiguado. La forma explícita del movimiento depende de las condiciones iniciales, que además sirven para determinar las constantes c1, c2. Por ejemplo, consideremos el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador con condiciones iniciales n ( ) ( ) . La primera condición se obtiene ( ) evaluando la expresión anterior en el . Así obtenemos:

Derivando la ecuación, obtenemos:

Evaluando en el , obtenemos la segunda ecuación a considerar, es decir,

El sistema de ecuaciones lineales que obtuvimos para c1, c2 se puede resolver de diferentes formas; en este caso si seleccionamos la regla de Cramer, obtenemos:

Finalmente, sustituyendo en obtenemos la siguiente expresión para la posición

Anteriormente, tenemos que

Esto nos permite simplificar la ecuación anterior de forma que

Movimiento críticamente amortiguado √ En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales a

. La solución

de la ecuación diferencial homogénea es

La función posición contiene un término exponencial decreciente, ahora multiplicado por una función lineal del tiempo. Se espera que la posición decrezca hacia la posición de equilibrio sin vibrar. La manera en que lo haga dependerá de las condiciones iniciales. Ahora consideremos, por ejemplo, que las condiciones iniciales de un sistema masa-resorte-amortiguador son ( ) ( ) . Derivando la ecuación, se obtiene la velocidad.

Las condiciones iniciales ( ) ( ) se obtienen evaluando en las ecuaciones:

Resolviendo el sistema se obtiene:

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos finalmente que

Movimiento subamortiguado √ En este caso las dos raíces de la ecuación característica son complejas y están dadas por:

Un conjunto de soluciones linealmente independientes de esta ED está formado por las funciones

La solución general se obtiene considerando una combinación lineal de estas dos funciones.

Los términos sinusoidales que aparecen en nos indican que el sistema oscilará alrededor de la posición de equilibrio. Sin embargo, como el factor exponencial es decreciente, se espera que la amplitud de vibración sea cada vez más pequeña. Nuevamente, las condiciones iniciales determinarán en gran medida la forma de la vibración. Por ejemplo, analicemos qué ocurre si el sistema tiene las condiciones iniciales

Definamos primero

Entonces la posición y la velocidad están dadas por

Considerando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema de ecuaciones

cuya solución es

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos la función posición

Usando la relación en la solución anterior, es decir

Tenemos

Vibraciones forzadas Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de excitación FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (véase la siguiente figura): En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema. Esta ecuación se puede reescribir como o bien en la forma: La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del sistema. Cuando la fuerza de excitación sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado. Hasta este momento la fuerza FE puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectos tendremos que resolver la ecuación diferencial por cualquiera de los métodos estudiados hasta ahora. Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal

Suelen ocurrir fenómenos físicos de interés. En este caso la ecuación por resolver es La ecuación característica es, entonces: Cuyas raíces son y las formas de la solución ( ) dependerá de la relación que exista entre y .

Vibraciones forzadas, caso c ≠ 0 Consideremos que la fuerza de excitación es una función sinusoidal del tipo Claramente si c ≠ 0, ninguna de las dos raíces de la ecuación característica es igual a . Entonces de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, la forma de la solución particular es

Calculando la primera y segunda derivadas, obtenemos la velocidad y la aceleración de la masa.

Usando estos dos resultados en la ecuación diferencial de movimiento, se obtiene:

Agrupando términos en las funciones

Las funciones son linealmente independientes; entonces, para que se satisfaga la condición anterior, sólo se requiere que

Aplicando la regla de Cramer encontramos la solución de este sistema:

Sustituyendo A y B en, obtenemos una expresión para la solución particular:

Podemos simplificar esta expresión a la forma

Esta igualdad se cumple cuando:

De donde se obtiene:

Además

por lo que

por otra parte

por lo cual

Se tiene entonces que

Por lo tanto, la posición instantánea de m, con respecto a la posición de equilibrio, en el

tiempo es

donde la solución complementaria xh(t) tiene la forma de un movimiento

sobreamortiguado, críticamente amortiguado o bien subamortiguado. En cualquiera de los

casos ocurre que

Debido a esto se tiene:

Esto es, al paso del tiempo sucede que

Ejemplo: Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene parámetros

Si se aplica una fuerza de excitación FE =17 cos t, determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo suponiendo que x(0) = 0 m & v(0) = 0 m/s. La ED que modela el sistema es: que tiene ecuación característica:

y cuyas raíces son diferentes de . Tenemos entonces que la solución complementaria es

y la solución particular, siguiendo el método del coeficientes indeterminados, es del tipo: Derivando xp (t): Sustituyendo en la ED, resulta: Hallamos, entonces: Por lo tanto: La solución general de la ED es

Los coeficientes c1 & c2 los determinamos usando las condiciones iniciales. De x(0) = 0, se obtiene c1 = 0. Si derivamos De v(0)= 0, obtenemos c2 17/ 2 = 0, de donde c2 = -17/ 2y la posición está dada por Observe que al paso de tiempo sólo se preserva el movimiento oscilatorio provocado por la fuerza de excitación.

Vibraciones forzadas, caso c = 0 y caso ≠ √

Ahora la fuerza de excitación es , de forma que la ED que modela el sistema

es

Cuya solución particular está dada por:

Observe que la solución es proporcional a la fuerza de excitación, de hecho ésta es la parte de la solución general que se preservará en el tiempo.

Si se cumple que , esto es, la amplitud de la oscilación de x(t) es grande. A este fenómeno se le conoce como resonancia.

Ejemplo: Considere un sistema masa-resorte con los parámetros

FE = 2 cos 2t y con condiciones iniciales Determine la posición, la velocidad y la aceleración en el tiempo t. La ecuación diferencial por resolver es

La ecuación característica es cuyas raíces son De aquí, la solución general de la ecuación homogénea es En este caso la frecuencia natural de excitación we = 2 rad/s es diferente de la frecuencia natural de las funciones sinusoidales w = 1 rad/s. Por esa razón, y de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, proponemos la solución particular Derivando esta expresión dos veces: Sustituyendo en la ecuación: Es decir: De donde tenemos el sistema de ecuaciones algebraicas siguiente: La solución de este sistema es A = -2/3 & B = 0. Sustituyendo obtenemos la solución particular. Finalmente, sumando la solución particular con la solución de la ecuación homogénea, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial La velocidad de la masa se obtiene derivando la posición Para determinar las constantes desconocidas, basta con utilizar las condiciones iniciales. Al hacerlo obtenemos el sistema de ecuaciones Cuya solución es c1 =23/30; c2 = 0. Finalmente, la posición de la masa está dada por Analicemos con mayor detalle x(t). La función cos t es de periodo 2π y la función cos 2t es de periodo π .En consecuencia, la función de posición x (t) es de periodo 2π. La velocidad y aceleración de la masa son

De donde, los puntos de retorno o de máxima o mínima amplitud (aquéllos donde v = 0) satisfacen: Usando la identidad sen 2t = 2 sen t cos t se tiene: Que se satisface cuando: y cuando:

Observe que: Además, como Se tiene: Así que evaluando en el tiempo en que cos t= 23/80, o sea t = arccos23/80 = 1:2791, se tiene: La gráfica es

Vibraciones forzadas, caso c = 0 y caso = √

La ecuación diferencial que nos interesa resolver es

La ecuación característica es cuyas soluciones son Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es

En este caso la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de las funciones sinusoidales. Por esa razón, y de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, proponemos la solución particular.

Calculemos la primera y segunda derivada de

Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento:

Igualando coeficientes correspondientes de las funciones sinusoidales, obtenemos el

sistema de ecuaciones:

Finalmente, la solución particular es, entonces:

Y la solución general es, entonces:

En ese caso la amplitud depende del tiempo y aumenta con él.