Vibraciones Mecánicas 2

Vibraciones en Sistemas Mecanicos ME-754

Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.Dpto. Ing. Mecanica, U. de Chile.

Beaucheff 850,Santiago, Chile.

Julio 2003 1

1Esta es una version preliminar, en constante evolucion, y con numerosas faltas de ortografıa y otros erroresno forzados. Agradezco sus aportes.

Indice general

I Modelamiento numerico 7

1. Sistemas con un grado de libertad 91.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2. Sistemas modelizables con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3. Propiedades de un sistema con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Vibraciones libres f(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1. Respuesta libre sin amortiguamiento c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Masa-resorte en compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. Respuesta libre con amortiguamiento c > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1. Vibraciones forzadas con excitacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2. Algebra compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3. Vibraciones forzadas por movimiento de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.4. Aislamiento de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Funcion de Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Metodos de modelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1. Metodo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.2. Metodo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7. Vibraciones forzadas -excitacion arbitraria- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.1. Espectro en frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.2. Metodo de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Analisis de Fourier 372.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1. Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2. Paso frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.3. Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4. Efecto de rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5. Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.6. Efecto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4. Componente DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5. Parametros de adquisicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6. Espectros usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.1. Modulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.2. Ruido en la senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7. Unidades standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8. Tipo de valor mostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.9. Valor RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iii

iv INDICE GENERAL

2.10. Factor de Cresta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. Cadena de medicion 573.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Transduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2. Acondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.3. Digitalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4. Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.5. Registro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1. Sensores de desplazamiento sin contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.2. Sensores de desplazamiento con contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.3. Sensor de velocidad de bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.4. Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer) . . . . . . . . . . . . . 603.2.5. Acelerometro piezoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.6. Saturacion de acelerometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.7. Seleccion de acelerometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.8. Vibrometro Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.9. Filtros [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.10. Filtros pasa-bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.11. Colectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Sistemas con dos grados de libertad 694.1. Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1. Vibraciones libres en sistemas no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3. Modos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1. Normalizacion de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.2. Propiedades de los modos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.3. Analisis modal en sistemas amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4. Coordenadas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4.1. Ecuacion del movimiento en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.1. Metodo directo para respuesta estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.2. Metodos de Integracion directa en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.3. Metodo modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.4. Metodo de desplazamientos modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.5. Metodo de aceleraciones modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6. Absorbedor de Vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7. Movimientos de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.8. Modelos de Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8.1. Amortiguamiento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.9. Obtencion de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5. Sistemas continuos 815.1. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1. Barras en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2. Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.3. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2. Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.1. Viga de Euler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.2. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

INDICE GENERAL v

6. Sistemas con n grados de libertad 916.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Metodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1. Barra empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3. Metodo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3.1. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3.2. Ensamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.3. Coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.4. Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7. Metodo de la matriz de transferencia 1137.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.1. Analisis modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.2. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8. Metodos directos de integracion temporal 1218.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2. Estabilidad y exactitud de los operadores de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.2.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3. Metodo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4. Metodo HHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.4.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.5. Metodo de la diferencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.5.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.6. Sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.6.1. Caso explıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.6.2. Caso implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.6.3. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II Estimacin de parametros experimentales 131

9. Estimacin de Funciones Respuesta en Frecuencia 1339.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2. Autopotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3. Autocorrelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4. Potencia cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.5. Correlacion cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.6. Funcion respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.1. Una entrada, una salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.6.2. Multiples entradas, multiples salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


10.Analisis Modal Experimental 13910.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.2. La cadena de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.3. Excitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.4. Ecuaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.5. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.5.1. Metodos con hipotesis de uno o mas grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . 14410.5.2. Single input vs Multiple input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.5.3. Modelo modal vs modelo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.5.4. Numero de modos vs numero de grados de libertad medidos . . . . . . . . . . . . . 147

vi INDICE GENERAL

10.6. Descripcion de algunos metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.6.1. Peak picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.6.2. Mode picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.6.3. Ajuste de circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.6.4. Metodo LSFD (Least-squares Frequency Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.6.5. Metodo ISSPA (Identification of Structural System Parameters) . . . . . . . . . . 15310.6.6. Metodo de poli-referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.6.7. Metodo CMIF Complex Model Indicator Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.7. Ejemplo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.8. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.Metodos de Correlacion 15911.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.2. Correlacion en el dominio modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.2.1. Modal Assurance Criterion (MAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.2.2. Modal Scale Factor (MSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.3. Correlacion en el dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3.1. Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.3.2. Frequency Response Scale Factor (FRSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.4. Correlacion en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.5.1. Viga empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.Amortiguamiento 17112.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.1.1. Amortiguamiento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.1.2. Amortiguamiento estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


13.Tecnicas de expansion/reduccion 17713.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.2. Reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.3. Metodos de Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.3.1. Metodo MECE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17913.3.2. Otras tecnicas de expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17913.3.3. Relajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18113.3.4. Expansion con restriccion de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18213.3.5. Comparacion de metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18413.3.6. Expansion usando restriccion de desigualdad cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . 188

III Apendice 191

Sistemas de ecuaciones sobre-determinados 193.1. Algunas propiedades de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Mınimos cuadrados lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

.2.1. Ponderacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

.2.2. Descomposicion en valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

.2.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3. Regularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4. Total linear least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

INDICE GENERAL vii

Analisis modal numerico 199.5. de un sistema conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.6. en sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Algunas formulas utiles 201

Deflexion en vigas 203

Metodo de aceleraciones modales 205

Elementos Finitos en Matlab 207

viii INDICE GENERAL

Prefacio

Vibracion es el termino que utilizamos para describir las oscilaciones de un sistema mecanico. Ellapuede ser descompuesta en componentes, cada una de las cuales tiene una magnitud y una frecuenciaasociadas. La frecuencia se define en termino de ciclos por unidad de tiempo. La magnitud se define enterminos de amplitud. Si la senal sigue un patron que se repite en el tiempo, hablamos de senal periodica.En caso contrario hablamos de senal compleja.

Las vibraciones pueden ser descritas como deterministas o como aleatorias. Las senales determin-istas permiten predecir con exactitud lo que pasara en el futuro proximo, a partir de lo que ha pasadoanteriormente. Si es aleatoria, su valor solo puede ser estimado en forma estadıstica.

Las vibraciones tambien pueden ser clasificadas como libres o forzadas. En el primer caso las vibra-ciones son causa de una perturbacion inicial, luego de la cual no entra energıa al sistema.

Veremos que podemos modelar un sistema como conservativo, vale decir en el cual no hay disipacionde energıa. Las estructuras reales siempre tienen algun nivel, a la cual llamaremos amortiguacion. Elloinduce respuestas transientes en el sistema, que desaparecen en el tiempo. Contrariamente, las vibracionesforzadas llegan a un estado estacionario (steady-state) debido a que entra tanta energıa al sistema comola que sale por efectos de la amortiguacion.

En general, la frecuencia a la cual la energıa es entregada al sistema aparece en las respuestas delmismo. La respuesta esta dada por la relacion que hay entre la excitacion y las propiedades del sistema.

Recordemos tambien que las vibraciones pueden ser deseables o no en el funcionamiento de unamaquina. Ejemplos de lo primero son los harneros. Sin embargo lo usual es lo contrario: las vibracionesimplican cargas extras para un sistema ası como fatiga.

El control de las vibraciones puede ser categorizado en 3 grupos:

Reduccion en la fuente: donde esta el balanceamiento de masas en movimiento (ventiladores, mo-tores,..), balanceamiento de fuerzas magneticas (motores electricos), Reduccion de juegos (en des-cansos).

Aislacion: podemos aislar una maquina que genera excesivas vibraciones de modo que no afecte laoperacion de otras, podemos aislar una maquina sensible a las vibraciones de un ambiente pleno devibraciones.

Reduccion de la respuesta: alterando frecuencias naturales, incrementando la amortiguacion, oanadiendo absorbedores dinamicos.

Para poder analizar en profundidad es necesario conocer las caracterısticas modales del sistema. Estoes conocido como analisis modal experimental. Veremos que una vez identificadas las frecuencias naturalesy modos propios de una maquina o estructura esta informacion sera util para:

Diagnosticar situaciones de vibracion excesiva,

Redisenar componentes de estructuras,

Predecir respuestas a situaciones de carga extremas,

Estudiar efectos de modificaciones en el comportamiento dinamico de un sistema.

1

2 INDICE GENERAL

Proyectos del semestre

Absorbedor de vibraciones

La estructura de figura esta vibrando a causa de las fuerzas transmitidas por las maquinas instaladassobre el. En este caso en particular c/u tiene un nivel de desbalanceamiento que es nominal en suoperacion. Se debe buscar una solucion que permita bajar significativamente el nivel de vibraciones, aniveles aceptables (establecer criterios). Se propone instalar absorbedores de vibracion.

Algunas condiciones presentes son:

La rigidez de las lozas es mucho mayor que la de las vigas. La masa de las vigas es despreciablefrente a la de las lozas junto con las maquinas,

La frecuencia de los motores es diferente y cada una esta muy cerca de una frecuencia natural delsistema en estudio. Se deben considerar constantes.

Aislamiento de vibraciones

Se sabe que los ventiladores tienden a desbalancearse con el tiempo debido al desgaste y a la acu-mulacion de partıculas sobre las aletas. Debido a la criticidad de la maquina puede ser muy costoso elparar el proceso para tomar medidas correctivas. Por otro lado, se debe asegurar la integridad de laestructura sobre la cual este montado el ventilador y de otras maquinas, por lo que se propone disenaruna fundacion que asegure que las vibraciones transmitidas por la maquina sean transmitidas en formamınima a la estructura.

Estudio de diseno, modelo EF

Se ha disenado una estructura compleja de muchos grados de libertad. Uno de los puntos incluyeuna fuente de vibracion que posiblemente haga vibrar excesivamente algun componente electronico, porejemplo. Construya un modelo numerico del sistema y establezca si la frecuencia de excitacion (conocida yconstante) coincide con alguna frecuencia natural. Compare los resultados con mediciones experimentales.

Amortiguacion

Verifique el efecto de distintos medios de amortiguacion en la amplitud de las vibraciones. Realiceun estudio parametrico en funcion de la frecuencia de excitacion. Estime el factor de amortiguacion ycompare las vibraciones libres del sistema real con las respuestas entregadas por el modelo teorico.

Inestabilidad

Un ejemplo de vibraciones autoexcitadas ocurre en las lıneas electricas de transmision. Repita elejemplo de clase y el de Den Hartog [12] para verificarlo. Explique el fenomeno a traves de un analisis deestabilidad.

3

4 INDICE GENERAL

Figura 1: Estructura con dos grados de libertad

???

Figura 2: Aislamiento de vibraciones

Figura 3: Sistema con masa y rigidez distribuida

INDICE GENERAL 5

Figura 4: Barra

Efecto de precargas

Las cargas estaticas que se aplican sobre un sistema son capaces de cambiar sus propiedades modales.Realice un estudio modal para una viga simplemente apoyada que sufre traccion axial estatica (ver ref.[7]).

Analisis modal con arena

Una forma sencilla de obtener modos en placas delgadas (una tapa de violın por ejemplo) es el metodode Chladni con arena.

6 INDICE GENERAL

Parte I

Modelamiento numerico

7

Capıtulo 1

Sistemas con un grado de libertad

1.1. Introduccion

1.1.1. Componentes

Un sistema mecanico con un grado de libertad se esquematiza usualmente como se muestra en figura1.1. Consta de los siguientes elementos:

Inercia o masa m, concentrada en un bloque rıgido

Elemento elastico o resorte k, que no tiene masa

Elemento disipador de energıa, usualmente un amortiguador viscoso con constante c,

Fuente de excitacion, puede tratarse de una fuerza o momento o de un movimiento conocido delextremo libre del resorte.

El resorte

La deformacion del resorte esta descrita por la ley:

k(x2 − x1) = f

(ver figura 1.2)

Ejemplo 1 La deformacion de la barra de seccion A y longitud l mostrada en figura 1.3 esta dada por:

σ = Eε

lo que puede ser re-escrito como:f

A= E

x

l

Figura 1.1: Sistema con un grado de libertad

9

10 CAPITULO 1. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

f fx1 x2

Figura 1.2: Equilibrio del resorte

f

x

Figura 1.3: Barra sujeta a traccion/compresion

por lo tanto la constante del resorte equivalente esta dada por:

k =f

x=EA

l

Observacion 1 Notese como la rigidez puede ser considerada como la fuerza necesaria para lograr undesplazamiento unitario.

El amortiguador

El amortiguador viscoso mostrado en figura 1.4 sigue la siguiente ley:

f = c(x2 − x1)

1.1.2. Sistemas modelizables con un grado de libertad

Sistemas con cuerpos que pueden considerarse rıgidos y con elementos flexibles

En figura 1.5 se aprecia un sistema de tal tipo.

Sistemas flexibles donde predomina un modo

1.1.3. Propiedades de un sistema con un grado de libertad

Un balance de fuerzas del sistema de 1 g.d.l. (figura 1.1) resulta en la ecuacion

mx+ cx+ kx = f(t)

la que representa un sistema lineal. Ello implica que cumple las siguientes propiedades:

f fx1 x2

. .

Figura 1.4: Esquema de amortiguador viscoso

1.1. INTRODUCCION 11

Figura 1.5: Sistema con elementos rıgidos y flexibles

Sistema LinealExcitación Respuesta

Figura 1.6: Esquema de un sistema lineal

Principio de superposicion

αx (f) = x(αf)

x(f1 + f2) = x(f1) + x(f2)

La respuesta steady-state a una excitacion armonica de frecuencia ω, es a la misma frecuenciaω.Para:

f(t) = α sin(ωt)

la respuesta es de la forma:

x(t) = β sin(ωt+ φ)

donde φ es el angulo de desfase entre la excitacion f(t) y la respuesta x(t).

Ejemplo 2 Considere el sistema de figura 1.7. Su equilibrio esta descrito por:∑i

Mi = Iθ

Iθ +mgl

2sin θ = 0

El senθ se puede descomponer en la serie de Taylor:

sin θ = θ − θ3

3+θ5

5− θ7

7...

Por lo que si los desplazamientos son pequenos se puede despreciar los terminos y asumir que:

sin θ ≈ θ

y queda la ecuacion linealizada del pendulo:

Iθ +(mg

l

2

)θ = 0


θθ


1.2. Vibraciones libres f(t) = 0

Se desea conocer la respuesta de un sistema ante un desplazamiento inicial

x(t = 0) = x(0) = x0 (1.1)

o ante una velocidad inicial:

x(0) = x0 (1.2)

1.2.1. Respuesta libre sin amortiguamiento c = 0

En este caso se tiene el problema de valores iniciales:

mx+ kx = 0

bajo las condiciones 1.1 y 1.2. La solucion general esta dada por:

x(t) = a cos(ωnt) + b sin(ωnt)

con

ωn =

√k

m(1.3)

Las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 1.1 y 1.2:

x(t) = xo cos(ωnt) +x0

ωnsin(ωnt)

que puede ser simplificada ax(t) = x

¯0 sin(ωnt+ ϕ) (1.4)

con

x¯0 =

√x2

0 +(x0

ωn

)2

tanϕ = ωnxo

x0

Al derivar la ecuacion 4.2 aparecen las expresiones para la velocidad y la aceleracion:

x(t) = ωnx0 sin(ωnt+ ϕ+

π

2

)x(t) = ω2

nx0 sin (ωnt+ ϕ+ π)

1.2. VIBRACIONES LIBRES F (T ) = 0 13

Observacion 2 La velocidad esta adelantada en 90o respecto del desplazamiento.

Observacion 3 La aceleracion esta adelantada en 180o respecto del desplazamiento

Observacion 4 |x(t)| = ωn |x(t)|

Observacion 5 |x(t)| = ω2n |x(t)|

Observacion 6 la frecuencia ωn solo depende del sistema (k,m). Al aumentar la rigidez k tambienaumenta la frecuencia natural; al aumentar la masa la frecuencia natural disminuye.

1.2.2. Masa-resorte en compresion

Retomando la solucion (1.3) para un sistema masa resorte (en posicion vertical) y recordando que ladeformacion estatica xst del resorte ante el peso de la masa es:

kxst = mg

Sustituyendo:

ωn =√

g

xst

Veremos mas tarde que esta formula tiene aplicacion practica en la base de maquinas que deben seraisladas.

1.2.3. Respuesta libre con amortiguamiento c > 0

En este caso el problema de valores iniciales es:

mx+ cx+ kx = 0 (1.5)

con las condiciones 1.1 y 1.2. La solucion general de 1.5 es de la forma:

x = ert (1.6)

Observacion 7 Notese que r puede ser un numero complejo. En tal caso x tambien lo sera. Fısicamentela parte real de la solucion x correspondera al desplazamiento medible.

Observacion 8 Recordemos queeiθ = cos θ + i sin θ

O sea, para que el sistema vibre debe tener raıces con parte compleja no nula.

Sustituyendo1.6 en 1.5: (mr2 + cr + k

)x = 0

La que tiene la solucion trivial x = 0. En otro caso:

mr2 + cr + k = 0 (1.7)

la que tiene la solucion:

r1 = − c

2m+

√( c

2m

)2

− k

m(1.8)

r2 = − c

2m−√( c

2m

)2

− k

m

Para que el sistema vibre, ri deben ser complejos. Ello implica:

k

m>( c

2m

)2


La situacion extrema ocurre cuando c = cc (amortiguamiento critico) donde

cc = 2mωn

con ωn definida en 1.3.A fin de normalizar las ecuaciones se define el factor de amortiguamiento como:

ξ =c

cc

con lo que 1.8 se re-escribe:

r1 = −ξωn + ωn

√ξ2 − 1

r2 = −ξωn − ωn

√ξ2 − 1

Vibraciones libres con amortiguamiento sub-critico ξ < 1

Dado que las raıces de la ecuacion caracterıstica 1.7 son complejas, las soluciones son del tipo:

x(t) = e−ξωnt (a cos(ωnt) + b sin(ωnt))

las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 1.1 y 1.2:

x(t) = e−ξωnt

(xo cos(ωdt) +

x0 + x0ξωn

ωdsin(ωdt)

)donde la frecuencia natural amortiguada ωd es definida por la frecuencia natural del sistema conservativoy la razon de amortiguamiento ξ:

ωd = ωn

√1− ξ2

que puede ser simplificada ax(t) = x

¯0e−ξωnt sin(ωdt+ ϕ) (1.9)

con

x¯0 =

√x2

0 +(x0 + x0ξωn

ωd

)2

tanϕ = ωdxo

x0 + x0ξωn

Observacion 9 El amortiguamiento implica que las vibraciones libres disminuyen exponencialmente a0 en el tiempo.

Observacion 10 La frecuencia de la vibracion libre ωd es menor que la del sistema conservativo asociado(ωn).

Observacion 11 En general, ξ es menor al 20%, por lo que ωd ≈ ωn.

Estimacion rapida del amortiguamiento

Una forma sencilla de estimar el factor de amortiguamiento ξ es a traves del decremento logarıtmico,el cual se define como:

δ = ln(

xn

xn+1

)donde xn y xn+1 corresponden a las maximas amplitudes entre el inicio y el fin de un periodo cualquiera

(ver figura 1.8). Para tales instantessin(ωdt+ ϕ) = 1

entonces el factor de amortiguamiento es:

δ = ln(

e−ξωnt

e−ξωn(t+Td)

)= ξωnTd =

2πξ√1− ξ2

1.2. VIBRACIONES LIBRES F (T ) = 0 15

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo (s)

po

sici

ón

(m

m)

Xn + 1Xn

¶

Figura 1.8: Medicion del decremento logarıtmico

Observacion 12 Td corresponde al periodo de la vibracion:

Td =2πωd

Observacion 13 Para amortiguamiento bajo, δ ≈ 2πξ

Ejemplo 3 La rigidez de una viga empotrada a una carga aplicada en su extremo libre es k = 3EIl3 . Para

vigas rectangulares: I = bh3

12 . el modulo de elasticidad del acero es E = 207 · 109N/m2, ρ = 7850Kg/m3.La viga del ejemplo tiene las siguientes dimensiones: l = 0,28m, h = 1,6 · 10−3m, b = 2,6 · 10−2m. Lasmasa en el extremo (el sensor) es de 0.21 Kg, el cable, 0.12 Kg. Mida la frecuencia natural y el decrementologarıtmico. Calcule el factor de amortiguamiento y compare con la frecuencia natural teorica.

Vibraciones libres con amortiguamiento critico ξ = 1

Dado que en este caso la raız r de la ecuacion caracterıstica 1.5 es real, no hay respuesta de tipovibratorio. Ella esta dada por:

r1 = r2 = −ξωn

x(t) = e−ξωnt (a+ bt)

e introduciendo las condiciones iniciales:

x(t) = [x0(1 + ωnt) + x0] e−ξωnt

Vibraciones libres con amortiguamiento supercrıtico

r1, r2 = −ξωn ± ωn

√ξ2 − 1

x(t) = e−ξωnt[a sinh

(ωn

√ξ2 − 1

)+ b cosh

(ωn

√ξ2 − 1

)]Observacion 14 El sistema tiende a su equilibrio.

Ejercicio 1 Un ejemplo clasico de un sistema super amortiguado son las puertas autocerrantes. Con-struya un modelo de una y mida el tiempo en que una puerta regresa a su equilibrio. Ajuste su modelohasta obtener una buena correlacion.


0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tiempo (s)

po

sici

ón

(mm

)

Figura 1.9: Respuesta tıpica de un sistema sobre-amortiguado

1.3. Analisis de estabilidad

La forma general de la respuesta de un sistema regido por la ecuacion:

mx+ cx+ kx = 0

es

x(t) = aest

donde

s = σ + jω

Para que el sistema sea inestable, basta con que la parte real de s sea positiva.

Ejemplo 4 Dado el sistema de la figura ??, analizar su estabilidad.Del equilibrio de momentos: ∑

M = Iθ

−k l2

sin θl

2cos θ +mgl sin θ = ml2θ

cuya version linealizada es:

ml2θ + (kl − 2mg)θ = 0

entonces

r2 = − k∗

m∗= −kl − 2mg

2ml

basta con que kl − 2mg < 0 para que la raız r sea positiva lo que convierte al sistema en inestable.

Ejercicio 2 Construya un sistema similar al de la figura y verifique la conclusion anterior.

1.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 17

L/2

m

k k

Figura 1.10: Ejemplo de sistema condicionalmente estable

f

Figura 1.11: Excitacion armonica


0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo (s)

po

sici

ón

(m

m)

Figura 1.12: Respuesta total del sistema a una excitacion armonica

1.4. Vibraciones forzadas

1.4.1. Vibraciones forzadas con excitacion armonica

mx+ cx+ kx = fo sinωt

la respuesta del sistema esta dada por:

x(t) = ae−ξωnt sin(ωdt− ϕ) + x¯0 sin (ωt− φ)

A y ϕ se determinan a partir de las condiciones iniciales. La respuesta estacionaria:

x¯0 =

f0k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.10)

tanφ =2ξ ω

ωn

1−(

ωωn

)2

Observacion 15 La respuesta transiente desaparece en el tiempo (e−ξωnt).

Observacion 16 La respuesta estacionaria tiene la misma frecuencia que la fuerza excitadora (ω)

Observacion 17 El angulo de desfase cuando ω = ωn es de 90o. Esta condicion es frecuentementeutilizada para identificar frecuencias naturales.

Al derivar la ecuacion 1.10 con respecto a la frecuencia de excitacion se obtiene el valor maximo dela vibracion y la frecuencia a la que ello ocurre:

xomax =f0k

1

2ξ√

1− ξ2(1.11)

ωxomax= ωn

√1− 2ξ2

1.4. VIBRACIONES FORZADAS 19

0 1 2 3 4 510

-2

10-1

100

101

102

103

Frecuencia normalizada

Re

spu

est

a n

orm

aliz

ad

a

Figura 1.13: Amplitud de la respuesta estacionaria normalizada (c/r a Fo

k ) vs frecuencia normalizada (c/ra ωn)

Si el factor de amortiguamiento ξ es pequeno:

xomax =F0

k

12ξ

ωxomax≈ ωn

notese que f0k corresponde a la respuesta (estatica) a una fuerza estatica. Asi, es conveniente definir el

factor de amplificacion q como

q =12ξ

con lo que la ecuacion 1.11, es normaliza respecto de la respuesta estatica:

xomax = xω=0q

El grafico 1.13 muestra la amplitud de la respuesta estacionaria vs la frecuencia y para varios valoresde amortiguamiento.

Observacion 18 Se aprecia que cuando la frecuencia de la excitacion esta cercana al de la frecuencianatural la respuesta tiende a crecer bastante. A este fenomeno de amplicacion se le conoce como resonancia

Observacion 19 La condicion de resonancia es comunmente culpable de altas vibraciones en equipos yestructuras sujetas a cargas dinamicas.

Observacion 20 En el caso de un sistema conservativo (ξ = 0) si la frecuencia de excitacion coincidecon la frecuencia natural el desplazamiento tiende al infinito.

Observacion 21 Notese que si la frecuencia de excitacion es mucho mayor que la frecuencia natural delsistema la respuesta tiende a 0. Este es el principio de los sismografos, velocımetros de bobina, steady-cams, etc. Cabe la pregunta:¿Es la hipotesis de 1 grado de libertad aun valida?.


t=0

ωt

φx

Figura 1.14: Metodo del algebra compleja

1.4.2. Algebra compleja

Este metodo facilita el calculo de la respuesta forzada estacionaria. Como sabemos que la respuestaestacionaria a una fuerza sinusoidal es de la forma:

x(t) = x0 sin (ωt+ φx)

ella tambien podrıa ser expresada como la parte imaginaria de un vector complejo x que gira con frecuenciaω (ver figura 1.14):

x = x0 cos (ωt+ φx) + jx0 sin (ωt+ φx)

= x0ejωt+φx

Aplicando en mismo concepto a f = f0 sin (ωt+ φf ):

f = f0 cos (ωt+ φf ) + jf0 sin (ωt+ φf )

= f0ejωt+φf

y sustituyendo en la ecuacion del movimiento:(−ω2m+ jωc+ k

)x = f

y despejando:

x =1

−ω2m+ jωc+ kf (1.12)

Observacion 22 Notese que cuando ω << ωn la respuesta tiene aproximadamente la amplitud de larespuesta estacionario f0/k. Se habla entonces de la zona resorte; donde el efecto de la masa y el amor-tiguador son despreciables.

Observacion 23 Cuando ω >> ωn el termino ω2m domina el denominador en (1.12) y la respuesta esbasicamente la de una masa: f = mx con x = −ω2x. Hablamos entonces de la zona masica.

1.4.3. Vibraciones forzadas por movimiento de la base

Considerese el sistema de figura 1.15. En este caso no hay fuerzas externas pero se conoce el desplaza-miento de la base xb.

mx+ c(x− xb) + k(x− xb) = 0 (1.13)

O reordenando:mx+ cx+ kx = cxb + kxb︸︷︷︸

f∗


xb

x

Figura 1.15: Sistema excitado por la base

Si la exictacion es de tipo armonico:xb = Xb sinωt (1.14)

Entonces

f∗(t) = cωXb cosωt+ kXb sinωt

= Xb

√c2ω2 + k2︸︷︷︸f∗0

sin (ωt+ φf∗)

y aplicando el resultado (1.10):

X0 =Xb

√c2ω2 + k2

k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2Los esfuerzos a que estan sometidos los elementos conectores a la base dependen del movimiento relativoentre la base y la maquina. Es por ello que es conveniente reescribir la ecuacion 1.13 como:

mxr + cxr + kxr = −mxb︸︷︷︸Carga efectiva

(1.15)

donde xr es el movimiento relativo entre base y maquina.

Ejemplo 5 Determine el esfuerzo a que esta sometida la viga circular de diametro d de la figura si labase se mueve segun la ley 1.14. Considere solo el movimiento estacionario.

La rigidez de una viga empotrada a una fuerza aplicada en su extremo esta dada por:

k = 3EI

l3

Para el caso estudiado la ecuacion del movimiento (1.15) es:

mxr + kxr = −mxb

= mω2Xb sinωt

Entonces

xr = Xb

(ωωn

)2

1−(

ωωn

)2 sinωt


m=0,l,d

M

Figura 1.16: Ejemplo de sistema con excitacion en la base

Y el esfuerzo maximo que sufre la viga:

σ = kxrld/2I

=3Ed/2l2

(ωωn

)2

1−(

ωωn

)2Xb

1.4.4. Aislamiento de vibraciones

El aislamiento de vibraciones puede tener 2 objetivos alternativos: aislar a la maquina de las vibra-ciones ambientales; o reducir las vibraciones que la misma maquina genera en su entorno.

Aislamiento del entorno

Sea una maquina que genera fuerzas de la forma:

f = f0 sinωt

Se desea que sus efectos sobre otras maquinas sean mınimos. Se requiere especificar un elemento de rigidezy amortiguamiento para tal fin. Sea fb la fuerza que aplica la maquina sobre su fundacion:

fb = kxr + cxr

fb = f0

√√√√√√√1 +

[2ξ ω

ωn

]2[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2︸︷︷︸

Tr

(1.16)

Observacion 24 La reduccion de fuerzas transmitidas a la fundacion se logra solo si ωωn

>√

2.

1.5. FUNCION DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 23

10-1

100

101

10-1

100

101

Frecuencia normalizada

Tra

nsm

isib

ilid

ad

Figura 1.17: Transmisibilidad Ft

F0

Observacion 25 Los elementos aislantes con poca amortiguacion son mas efectivos para aislar pero dadoque la frecuencia excitadora es mayor que la frecuencia natural, ello implica que la maquina atravesara laresonancia tanto al partir como al detenerse. Si la amortiguacion es insuficiente se pueden producirresonancias importantes (y grandes esfuerzos).

Observacion 26 Mientras mayor sea la razon ωωn

menor es la transmisibilidad. Ello implica que eldisenador busca minimizar la frecuencia natural con elementos elasticos con menor rigidez. La limitanteaparece porque al ser baja la rigidez, la deflexion estatica puede ser demasiado importante.

Aislamiento de la maquina

Considerese la situacion descrita en la figura. Se desea que el movimiento de la maquina sea mınimo.Especifique las caracterısticas del elemento aislante.

X0 = Xb

√√√√√√√1 +

[2ξ ω

ωn

]2[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.17)

Notese que la expresion es similar a la de la ecuacion 1.16.

1.5. Funcion de Respuesta en Frecuencia

Se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una excitacion armonica:

H(ω) =X(ω)F (ω)

= |H(ω)| ejφ(ω)

Observacion 27 El uso de la transformada de Laplace permite localizar los polos y ceros del sistema afin de estudiar su estabilidad.

Observacion 28 La FRF es facilmente obtenible experimentalmente.


Figura 1.18: Viga con apoyos simples

Figura 1.19: Modo de deformacion asumido

Las FRF son representadas usualmente en las siguientes formas:

Modulo vs frecuencia y fase vs frecuencias, conocidos como Diagramas de Bode.

Parte real vs parte imaginaria, conocido como Diagrama de Nyquist.

Parte real vs frecuencia y parte imaginaria vs frecuencia.

Usualmente los diagramas de Bode utilizan escalas logarıtmicas para las ordenadas. Ello facilita lavisulaizacion pues las FRFs usualmente incluyen varios ordenes de magnitud. Una forma standard deescala logarıtmica usa los decibeles (dB). Un dB se define como:

dB = 20 logX

Xref

donde Xref es un valor de referencia. agregar lo del curso de vibraciones

Ejercicio 3 Leer el articulo [13]. Elabore un programa en MATLAB que permita repetir los graficosincluidos en el articulo. Conteste: Porque es util medir las FRF?

1.6. Metodos de modelamiento

En caso de que un sistema tenga masa y rigidez distribuida en forma homogenea (lo que implica quetiene ∞ grados de libertad) y se desee modelar con un solo grado de libertad (asumiendo las limitacionesde tal modelo a priori), es necesario suponer la forma en que el sistema se deformara. Dicha forma o modode vibrar debe cumplir con las condiciones de admisibilidad, vale decir que las restricciones geometricasa las que esta sometido el sistema deben cumplirse.

Ejemplo 6 Se desea construir un modelo de la viga simplemente apoyada de la figura 1.18:Una forma compatible de deformacion es un semi-seno:

y(x) = y0 sin(πxl

)(1.18)

donde x es la posicion medida desde un extremo y l es la distancia entre apoyos. Tal deformada se muestraen figura 1.19:

Una forma alternativa es suponer una parabola:

y(x) = y0x

l

x− l

l(1.19)

la que a simple vista es muy similar a lo mostrado en la figura 1.19. Una forma incompatible se muestraen figura.

Al suponer una forma de vibrar, la deformacion del sistema puede ser expresada como el productoentre una funcion que depende de la posicion (la forma de vibrar) y otra que depende del tiempo:

y(x, t) = y(x)q(t)

Observacion 29 y(x) ha sido asumida; q(t) es incognita.

1.6. METODOS DE MODELAMIENTO 25

Figura 1.20: Violacion de condiciones de borde

Figura 1.21: Sistema masa resorte

1.6.1. Metodo de Rayleigh

Para conseguir la frecuencia natural del sistema se aplica la igualdad:

Tmax= Vmax (1.20)

dondeTmax es la energıa cinetica maxima, yVmax corresponde a la energıa de deformacion maxima.

Ejemplo 7 Determinar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado en figura 1.21:

y(t) = yo sinωnt

y(t) = yoωn cosωnt

Tmax =12my2

max =12my2

oω2n

Vmax =12ky2

o

Segun el metodo12my2

oω2n =

12ky2

o

por lo tanto

ω2n =

k

m(1.21)

Ejemplo 8 Conseguir la frecuencia natural de la viga de figura 1.18 asumiendo una deformacion deltipo definido en ecuacion 1.18. Tratandose de un sistema conservativo de un grado de libertad q(t) tomala forma:

q(t) = sinωnt

ver ecuacion 4.2. Entonces:y(x, t) = y0 sin

(πxl

)︸︷︷︸

y(x)

sinωnt

por lo que:y(x, t) = ωny(x) cosωnt


la energıa cinetica maxima esta dada por:

Tmax =12

M∫y2max∂m

=12

l∫y2(x)

m

l∂x

la energıa potencial maxima:

Vmax =12

l∫EI

(∂2y

∂x2

)2

∂x

Y usando la igualdad 1.20 resulta

ω2n =

l∫EI(

∂2y∂x2

)2

∂x

l∫y2(x)m

l ∂x

= π4 EI

ml3

≈ 97,4EI

ml3

En caso de utilizar la hipotesis de deformacion 1.19 el resultado es:

ω2n = 120

EI

ml3

lo que implica una estimacion de la frecuencia natural 11 % mayor que en el primer caso.

Observacion 30 Si la hipotesis de deformacion coincide con el modo de vibrar real, el metodo deRayleigh entrega el valor exacto de la frecuencia natural. Si no es el caso, la estimacion sera siem-pre mayor que el valor real. Ello se explica porque los errores de la hipotesis anaden restricciones almovimiento del sistema, rigidizandolo.

Ejemplo 9 1Estime la frecuencia natural del sistema mostrado en figura. Compare resultados si se con-sidera o no la masa m de la viga.

Datos:ancho b = 10cm, espesor h = 1cm, E = 2,1E11 Pa, ρ = 7800 Kg/m3, M = 20Kg, l1 = 1m, l2 = 1

2 l1(l = 3

2 l1).Usando el metodo de Lagrange y asumiendo una deformacion del tipo:

y(x, t) = sinωnt sinπx

l1para 0 < x <

32l1

Se tiene que:

ymax(x) = sinπx

l1

y2max(x) = ω2

n sin2 πx

l1

y

Vmax =12

∫ 32 l1

0

EI

(∂2ymax

∂x2

)2

dx

Tmax =12

∫ 32 l1

0

y2max

m

ldx+

12M y2

max

∣∣x= 3

2 l1

1Control I 2001

1.6. METODOS DE MODELAMIENTO 27

Derivando, (∂2y

∂x2

)2

=(π

l1

)4

sin2 πx

l1entonces

Vmax =EI

2

(π

l1

)4 ∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx

pero ∫sin2 udu = −1

2cosu sinu+

12u

cambiando variables u = πxl1

, du = πdxl1, cos 3

2π = 0∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx =

l1π

∫ 32 π

0

sin2 udu

=l1π

12

32π

=34l1

entonces

Vmax =EI

2

(π

l1

)4 34l1

=12

3π4

4EI

l31y

Tmax

ω2n

=12m

l

∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx+

12M sin2

(32π

)=

12m

l

34l1 +

12M

=12

(34l1lm+M

)igualando Vmax y Tmax :

ω2n =

3π4

4EIl31

34

l1l m+M

evaluando para los valores dados (considerando la masa m de la viga):

EI = 2,1 · 1011 ·10−1 ·

(10−2

)312

= 1750Nm2

m = 10−1 · 10−2 · 1,5 · 7800 = 11,7Kg

entonces

ω2n =

3π4

4 175034

11,511,7 + 20

= 4946rad2/s2

fn1= 11,19Hz

Si no se considera la masa de la viga:

ω2n =

3π4

4 175020

= 6393rad2/s2

fn2 = 12,72Hz

o sea un error

ε% =(fn2

fn1

− 1)

100 = +13,7 %


1.6.2. Metodo de Lagrange

d

dt

(∂T∂q

)+∂V∂q

= Qq (1.22)

Ejemplo 10 Viga con apoyos simples

y(x, t) = y(x)q(t)y(x, t) = y(x)q(t)

y(x) = y0 sinπx

l

T =12

M∫y2∂m

=12

l∫y2(x)q(t)2

m

l∂x

=my2

0 q2

4

Vmax =12

l∫EI

(∂2y(x)∂x2

)2

∂x

=12π4EI

l4q2

l∫ (y0 sin

πx

l

)2

∂x

=EIπ4q2y2

0

4l3

Aplicando la ecuacion 1.22 resulta:

m︸︷︷︸ qm∗

+EIπ4

l3︸︷︷︸k∗

q = 0

Y aprovechando el resultado 1.21:

ω2n = π4 EI

ml3

1.7. Vibraciones forzadas -excitacion arbitraria-

Como se menciono anteriormente, el tener un sistema que sigue la ecuacion:

mx+ cx+ kx = f

es un sistema lineal. Ello permite explotar el principio de superposicion. Ası:

la fuerza f es descompuesta usando una serie de Fourier,

luego se considera cada componente separadamente para calcular la respuesta del sistema a ella(recordemos que cada componente es una excitacion armonica);

para finalmente sumar los aportes de cada componente.

1.7. VIBRACIONES FORZADAS -EXCITACION ARBITRARIA- 29

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

Figura 1.22: Senal temporal y su descomposicion espectral

1.7.1. Espectro en frecuencias

Una senal periodica, de periodo T0 puede ser expresada como:

x(t) = a0 +∞∑

i=1

Xn sin (i2πf0t+ ϕn)

con

a0 =1T0

T0∫0

x(t)dt

Xn =√a2

n + b2n

tanϕn =an

bn

an =2T0

T0∫0

x(t) cos (2πnf0t) dt

bn =2T0

T0∫0

x(t) sin (2πnf0t) dt

Una forma practica de analizar senales es provista por la representacion de su contenido en frecuencias.Vease figura 1.22.

Observacion 31 Notese que el espectro de una funcion periodica solo contiene ”rayas” a multiplos dela frecuencia f0 = 1

T0.

Observacion 32 Una funcion no periodica puede ser considerada como una funcion periodica de periodoinfinito T0 = ∞. En tal caso la separacion entre las rayas tiende a cero y se habla de un espectro continuo.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

f(t)

ε

Figura 1.23: Impulso

1.7.2. Metodo de Duhamel

Para determinar la respuesta de un sistema a una excitacion arbitraria, tambien se puede descomponerla fuerza excitadora f(t) en una serie de impulsos seguidos, calcula respuesta a cada impulso y luego sumarcada respuesta parcial.

Una fuerza de tipo impulso es una fuerza que se aplica durante un instante muy pequeno. El impulsose define como:

I =∫f(t)dt

Considerando la conservacion del momentum:

m∆x =∫f(t)dt

La accion del impulso es comunicar una velocidad inicial

x(0+) =I

m

por lo que la respuesta del sistema sera de la forma:

x(t) =I

m

e−ξωnt

ωdsin(ωdt)

Respuesta impulsional

Se define como la respuesta a un impulso unitario:

h(t) =e−ξωnt

mωdsin(ωdt)

Convolucion

La contribucion de un impulso aplicado en el instante t = η a la respuesta en el tiempo t es:

x(t) = f(η)dηh(t− η)

Si usa el principio de superposicion, la respuesta total esta dada por:

x(t) =∫ t

0

f(η)h(t− η)dη = f(t) ∗ h(t) (1.23)

que es conocida como la integral de Duhamel. ∗ indica el producto de convolucion.


Observacion 33 La respuesta calculado con la ecuacion 1.23 corresponde a la transiente + la esta-cionaria.

Ejemplo 11 Calcule usando la convolucion la respuesta de un sistema conservativo, en reposo inicial, yexcitado por una fuerza f(t) = f0 sinωt

x(t) =∫ t

0

f(η)h(t− η)dη

=∫ t

0

f0 sinωη1

mωnsin(ωn (t− η))dη

Usando

sinA sinB =12

[cos (A+B)− cos (A−B)]

tenemos

x(t) =f0

2mωn

(∫ t

0

cos (ωη + ωn(t− η)) dη +∫ t

0

cos (ωη − ωn(t− η)) dη)

=f0/k

1−(

ωωn

)2

(sinωt− ω

ωnsinωnt

)

Ejercicio 4 Demuestre este resultado usando las ecuaciones ya estudiadas.

Ejemplo 12 2Se tiene un motor de masa M montado en el extremo libre de una viga empotrada delongitud l, momento de inercia I y modulo de young E. El motor genera vibraciones a su frecuencia derotacion ω, la cual cumple la condicion

ω = ηω0

conη > 1

1. Estime la frecuencia natural si se asume un modo de deformar segun

y(x) = x2

Compare con la frecuencia natural si se desprecia la masa de la viga.

2. Calcule la amplitud de la respuesta estacionaria si el motor tiene un desbalance mdrd.

3. Dibuje el espectro de la respuesta obtenida en (2). Exprese la amplitud en peak-to-peak.

4. Se desea anadir un absorbedor de vibraciones. A fin de asegurar su eficiencia se requiere que laprimera frecuencia natural del sistema modificado (2) este alejada al menos

ω1 < εω

de la frecuencia de operacion ω. Ademas,

0 ≤ ε ≤ 1

Determine propiedades (la, Ea, Ia, Ma) del sistema auxiliar viga-masa. Desprecie la masa de lasvigas.

2de control 1, 2003.


1. Usando el metodo de Lagrange, asumimos un modo de deformacion de la forma

y(x, t) = y(x)q(t)

= x2 sinω0t

por lo que:y(x, t) = ω0x

2 cosω0t

yymax(x) = ω0x

2

la energıa cinetica maxima esta dada por:

Tmax =12

M∫y2maxdm+

12M(ω0l

2)2

=12

l∫ (ω0x

2)2 m

ldx+

12M(ω0l

2)2

=12ω2

0l4

(15ml +M

)donde m es la masa por unidad de longitud de la viga. La energıa potencial maxima:

Vmax =12

l∫EI

(∂2y

∂x2

)2

∂x

pero∂y(x)∂x

= 2x

y∂2y

∂x2= 2

luegoVmax = 2EIl

y usando la igualdad 1.20,12ω2

0l4

(15ml +M

)= 2EIl

entoncesω2

0 =4EI(

15ml +M

)l3

por otro lado sabemos que la rigidez de una viga empotrada es

k = 3EI

l3

si despreciamos la masa de la viga y solo consideramos la masa M,

ω20 = 3

EI

Ml3

en tal caso, la razon entre las frecuencias naturales estimada entre (i)asumir el modo (x2) y (ii)asumir insignificante la masa de la viga es

ω20,i

ω20,i′

=

√4EIMl3

3EIMl3

=

√43

= 1,15

o sea un 15 % de diferencia.


M

Ma

Figura 1.24: Sistema con absorbedor

2. La fuerza de desbalance genera una fuerza centrıfuga de amplitud mdrdω2 que gira con frecuencia

ω; o sea es expresable comof =mdrdω

2 (cosωtı+ sinωt)

Dado que la viga es muy rıgida en el eje axial, consideramos solo las vibraciones transversales. Setiene un sistema de un grado de libertad con rigidez

k = 3EI

l3

y masa M, excitado por una fuerzaf = mdrdω

2 cosωt

Segun ecuacion (1.10), sabemos que la respuesta estacionaria es de la forma

x(t) = x0 sin (ωt− φ)

donde:

x0 =mdrdω

2

k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.24)

tanφ =2ξ ω

ωn

1−(

ωωn

)2

3. El espectro de la respuesta estacionaria es una componente a la frecuencia ω, con amplitud 2x0,segun ecuacion 6.9.

4. Si consideramos el que sistema original es un sistema de un grado de libertad con contantes m, k.Luego,

ω0 =

√k

m

El sistema con absorbedor se muestra en figura 1.24. La FRF en el motor sin y con absorbedor semuestra en figura (1.25). Si la rigidez y la masa del sistema auxiliar se denotan ma, ka la matricesdel sistema acoplado toman la forma:

K=[

k −ka

−ka ka

]M=

[m

ma

]por conveniencia, normalizamos los valores del sistema absorbedor a

ka = αk

ma = βm


ω1

10-1

100

101

102

Frecuencia

Am

plitu

d

Inicialcon absorbedor

ω0 ω ω2

Figura 1.25: FRF con y sin absorbedor

luego

K=k[

1 + α −α−α α

]= kK∗

M=m[

1β

]= mM∗

Sabemos que el sistema auxiliar debe cumplir la siguiente ecuacion para anular las vibraciones a lafrecuencia de operacion λω0: √

ka

ma= λω0

oα

β

k

m= λ2ω2

0

oα

β= λ2 (1.25)

(10.1) entrega la primera ecuacion del problema de encontrar (ka,ma).Para usar la segunda condicion, calculamos las frecuencias naturales usamos la ecuacion de equilibrio,

Kqi = ω2i Mqi

que premultiplamos por la inversa de M para hallar el problema de valores propios standard

Ax = λx

luego

k

mM∗−1

K∗qi = ω2i qi

ω20M

∗−1K∗qi = ω2

i qi

o

M∗−1K∗qi =

(ωi

ω0

)2

qi


o sea

A = M∗−1K∗

λi =(ωi

ω0

)2

luego,

A =[

1 + α −α−α

βαβ

]aprovechando la condicion (10.1),

A =[

1 + α −α−η2 η2

]Resolviendo el problema de valores propios de A,

λ1,2 =1 + α+ η2 ∓

√(α+ (η + 1)2

)(α+ (η − 1)2

)2

Notese que el argumento de la raız es siempre positivo. Ahora aprovechamos la restriccion impuesta sobrela primera frecuencia natural con respecto a la frecuencia de operacion ηω0:(

ω1

ηω0

)2

< ε2

o seaλ1

η2< ε2

de la que despejamos α:

α(ε, η) <

(ε2 − 1

) ((εη)2 − 1

)ε2

(1.26)

Usando (10.1) se despeja β. Luegoma = βm

yka = αk

Recordando que para una viga empotrada con carga en el extremo libre se tiene

ka = 3EaIal3a

fijando el material y la longitud de la viga del absorbedor,

Ea = E∗

la = l∗

obtenemos finalmente el momento de inercia:

Ia =l∗

3E∗ka

Ejemplo 13 3Se ha detectado que las vibraciones de un ventilador sobrepasan los valores aconsejadospor la norma. Al balancear se reduce el problema pero aun ası los valores son excesivos. La frecuencia derotacion del motor-ventilador (acoplamiento directo) es 1490 RPM. Una prueba de impacto a reveladoque la primera frecuencia natural del sistema es 28 Hz. Por costos se descarta cambiar la velocidad derotacion. La vibracion principal ocurre en el plano vertical. la masa del sistema es m = 300 Kg.

3examen 2003.


La frecuencia de rotacion del sistema es de

1490160

= 24,8 Hz

como el desbalance es la causa mas comun de vibracion en equipos rotatorios y su frecuencia es tancercana a la frecuencia natural del sistema:

24,8− 2828

= −11,4 %

se diagnostica probable situacion de resonancia. Asumiendo que el sistema puede ser modelado como unocon 1 grado de libertad, estimamos la rigidez a partir de la frecuencia natural obtenida y la masa delsistema vibrando:

k = mω20

= 300 (28 · 2π)2

= 9,28 · 106 N/m

Retomando el ejemplo (12), y tomando valores arbitrarios para definir un amortiguador dinamico:

ε = 0,9η = 0,1

y usando (1.26), llegamos a

α =

(0,92 − 1

) ((0,9 · 0,1)2 − 1

)0,92

(1.27)

= 0,23

lo que define la rigidez normalizada del sistema absorbedor, luego

ka = 0,23k

= ,23 · 9,28 · 106 N/m

= 2,13 · 106 N/m

yma = ,1 · 300 = 30 Kg

Capıtulo 2

Analisis de Fourier

2.1. Introduccion

En el lado derecho de la figura 2.1 se aprecia la vibracion que es medida en las maquinas. Ella esla suma de diversas causas, entre las que se encuentran el desbalanceamiento, el desalineamiento, lasvibraciones de los engranajes, por ejemplo. Cada una de estos problemas genera senales periodicas cuyafrecuencia es caracterıstica, lo que permite diagnosticarlas. Aparece entonces el problema de separar lasdiferentes frecuencias que aparecen en una misma senal (analisis espectral).

La misma informacion pero en un grafico 3D es mostrada en figura 2.2. Se aprecia como cada compo-nente de la senal medida puede ser descrita por un valor de amplitud y una frecuencia asociada.

Finalmente, la senal es mostrada el dominio frecuencia (figura 2.3):

2.2. Analisis de Fourier

La herramienta matematica que permite la descomposicion de una senal en sus componentes funda-mentales es la transformada de Fourier.

Ella puede ser continua para senales en t ∈ (−∞,∞) o discreta para senales en t ∈ (0, T )En la vida real solo se mide durante un cierto periodo de tiempo [0, T ] y en forma discreta (vease

figura 2.6).

2.2.1. Nociones basicas

La transformada continua de Fourier para la frecuencia ω se define como:

X(jω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt (2.1)

y su inversa por:

x(t) =∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω

Notese que X(jω) es una cantidad compleja.

Observacion 34 La formula 2.1 permite el uso de frecuencias positivas y negativas. Lo comun que sololas frecuencias positivas tengan sentido fısico. En tal caso se utiliza el espectro a un lado.

Si la senal es muestreada N veces cada 4t segundos, entonces k-esima lınea de la transformada

37

38 CAPITULO 2. ANALISIS DE FOURIER

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

TiempoTiempo

Desbalanceamiento

Desalineamiento

Engranajes

+

+

=

Figura 2.1: Vibracion global

Frecuencia Tiem

poSeña

l med

ida

Frecuencia Tiem

poSeña

l med

ida

A

A

Figura 2.2: Representacion tiempo-frecuencia

Am

plit

ud

Frecuencia

Figura 2.3: Espectro de la senal

2.2. ANALISIS DE FOURIER 39

Figura 2.4: Poder de diagnosis de un espectro

EspectroSeñal temporal

TransformadaTransformadadede

FourierFourier

Figura 2.5: Transformada de Fourier

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

T

ToTo

Tiempo

Figura 2.6: Muestreo discreto


f∆f

∆f=1/T

Figura 2.7: Muestreo y espectro discretos

discreta de Fourier esta definida por:

X(k) =2N

N∑n=1

x(n)e−j2πk nN , k = 1, .., N/2

X(0) =1N

N∑n=1

x(n)

Observacion 35 Notese que la componente estatica (f = 0) corresponde al valor promedio.

La frecuencia asociada a la k-esima lınea es k/N .El paso entre lıneas (paso frecuencial) esta dado por:

4f =1T

Como se vera a continuacion, hay una serie de parametros que deben ser tomados en cuenta parautilizar adecuadamente el espectro de una senal.

2.2.2. Paso frecuencial

Consecuencia del tiempo de muestreo limitado y la discretizacion de la senal es que el espectro es-tara compuesto por un numero limitado de lıneas, y la distancia entre cada una en frecuencia4f esta dadapor:

4f =1T

donde T es el periodo de muestreo definido por la figura 2.6. Notese que no tiene nada que ver con elperiodo T0 de la senal.

Mientras mas corto es el periodo de muestreo, mayor sera el paso en frecuencias. Ello puede suscitarproblemas para el diagnostico como se indica en figura 2.8, donde 2 componentes de frecuencias muysimilares han sido confundidas por un paso frecuencial muy pobre. Al realizar un zoom sobre la bandafrecuencia sospechosa se logra discriminar.

2.2.3. Aliasing

Un problema que aparece a causa del muestreo discreto es el aliasing, vale decir cuando una com-ponente a alta frecuencia es confundida con una de baja a causa de que la frecuencia de muestreo (lavelocidad con la que se adquieren puntos de la senal temporal) sea muy baja. El efecto se muestra enfigura 2.9. Notese que en el caso superior hay suficientes puntos por cada periodo de la senal para que la


Figura 2.8: Resolucion frecuencial pobre

Figura 2.9: Frecuencia de muestreo pobre

transformada discreta de Fourier capte la componente real f0. En el caso de la parte inferior hay solo unpunto por cada ciclo de la senal; obviamente es imposible recuperar la frecuencia real y la que capta elalgoritmo de Fourier es al de la frecuencia fantasma fa = 1/Ta .

Como solucion al problema se deben tomar 2 medidas:

Aplicar una frecuencia de muestreo fs que cumpla con el teorema de muestreo de Nyquist

fmuestreo > λfmax

donde λ es una constante mayor que 2 (usualmente se usa 2.56).

Aplicar un filtro analogo pasa-bajos (o ”anti-aliasing”) que extraiga todas las componentes superi-ores a fmax.

Observacion 36 En la practica industrial, basta con configurar la frecuencia maxima de analisis delcolector para que los filtros (analogos y digitales) se ajusten. Obviamente, al filtrar las componentessuperiores se pierde la capacidad de detectar problemas que generen altas frecuencias.

2.2.4. Efecto de rendija

Se tiene que

4f =1T

por lo que para poder mostrar una componente a f0 = 1T0

es necesario que:

f04f

sea entero (2.2)

Sea T = αT0 donde α es el numero de ciclos de la senal que son considerados. Entonces:

f04f

=1T01

αT0

= α


A

0.64A

A

0.64A

Figura 2.10: Efecto de rendija

Figura 2.11: Hoja tecnica de un acelerometro industrial

De aquı se ve que la condicion 2.2 se cumple para α entero. Tal situacion ocurre en la parte superior dela figura 2.10. La amplitud real A es mantenida por el algoritmo de la transformada de Fourier. En casode tomar α = 1,5 ocurre la situacion de la parte inferior de la figura: la componente ha sido dividida en2 de menor amplitud (0,64A en este caso).

2.2.5. Ruido

Para el ejemplo de la figura 2.11, el solo el ruido electrico del sensor es de 50 µg (491 µm/s2), lo queimplica que cualquier senal debajo de ese nivel no sera distinguible. Ademas, no se ha tomado en cuentael ruido de los otros componentes de la cadena de medicion.

2.2.6. Efecto de fuga

El hecho de tomar un periodo discreto de la senal temporal [0, T ] implica en general que no setomara un multiplo exacto del periodo propio de la senal T0. Tal situacion es descrita en figuras 2.13 y2.14.


Ac e

lera

c ió

nµg

Frecuencia50

Figura 2.12: Componentes escondidas bajo el ruido

Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 2.13: Efecto de truncacion nulo

Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 2.14: Efecto negativo de truncacion


Señal real

Señal adquirida

Ventana

Señal de entradapara FFT

TT

×

=

Figura 2.15: Aplicacion de ventanas

SeñalAnáloga

SeñalDigital

ADC16 bit s

51.2 KHz+ / - 2.5 Vpeak

Figura 2.16: Conversion analogo-digital

Para tratar el problema es necesario aplicar una ventana antes de aplicar el algoritmo discreto deFourier. Gracias a ella se elimina la discontinuidad entre un periodo y otro de la senal y se logra que elintervalo [0, T ] sea tambien la frecuencia con la cual se repite la senal (a fines de la FFT), lo que disminuyeel efecto de fuga.

2.3. Discretizacion

La senal analoga es transformada en senal digital por el conversor analogo-digital (ADC) el cual escaracterizado por el numero de bits n con que cuenta. Actualmente se utilizan usualmente los ADC de16 bits. La senal pueden tomar 2n−1 valores distintos (mas el signo).

La frecuencia de muestreo indica la cantidad de puntos que puede generar por unidad de tiempo (enel caso de la figura 2.16 se crean 51200 puntos/s). Un parametro importante y que usualmente dependedel usuario es el fondo de escala que limita el voltaje aceptable para el conversor (en la figura, la senaldebe estar en el rango [−2,5, 2,5] V).

+2.5V

-2.5V

+32768

-32768

+25G

-25G

Figura 2.17: Fondo de escala y rango dinamico

2.4. COMPONENTE DC 45

0.5V

+2.5V

-2.5V

Figura 2.18: Rango dinamico

Frecuencia

Am

plit

ud

Desplazamiento

VelocidadRango

Rango

Figura 2.19: Rango dinamico y tipo de senal

Tomemos el caso mostrado en figura 2.18. La senal solo utiliza 0,5/5 = 10 % del fondo de escala. Dadoque el ADC es de 16 bits solo se aprovechan 32768/10=3276 bits. Ello implica que el rango dinamicoefectivo DR es:

DR = 20 log3276

1= 70 dB

Si hubiese utilizado el 100 % del fondo de escala (lo que puede truncar la senal digital):

DR = 20 log32768

1= 90 dB

La calidad de la conversion tambien depende del tipo de senal. Por ejemplo una senal de desplazamien-to tiende a ”reducir” las componentes a alta frecuencia, por lo que estas componentes podran aprovecharmuy pocos de los bits disponibles para ese nivel de senal. Por otro lado, el hecho de tener componentesgrandes en baja frecuencia obliga a agrandar la escala (figura 2.19).

2.4. Componente DC

Aun si la parte dinamica de la senal es pequena, es posible que el ADC se sature debido a la existenciade una componente DC en la senal (ver figura 2.20). Para solventar tal situacion se debe aplicar un filtroanalogo DC antes del ADC.


0.5V +2.5V

-2.5V

+32768

-32768

DC

Figura 2.20: Efecto de la componente DC

2.5. Parametros de adquisicion

Usuario selecciona:

Ancho de banda;

Numero de lıneas;

Tipo de ventana.

Supongamos que se tomo una frecuencia maxima de 5 KHz, con 3200 lıneas. Se tiene entonces:

Resolucion en frecuencia:5000 Hz

3200 lıneas= 1,5625 Hz/lınea

Nro. puntos en el tiempo:3200 · 2,56 = 8192 puntos

frecuencia de muestreo:5000 Hz · 2,56 = 12800 Hz

Tiempo de muestreo:819212800

= 0,64 s

Resolucion en tiempo:1

12800= 7,8125E − 5 s/punto

2.6. Espectros usuales

Como se vio anteriormente la una senal armonica simple es caracterizada por una sola lınea en elespectro (figura 2.21).

La senal periodica muestra una serie de lıneas. La primera lınea aparece a 1/T0 (T0 es el periodo dela senal), las siguientes aparecen a n/T0, n = 2, 3, ... (figura 2.22).

Una respuesta transiente (usualmente provocada por un impacto) tiene un espectro similar al de lafigura 2.23. En general aparecen varios valles y picos. Los picos corresponden en general a frecuenciasnaturales. Ello es un primer paso en la identificacion modal. Un ejemplo real se muestra en figura 2.24.En este caso, el sensor esta colocado sobre uno de los descansos de una sierra circular. La senal temporalmuestra la transiente generada por el impacto inicial de un trozo con la sierra. El espectro muestra elpico/valle asociado.

2.6. ESPECTROS USUALES 47

0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Figura 2.21: Senal armonica simple

0 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 1 20

0.5

1

1.5

2

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

To

1/To

Figura 2.22: Senal periodica

0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

Tiem po (s)

De

spla

zam

ien

to

0 2 40

0.005

0.01

0.015

0.02

Frecuencia ( Hz)

Am

pli

tud

Figura 2.23: Senal transiente


2000 2500 3000 3500 40000

0.01

0.02

0.03

rms

(Vo

lts)

x:linear Hertz

aspec s/n 22870s/n 22870:Volts

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-5

0

5re

al(

Vo

l ts)

sec.

s/n 22870s/n 22870:Volts

Figura 2.24: Impacto inicial en sierra circular

0 0.05-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo (s)

Des

plaz

a mi e

nto

700 800 9000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

1/T

Figura 2.25: Senal con modulacion

2.6.1. Modulacion

Si el la senal transiente se repite en el tiempo (ver figura 2.25) se tiene una senal periodica que serepite cada T0 segundos. Ello ocurre usualmente cuando se produce un impacto de manera periodica. Loespecial en este caso es que la componentes armonica dominante aparece a la frecuencia del pico de lasenal transiente. Ella esta rodeada de las llamadas bandas laterales que estan distantes n/T0, n = 2, 3, ..Hz de la lınea principal.

En la figura 2.26 se muestra un ejemplo real de modulacion. En este caso el peak de la transienteexcitada esta a 3023 Hz. Aparecen 2 bandas laterales a 28.1 Hz. Para esta maquina ello corresponde ala frecuencia de paso de las bolas por la pista interior (BPFI) de uno de los rodamientos, lo que implicauna picadura incipiente.

El ejemplo anterior indica que mas importante que la frecuencia de la alta frecuencia (transiente) esla tasa de repeticion del evento. La figura 2.27 muestra patrones en el espectro para fallas distribuidas ylocales respectivamente. A fin de detectarlo mas claramente, tambien se puede aplicar un filtro envolvente(figura 2.28) que solo considera el evento a baja frecuencia. Como resultado del filtrado queda una senalperiodica, cuyo frecuencia fundamental es la frecuencia de repeticion del evento a alta frecuencia. Elproceso se describe en figura 2.29.

La modulacion corresponde al producto de la interaccion entre fenomenos fısicos. En el espectro ello

2.6. ESPECTROS USUALES 49

0 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500

+30

23.4

,28.

1+

250

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Frecuencia (Hz)

Ace

lera

ción

Figura 2.26: Ejemplo de modulacion en ventilador

Figura 2.27: Modulacion de fallas locales y distribuidas

Envolvente

Tiem po

Envolvente

Tiem po

Figura 2.28: Filtro envolvente

Figura 2.29: Proceso de demodulacion


se evidencia como la traslacion de la senal moduladora (de menor frecuencia) como bandas laterales dela senal portadora (de mayor frecuencia). Causas usuales de modulacion en sistemas mecanicos son:

Rodamientos danados; las frecuencias asociadas a picaduras son moduladas por frecuencias natu-rales a alta frecuencia;

Engranajes; frecuencias de engrane y frecuencias naturales;

Motores electricos; frecuencia de rotacion del motor o frecuencia de la lınea y frecuencias de pasode ranura.

Supongase que la senal portadora (alta frecuencia) es senoidal [2]:

Xp(t) = Ap cos (ωpt)

La senal modulada (osea, la portadora modulada por una senal moduladora f(t)) se expresa como:

Xm = [1 + µf(t)]Ap cos (ωpt)

donde µ es el ındice de modulacion.En el caso de que la senal moduladora sea senoidal:

f(t) = cos(ωmt)

EntoncesXm = [1 + µ cos(ωmt)]Ap cos (ωpt)

lo que se puede expresar como:

Xm = Ap cos (ωpt) +µAp

2[cos (ωp + ωm) t+ cos (ωp − ωm) t]

lo que implica que el espectro de Xm mostrara componentes a ωp, ωp + ωm, ωp − ωm.

Ejercicio 5 Simule una modulacion en amplitud para diferentes tipos de senales moduladoras (senoidal,cuadrada, sierra, periodica cualquiera, ruido blanco). Realice ademas un estudio de sensibilidad vs elındice de modulacion. Remıtase a ref. [2].

2.6.2. Ruido en la senal

Una senal aleatoria en el tiempo no muestra patrones tal como se puede apreciar en figura 2.30. Ello esimportante pues al aplica promedios sucesivos de espectros de una misma senal tiende a hacer disminuirlas componentes asociadas a ruido aleatorio (figura 2.31).

Un tipo de senal importante para el analisis modal experimental es la senal impulsiva (figura 2.32).Como se puede ver muestra un espectro plano. Si una estructura es excitada por un impulso inicial (unmartillazo por ejemplo) la excitacion contiene componentes en un rango ancho de frecuencias, lo queprovocara respuestas tambien en un rango amplio. En ella se distinguiran las frecuencias naturales.

2.7. Unidades standard

Las amplitudes de cada componente en el espectro pueden ser mostradas en dos tipos de formato:lineal y logarıtmico. El formato logarıtmico es ventajoso para visualizar variables que tomen valoresen varios ordenes de magnitud (el espectro vibracional, por ejemplo). Su formato mas comun son losdecibeles, que requieren el uso de un valor de referencia (Yref ). Un dB se define como:

dB = 20 log(Y/Yref )

En tabla (2.1) se muestra una lista comparando razones con dB.

Ejemplo 14 Los VdB son usados para espectros de velocidad. Su valor de referencia es 1e-6 mm/s.Entonces:

0 VdB = 10−6 mm/s

A continuacion se presenta una lista de unidades standard en dB:

2.7. UNIDADES STANDARD 51

0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Figura 2.30: Senal aleatoria

Figura 2.31: Aplicacion de promedios

Y/Yref dB100 40√

10 10√2 3

1 01/√

2 −31/10 −201/100 −40

Cuadro 2.1: Equivalencia dB


0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 10-3

Frecuencia (Hz)

Am

plit

udFigura 2.32: Senal impulsiva

Tipo de senal Denominacion Valor de referencia UnidadVelocidad VdB 10−6 mm/sAceleracion AdB 10−3 mm/s2

Voltaje DBV 1 VVoltaje DBmV 1 mVPresion dB-SPL 105 Pa

Cuadro 2.2: Unidades dB standard

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

mm

/srm

s

Hz

Figura 2.33: Senal representada en escala logarıtmica

2.8. TIPO DE VALOR MOSTRADO 53

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

20

40

60

80

100

120

140

160

mm

/srm

sHz

Figura 2.34: La misma senal de figura 2.33 en formato bilineal

2.8. Tipo de valor mostrado

A fin de caracterizar la vibracion global se han definido tres tipos de medida:

Peak, que caracteriza estados de sobrecarga e impactos;

Peak to Peak, usado cuando hay desplazamientos relativos;

RMS (Root Mean Square, raız del valor medio al cuadrado), que es una forma de promedio quetoma en cuenta toda la informacion registrada, y que es una estimacion de la energıa contenida enla senal.

Observacion 37 La norma ISO 2372 (severidad vibratoria) se basa en el valor RMS.

2.9. Valor RMS

El valor RMS analogo es calculado desde la senal temporal directamente:

VRMS =

√∑i v

2i

N

dondevi es el valor de la senal adquirida en el instante ti;N es el numero de puntos de la senal.El valor RMS digital es calculado como la norma del vector cuyas componentes son las amplitudes

(RMS):

VRMS =√∑

i

v2i,RMS

Para el caso de una senal armonica de amplitud A (de 0 al peak), el valor RMS es A√2. ver figura 2.35.

Dado que el valor RMS de la senal es en cierta forma un promedio, el cambio de alguna componenteespectral especifica tiende a cambiar poco su valor aun si el cambio de la componente es importante.Un ejemplo se muestra en figura 2.36 para el caso de una caja reductora. El espectro superior indica lacondicion del equipo en el mes 1, el inferior, lo mismo pero 2 meses despues. Si bien la componente a 1Xcrecio 20 dB, el valor RMS global solo se incremento 10 dB.


0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

p laz

amie

nto

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (Hz)A

mpl

itud

RMS peak peak topeak

peak RMS

Figura 2.35: Valor RMS

Figura 2.36: Tendencia de espectro vs tendencia del valor RMS

2.10. FACTOR DE CRESTA 55

Figura 2.37: RMS insensible, CF efectivo

2.10. Factor de Cresta

Un indicador mas sensible de falla que el nivel RMS es el factor de crestas (crest factor,CF ) definidopor:

CF =Vpeak

VRMS

donde Vpeak es el valor maximo de la senal.Si la senal es sinusoidal, CF =

√2.

Ejemplo 15 Obtenga el espectro de la senal y = sin 2πf0t, con f0 = 2 Hz (T0 = 1/f0 = 0,5s) muestreadacon frecuencia fs = 20f0 puntos/s durante un periodo T = 10T0.

En Matlab:

>>Ts=1/(20*2) %s/punto>>Tm=10*0.5 %periodo de muestreo>>t=0:Ts:Tm; %vector tiempo>>y=sin(2*pi*t); %vector se\~nal>>plot(t,y),xlabel(’tiempo(s)’)>>ffty=fft(y);%FFT ’’bruta’’>>df=1/Tm %paso frecuencial>>n=length(y) %nro. puntos de la se\~nal temporal>>f=[0:n-1]*df; %vector frecuencia>>ffty=ffty/(n/2); %correcci\’on de amplitud>>ffty(1)=ffty(1)/2;%correcci\’on de amplitud componente est\’atica>>ffty=ffty(1:n/2);f=f(1:n/2); %correcci\’on frecuencias>>plot(f,ffty),xlabel(’Frecuencia(Hz)’),...ylabel(’Amplitud’),title(’Espectro(y)’)

Capıtulo 3

Cadena de medicion

3.1. Introduccion

La cadena de medicion considera todas las etapas por las que pasa la senal adquirida por el transductor.Estas son:

3.1.1. Transduccion

el sensor transforma la senal desde su dominio natural (velocidad, aceleracion,...) a senal electrica.

3.1.2. Acondicionamiento

la senal es tratada por:

Filtro DC, a fin de aprovechar el fondo de escala (si la componente estatica no es interesante,contraejemplo: sensor de desplazamiento). ver §2.4.

Amplificador, las senales generadas por el transductor pueden ser muy pequenas y no aprovecharel fondo de escala del ADC.

Filtro Antialiasing, que evita que la senal digital absorba componentes no distinguibles a causa dela frecuencia de muestreo del ADC (ref. §2.2.3).

Circuito de Integracion, la senal integrada antes de ser digital. Se reduce el efecto de ski-slope.

3.1.3. Digitalizacion

la senal analogica es convertida en senal digital (discreta) por el conversor analogo-digital (ADC).

3.1.4. Procesamiento

la senal es filtrada digitalmente, decimada, integrada digitalmente, procesada por la transformadarapida de Fourier,etc. El filtro digital permite absoluta flexibilidad, lo que no es el caso de un filtroanalogo que usualmente tiene frecuencia de corte fijas. La decimacion permite reducir la frecuencia demuestreo, y con ello el numero de datos a procesar.

3.1.5. Registro

Se graban los datos. Cabe mencionar que el registro puede ser realizado antes de ser procesado. Esel caso de las grabadoras digitales DAT y colectores de datos (data loggers), que permiten realizar elanalisis a posteriori (en batch).

57

58 CAPITULO 3. CADENA DE MEDICION

BobinaBobina

Figura 3.1: Sensor de desplazamiento sin contacto

Figura 3.2: Esquema de un sensor de desplazamiento

3.2. Sensores

Existen varios tipos de transductores: de desplazamiento, velocidad, aceleracion, laser doppler, straingages,...

3.2.1. Sensores de desplazamiento sin contacto

este tipo de sensor mide la distancia relativa entre su punto de fijacion (caja del eje por ejemplo) yel eje. Su mecanismo de funcionamiento se basa en corrientes parasitas que se generan en una bobina(figura 3.1). Para su funcionamiento, la senal generada por el sensor debe ser tratada por un osciladordemodulador (driver) que a su vez esta alimentado por una fuente de poder. El driver proporciona voltajede muy alta frecuencia a la bobina, lo que produce un campo magnetico que induce corrientes parasitasen el eje (siempre que sea metalico). Ello producira variaciones de voltaje en la bobina (modulado), queson proporcionales a la distancia al eje (en un cierto rango , usualmente 2-3 mm).

Este tipo de sensor se aplica para medir movimientos relativos eje/descanso tanto dinamicos comoestaticos.

Sensibilidad depende de material del ejeLos espectros medidos con este tipo de sensor son validos en el rango:0-1000 Hz.Una de sus ventajas es que mide desde la componente DC, lo que es usado para verificar posicion axial

de ejes. Tambien puede ser aplicado como sensor de fase (ver figura 3.3). El uso de 2 sensores permiteestablecer la orbita que sigue el eje (grafico de Lissajous).

Su montaje se dificulta pues es necesario perforar las carcasas, la necesidad de tener una rugosidaddel eje mınima (¡0.4 a 0.8 µm segun la norma API 670) y la redondez del eje.

En maquinas con descansos axiales se utilizan los sensores de desplazamiento para evaluar el desgastedel descanso.

3.2. SENSORES 59

Figura 3.3: Aplicacion como tacometro y sensor de posicion

Figura 3.4: Sensor de desplazamiento sin contacto

Las parte de la senal asociada a imperfecciones en la superficie es llamada runout mecanico. La partede la senal asociada a diferencias en la conductividad electrica del eje es llamada runout electrico. Ellaspueden ser sustraıdas al medir a giro lento. Por supuesto se necesitara una referencia (un sensor de fase).

La longitud ası como el blindaje del cable que va desde el sensor al driver influye en el nivel de ruidosde la senal. Es comun usar cables blindados de hasta 5 u 8 m.

Ejercicio 6 Construya un modelo (Simulink) para verificar el efecto del runout mecanico en la senal.Construya una curva radio vs angulo c/r a la chaveta. Asuma que el centro de gravedad del eje tiene unaorbita circular. Compare orbitas y espectros reales y ”medidos”.

3.2.2. Sensores de desplazamiento con contacto

Tecnologıa en desuso. Valida hasta 10-12 Kcpm.

3.2.3. Sensor de velocidad de bobina

Este tipo de sensor genera una senal de voltaje cuando el iman de masa m (sostenida con un resortek muy flexible) se mueve con respecto a una bobina que es solidaria a la superficie a medir. La fuerzaelectromotriz e generada es proporcional a la velocidad relativa. Si la frecuencia de la vibracion es variasveces superior a la frecuencia natural 2π

√k/m Hz, la masa estara practicamente fija con respecto de un

observador inercial. Dado que la senal es autogenerada, no se necesita acondicionamiento. El rango lineal


Figura 3.5: Funcionamiento de un velocımetro

de los velocımetros es 10-1500 Hz. Sobre esta frecuencia aparecen otras frecuencias naturales del sistemamasa resorte.

Ejercicio 7 Construya un velocımetro. Con el uso de un shaker estime su sensibilidad y rango lineal.

3.2.4. Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer)

En este caso, dentro de la misma carcasa del sensor se ha puesto un acelerometro piezoelectrico (ver§3.2.5) y un circuito integrador. Se requiere una fuente de voltaje. Su rango lineal es similar al de unacelerometro y por tanto es mucho mayor que el de un velocımetro de bobina.

3.2.5. Acelerometro piezoelectrico

Es el tipo de sensor mas usado actualmente. El principio de funcionamiento se basa en que los ma-teriales piezoelectricos (quarzo por ejemplo) generan micro voltaje al ser deformados. En la figura 3.6 semuestra un montaje de acelerometro industrial. El material piezoelectrico esta fijo a la carcasa del sensory sostiene una masa (funciona como una viga empotrada). Este tipo de configuracion trabaja al corte.Hay otros tipos que funcionan por compresion (ver figura 3.7). La senal generada tiene un valor muybajo en voltaje y una alta impedancia, por lo que no puede ser usada directamente por los instrumentosclasicos. A fin de resolver el problema se utiliza un amplificador que puede estar incluido en la mismacarcasa del acelerometro (ICP, Integrated Circuit Piezoelectric). En caso de ser externo es un llamadoamplificador de carga.

Debido a su naturaleza, la senal de aceleracion es muy pequena para bajas frecuencias. Ello limitausualmente el rango inferior del acelerometro a 1-2 Hz. La primera frecuencia natural del sistema limitael rango superior Operan bajo la primera frecuencia natural En figura ?? se muestra la influencia del tipode sujecion en la frecuencia natural. De lo anterior un rango lineal tıpico es 2-5000 Hz.

Los ”probe tips” se usan con colectores de datos para areas de difıcil acceso o carcasas no metalicas(aluminio). No deben usarse para mediciones bajo 10 Hz. La frecuencia de resonancia esta en el rango800-1500 Hz.

3.2.6. Saturacion de acelerometros

Un rango de medicion usual para un acelerometro industrial es de 50g. Si este valor es superado, elsensor producira senales erroneas. Vease por ejemplo la figura 3.11 donde la senal esta truncada. Elloincrementrara las componentes a baja frecuencia en la senal y producira el efecto ski-slope que se ve enel espectro (figura 3.12).

3.2. SENSORES 61

Figura 3.6: Esquema de un acelerometro trabajando al corte

Figura 3.7: Esquema de un acelerometro

Figura 3.8: Esquema de acelerometro ICP


Figura 3.9: Resonancia de acuerdo al tipo de base

.

Figura 3.10: Especificaciones

.

Figura 3.11: Saturacion de acelerometros

3.2. SENSORES 63

Figura 3.12: Efecto ski slope

3.2.7. Seleccion de acelerometros

Rango de frecuencias

Amplitud de vibracion mınima

Amplitud de vibracion maxima

Rango de temperaturas

Condiciones ambientales (fluidos, gases, quımicos)

Metodo de montaje

Restricciones fısicas

El rango de frecuencias depende de los elementos a monitorear. Ejemplos:

Rodamientos - 20-40 veces la velocidad del eje

Cojinetes - 10-20 veces la velocidad del eje

Engranajes - 3.5 veces la frecuencia de engrane

Motores electricos - 3.5 veces la frecuencia de las barras.

La amplitud mınima de la vibracion solo se considera para equipos de baja velocidad, la senal fısicadebe ser al menos 5 veces el ruido del amplificador.

La amplitud maxima no debe superar el nivel de saturacion del sensor. Para un acelerometro industrialtıpico de 100 mV/g este valor es de 50-80g.

Para el montaje, se debe evitar la posibilidad de capturar resonancias de la caja o punto de fijacion.Se aconseja usar puntos duros cerca de los rodamientos.

3.2.8. Vibrometro Laser

Non-contact measurement of vibration velocity

Vibration measurements on surfaces at extreme temperatures

Vibration measurements without mass loading on

lightweight structures

small structures

delicate structures

soft materials


Figura 3.13: Vibrometro Laser Doppler

Impact measurements

Relative vibration measurements (e.g., on board ships, aircraft and cars)

Vibration measurements in any direction

FEATURES

Velocity range up to 425 mm/s

Frequency range from 0.1 Hz to 25 kHz

Dynamic range 73.5 dB over full bandwidth

Measurements from 0.4 m (16 in) up to 25 m (82 ft) possible without surface treatment or retro-reflective tape

Measurements possible beyond 25 m (82 ft) using retro-reflective tape

Safe operation (Class II laser)

Easy to operate with built-in bar graphs

Portable, compact design with integrated optics and electronics

Battery or mains operated

Connects to any Bruel &Kjær sound and vibration analysis system

Velocity level and focus indications for easy setup

3.2.9. Filtros [1]

Los filtros pueden ser divididos en 4 tipos segun la parte del espectro que dejen pasar o detengan:

Filtro pasa-bajos;

Filtro pasa-altos;

Filtro pasa-bandas;

Filtro para-pandas.

3.2. SENSORES 65

Figura 3.14: Tipos de filtro

Figura 3.15: Filtro pasa-banda

3.2.10. Filtros pasa-bandas

Un filtro pasa-banda ideal solo deja pasar las componentes espectrales que esten el intervalo [f1,f2](figura 3.15). En la practica, las componentes fuera de este intervalo pasaran pero de manera atenuada.Mientras mas alejadas esten del intervalo mayor sera el nivel de atenuacion. El ancho de banda de unfiltro puede ser expresada de 2 maneras:

1. El ancho de banda a -3 dB (o media potencia);

2. El ancho de banda de ruido efectivo

El ancho de banda a -3 dB y el ancho de banda de ruido efectivo son practicamente identicos para lamayorıa de los filtros.

Los filtros pasa-banda pueden ser clasificados en:

1. Filtros con ancho de banda constante; donde el ancho de banda es constante e independiente de lafrecuencia central del filtro;

2. Filtros con ancho de banda relativo; donde el ancho de banda es especificado como un porcentajede la frecuencia central; por lo que a mayor frecuencia mayor es el ancho de banda.

Observacion 38 Los filtros con ancho de banda constante tienen ancho de banda iguales si el espectroes mostrado con el eje en frecuencias lineal; los filtros con ancho de banda relativo tienen ancho de bandaiguales si el espectro es mostrado con el eje en frecuencias logarıtmico.


Figura 3.16: Tipos de filtros pasa-banda

Figura 3.17: Parametros de calidad de un filtro PB

Ejemplo 16 Un filtro de 1/1 octavas es un filtro con ancho de banda relativo de 70%. Por ejemplo, sila frecuencia central es 2 Hz, el ancho de banda sera

√2 Hz y entonces:

f1 = 2−√

2/2 =√

2

f2 = 2 +√

2/2 =5√

22

Se dice que el filtro es de 1 octava porque f2 = 2f1. Una octava corresponde a un factor de 2 en la escalade frecuencia; osea, al doble o la mitad de la frecuencia central.

Observacion 39 Otros filtros muy usados son el de un tercio de octava (23%) y el de una decada(f2 = 10f1).

La calidad de un filtro puede ser especificada de diferentes maneras:

1. El factor de calidad (Q-factor). Muy usado para describir la respuesta en una zona de resonanciade una estructura mecanica (que actua como un filtro PB para las excitaciones);

2. Factor de forma. Usado para especificar la calidad de un filtro con ancho de banda constante.

3. Selectividad de octavas. Usado para filtros con banda de ancho relativo. Se especifica en octavas(figura 3.17).

Como regla general, los filtros con banda de ancho constante son usados para medidas de vibraciones.Ello se debe a que en las vibraciones aparecen comunmente componentes armonicas que son mas facilesde mostrar en un escala lineal de frecuencias. Los filtros con ancho de banda relativo son mas usados enacustica.

3.2. SENSORES 67

Figura 3.18: Colector de datos

3.2.11. Colectores

Los ADC actuales son de 16 bits, frecuencia maxima 40 KHz, Rutas son configuradas desde softwareen PC desktop, senal tacometro, 1,2 canales de adquisicion. Entre las marcas que dominan el mercadose tiene CSI,Predict,Bently Nevada, Entek IRD, Bruel & Kjaer, Diagnostic Instruments, Framatome,Schenck.

Capıtulo 4

Sistemas con dos grados de libertad

4.1. Ecuacion del movimiento

Considerese el sistema de figura 4.1.Las ecuaciones del movimiento de tal sistema son:

m1x1 + (c1 + c2)x1 − c2x2 + (k1 + k2)x1 − k2x2 = f1

m2x2 − c2x1 + c2x2 − k2x1 + k2x2 = f2

Por conveniencia, ellas pueden ser reescritas en forma matricial:[m1 00 m2

]x1

x2

+[c1 + c2 −c2−c2 c2

]x1

x2

+[k1 + k2 −k2

−k2 k2

]x1

x2

=f1f2

(4.1)

y en forma simbolica:Mx + Cx + Kx = f (4.2)

Las matrices M, C, K son conocidas como matrices de masa, amortiguacion, rigidez, respectivamente.

4.2. Vibraciones libres

4.2.1. Vibraciones libres en sistemas no amortiguados

En este caso, la ecuacion homogenea es de la forma:

Mq + Kq = 0

cuya solucion es:q = Q0e

st

11 22

21

Figura 4.1: Sistema con 2 grados de libertad

69

70 CAPITULO 4. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

sustituyendo: (Ms2 + K

)q = 0 (4.3)

la solucion (no trivial) del sistema se encuentra para los valores de s que satisfagan:

det(Ms2 + K

)= 0

Ejemplo 17 Considere el caso de figura 4.1 con k1 = k2, m1 = m2. Entonces:

det([

ms2 + 2k −k−k ms2 + k

])= 0(

ms2 + 2k) (ms2 + k

)− k2 = 0

s21 = −0,382k

m

s22 = −2,618k

m

Por lo que las frecuencias naturales son:

ω1 = 0,618

√k

m

ω2 = 1,618

√k

m

Ejemplo 18 Encuentre las ecuaciones del movimiento (linealizadas) para el pendulo doble mostrado enla figura 4.2 m1 = m2 = m, L1 = L2 = L. Exprese las matrices de masa y rigidez.

Tomando momentos c/r a la masa m1 y al pivote O, se obtiene:

m2L22θ2 = −m2gL2 sin θ2 −m2L1L2θ1

m1L21θ1 = −m1gL1 sin θ1 −m2gL1 sin θ1 −m2L1(L1θ1 + L2θ2)

Linealizando sin θ ≈ θ para angulos pequenos,

θ1 + θ2 +g

Lθ2 = 0 (4.4)

θ1 +12θ2 +

g

Lθ1 = 0

o matricialmente:

M =[

1 11 1

2

]K =

g

L

[1 00 1

]Notese que el acoplamiento se da en la matriz de masa.

Ejemplo 19 Utilizando Lagrange: Fijando un nivel de energıa potencia nula a la altura del pivote:

V = −m1gL1 cos θ1 −m2g (L1 cos θ1 + L2 cos θ2)

V = −m1gL1 cos θ1 −m2g (L1 cos θ1 + L2 cos θ2) (4.5)

Para el calculo de la energıa cinetica se debe considerar tanto la componente horizontal como la verticalde la velocidad:

T =12m1

[(L1θ1 sin θ1

)2

+(L1θ1 cos θ1

)2]

+

12m2

[(L1θ1 sin θ1 + L2θ2 sin θ2

)2

+(L1θ1 cos θ1 + L2θ2 cos θ2

)2]

4.3. MODOS PROPIOS 71

1

2

θθ1

θθ2

Figura 4.2: Pendulo doble

si los angulos son pequenos,

T =12m1

[(L1θ1θ1

)2

+(L1θ1

)2]

+12m2

[(L1θ1θ1 + L2θ2θ2

)2

+(L1θ1 + L2θ2

)2]

despreciando productos,

Tlin =12m1

(L1θ1

)2

+12m2

(L1θ1 + L2θ2

)2

(4.6)

Usando (4.5) y (4.6) se llega la sistema (4.4).

4.3. Modos propios

Los vectores que satisfacen la ecuacion 4.3 son los llamados vectores propios.

Ejemplo 20 Para el ejemplo anterior sustiyuyendo s21 = −0,382 kmen :

q2 = 1,618q1

y para s22 = −2,618 km :

q2 = −0,618q1

Observacion 40 Notese que al sustituir una raız si en (4.3) solo se obtiene 1 ecuacion independiente.Para hallar los vectores propios es necesario anadir una condicion de normalizacion arbitraria.

Observacion 41 Un modo propio puede ser multiplicado por cualquier constante y aun ası cumplir conla ecuacion caracterıstica.

4.3.1. Normalizacion de modos

1. Igualar la maxima componente a 1,max(qi) = 1

q1 =

11,618

q2 =

−0,618

1


2. Igualar una componente a 1,

q1 =

11,618

q2 =

1

−0,618

3. Igualar la normal del vector a 1,|qi| = 1

q1 =

11,618

q2 =

1

−0,618

4. Masa modal unitaria, qTi Mqi = 1

q1 =1√m

1,9022,210

q2 =

1√m

1,175−,726

4.3.2. Propiedades de los modos propios

Una propiedad muy importante de los modos propios es la llamada ortogonalidad con respecto a K yM:

qTi Kqj = δijγi (4.7)

qTi Mqj = δijµi

donde δij corresponde a la funcion delta de Kronecker:

δij =

1 si i = j0 si i 6= j

y γiy µi corresponden a las rigidez modal y masa modal del i-esimo modo propio.

Observacion 42 Notese que tanto la rigidez modal como la masa modal dependen de la norma utilizada.Sin embargo su relacion no depende de esta:

ω2i =

γi

µi

Definicion 1 Para fines operativos, se define la matriz modal como aquella que ordena los modos propiosen columnas:

Q =[

q1 · · · qn

]Observacion 43 De acuerdo a lo anterior, QT KQ y QT MQ son matrices diagonales

4.3.3. Analisis modal en sistemas amortiguados

Para resolver el problema ?? se extiende tal sistema utilizando la igualdad:

Mx−Mx = 0

4.4. COORDENADAS MODALES 73

con lo que queda el sistema con 2n incognitas:[C MM 0

]xx

+[

K 00 −M

]xx

=

f0

lo que toma la forma [17]:

Ar + Br = s

con las matrices simetricas

A =[

K 00 −M

]B =

[C MM 0

]y los vectores de estado y de excitacion:

r =

xx

s =

f0

El caso homogeneo

Ar + Br = 0

tiene la solucion de la formar = yeλt

lo que lleva al problema de valores propios

Ay+λBy = 0

Ejercicio 8 1En la figura se muestra la representacion esquematica de un automovil. Si el vehıculo pesa4000 Lb y tiene un radio de giro de 4.5 pies alrededor del centro de gravedad, encuentre las frecuenciasy modos propios. Datos: k1 = 250 Lbf/pulg,k2 = 270 Lbf/pulg.

mx = −k1(x− l1θ)− k2(x− l2θ)Jθ = k11(x− l1θ)l1 − k2(x− l2θ)l2

donde el momento de inercia del automovil es:

J = mk2

Ejemplo 21 Considerese el sistema de la figura. Calcule modos propios y frecuencias naturales.

m1x = −k1(x− rθ)Jθ = k2r

2θ − k1(rθ − x)r

con J = 12m2r

2 es le momento de inercia del cilindro.

4.4. Coordenadas modales

4.4.1. Ecuacion del movimiento en vibraciones libres

Para un sistema conservativo las vibraciones libres son combinaciones de cada modo propio:

x(t) =∑

i

(αi sinωit+ βi cosωit)qi (4.8)

1ejemplo 17. cap 2, ref. [?].


Figura 4.3: Sistema con 2 grados de libertad

y para sistemas amortiguados:

x(t) =∑

i

e−ξiωit (αi sinωit+ βi cosωit)qi

que ademas cumplen las condiciones iniciales:

x(0) = x0

x(0) = x0

Ejercicio 9 Determine los x(t) del sistema dado si x(0) =x1,0 0

T , x(0) =

0 0T

4.5. Vibraciones forzadas

4.5.1. Metodo directo para respuesta estacionaria

Si la excitacion es de tipo armonico y es de interes la respuesta estacionaria, es como usar el metododirecto, que utiliza el algebra compleja:

f = F0ejωt

x = X0ejωt

La sustitucion de estas ecuaciones en 4.2 conduce a un sistema cuadrado de ecuaciones del tipo:

Zx = f

x = Hf

con

Z = −ω2M+jωC + K

=H−1

la matriz Z es conocida como matriz de rigidez dinamica. Su inversa es llamada matriz de flexibilidaddinamica o matriz respuesta. Los elementos diagonales de H corresponden a las funciones respuesta


directas (vale decir, del grado de libertad que es excitado). Los demas elementos corresponden a lasfunciones respuesta de transferencia.

Observacion 44 Notese que tanto Z como H dependen de ω.

Ejemplo 22 Para el sistema en estudio, la respuesta a una excitacion del tipo f =f1,0 0

Tejωt es:

x =f1,0

k−mω2

m2(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)−k

m2(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)

Para este caso, cuando ω =

√k/m la respuesta en el punto de excitacion se anula ( antirresonancia).

Observacion 45 El sistema tiene tantas frecuencias naturales como grados de libertad

Observacion 46 la respuesta tiende al infinito cuando ω → ω1, ω2. Esta condicion se llama resonancia.

Observacion 47 Notese que las antirresonancias son propiedades locales, las resonancias son propiedadesdel sistema.

4.5.2. Metodos de Integracion directa en el tiempo

En caso de que las respuestas transientes tambien sean de interes y el calculo de las bases modalessea muy caro computacionalmente, es posible utilizar. Entre ellos encontramos el metodo de Newmark,el metodo HHT. El lector interesado es referido a la referencia [17].

Ejercicio 10 Programe el modelo del ejemplo de dos grados de libertad en Simulink. Compare las fre-cuencias naturales obtenidas con las teoricas.

4.5.3. Metodo modal

De acuerdo a la ecuacion 4.8, toda deformacion que sufra el sistema puede ser descrita como una combi-nacion de sus modos propios. Gracias a la propiedad de ortogonalidad 4.7 es posible obtener rapidamentela respuesta de un sistema a una excitacion dada. Para tal fin, se introduce la siguiente transformacion:

x = Qz

Aplicando tal transformacion en la ecuacion del movimiento 4.2 se obtiene:

QT MQz + QT KQz = QT f

µz + γz = QT f (4.9)

el sistema 4.9 es un sistema de ecuaciones desacoplado, vale decir, que cada desplazamiento modal zi

puede ser obtenido usando solo la i-esima ecuacion.

Ejercicio 11 Resuelva utilizando el metodo modal el problema de vibraciones libres del ejemplo 22.

4.5.4. Metodo de desplazamientos modales

En caso de estudiar un sistema que posee muchos grados de libertad, el calculo de la base modal com-pleta Q implica calculos que pueden tomar mucho tiempo o que pueden sufrir de inestabilidad numerica.Es por ello que se asume que la respuesta va a estar dominada por una cierta cantidad de modos (usual-mente los primeros). Entonces se usa:

x ' x = Qz

donde Q solo dispone de n < N modos propios.


4.5.5. Metodo de aceleraciones modales

Una forma de enriquecer la respuesta calculada con el metodo de los desplazamientos es anadiendoel efecto estatico de los modos que no han sido calculados. Supongase que el sistema posee N grados delibertad y se han logrado calcular n modos. La respuesta exacta del sistema se puede escribir como:

x = −K−1Mx + K−1f

Si K−1 existe (lo cual no es el caso cuando existen modos rıgidos):

K−1M =[Ω2]−1

donde Ω2 es la matriz que contiene en su diagonal todas las frecuencias naturales del sistema (al cuadrado).Aproximando x por -ω2x :

x ' x = ω2[Ω2]−1

x + K−1f

En este caso[Ω2]

contiene solo las frecuencias de los modos usados en la aproximacion. x es la aproxi-

macion del metodo de los desplazamientos modales2.El lector interesado es referido a la referencia [11].

Ejercicio 12 Verifique el metodo con 0,1 y 2 modos propios para el ejemplo de estudio.

4.6. Absorbedor de Vibraciones

Un problema de resonancia puede ser evitado o reducido de 3 maneras:

1. Eliminando la excitacion (reduciendo la fuerza o aislando el sistema),

2. Cambiando la frecuencia natural (variando masa y/o rigidez),

3. Anadiendo amortiguamiento.

Una forma alternativa considera el uso del absorbedor de vibraciones; que explota el concepto deantirresonancia. Supongase que inicialmente se dispone del sistema:

m1x1 + k1x1 = f1

Cuya frecuencia natural es ω1 =√k1/m1. Si se anade un segundo grado de libertad m2, k2 con frecuencia

natural ω2 =√k2/m2 (cuando se fija un extremos del resorte) se obtiene un sistema como el mostrado

en figura 4.1 y cuya ecuacion del movimiento esta indicada en la ecuacion 4.1 con f2 = 0. La respuestaestacionaria a una fuerza f1 = F1 sinωt esta dada por:

x = Z−1f

f =F1

0

La solucion es:

x =F1

k1

1(1 + k2

k1− ω2

ω21

)(1− ω2

ω22

)− k2

k1

1− ω2

ω22

1

Se ve que cuando ω = ω2 el grado de libertad 1 pasa de moverse con amplitud

F1/k1

1− ω2

ω22

a 0.2En apendice .6 se muestra un ejemplo en Matlab.

4.7. MOVIMIENTOS DE CUERPO RIGIDO 77

11

21

Figura 4.4: Sistema con modo de cuerpo rıgido

Observacion 48 Notese que se impone solo una condicion sobre la frecuencia natural ω2 del sistemaauxiliar. Hay infinitas posibilidades de m2, k2 que la cumplen.

Observacion 49 Las frecuencias ω1, ω2 corresponden a las frecuencias de los sistemas principal y aux-iliar por separado y no corresponden a las frecuencias naturales ω∗1 , ω

∗2 del sistema acoplado.

4.7. Movimientos de cuerpo rıgido

Cuando un sistema es capaz de moverse sin acumular energıa potencial, aparecen los llamados modosde cuerpo rıgido; que se caracterizan por una frecuencia natural igual a 0.

Ejemplo 23 Obtener los modos propios del sistema mostrado en figura 4.4. La ecuacion del movimientoes:

Mx + Kx = 0

M = m

[1 00 1

]K = k

[1 −1−1 1

]De acuerdo a los resultados mostrados en apendice .4:

ω21 = 0,q1 =

,707,707

ω2

2 = 2k

m,q2 =

,707−,707

4.8. Modelos de Amortiguamiento

4.8.1. Amortiguamiento proporcional

El amortiguamiento proporcional se define como:

C = αM + βK

tal modelo facilita bastante el trabajo de modelacion (pues M y K estan disponibles) y ademas producemodos de vibrar iguales a los del sistema conservativo asociados. Ello tambien implica que son modosreales. Un modo real es aquel en que todos los grados de libertad alcanzan su maximo en el mismoinstante. En caso de no ser ası se habla de modos complejos.

Mx + Cx + Kx = f (4.10)

Utilizando la transformacion modal:x = Qz


Figura 4.5: Viga empotrada con 2 masas concentradas

Aplicando tal transformacion en la ecuacion del movimiento se obtienen las ecuaciones desacopladas:

QT MQz + QT CQz + QT KQz = QT f

µz + (αµ+ βγ) z + γz = QT f (4.11)

Observacion 50 Cada ecuacion en 4.11 esta desacoplada del resto, con lo cual la solucion es facil deobtener.

Si el amortiguamiento es no proporcional, el utilizar este metodo implica despreciar el efecto de losterminos no diagonales de QT CQ. Lo que desacopla el sistema de ecuaciones-.

Ejemplo 24 Para el ejemplo de figura 4.1 considerese c1 = c2 = 0,2, k = m = 1. La respuesta seencuentra en apendice .6.

4.9. Obtencion de la matriz de rigidez

Una forma interesante de obtener la matriz de rigidez de un sistema se desprende de la observacion:

K

10

=k11

k21

en otras palabras, al aplicar un desplazamiento unitario en algun grado de libertad (el gdl 1 en este caso)se obtienen las fuerzas internas elasticas que aparecen debido a ella, y que corresponden a la columnaasociada al grado de libertad (la primera en el ejemplo).

Otra manera de obtenerla es a traves de la matriz de flexibilidad estatica:

K−1

10

=f11f21

donde

F = K−1

Osea, si una fuerza aplicada en un gdl de libertad dado, los desplazamientos de cada gdl forman lacolumna asociada de la matriz de flexibilidad. Luego de conseguir cada columna de F es posible obtenerK.

Ejemplo 25 Obtener la matriz de rigidez de la viga empotrada mostrada en figura ??. La masa de laviga es despreciable.

Usando las tablas de deflexiones (mecanica de solidos) y aplicando una fuerza unitaria en el gdl 1:H11

H21

=

l3

48EI

25

4.9. OBTENCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 79

1

Figura 4.6: Obtencion experimental de la primera columna de K

1

Figura 4.7: Obtencion de la segunda columna de K

1

Figura 4.8: Obtencion de la primera columna de la flexibilidad estatica Hω=0


y luego en el gdl2: H11

H21

=

l3

48EI

516

por lo que:

Hω=0 =l3

48EI

[2 55 16

]e invirtiendo:

K =48EIl3

[16 −5−5 2

]Observacion 51 Para un sistema lineal, tanto la matriz de rigidez como la de flexibilidad son simetricas

Observacion 52 A cada elemento de la matriz de flexibilidad se le llama coeficiente de influencia.A los de la matriz de rigidez, coeficientes de rigidez.

Observacion 53 Los coeficientes de rigidez en la diagonal de K deben ser positivos para que el sis-tema sea estable. Lo contrario implica que al aplicar una fuerza aparece una fuerza elastica que tiende adeformar aun mas el sistema.

Ejercicio 13 Consiga experimentalmente la matriz de rigidez para el caso de una viga empotrada.

Capıtulo 5

Sistemas continuos

El estudio de este tipo de sistemas con masa distribuida permite justificar el enfoque con masasconcentradas estudiado previamente.

5.1. Barras

Se desea estudiar las vibraciones axiales de una barra homogenea (figura 5.1)cuando es excitada porun desplazamiento inicial:

Sea u(x, t) el desplazamiento axial de la seccion ubicada a x distancia de un extremo. El equilibrio deuna seccion de largo infinitesimal dx (figura 5.2) es:∑

Fx = mu

N +∂N

∂xdx−N = ρAdx︸︷︷︸

dm

∂2u(x, t)∂t2

(5.1)

Pero

σ = EεN

A= E

∂u(x, t)∂x

Derivando y ordenando:∂N

∂x= EA

∂2u(x, t)∂x2

(5.2)

Sustituyendo (10.1) en (5.2) se obtiene la ecuacion de la onda en una direccion:

∂2u(x, t)∂x2

=1c2∂2u(x, t)∂t2

(5.3)

Figura 5.1: Barra empotrada

81

82 CAPITULO 5. SISTEMAS CONTINUOS

Figura 5.2: Elemento de barra

donde

c =

√E

ρ

es la velocidad del sonido en el material.La solucion general de la ecuacion 5.3 toma la forma

u(x, t) = f1 (x− ct) + f2 (x+ ct) (5.4)

donde fi es una funcion arbitraria que satisface las condiciones inıciales y de borde. Fısicamente, ambasson funciones que viajan en el sentido y contra el sentido de x con una velocidad c. La solucion tal comose muestra en ecuacion 5.4 es util en el estudio de fenomenos transientes. Sin embargo, para analisis encondiciones estacionarias es practico utilizar la solucion de la forma:

u(x, t) = q(x)f(t) (5.5)

de acuerdo al metodo de separacion de variables. Reemplazando 5.5 en 5.3:

c2

U(x)∂2q(x)∂x2

=1f(t)

∂2f(t)∂t2

= cte = −ω2

∂2q(x)∂x2

+ω2

c2q(x) = 0

∂2f(t)∂t2

+ ω2f = 0

Entonces

Y (x) = c1 sinω

cx+ c2 cos

ω

cx (5.6)

f(t) = c3 sinωt+ c4 cosωt

Finalmente,

u(x, t) = q(x)f(t) =(c1 sin

ω

cx+ c2 cos

ω

cx)

(c3 sinωt+ c4 cosωt) (5.7)

c1,c2,y las frecuencias naturales ω se consiguen utilizando las condiciones de borde.Como y(0, t) = y(l, t) = 0 entonces

c1 sinω

cl = 0 −→ sin

ω

cl = 0 −→ ωi =

iπc

l, yi(t) = ci sin

ωi

cx

c2 = 0

5.1. BARRAS 83

Figura 5.3: Elemento de barra en torsion

Y la solucion general es la suma de todas las soluciones particulares:

y(x, t) =∑(

ci sinωi

cx)

(c3 sinωit+ c4 cosωit) (5.8)

Las constantes ci,c3,c4 son obtenidas de las condiciones iniciales.

Ejemplo 26 Para el caso de la barra empotrada-libre, exprese las frecuencias naturales y la serie querepresenta sus vibraciones libres. Inicialmente se ha estirado el extremo en q0 unidades.

La solucion general es de la forma dada por ecuaciones (5.5) y (5.6). En el extremo libre la condicionde borde es:

u(0, t) = 0 (5.9)du

dx(L, t) = 0 (5.10)

de (5.9) y (5.10),

c2 = 0

cosωc

L= 0

por lo que las frecuencias caracterısticas son de la forma:

ωi = (2i− 1)π

2c

L, i = 1, 2, ...

5.1.1. Barras en torsion

∑Mx = Ixθ

T +∂T

∂xdx− T = Ix

∂2θ(x, t)∂t2

(5.11)

para un eje circular:Ix = Jρ

T = GJ∂θ

∂x

∂2θ

∂x2=

1c2∂2θ

∂t2

c =

√G

ρ


Figura 5.4: Condiciones iniciales de la cuerda

5.1.2. Cuerdas

Escribir la ecuacion del movimiento de la cuerda de figura. Si la deflexion de la cuerda es pequena,puede asumirse que la traccion T no variara con la vibracion.∑

Fy = my

T

(θ +

∂θ

∂xdx

)− Tθ = ρdx︸︷︷︸

dm

∂2y(x, t)∂t2

(5.12)

∂θ

∂x=

ρ

T

∂2y(x, t)∂t2

(5.13)

y como θ = ∂y∂x

∂2y(x, t)∂x2

=1c2∂2y(x, t)∂t2

con c =√

Tρ , la velocidad de propagacion de las ondas a lo largo de la cuerda.

Sea

y(x, 0) =

2hxl para 0 ≤ x ≤ l/2

2h l−xl para l

2 ≤ x ≤ l

y(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ l

Introduciendo las condiciones iniciales en (5.8)=⇒ c3 = 0seguir desarrollo

y(x, t) =∞∑

i=1

8hπ2i2

sin iπ

2︸︷︷︸participacion modal

siniπx

l︸︷︷︸qi

cosωit

con ωi = iπcl .

Observacion 54 Notese en figura 5.5 que los modos impares son preponderantes en la solucion.

5.1.3. Respuesta forzada

Ejemplo 27 Determine la respuesta estacionaria de una barra sometida a una fuerza f0 sinωt en suextremo libre.

La solucion general toma la forma

u(x, t) = q(x)f(t) =∑(

ci sinωi

cx+ di cos

ωi

cx)fi (t)

Las condiciones de borde son:u(0, t) = 0

5.1. BARRAS 85

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Índice del modo

Figura 5.5: Factores de participacion modal para el ejercicio dado

Figura 5.6: Primer modo de la cuerda o la barra

Figura 5.7: Segundo modo

F0 sin !t

Figura 5.8: Barra en traccion dinamica


p(x,t)

x dx

Figura 5.9: Equilibrio de fuerzas para Viga de Euler

por lo quedi = 0

y en el extremo libre se tiene que:∂u(l, t)∂x

= 0

entoncesciωi

ccos

ωi

cl = 0

dondeωi =

iπc

2li = 1, 3, 5, ...

y la respuesta forzada es de la forma:

u(x, t) = f0 sinωt︸︷︷︸f(t)

∞∑i=1,3,5,...

8l(−1)(i−1)/2

π2EAi21

1−(

ωωi

)2

︸︷︷︸participacion modal

sin iπx

2l

5.2. Vigas

5.2.1. Viga de Euler Bernoulli

Las hipotesis aplicadas son que las deformaciones causadas por esfuerzos de corte son despreciables,lo mismo que las inercias a la rotacion. ∑

Fy = my

p(x, t) + V −(V +

∂θ

∂xdx

)= ρAdx︸︷︷︸

dm

∂2y

∂t2(5.14)

∂V

∂x= p(x, t)− ρA

∂2y

∂t2(5.15)

∑MZ = 0

M + V dx−(M +

∂M

∂xdx

)= 0

entonces∂M

∂x= V (5.16)

Sustituyendo (5.16) en (5.15):∂2M

∂x2+ ρA

∂2y

∂t2= p(x, t)

5.2. VIGAS 87

pero

M = EI∂2y

∂x2

Sustituyendo

EI∂4y

∂x4+ ρA

∂2y

∂t2= p(x, t)

Ejemplo 28 La viga de Timoshenko considera la deformacion por corte como la inercia de rotacion.Suponiendo que la seccion transversal permanece plana se obtiene:

EI∂4y

∂x4+ ρA

∂2y

∂t2︸︷︷︸Euler

− J∂4y

∂x2∂t2︸︷︷︸Inercia rotacion

−

mEI

kAG

∂4y

∂x2∂t2+

EI

kAG

∂2p

∂x2︸︷︷︸Def. angular por corte

− J

kAG

∂4p

∂t2+

Jm

kAG

∂4y

∂t4︸︷︷︸Efecto acoplado corte e inercia rot.

= p(x, t)

La solucion (usando separacion de variables) es:

y(x, t) = q(x)f(t)

entonces:EI

ρA

1q(x)

∂4q

∂x4= − 1

f(t)∂2f(t)∂t2

= ω2

∂2f(t)∂t2

+ ω2f(t) = 0

∂4q

∂x4− ρA

EIω2q(x) = 0

Por lo quef(t) = A sinωt+B cosωt

Definiendo convenientemente:

β4 =ρA

EIω2 (5.17)

Aparece la ecuacion auxiliar

r4 − β4 = 0 =⇒r1,2 = ±βr3,4 = ±jβ

q(x) = c1 sinβx+ c2 cosβx+ c3 sinhβx+ c4 coshβx

Finalmente,

y(x, t) = (c1 sinβx+ c2 cosβx+ c3 sinhβx+ c4 coshβx) (A sinωt+B cosωt)

Las constantes ci y las frecuencias naturales ωi se consiguen a partir de las condiciones de borde.


Condicion Fuerzas y momentos Desplazamientos

Libre M = 0, V = 0 ∂2y(,t)∂x2 = 0, ∂3y

∂x3 = 0Apoyo simple M = 0 ∂2y(,t)

∂x2 = 0, y = 0Empotramiento y = 0,∂y(,t)

∂x = 0

Cuadro 5.1: Condiciones para una viga

Ejemplo 29 Frecuencias naturales y modos propios de una viga simplemente apoyada. Dado que:

y(0, t) = 0

entoncesc1 sin 0 + c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0 = 0 (5.18)

ademas∂2y(0, t)∂x2

= 0

entoncesβ2 (−c1 sin 0− c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0) = 0 (5.19)

de (5.18) y (5.19):c2 = c4 = 0

Identicamente aplicando las condiciones de borde en x = l:

y(l, t) = 0∂2y(l, t)∂x2

= 0

c3 = 0 y:c1 sinβl = 0

lo que tiene infinitas soluciones para β:βil = iπ

y usando (5.17)

ωi =(iπ

l

)2√EI

ρA

y los modos propios estan dados porqi(x) = sin

(iπx

l

)(5.20)

Observacion 55 La relacion entre la n-esima frecuencia y la siguiente es:(

i+1i

)2Ejercicio 14 Grafique los primeros 4 primeros modos.

Ejercicio 15 Grafique las 10 primeras frecuencias naturales en escala semilogaritmica.

5.2.2. Vibraciones forzadas

Ejemplo 30 Determinar las vibraciones estacionarias de una viga simplemente apoyada excitada por una fuerza armonica puntual de amplitud F0 y frecuencia ω rad/s, aplicada a una distancia a de uno de susextremos.Usando la base modal (5.20) los desplazamientos pueden ser descritos como:

y(x, t) =∞∑

i=1

αi(t)qi(x).

5.2. VIGAS 89

donde los modos propios qi(x) son de la forma 5.20.Usando el metodo de Lagrange:

V =12

∫EI

(∂2y

∂x2

)2

dx =EIπ4

4l3

∞∑i=1

α2i (t)

T =12

∫ρA

(∂y

∂t

)2

dx =ρlA

4

∞∑i=1

α2i (t)

Qi = siniπa

lf(t)

donde Qi es la carga generalizada.Reemplazando:

αi +iπ4η2

l4αi =

2ρlA

siniπa

lcon i = 1, 2, 3, ..

y n = EIρA .

Si f(t) = f0 sinωt la respuesta estacionaria esta expresada por:

y(x, t) = f0 sinωt︸︷︷︸f(t)

∞∑i=1

2ρAl

1ω2

i

1

1−(

ωωi

)2 sin(iπa

l

)︸︷︷︸

sin(iπx

l

)︸︷︷︸

qi(x)

participacion modal

Observacion 56 Notese el factor de ”premio” para los modos cuyas frecuencias naturales estan cercanasa las frecuencias naturales. Eso los hace dominar la combinacion. Tambien hay un factor de castigo paralos modos a altas frecuencias.

Observacion 57 La posicion espacial es tambien relevante para participacion de cada modo en la re-spuesta. Por ejemplo si a = l/2, sin

(iπ a

l

)= sin

(iπ 1

2

)= 0 para todos los modos pares (i = 2, 4, ...). Se

habla en este caso de que la fuerza es aplicada en un nodo de los modos afectados.(la carga solo excitalos modos simetricos:1,3,5,..).

Capıtulo 6

Sistemas con n grados de libertad

6.1. Introduccion

Cuando los sistemas son complejos, es muy difıcil o imposible en la practica encontrar solucionespara el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto (probablemente complejo) deexcitaciones. Como un medio practico de resolucion, Lord Rayleigh propuso inicialmente sustituir elproblema inicial de ∞ grados de libertad con uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendio elmetodo para utilizar varios grados de libertad.

Posteriormente (anos ’60) se comenzo a explorar el metodo de los elementos finitos, que puede serconsiderado como un aplicacion particular del metodo de Rayleigh-Ritz. En terminos muy basicos con-siste en subdividir el sistema en un numero finito de elementos de geometrıa simple, y que tienen uncomportamiento estructural bien conocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de unset pequeno de funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento (nodos).Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una solucion que puede ser muycercana al valor exacto.

6.2. Metodo de Rayleigh-Ritz

Este metodo expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinacion de funcionesdependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del tiempo:

u(x,t) =n∑

i=1

ni(x)qi(t) (6.1)

Notese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuacion anterior puede ser convenientementeescrita como:

u(x,t) = N(x)q(t) (6.2)

donde N(x) ordena las funciones de forma:

N(x) =[

n1 · · · nn

]y

q(t) =

q1(t)

...qn(t)

Observacion 58 Notese que en el metodo de Rayleigh Ritz, el vector q corresponde solo a una pon-deracion para las funciones de forma N. Veremos que en el metodo de elementos finitos el vector dedesplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertos grados de libertad.

91

92 CAPITULO 6. SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD

Mod

o#3

Mod

o#2

Mod

o#1

Frecuencia

Sens

ores

Figura 6.1: Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga

A fin de expresar la energıa potencial se definen los siguientes vectores (en el caso mas general):

ε =

ε1ε2ε3γ12

γ23

γ31

σ =

σ1

σ2

σ3

σ12

σ23

σ31

y el operador de diferenciacion espacial D (para el caso general):

D =

∂∂ x1

0 0 ∂∂ x2

0 ∂∂ x3

0 ∂∂ x2

0 ∂∂ x1

∂∂ x3

00 0 ∂

∂ x30 ∂

∂ x2

∂∂ x1

T

lo que nos permite expresar facilmente la deformacion ε:

ε(x,t) = Du(x,t)= DN(x)︸︷︷︸

≡B(x)

q(t)

La energıa cinetica puede ser expresada como:

T =12

∫V0

ρuudV

Usando 6.2:

T =12

∫V

ρ (Nq)T (Nq) dV

=12

∫V

ρqT NT NqdV

=12qT Mq

6.2. METODO DE RAYLEIGH-RITZ 93

donde la matriz de masa se define por:

M =∫V

ρNT NdV (6.3)

Observacion 59 Una matriz de masa definida por (6.3) es llamada consistente pues utiliza las mismasaproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez.

Observacion 60 El uso de matrices de masa no consistentes hace perder la garantıa de que las frecuen-cias naturales encontradas son sobre estimadas1.

Por su lado, la energıa potencial se expresa como:

U =∫V

WεdV (6.4)

donde la densidad de energıa de deformacion es:

Wε =12σT ε

y dado que paraσ = Hε

donde H es la matriz de Hooke. La energıa se expresa en terminos de ε:

U =12

∫V

εT HεdV

=12

∫V

qT BT HBqdV

=12qT Kq

donde la matriz de rigidez K se define por:

K =∫V

BT HBdV (6.5)

El vector de carga g se calcula a partir de la energıa potencial externa asociada a las fuerzas de cuerpox y de superficie t

¯:

P = −∫V

xT u dV −∫S

t¯

T u dS

= −∫V

xT Nq dV −∫S

t¯

T Nq dS

= −qT g (6.6)

con

f =∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

lo que nos permite escribir la ecuacion del movimiento:

Mq + Kq = f

1ver referencia [17], pp. 270.


0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n1

u

x/L

0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n2

x/Lu

0 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x/L

u

-0.5 ⋅ n1+0.25 ⋅ n

2

Figura 6.2: Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra

6.2.1. Barra empotrada

Expresemos las deformaciones posibles como:

u(x,t) = u(x, t) =x

lq1(t) +

x2

l2q2(t)

entonces:

N(x) =[

xl

x2

l2

]B(x) =

[1l 2 x

l2

]H=E

M=∫V

ρNT NdV

=∫l

ρNT NAdx

NT N =[ x

lx2

l2

] [xl

x2

l2

]=

[x2

l2x3

l3x3

l3x4

l4

]

M =ρA[

l3

l4

l4

l5

]= m

[13

14

14

15

]y la matriz de rigidez

K=∫V

BT HBdV

=∫l

[1l 2 x

l2

]TE[

1l 2 x

l2

]Adx

= EA

∫l

[ 1l2

2xl3

2xl3 4x2

l4

]dx

=EA

l

[1 1

l1l

43

]

6.3. METODO DE ELEMENTOS FINITOS 95

Con lo que el problema homogeneo queda:

m

[13

14

14

15

]q1q2

+EA

l

[1 1

l1l

43

]q1q2

=

00

6.3. Metodo de elementos finitos

6.3.1. Barras

Considere la expresion de los desplazamientos en terminos de los desplazamientos de ciertos puntos onodos:

u(x,t) = u(x, t) =2∑

i=1

ni(x)fi(t)

en este caso los fi(t) son los desplazamientos de los extremos de la barra y las funciones ni(x) son lasllamadas funciones de forma seleccionadas de tal manera que cumplan la siguiente condicion:

u(0, t) = f1(t)u(l, t) = f2(t)

Para el caso de la barra se utilizo en este ejemplo una interpolacion lineal entre los dos nodos:

n1(x) = 1− x

l

n2(x) =x

l

En forma similar al metodo de Rayleigh-Ritz,

u(x,t) = Ne(x)qe(t)

donde Ne(x) es la matriz de funciones de forma del elemento e y qe(t) es el vector de grados de libertaddel elemento e.

Las matrices de rigidez y masa del elemento e se definen segun 6.3 y 6.5. El vector de cargas elementalsegun 6.6.

Ejemplo 31 Para el caso de la barra estudiada:

Ne(x) =[

1− xl

xl

]Be(x) =

[− 1

l1l

]He=E

Me=∫V

ρNTe NedV

=∫l

ρNTe NeAdx

=∫l

ρ

[ (1− x

l

)2 (1− x

l

)xl(

1− xl

)xl

(xl

)2]Adx

= ρA

[l3

l6

l6

l3

]=m

6

[2 11 2

]


Ke=∫V

BTe HeBedV

=∫l

[− 1

l1l

]TE[− 1

l1l

]Adx

= EA

∫l

[1l2 − 1

l2

− 1l2

1l2

]dx

=EA

l

[1 −1−1 1

]

f=∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

=∫l

NT p(x, t) dx+[P1(t)P2(t)

]

si la carga axial es uniformemente distribuida p(x, t) = p y se aplican cargas Pi en los extremos:

fe=∫l

[1− x

lxl

]Tp dx+

[P1(t)P2(t)

]

fe =pl

2

[11

]+[P1(t)P2(t)

]

6.3.2. Ensamble

Si ordenamos todos los desplazamientos nodales en un vector q, podemos expresar los desplazamientosen cada elemento como:

qe = Leq

donde Le es el operador de localizacion, que corresponde a una matriz booleana con dimensiones dim(qe)×dim(q). Por ejemplo:

L2 =[

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

]indica que el elemento 2 es definido por los grados de libertad 2 y 3 del modelo completo.

Veıamos antes que:

T =12

∫V0

ρuudV

=12

n∑e=1

qTe Meqe

=12

n∑e=1

(Leq)T MeLeq

=12qT

(n∑

e=1

LTe MeLe

)︸︷︷︸

M

q


M,L, EA

1 2 3

1 2

Figura 6.3: Barra discretizada con 2 elementos finitos

Similarmente para la energıa potencial interna:

U =∫V

εT HεdV

=12

n∑e=1

qTe Keqe

=12qT

(n∑

e=1

LTe KeLe

)︸︷︷︸

K

q

y para las cargas externas:

f=∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

=n∑

e=1

LTe ge

Ejemplo 32 Considere el ejemplo de la barra libre-libre de figura 6.3. Exprese las matrices de masa yrigidez si se discretiza con 2 elementos. Masa de la barra M , largo L.

Dado que hay dos elementos me = M/2, le = L/2.De acuerdo a anterior:

Me =me

6

[2 11 2

]Ke =

EA

le

[1 −1−1 1

]Consideraremos para el primer elemento los grados de libertad 1 y 2:

L1 =[

1 0 00 1 0

]Con lo que el aporte del primer elemento a la matrices globales es:

LT1 K1L1 =

[1 0 00 1 0

]TEA

L/2

[1 −1−1 1

] [1 0 00 1 0

]=EA

L/2

1 −1 0−1 1 00 0 0

LT

1 M1L1 =[

1 0 00 1 0

]TM/2

6

[2 11 2

] [1 0 00 1 0

]=M/2

6

2 1 01 1 00 0 0


Para el segundo elemento,

L2 =[

0 1 00 0 1

]

LT2 K2L2 =

[0 1 00 0 1

]TEA

L/2

[1 −1−1 1

] [0 1 00 0 1

]=EA

L/2

0 0 00 1 −10 −1 1

LT

2 M2L2 =[

0 1 00 0 1

]TM/2

6

[2 11 2

] [0 1 00 0 1

]=M/2

6

0 0 00 2 10 1 2

al sumar los aportes:

K =2∑

e=1

LTe KeLe =

EA

L/2

1 −1 0−1 2 −10 −1 1

M =

2∑e=1

LTe MeLe =

M/26

2 1 01 4 10 1 2

Observacion 61 Cuando algun grado de libertad es fijado (qi = 0) el vector de localizacion de todoelemento que se conecte a el contendra solo ceros en la columna asociada al grado de libertad. Entonces,tanto la columna como la fila asociada al gdl en K y M contendran solo elementos nulos y es necesarioeliminarlas en los calculos.

Si a la barra del ejemplo anterior se fija el grado de libertad 1, las matrices quedan:

K′ =EA

L/2

[2 −1−1 1

]M′ =

M/26

[4 11 2

]con

q =q2q3

lo anterior es equivalente a definir las matrices considerando fijaciones como

K′ = K(2 : 3,2 : 3)M′ = M(2 : 3, 2 : 3)

o en forma simbolica,

K′ = K(locel, locel)M′ = M(locel, locel)

con

locel =

23

Observacion 62 Operacionalmente, no se usan los operadores Le. Es mas practico definir el vector delocalizacion elemental locel. Por ejemplo si los grados de libertad 1 y 2 (locales) del elemento 2 de barraestan asociados a los grados de libertad 2 y 3 (globales, de la estructura) entonces:

locel2 =

23


L

L

L L1 2 3

4

5

67 8 9

1 2 3 4

5 6

Figura 6.4: Estructura de barras

Figura 6.5: Sistemas de coordenadas locales u y globales U

luego, el vector de localizacion general queda definido como:

locel =∑

e

locele − fijos

donde fijos es un vector que guarda los libertad fijos. Para el ejemplo,

locel1 =

12

fijos = 1

luego,

locel = locel1 + locel2 − fijos

=

12

+

23

− 1

=

23

6.3.3. Coordenadas locales y globales

Considerese una estructura como la mostrada en figura (6.4), el ensamble en este caso debe considerarque los grados de libertad de cada elemento no coinciden necesariamente con las coordenadas cartesianasglobales. Para ello es necesario definir matrices de rotacion (ver figura 6.5):

ui = Ui cosα+ Vi sinα

lo que puede escribirse simbolicamente como:

[u1

u2

]︸︷︷︸

qeL

=[

cosα sinα 0 00 0 cosα sinα

]︸︷︷︸

R

U1

U2

U3

U4

︸︷︷︸

qeS


qeL y qeS representan los grados de libertad del elemento en los ejes locales y estructurales, respectiva-mente. Dado que la energıa es invariante respecto del sistema de referencia:

Ue =12

n∑e=1

qTeLKeLqeL =

12

n∑e=1

qTeSKeSqeS

entoncesKeS = RT KeLR

Ejemplo 33 Para el elemento de barra:

KeS =[

cosα sinα 0 00 0 cosα sinα

]TEA

l

[1 −1−1 1

] [cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

]con Maple (en Scientific):

KeS =EA

l

cos2 α cosα sinα − cos2 α − cosα sinα

sin2 α − cosα sinα − sin2 αcos2 α cosα sinα

sim. sin2 α

(6.7)

Para el calculo de la energıa cinetica en los ejes globales se debe anadir la energıa por movimientostransversales al eje de la barra

MeS =ml

6

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

(6.8)

El proceso de ensamble de los elementos se puede organizar ası:

1. Identificar los grados de libertad estructurales para formar el vector de desplazamientos estructuralesq,

2. Se construye para cada elemento el vector de localizacion,

3. Se construyen las matrices elementales de rigidez y masa en las coordenadas globales,

4. Se ensamblan:

for i=1:n

K(locel_i,locel_i)=K_i;

end

5. Se fijan los grados de libertad (y se reducen las matrices).

6.3.4. Viga

Si las cargas estaticas de una viga corresponden a fuerzas y momentos, la deformada puede ser descritade manera exacta por un polinomio cubico:

y(x) = a+ bx+ cx2 + dx3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1n1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2n2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1n3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2n4

Figura 6.6: Funciones de forma para la viga

que tambien puede ser descrito en terminos de los desplazamientos en los nodos:

a = y1

b = y2

c = 3y3 − y1l2

− y4 + 2y2l2

d = 2y1 − y3l3

− y4 + y2l2

con lo que (usando el cambio adimensional ξ = xl )

y(x) =(1− 3ξ2 + 2ξ3

)︸︷︷︸n1(ξ)

y1 + ξ (1− ξ)2︸︷︷︸n2(ξ)

y2 +(3ξ2 − 2ξ3

)︸︷︷︸n3(ξ)

y3 + ξ2 (ξ − 1)︸︷︷︸n4(ξ)

y4

ue(x,t) = Ne(ξ)qe(t)

con

Ne(ξ) =

1− 3ξ2 + 2ξ3

ξ (1− ξ)2

3ξ2 − 2ξ3

ξ2 (ξ − 1)


Ke=∫V

BT HBdV

=

1∫0

EI(ξ)(d2Ndξ2

)T (d2Ndξ2

)dξ

EI

l3

12 6l −12 6l

4l2 −6l 2l2

12 −6lsim 4l2

Me=∫V

ρNT NdV

= m

1∫0

NT Ndξ

=m

420

156 22l 54 −13l

4l2 13l −3l2

156 −22lsim 4l2

Los terminos no diagonales son pequenos en general ası como las inercias asociadas a las rotaciones. Espractico utilizar la matriz de masas concentradas (que corresponde a considerar la masa concentrada enlos extremos de la viga):

Me= =m

2

1

01

0

Ejemplo 34 Viga empotrada en ambos extremos. longitud 2l, masa 2m. Los vectores de localizacion son:

locel1 =[

1 2 3 4]T

locel2 =[

3 4 5 6]T

y el vector de grados de libertad fijos es:

fijos =[

1 2 5 6]T

Siguiente el proceso descrito anteriormente, la matriz de rigidez sin fijaciones es2:

EI

l3

12 6l −12 6l

4l2 −6l 2l2

12 + 12 −6l + 6l −12 6l4l2 + 4l2 −6l 2l2

12 −6lsim. 4l2

(6.9)

y el vector de grados de libertad fijos es[

1 2 5 6]T entonces:

K =EI

l3

[24 0

8l2

]2l corresponde al largo del elemento.


Similarmente para la matriz de masa3:

M =m

420

[312 0

8l2

]Las frecuencias naturales del sistema (K,M) son (para L = 2l):

ω21 = 516,92

EI

ML3

ω22 = 6720,0

EI

ML3

las que pueden ser comparadas con las frecuencias naturales exactas:

ω21 = 500,55

EI

ML3

ω22 = 3803,1

EI

ML3

Si aplicamos matriz de masas concentradas:

M =m

2

[2 00 0

]Con lo que las frecuencias naturales son aproximadas por:

ω21 = 384

EI

ML3

ω22 = ∞

Notese que la primera frecuencia fue subestimada.

Ejercicio 16 Resuelva el mismo problema modelando con 3 elementos con y sin masas concentradas.Compare frecuencias naturales.

Ejercicio 17 Usando 2 elementos, calcule la respuesta a una fuerza f = f0 sinωt aplicada en el centrode la viga.

Observacion 63 Un ejemplo de programacion se encuentra en anexo .6.

Ejemplo 35 4Considere la viga de la figura (10.17). Su masa es M = 2m y su longitud es 2l.Calcule la primera frecuencia natural ω1,

1. (use 2 elementos finitos).

Usando el metodo de Rayleigh Ritz con una deformacion senoidal.

a)2. Dibuje el modo propio

3. Calcule la respuesta estacionaria (usando el modelo de elementos finitos) si se aplica un momento

M = cosω1

2t

en la fijacion central de la viga.

Siguiendo el ejemplo (34), la matriz de rigidez sin fijaciones es igual a la mostrada en (6.9). Losgrados de libertad fijos son: los extremos 1, 2, 5, 6 y el desplazamiento en el centro 4.Luego,

K = 8EI

l3m es la masa de elemento; M = 2m4examen 2003.


M, EIL L

Figura 6.7: Sistema a analizar

Similarmente para la matriz de masa

M =8ml2

420

luego,

ω21 = 420

EI

ml3(6.10)

Des

plaz

amie

nto

trans

vers

al

Posicion axial

Figura 6.8: Modo propio asumido

Si aplicamos el metodo de Rayleigh Ritz asumiendo una deformacion sinuidal (figura 6.8),

y(x) = sinπx

lcon x = 0.,2l (6.11)

y(x, t) = y(x)q(t)

T =12

M∫y2dm

pero

dm =2m2l∂x

T =12q2(t)

m

l

∫ 2l

0

y2(x)∂x


y ∫ l

0

y2(x)∂x =∫ 2l

0

sin2(πxl

)∂x

= l

luego

T =12mq2(t) (6.12)

V =12

∫ 2l

0

EI

(∂2y(x, t)∂x2

)2

∂x

y ∫ 2l

0

(∂2y(x)∂x2

)2

∂x = q2 (t)π4

l3

luego

V =12

(π4EI

l3

)q2 (t) (6.13)

De (6.12) y (6.13) reconocemos los terminos,

k∗ =π4EI

l3

m∗ = m

luego

ω2n =

k∗

m∗

= π4 EI

ml3

= 97,4EI

ml3

aproximacion que es muy flexible frente a la de los elementos finitos (6.10). La funcion de aproximacion(.4) desprecia practicamente toda la energıa de deformacion que hay en los emportramientos.

Como el unico grado de libertad es la rotacion en el centro de la viga, el modo propio debe ser muysimilar al propuesto en figura (6.9).Como hemos terminado con un modelo con un grado de libertadpodemos usar la formula (1.10) para calcular la rotacion dinamica estacionaria asociada a la ecuaciondel movimiento.

m

420(8l2)θ4 +

EI

l3(8l2)θ4 = cos

ω1

2t

Reconociendo terminos,

x¯ 0 =

f0k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2f0k

=1

EIl3 (8l2)

=l

8EIω

ω1=

12

ξ = 0x¯ 0 = θ4,est

luego

θ4,est =l

6EI


Des

plaz

amie

nto

trans

vers

al

Posicion axial

Figura 6.9: Modo propio estimado

Ejemplo 36 5Construya un modelo para el sistema de barras mostrado en figura 6.10. Compare lasfrecuencias naturales si se restringe el movimiento vertical del carro inferior con un resorte de constantek. Llamaremos elemento 1 a la barra superior, 2 a la barra horizontal y 3 para la barra inferior. Los

E,A,l,ρ 45º

45º

M

1,2

5,6

3,4

7,8

1

2

3

94

5

1

2

3

4

Figura 6.10: Sistema a analizar

nodos estan numerados segun se muestra en figura 6.10. Los grados de libertad asociados a cada nodosiguen la ley,

igdl = ndn · (inodo − 1) + c

conndn = 2

para un elemento de barra; y c = 1 para componentes en x y c = 2 para componentes en y.

Segun lo anterior, el elemento 1 (ver figura 6.10)

α1 = −π4

l1 =√

2l

5control 2, semestre 2003-I.


y de ecuacion (6.7), la matriz de rigidez elemental 1 en coordenadas globales es

K1 =EA

2√

2l

1 −1 −1 1

1 1 −11 −1

sim. 1

con

locel1 =[

1 2 5 6]T

Para el elemento 2,

α2 = 0l2 = l

K2 =EA

l

1 0 −1 0

0 0 01 0

sim. 0

(6.14)

conlocel2 =

[3 4 5 6

]Ty para el elemento 3,

α3 = −34π

l3 =

√32l

K3 =1

2√

2EA

l

1 1 −1 −1

1 −1 −11 1

sim. 1

(6.15)

conlocel3 =

[5 6 7 8

]TEl resorte corresponde al elemento 4, en este caso,

K4 = k

[1 −11 1

]con

locel4 =[

8 9]T

El elemento 5 corresponde a la masa puntual M . Ella no agrega rigidez al sistema, solo inercia.Despreciando su inercia rotacional, su matriz de masa en el sistema cartesiano global es,

M5 = M

[1

1

]con

locel5 =[

5 6]T

De modo de adimensionalizar el problema definimos convenientemente,

ν =k(

EAl

)η =

M

ml


luego

M5 = ml

[η

η

]De acuerdo a ecuacion (6.8),

Mi =√

26ml

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

para i = 1, 3

M2 =16ml

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

K =EA

l

12√

2− 1

2√

20 0 − 1

2√

21

2√

20 0 0

12√

20 0 1

2√

2− 1

2√

20 0 0

1 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0

12√

2+ 1 + 1

2√

2− 1

2√

2+ 1

2√

2− 1

2√

2− 1

2√

20

12√

2+ 1

2√

2− 1

2√

2− 1

2√

20

12√

21

2√

20

12√

2+ ν −ν

sim ν

los grados de libertad fijos son

fijos =[

1 2 3 4 7 9]T

con lo que la matriz de rigidez incluidas las restricciones queda,

K =1

2√

2EA

l

2 + 2√

2 0 −12 −1

sim 1 + 2√

2ν

= k∗

2 + 2√

2 0 −12 −1

sim 1 + 2√

2ν

= k∗M∗

La matriz de masa global sin considerar fijaciones es:considerando los grados de libertad fijos,

M = ml

2√

26

√2

62√

26

√2

626

16

26

16

2√

26 + 2

6 + 2√

26 + η

√2

62√

26 + 2

6 + 2√

26 + η

√2

62√

26

2√

26

sim

6.4. EJEMPLO NUMERICO 109

y al fijar,

M =ml

6

4√

2 + 2 + 6η4√

2 + 2 + 6η√

2sim 2

√2

= m∗

= m∗M∗

Siguiendo el esquema propuesto en control 1, escribimos el problema standard de valores propios,

Ax = λx (6.16)

a partir de la ecuacion de equilibrio,

Kqi = ω2i Mqi

k∗

m∗M∗−1

K∗ = ω2i qi

ω2∗M

∗−1K∗ = ω2

i qi

M∗−1K∗ =

ω2i

ω2∗qi

o seaA = M∗−1

K∗

λi =ω2

i

ω2∗

La resolucion simbolica del problema de valores propios (6.16) no es corta por lo que se omite su pre-sentacion

Los graficos (6.11) y (6.12) muestran estudios de sensibilidad de las frecuencias naturales normalizadasvs los valores de η y ν respectivamente. Se observa que la tercera frecuencia natural (asociada a un modolocal en el grado de libertad del carro) es bastante insensible al valor de η, lo que no es el caso paralas dos primeras frecuencias naturales. Se observa que el modo 2 (movimiento horizontal de la masaM) varia poco su frecuencia natural al variar ν (lo que es esperable).El modo mas sensible es el terceroque incrementa exponencialmente su frecuencia natural para valores de ν mayores que 1. La primerafrecuencia natural muestra 2 asıntotas. Para valores altos de ν se trata del modo donde la masa M vibraverticalmente. Para valores bajos, los tres grados de libertad intervienen en el modo; en especial el carro.

En caso de que ν = 0, η = 1,

ω1 = 0,031

√k∗

m∗

ω2 = 0,292

√k∗

m∗

ω3 = 0,636

√k∗

m∗

La figura (6.13) muestra el valor relativo de las frecuencias naturales al aumentar ν (con η = 1) respectode estos valores cuando ν = 0.

6.4. Ejemplo numerico

Consideremos el ejemplo propuesto en ref. [?]. Se trata de un sistema laminador modelado para latorsion de los ejes. Los grados de libertad 1 y 2 corresponden a las inercias de las armaduras del motor.Los grados de libertad 3 y 4 al sistema de transmision y reduccion y los grados 5 y 6 corresponden a las


10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 10410-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

η

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

Figura 6.11: Analisis de sensibilidad para η con ν = 1

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 10410-2

10-1

100

101

102

103

104

105

ν

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

Figura 6.12: Analisis de sensibilidad para ν con η = 1


10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104100

101

102

103

104

105

ν

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

c/r ν=

0

Figura 6.13: Cambios normalizados c/r a ν = 0 y η = 1

Figura 6.14: Esquema y modelo del sistema laminador


inercias de los laminadores mismos (ambos en paralelo); conectados al reductor en el grado de libertad 4(vease figura ??). Se tiene:

K = 1010

1,2300 −1,2300 0 0 0 0

1,4655 −0,2355 0 0 00,2745 −0,0390 0 0

0,0496 −0,0053 −0,00530,0053 0

sim 0,0053

in · lb/rad

M =

257500

262000115000

35602720

2720

lb · in · sec2

sistema del cual se obtienen las siguientes frecuencias naturales:

Ω =

0118,1139,8157,9317,1383,5

rad/s (6.17)

Se desea modelar los efectos dinamicos de amplificacion de torque cuando sale el lingote. Durante lalaminacion del lingote, el sistema sufre una deformacion estatica

x0 =

−0,00241−,00197,00265,0305,1328,1328

rad

lo que representa un desplazamiento inicial cuando el lingote sale, lo que genera una respuesta transiente.Por conveniencia, haremos una transformacion modal:

q0 = Φ−1x0

de lo que sabemos que la respuesta transiente de cada modo i sera de amplitud:

φiq0,i (6.18)

y frecuencia ωi:qi(t) = q0,i cosωit

Si el laminador se deforma segun (??), los torques dinamicos que se produciran en cada eje k son pro-porcionales a las diferencias de los desplazamientos en sus extremos, vale decir:

Tφi,k(t) = kk (xi(t)− xj(t))

donde xi(t) y xj(t) son los desplazamientos en los extremos del eje k ;kk es la rigidez torsional del mismoy Tφi,k(t) es el torque dinamico (de frecuencia ωi) producido por el modo φi.

Cada torque dinamico modal oscila a la frecuencia del modo asociado. Una cota superior para eltorque dinamico total es:

Tmaxk (t) =

∑i

|Tφi,k(t)|


Si los modos son normados de modo que,ΦT Φ = I

para este caso (ordenados en orden creciente de frecuencia),

Φ =

−0,4082 −0,0201 0,0000 −0,1008 0,6037 −0,0017−0,4082 −0,0142 0,0000 −0,0482 −0,6674 0,0036−0,4082 0,0385 0,0000 0,3603 0,1612 −0,0275−0,4082 0,1985 −0,0000 0,1769 0,3833 0,9769−0,4082 0,6923 0,7071 −0,6428 −0,0925 −0,1498−0,4082 0,6923 −0,7071 −0,6428 −0,0925 −0,1498

Notese que el primero corresponde al modo de cuerpo rıgido. El tercero es un modo local de los

laminadores (vease grafico ??).Los desplazamientos iniciales son (usando ),

q0 =

0,00000,1799−0,0000−0,0121−0,0000−0,0031

notemos como el modo 2 es el mas excitado por las condiciones iniciales. La solucion transiente al problemacon desplazamiento inicial toma la forma:

q (t) = q0COS(Ωt)

donde COS(Ωt) es una matriz diagonal con los terminos

cosωit

Para calcular los torques dinamicos para cada modo definimos convenientemente el operador de conec-tividad Con , y las matrices diagonales Ki y Q0:

Con ≡

−1 1 0 0 0 00 −1 1 0 0 00 0 −1 1 0 00 0 0 −1 1 00 0 0 −1 0 1

Ki ≡

k1

k2

k3

k4

k5

Q0 = diag(q0)

con lo que la matriz de torques dinamicos modales a la salida del lingote (sl) es:

Tsl = KiConΦQ0

Tsl = 107

−0,0000 1,2986 0,0000 −0,7827 0,0458 −0,0206−0,0000 2,2340 −0,0000 −1,1632 −0,0057 0,02290,0000 1,1227 0,0000 0,0865 −0,0003 −0,12270,0000 0,4726 −0,0000 0,0527 0,0001 0,01880,0000 0,4726 0,0000 0,0527 0,0001 0,0188


12

34

56

1

2

3

4

5

6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ModoGrado de libertad

Des

plaz

amie

nto

Figura 6.15: Modos propios

Al sumar los valores absolutos de los torques modales dinamicos obtenemos las cotas superiores para eltorque dinamico en cada eje (elemento):

Tmaxsl = 107

2,14763,42581,33210,54420,5442

Torque que puede ser comparado con los valores estaticos cuando el lingote esta adentro:

Tst = Kix0

= 107

0,54121,08801,08610,54420,5442

A fin de normalizar se calculan los factores de amplificacion de torque (TAF por sus siglas en ingles):

TAFk =Tmax

sl,k

Tst,k

luego

TAFsl =

3,96833,14871,22651,00001,0000

(6.19)

Como se puede apreciar, la salida del lingote causa un torque casi 4 veces mayor al esperado por loscalculos estaticos. Ello constituye un la diseno y tiene que ver con el condicionamiento de la matriz Φ(ver referencia [?]).

6.5. Comentarios finales

Hemos introducido de manera basica los conceptos asociados al metodo de los elementos finitos. Sugran flexibilidad, alta capacidad predictiva y su implentacion general en paquetes comerciales, lo han

6.5. COMENTARIOS FINALES 115

hecho convertido en una herramienta altamente explotada para el analisis de vibraciones en maquinas yestructuras.

Se ha presentado un caso numerico sobre un sistema real (laminador). En el se aprecia la importanciade realizar verificaciones dinamicas a nivel de diseno de un equipo.

Capıtulo 7

Metodo de la matriz de transferencia

7.1. Introduccion

Un tecnica alternativa para analizar sistemas rotores complejos es el metodo de la matriz de transfer-encia, propuesto inicialmente por Myklestad (1944) y Prohl (1945). La ventaja principal de este metodoes que los requerimientos computacionales son relativamente bajos. El metodo general es apropiado parasistemas con componentes dispuestos en serie, por lo cual es recomendado para sistemas rotores. Paraexplicar la estrategia utilizaremos el ejemplo de una barra empotrada.

7.2. Descripcion del metodo

Discretizacion del sistema

El primer paso es dividir al sistema en n componentes. Los desplazamientos xi y las fuerzas Ni

representan un estado del sistema y son denominadas variables de estado. Ellas son ordenadas en vectoresde estado:

zi =

xN

i

Sea mi la masa del i−esimo elemento. Asociaremos mi/2 a cada extremo del elemento. Ambas masasestan conectadas por un resorte sin masa de constante ki. Adicionalmente, se define los vectores de estadoa la derecha e izquierda de cada elemento (figura ??).

Definicion de matrices de transferencia

Dado que las fuerzas entre un extremo y otro de los resortes se balancean

NLi = NR

i−1 = ki

(xL

i − xRi−1

)

NiNi-1

0 1 2

1 22 i n

z0 z1 z2 zi-1 zi zn

Figura 7.1: Esquema del sistema discretizado

117

118 CAPITULO 7. METODO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA

i

zi-1 zi

mi

mi/2mi/2

ki

Figura 7.2: por elemento

=mi/2+mi+1/2mi-1 kimi

zi-1 zi-1 zi zi

L L RR

Figura 7.3: Ensamble

7.2. DESCRIPCION DEL METODO 119

Despejando un desplazamiento en funcion del otro,

xLi = xR

i−1 +NR

i−1

ki

y para este caso,NL

i = NRi−1

expresando lo anterior en forma matricial,xN

L

i

=[

1 1/ki

0 1

]xN

R

i−1

o en notacion simbolicazL

i = FizRi−1 (7.1)

A continuacion consideramos la masa mi,

mixLi = NR

i −NLi

y,xR

i = xLi = xi

Si la masa vibra segunxi = a sinωt

podemos escribir (para todo instante)

NRi = −miω

2xLi +NL

ixN

R

i

=[

1 0−mω2 1

]i

xN

L

i

o alternativamentezR

i = PizLi (7.2)

De ecuaciones 7.1 y 7.2,zR

i = PiFizRi−1 = TizR

i−1

donde

Ti =[

1 1/ki

−mω2 1−mω2/ki

]i

Ti es denominada la matriz de transferencia del elemento i.

Determinacion de la matriz de transferencia del sistema

Si aplicamos el concepto sucesivamente,

zRn = Tn . . .T1zR

0

= Tn . . .T1P0zL0

= TzR0

o abreviadamentezn = Tz0


21

LLR R R

0

Figura 7.4: Sistema de 2 grados de libertad

Condiciones de borde

Si un borde esta libre, N = 0. En caso de empotramiento, x = 0. En el caso de la barra con unextremo libre y el otro empotrado,

x0

n

= T

0N

0

x0

n

=[T11 T12

T21 T22

]0N

0

7.2.1. Analisis modal

Para el caso estudiado, existen soluciones cuando

0 = T22(ω)N0

lo que implica que buscamos soluciones para

T22(ω) = 0

Las frecuencias naturales ωi son encontradas numericamente.Sustituyendo alguna de las frecuencias naturales ωi en la definicion de T, y dando algun valor apropi-

ado a N0, podemos determinar el valor de z0.Luego es posible aplicar la relacion

zRi = Ti . . .T1z0 (7.3)

para determinar los vectores de estado zRi y conocer el modo propio asociado a la frecuencia ωi.

Ejemplo numerico

Considerese el sistema de figura 7.4, se tiene

x0

2

=[

1 1/k−mω2 1−mω2/k

] [1 1/k

−mω2 1−mω2/k

]0N

0

x0

2

=[

1−mω2/k 2/k −mω2/k2

−2mω2 +m2ω4/k −mω2/k +(1−mω2/k

)2 ] 0N

0

Para encontrar la frecuencia natural usamos la condicion T22 = 0,

−mkω2 +

(1− m

kω2)2

= 0


resolviendo

ω1 =

√3−

√5

2k

m

ω2 =

√3 +

√5

2k

m

Para el primer modo propio tomamos un valor NR0 = 1. Sustituyendo en (7.3)

x0

R

1

=[

1 1/k−mω2

1 1−mω21/k

]01

=

1/k−1+

√5

2

y para zR

2 , x0

R

2

=[

1−mω2/k 2/k −mω2/k2

−2mω2 +m2ω4/k −mω2/k +(1−mω2/k

)2 ] 01

=

1+√

52k0

por lo que el primer modo es

xR1

xR2

=

11+√

52

Ejercicio 18 Obtenga el segundo modo. Dibuje ambos.

7.2.2. Respuesta forzada

Para obtener la respuesta forzada se discretiza el sistema tal como en la seccion anterior. A contin-uacion se expresan las cargas.

Supongase una fuerza de la formaFi = fi cos (ωt+ α)

actuando sobre la i−esima masa. La fuerza sera expresada en terminos del fasor

Fi = Re(f ejωt

)con

f = fieα

Como es sabido, la solucion estacionaria para una excitacion forzada del tipo descrito es

xi = Re(xejωt

)con

x = aieβ

Para el sistema descrito en la figura 7.5 se tiene

x =f

−mω2 + jωc+ k


1

RLR

0

f cos(!t +® )


Funcion transferencia

Considerense las fuerzas sobre el resorte y el amortiguador del sistema de figura 7.5:

NR0 = NL

1 = c(xL

1 − xR0

)+ k

(xL

1 − xR0

)lo que expresado en fasores

NR0 = NL

1 = (k + jωc)(xL

1 − xR0

)escrito en forma matricial

xN

L

1

=[

1 1k+jωc

0 1

]xN

R

0

(7.4)

ozL1 = FizR

0 (7.5)

Para la masa, escrito en fasores

xRi = xL

1

NR1 = −mxL

1 ω2 + NL

1 − f

xN

L

1

=[

1 0−mω2 1

]i

xN

R

1

+

0−f

(7.6)

Por conveniencia escribiremos la igualdad 1 = 1,

1 =

00

T xN

R

1

+ 1 (7.7)

y reescribiremos (7.4) y (7.6) como xN1

L

1

=

1 1k+jωc 0

0 1 00 0 1

xN

R

0 xN1

R

1

=

1 0 0−mω2 1 −f

0 0 1

xN1

L

0


Dado que el sistema de la figura 7.5 posee un solo grado de libertad, la matriz de transferenciaelemental y la del sistema coinciden. En un sistema discretizado podemos escribir

zLi = FizR

i−1

zRi = PizL

i

zRi = TizL

i

donde

Ti =

1 1ki+jωci

0−miω

2 −miω2

k+jωci−fi

0 0 1

Las variables ası descritas son denominadas extendidas, las cuales son multiplicadas para obtener la matrizdel sistema

zn = Tn . . . T1z0

= Tz0

Condiciones de borde

Si un borde esta libre, N = 0. En caso de empotramiento, x = 0. En el caso de la barra con unextremo libre y el otro empotrado, x

01

R

n

=

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T21 T32 T33

0N1

L

0

Respuesta forzada

De la segunda ecuacion se obtiene NR0

0 = T22NR0 + f2

y es posible obtener z0. Para el ejemplo,

NR0 =

k + jωc

−mω2 + k + jωcf

y

z0 =

01

−mω2+k+jωcf

1

Multiplicando sucesivamente las matrices de transferencias elementales por el vector de estado z0 se

obtienen los demas vectores zi.

Capıtulo 8

Metodos directos de integraciontemporal

8.1. Introduccion

Para resolver las ecuaciones del movimiento bajo condiciones arbitrarias de excitacion, se puedentomar dos enfoques:

1. metodos de superposicion modal

2. metodos directos de integracion temporal

Los metodos de superposicion modal se basan en resultados del analisis modal lineal, y consistenen expresar la respuesta dinamica como una serie de modos propios. La efectividad de la superposicionmodal es notable mientras los modos fundamentales predominen en la respuesta. En casos en que estaeste dominada por un alto numero de modos, es necesario utilizar metodos de integracion directos.

Contrariamente a los metodos de superposicion, las tecnicas directas de integracion temporal no estanlimitadas a casos lineales pues pueden ser facilmente extendidas a sistemas no lineales. Sin embargo,este tipo de metodos no deben ser usados como cajas negras pues es necesario un ajuste correcto de losparametros de cada metodo para obtener la exactitud y estabilidad requeridas y para controlar el llamadoamortiguamiento numerico.

De una manera general, los metodos multipaso de integracion directa pueden ser expresados en laforma

un+1 =m∑

j=1

αjun+1−j − hm∑

j=1

βjun+1−j (8.1)

dondeh = tn+1 − tn

es el paso temporal, y

un+1 =

qn+1

qn+1

(8.2)

es el vector de estado en el instante tn+1 calculado con los m vectores de estado anteriores y sus derivadas.Para β0 6= 0, el esquema de integracion 8.2 es llamado implıcito, dado que el vector de estado en tn+1

es una funcion de su propia derivada. Luego, las relaciones de integracion deben ser modificadas antesde ser resueltas. El metodo de solucion se torna iterativo para el caso no lineal.

Para β0 = 0, un+1 puede ser deducido directamente de los resultados de instantes anteriores: se diceque el metodo es explıcito.

Cuando αj y βj son nulos para j > 1, la relacion 8.2 corresponde a un metodo de un solo paso, y elestado del sistema en el instante tn+1 es funcion exclusiva del estado en tn.

125

126 CAPITULO 8. METODOS DIRECTOS DE INTEGRACION TEMPORAL

8.2. Estabilidad y exactitud de los operadores de integracion

8.2.1. Ejemplo numerico

Para un buen entendimiento de los conceptos de exactitud y estabilidad, considerese el sistema noamortiguado de un grado de libertad, sometido a un desplazamiento inicial:

q + ω20q = 0

q(0) = 1q(0) = 0

conω0 = π

cuya solucion exacta esq(t) = cosω0t

Usando la identidadu = u

y reescribiendo () en la forma de estado,u = Au (8.3)

con

u(0) =

01

y

A =[

0 −ω20

1 0

]Consideremos las 3 formulas de integracion siguientes:

1. Regla trapezoidal (implıcita)

un+1 = un +h

2(un − un+1)

2. Formula de Euler inversa (implıcita)

un+1 = un + hun+1

3. Formula de Euler directa (explıcita)

un+1 = un + hun

Substituyendo estas formulas en la ecuacion de estado, se despeja un+1.El metodo trapezoidal ponderala derivada en dos puntos para aproximar el proximo valor, el Euler inverso usa la derivada en el puntoactual y el metodo directo de Euler, solo usa la derivada en el punto anterior.

Para el metodo trapezoidal,

un+1 =(I− h

2A)−1(

I +h

2A)

un

Para el metodo inverso de Euler,

un+1 = (I− hA)−1 un

Para el metodo directo de Euler,un+1 = (I + hA)un

El resultado por los 3 metodos es comparado en figura 8.1. Se a utilizado un intervalo de T = 3 s, yun paso de h = T/32 (aprox. 21 puntos por periodo).

Las curvas ilustran lo siguiente:

8.3. METODO DE NEWMARK 127

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

De

spla

zam

ient

o

Euler directo

Euler inverso

Trapezoidal

Figura 8.1: Evaluacion de metodos

1. El metodo trapezoidal es el mas exacto en terminos de amplitud, sin embargo el periodo ha sidoligeramente sobre estimado

2. El metodo directo de Euler induce un error no despreciable en el periodo y presenta un importantenivel de amortiguamiento numerico. El metodo es numericamente estable pero caracterizado por lopoco exacto.

3. El metodo inverso de Euler lleva al mismo error en la estimacion del periodo. Sin embargo, laamplitud es sobrestimada por la presencia de amortiguamiento numerico negativo. Ello inducepoca exactitud y poca estabilidad.

8.3. Metodo de Newmark

El metodo de Newmark es una tecnica de integracion de un solo paso. El vector de estado un+1 esobtenido a partir de una expansion de Taylor de los desplazamientos y velocidades:

f(tn + h) = f(tn) + hf ′(tn) +h2

2f ′′(tn) + ...+

hs

s!f (s)(tn) +Rs

donde Rs incluye al resto del desarrollo. En terminos de desplazamiento y velocidad,

qn+1 = qn +∫ tn+1

tn

q(τ)dτ (8.4)

qn+1 = qn + hqn +∫ tn+1

tn

(tn+1 − τ) q(τ)dτ

Para calcular el valor de la integral se aproxima

qn = q (τ) + q(3)(τ) (tn − τ) + q(4)(τ)(tn − τ)2

2+ ... (8.5)

qn+1 = q (τ) + q(3)(τ) (tn+1 − τ) + q(4)(τ)(tn+1 − τ)2

2+ ...

multiplicando las ecuaciones (8.5) por el parametro de integracion (1− γ) y γ, se obtiene

q (τ) = (1− γ)qn + γqn+1 + q(3)(τ) (τ − hγ − tn) +O(h2q(4)

)Similarmente, multiplicando las ecuaciones (8.5) por (1− 2β) y β,

q (τ) = (1− 2β)qn + 2βqn+1 + q(3)(τ) (τ − 2hβ − tn) +O(h2q(4)

)


y obtenemos las formulas ∫ tn+1

tn

q(τ)dτ = (1− γ)hqn + γhqn+1 + rn (8.6)∫ tn+1

tn

(tn+1 − τ) q(τ)dτ =(

12− β

)h2qn + βh2qn+1 + r′n

donde los errores

rn =(γ − 1

2

)h2q(3)(τ) +O

(h3q(4)

)r′n =

(β − 1

6

)h3q(3)(τ) +O

(h4q(4)

)Para el caso

γ =12

β =16

la interpolacion de las aceleraciones es lineal:

q(τ) = qn +(τ − tn)

h(qn+1 − qn)

Si se seleccionan

γ =12

β =14

la interpolacion corresponde al promedio

q(τ) =12

(qn+1 + qn)

Sustituyendo (8.6) en (8.5) obtenemos las formulas de Newmark:

qn+1 = qn + (1− γ)hqn + γhqn+1 (8.7)

qn+1 = qn + hqn + h2

(12− β

)qn + h2βqn+1

Consideremos la ecuacion de equilibrio,

Mq + Cq + Kq = f(t)

donde M,C y K son independientes de q. Si introducimos el esquema de integracion (8.7)

[M + γhC + βh2K

]qn+1= fn+1 −C [qn + (1− γ)hqn]−K

[qn + hqn +

(12− β

)h2qn

]cuya solucion implica la inversion de la matriz de iteracion[

M + γhC + βh2K]

Si el paso de tiempo h es constante, tal inversion se realiza una sola vez. La velocidad y el desplazamientose calculan a partir de (8.7). La exactitud de la solucion puede ser estimada por la variacion de lasenergıas como es descrito en §xx.

8.4. METODO HHT 129

Observacion 64 Se dice que un esquema de integracion es consistente si

lımh→0

un+1 − un

h= un

Esta condicion es satisfecha por Newmark. La consistencia es una condicion necesaria para la con-vergencia de la solucion numerica hacia la solucion exacta cuando h tiende a cero.

Observacion 65 Se dice que un esquema de integracion es estable si existe algun paso de integracionh0 > 0 de modo que para cualquier h ∈ [0, h0], y una variacion finita del vector de estado en el instantetn induce una variacion no creciente en el vector de estado un+j calculado en un instante subsecuentetn+j.

Observacion 66 Se puede probar que el metodo de Newmark es incondicionalmente estable para sistemaslineales conservativos bajo la condicion

γ =12

+ α

β =14

(α+ 1)2

para algun valor dado α > 0[?]. Si α = 0 se obtiene la variante de aceleracion promedio constante que seconsidera el esquema de mejor estabilidad. Si α > 0 se introduce amortiguamiento numerico que puedeincrementarse excesivamente con frecuencia.

Observacion 67 El paso temporal h es seleccionado de modo que

h <T

π

donde T es el periodo de la mayor frecuencia del sistema. en la practica se utiliza

h <T

4

8.4. Metodo HHT

Hilbert, Hughes y Taylor proponen una forma para introducir amortiguamiento en el metodo deNewmark sin degradar la exactitud. Consiste en mantener las formulas (8.7), mientras que la ecuaciondel movimiento es modificada para promediar las fuerzas elasticas, de inercia y externas entre ambosinstantes de tiempo. Sea

g (q, q) = Kq + Cq

la suma de fuerzas internas. El equilibrio puede ser escrito en la forma mas general

Mqn+1 + (1− α)g (qn+1, qn+1) + αg (qn, qn)= (1− α) f (qn+1, t) + αf (qn, t)

aplicable a sistemas no lineales. Claramente, para α = 0, el metodo HHT se reduce al metodo de Newmark.Si α ∈ [0, 1/3] el metodo HHT es incondicionalmente estable y es un reemplazo logico para el metodo deNewmark para sistemas no lineales.

8.4.1. Ejemplo numerico

Considerese el caso de la barra empotrada-libre sujeta una carga tipo escalon en su extremo libre,cuya solucion exacta es:

u(x, t) =8f0lπ2EA

∞∑s=0

−1s−1

(2s− 1)2sin((2s− 1)

πx

2l

) [1− cos

((2s− 1)

πc

2lt)]


con

c =

√EA

m

dondem es la masa por unidad de longitud,l es la longitud,f0 es el valor de la carga,

f(t) =

0 para t ≤ 0f0 para t > 0

Para resolverlo, utilizaremos N = 20 elementos finitos. Se tiene:

EA

ml2= 1

f0EA

= 1

8.5. Metodo de la diferencia central

Sea hn+1 el paso temporal entre tn y tn+1:

hn+1 = tn+1 − tn

El algoritmo de la diferencia central propone

qn+1 = qn +hn+1

2(qn − qn+1)

qn+1 = qn + hn+1qn +h2

n+1

2qn

lo que es equivalente al esquema de Newmark con γ = 12 y β = 0. Las ecuaciones anteriores tambien

pueden expresarse en una forma con 3 pasos. Primero consideramos:

qn = qn−1 + hnqn−1 +h2

n

2qn−1

qn = qn−1 +hn

2(qn + qn−1)

Para obtener:

qn =hn (qn+1 − qn)− hn+1 (qn − qn−1)

hn+hn+12 hnhn+1

(8.8)

Si el paso es constante, la formula anterior se reduce a la forma standard

qn =qn+1 − 2qn + qn−1

h2

sin embargo, se obtiene mayor eficiencia numerica al tomar la velocidad entre dos intervalos:

qn+ 12

=1

hn+1(qn+1 − qn)

con lo cual (8.8) toma la forma

qn =qn+ 1

2− qn− 1

2

hn+ 12

8.6. SISTEMAS NO LINEALES 131

8.5.1. Procedimiento

1. Datos inicialesM,C,K,q0, q0

2. Aceleracion inicial

q0 = M−1 (f0 −Kq0)

q1/2 = q0 +h1

2q0

t1/2 =h1

2

3. Incrementar el tiempo

tn = tn−1/2 +hn

2

4. Incremento del desplazamientoqn = qn−1 + hnqn−1/2

5. Incrementar el tiempo

tn+1/2 = tn +hn+1

2

6. Calculo de la aceleracionqn = M−1 (fn −Kqn)

7. Incremento de la velocidadqn+1/2 = qn−1/2 + hn+1/2qn

Observacion 68 La extension del metodo para tratar casos no lineales es directa dado que las fuerzasno lineales se calculan explıcitamente.

Observacion 69 El metodo es estable si se cumple la condicion de Courant,

ωcrh ≤ 2

donde ωcr es la maxima frecuencia contenida en el modelo. Usualmente se toma ωcr como la frecuen-cia natural maxima de los elementos por separado (se puede probar que son un borne superior para lafrecuencia del modelo completo).

Ejercicio 19 Para el caso de la barra estudiado en ejemplo xx, construya un modelo con 20 elementosfinitos, con masas concentradas. Grafique el desplazamiento y la velocidad en los nodos 1 y 10 en elintervalo [0, 150]. Grafique los esfuerzos axiales en los elementos 1 y 20 para el mismo intervalo. Utiliceh = 0,707, 1, 1,0012. Emita conclusiones.

8.6. Sistemas no lineales

Aquı trataremos nociones basicas para resolver ecuaciones no lineales. Consideremos el caso general

Mq + f(q, q) = g(q, t)

con condiciones iniciales q0, q0 dadas. f(q, q) representa fuerzas internas de la estructura.Asumamos que M no depende del estado del sistema. Ello equivale a que el estado de referencia es

fijo y que el movimiento esta descrito en coordenadas cartesianas.Segun sea el tipo de problema, podemos usar dos enfoques: explıcito e implıcito.


8.6.1. Caso explıcito

Al usar un metodo explıcito, las no linealidades del sistema no incrementan la dificultad de integrarrespecto del caso lineal. La ecuacion de equilibro puede expresada como

q = M−1 (g(q, t)− f(q, q))

lo que muestra que al calcular los desplazamientos y velocidades de forma explıcita, es posible usar laecuacion de equilibrio para calcular las aceleraciones son iterar sobre la no linealidad.

8.6.2. Caso implıcito

Cuando se aplica un esquema de integracion implıcito, los desplazamientos, las velocidades y lasaceleraciones envueltos en la ecuacion de equilibrio, no pueden ser considerados independientes, dado queestan relacionados por el operador de integracion. Si expresamos la ecuacion de equilibrio en terminos delos desplazamientos q(t):

r(q) = Mq + f(q, q)− g(q, t) = 0 (8.9)

donde r es el vector residuo. Las relaciones de Newmark pueden ser invertidas en la siguiente forma

qn+1 =1βh2

(qn+1 − q∗n+1

)qn+1 = q∗n+1 +

γ

βh

(qn+1 − q∗n+1

)Los predictores q∗n+1, q∗n+1 se obtiene a partir de (8.7), sustiyuyendo con qn+1 = 0.

Sustituyendo en (8.9), queda el residuo como funcion exclusiva de qn+1:

r(qn+1) = 0 (8.10)

que es resuelto con tecnicas iterativas.Sea qk

n+1 un valor aproximado para qn+1 tras k iteraciones. En las cercanıas de este valor, el residuopuede ser expresado con suficiente exactitud con la expresion lineal

rL(qk+1

n+1

)= r

(qk

n+1

)+ S

(qk

n+1

) (qk+1

n+1 − qkn+1

)donde

S es la matriz Jacobiana

S(qk

n+1

)=[∂r∂q

]qk

n+1

cuya expresion es

S (q) =∂f∂q

+∂f∂q

∂q∂q

+ M∂q∂q

− ∂g∂q

El sistema no lineal (8.10) se resuelve iterativamente por el metodo de Newton-Raphson. Los incre-mentos en los desplazamientos son calculados a partir de la ecuacion linealizada

S∆qk = −r(qk

n+1

)8.6.3. Procedimiento

1. Datos inicialesM, f ,p,q0, q0

2. Aceleracion inicialq0 = M−1 (g0 − f0)

3. Incrementar el tiempotn+1 = tn + h

8.6. SISTEMAS NO LINEALES 133

Y

X

Figura 8.2: Pendulo elastico

4. Prediccion

q∗n+1 = qn + (1− γ)hqn

q∗n+1 = qn + hqn + (0,5− β)h2qn

q∗n+1 = 0

5. Evaluacion del vector residuorn+1 = Mqn+1 + fn+1 − gn+1

6. En caso de convergencia, a 3:‖rn+1‖ ≤ ε ‖fn+1‖

7. Calculo de la correccionS (qn+1)∆q = −rn+1

8. Correccion

qn+1 = qn+1 + ∆q

qn+1 = qn+1 +γ

βh∆q

qn+1 = qn+1 +1βh2

∆q

9. Regreso a 5.

Observacion 70 Siendo que la convergencia de Newton Raphson es afectada por la cercanıa a la solu-cion, la seleccion del paso temporal es muy importante. Se han desarrollado tecnicas para determinar elpaso automaticamente.

Ejercicio 20 Considerese el pendulo elastico de figura 8.2. La constante del resorte k es 30 N/m. Laconstante de amortiguamiento c es 0.1 N/(m/s). La masa m es 1 Kg. La longitud del resorte sin carga es1 m. Inicialmente esta en (0, 1,5). Exprese un modelo para el movimiento del pendulo. Integre numerica-mente a traves de Simulink y Newmark. Grafique la posicion del pendulo en funcion del tiempo. Compareresultados.


-0.50

0.51

1.52

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5

X

Y

Figura 8.3: Posicion del pendulo elastico

Parte II

Estimacin de parametrosexperimentales

135

Capıtulo 9

Estimacin de Funciones Respuestaen Frecuencia

9.1. Introduccion

El analisis de vibraciones puede ser realizado a traves de varias funciones. Aquı discutimos:

autopotencia

potencia cruzada

coherencia

funcion respuesta en frecuencia

autocorrelacion

correlacion cruzada

respuesta impulsional

9.2. Autopotencia

La autocorrelacion de un senal temporal y(t) se define:

GY Y (ω) = Y (ω)Y ∗(ω)

dondeY (ω) es la transformada de Fourier de y(t) y∗ indica el conjugado complejo.La autopotencia muestra como la potencia media de una senal se distribuye para un rango de fre-

cuencias ω. Es usada para calcular las FRF promedios y en el diagnostico de maquinas rotatorias.

9.3. Autocorrelacion

La autocorrelacion de una senal temporal transiente y(t) se define:

Ryy(τ) =∫ ∞

−∞y(t)y(t+ τ)dt

En caso de que la senal sea estacionaria se puede definir tambien

Ryy(τ) = lımT→∞

∫ T/2

−T/2

y(t)y(t+ τ)dt

137

138 CAPITULO 9. ESTIMACIN DE FUNCIONES RESPUESTA EN FRECUENCIA

La autocorrelacion es usada para detectar ecos en senales. Aplicaciones tıpicas son:

deteccion de impactos dobles con martillos para analisis modal,

sonidos reflejados capturados por un microfono

9.4. Potencia cruzada

La potencia cruzada entre dos senales temporales x(t) y y(t) es

GXY (ω) = X(ω)Y ∗(ω)

donde X e Y son las transformadas de Fourier de x(t) e y(t) respectivamente.La magnitud de la potencia cruzada cuantifica la potencia combinada de ambas senales para ca-

da frecuencia. El uso mas comun para la potencia cruzada es la estimacion de funciones respuesta enfrecuencia.

9.5. Correlacion cruzada

La funcion correlacion cruzada de dos senales transientes x(t) e y(t) es,

Rxy(τ) =∫ ∞

−∞x(t)y(t+ τ)dt

si las senales son estacionarias,

Rxy(τ) = lımT→∞

∫ T/2

−T/2

x(t)y(t+ τ)dt

La diferencia fundamental entre las autofunciones y las funciones cruzadas es que estas ultimas con-tienen informacion de causalidad. Son utiles para detectar delays entre 2 senales. Tambien son usadaspara estimar la intensidad del sonido.

9.6. Funcion respuesta en frecuencia

9.6.1. Una entrada, una salida

Sean F (ω) y X(ω) las transformadas de Fourier de dos senales f(t) y x(t) respectivamente. Se definela funcion respuesta en frecuencia (FRF), H(t), como

X(ω) = H(ω)F (ω)

Por lo tanto, el calculo directo de la FRF es

H(ω) =X(ω)F (ω)

y si consideramos promedios,

H(ω) =1na

na∑i=1

(X(ω)F (ω)

)i

Las expresiones anteriores contienen el riesgo de que el denominador sea 0. En la practica, se encuentranventajas en usar formas alternativas para calcular H(ω) usando autopotencias y potencias cruzadas:

H1(ω) =X(ω)F (ω)

F ∗(ω)F ∗(ω)

=GXF

GFF

9.6. FUNCION RESPUESTA EN FRECUENCIA 139

o

H2(ω) =X(ω)F (ω)

X∗(ω)X∗(ω)

=GXX

GFX

La razon mas importante para calcular la FRF a partir de alguna de estas expresiones es la reducciondel ruido sin correlacion en la senal de entrada o en la de salida, al promediar.

H1 asume que no hay ruido en la entrada y que puede existir ruido no correlacionado ηo en la salida.H2 asume que no hay ruido en la salida y que puede existir ruido no correlacionado ηi en la entrada.

En la practica, la FRF es estimada a traves de valores promediados, luego:

GFF (ω) =1na

na∑i=1

[GFF (ω)]i

GXX(ω) =1na

na∑i=1

[GXX(ω)]i

GFX(ω) =1na

na∑i=1

[GFX(ω)]i

GXF (ω) =1na

na∑i=1

[GXF (ω)]i

lo que entrega una aproximacion por mınimos cuadrados para H(ω). Ello permite definir un coeficientede correlacion denominado funcion coherencia:

γ2 =

∣∣∣GFX

∣∣∣2GFF GXX

el cual esta en el rango [0, 1]. Un valor unitario indica una relacion perfectamente lineal entre las dossenales comparadas para todos los promedios. Un valor inferior puede ser debido a:

presencia de ruido no correlacionado en las medidas de f(t) y/o x(t),

no linealidad del sistema,

efecto de fugas,

delays no compensados en el analisis.

El error estadıstico para H depende del numero de promedios utilizados na segun el error normalizado,

ε(H) =σH

H

=

√1− γ2

2naγ2

La coherencia es usada principalmente para verificar la linealidad en la relacion entre las 2 senales.Por tanto, entrega una indicacion de la calidad de las medidas (ruido, fugas,...) o la validez del modelopropuesto ( o sea, la dependencia lineal entre las senales). La coherencia tambien define la razon ruido asenal (Signal to Noise Ratio):

SNR =γ2

1− γ2


9.6.2. Multiples entradas, multiples salidas

En caso de existir ni entradas y no salidas, debemos escribir la relacion matricial:

x = Hf

Si asumimos que existe ruido ηo en la respuesta,

x + ηo = Hf

Post-multiplicando esta expresion por f∗ se obtiene

xf∗ + ηof∗ = Hff∗

Si se promedian suficientes medidas y dado que el ruido no esta correlacionado con la fuerza, el segundotermino del lado izquierdo evoluciona a cero y podemos estimar H como

H = GXF G−1FF

la cual puede ser calculada si la matriz GFF es no singular, lo que significa que las fuerzas no deben estarcorrelacionadas.

Si asumimos que solo existe ruido ηi en las entradas (fuerzas),

x = H (f + ηi)

Posdt-multiplicando esta expresion por x∗ se obtiene

xx∗ = H (f + ηi)x∗

Si se promedian suficientes medias y el ruido no esta correlacionado con la salidas, el segundo terminodel lado derecho evoluciona a cero y podemos estimar H a partir de

H2GFX= GXX

Esta ecuacion entrega un valor unico si ni = no, en otro caso se debe aplicar la pseudoinversa deGFX . Esto limita el uso de H2 al caso de una entrada y una salida, donde cada respuesta es consideradaindependientemente.

Si se asume que existe ruido tanto en las entradas como en las salidas, se utiliza la tecnica Hv lacual intenta minimizar el efecto de ambos errores. Para ello se utlizan los minimos cuadrados totales.Consideremos el caso:

x+η0= H (f + ηi)

lo que puede ser reescrito para la o− esima respuesta como

xo+ηo = hTo (f + ηi)

o convenientemente, hT

o −1 f + ηi

xo+ηo

= 0

Premultiplicando por f + ηi

xo+ηo

∗

f + ηi

xo+ηo

∗ hT

o −1 f + ηi

xo+ηo

= 0

Reordenando y promediando para obtener estimaciones,

GFXFX

hT

o

−1

= 0 (9.1)


con

GFXFX =[

GFF GTXF

GFX GXX

](9.1) puede ser comparado con el problema de valores propios:

GFXFXv = εv

= ε

va

vb

si no existe ruido, el menor valor propio ε1 es cero. Por tanto, el vector propio asociado v1 corresponde,con algun factor de escala a

hTo

−1

y

ho = − 1vb1

va1 (9.2)

estimacion que puede ser calculada solo si vb1 6= 0. Ello se cumple si GFF es no singular, lo que implicaque las fuerzas no deben estar correlacionadas.

De ecuacion (9.2) obtenemos la estimacion por minimos cuadrados totales, Hv.Si el ruido presente no esta correlacionado y se consideran suficientes promedios ε1 sera pequeno y se

dispondra de la mejor aproximacion en el sentido de los minimos cuadrados totales para la FRF.Una forma eficiente de verificar que GFF no sea singular, consiste en estudiar sus valores propios.

Ninguno debe ser cero o significativamente mas pequenos que el resto para cualquier frecuencia.La coherencia tambien puede indicar la no singularidad de GFF ; si tomamos dos senales ella esta defini-

da por:

γ2 =

∣∣∣GFX

∣∣∣2GFF GXX

en el caso de tener multiples entradas la coherencia entre una salida especifica y una entrada especificatiene poco significado, dado que la salida contiene contribuciones de todas la entradas y la coherenciasera pequena. La coherencia entre las fuerzas de entrada, sin embargo, entrega informacion acerca de lano singularidad de GFF pues una coherencia alta la hace singular.


Resumiendo, algunas observaciones sobre los estimadores para las FRF:

Si Hv esta disponible, ella es superior a H1 y H2.

Si Hv no esta disponible,

• H1 entrega la mejor estimacion cuando hay ruido extrano en las salidas,

• H2 entrega la mejor estimacion cuando hay ruido extrano en las entradas,

• H2 entrega una mejor estimacion que H1, si hay problemas de fugas en los peaks de resonancia.

Capıtulo 10

Analisis Modal Experimental

10.1. Introduccion

El analisis modal es, en pocas palabras, el proceso por el cual se describe una estructura en terminosde sus propiedades dinamicas caracterısticas que son: sus frecuencias naturales, modos propios y factoresde amortiguacion.

Considerese la placa mostrada en la figura. Se aplica una fuerza que varia sinuidalmente en el tiempocon una cierta frecuencia y una cierta amplitud fija. La respuesta se mide con una acelerometro situadoen otra esquina de la placa. Supongase que se comienza a variar la frecuencia de la fuerza excitadora,dejando constante su amplitud. A medida que se varia la frecuencia se observara un cambio en el nivelde la respuesta dinamica, tal como se muestra en figura 10.2.

Cuando la respuesta crece, lo que pasa es que la frecuencia de la fuerza se acerca a una frecuenciapropia de la placa, y alcanza su maximo cuando ambas frecuencias son iguales. Notese que lo unico quese ha variado ha sido la frecuencia y no la amplitud.

Los datos medidos en el tiempo (figura 10.2) provee informacion muy util. Si los procesamos con lallamada Transformada Rapida de Fourier (FFT por sus siglas en ingles) obtenemos la Funcion Respuestaen Frecuencia o FRF (figura 10.3).

Se observa que la FRF presenta peaks a las frecuencias naturales de la placa. Los peaks ocurren a lasfrecuencias donde la respuesta medida (figura 10.2) presentaba valores maximos. Si la respuestas en eltiempo son graficadas en terminos de la frecuencia excitadora y luego se superpone la FRF se obtiene elgrafico 10.4. Se aprecia que los peaks de la FRF corresponden con los niveles maximos de la respuesta.

Observacion 71 Podemos usar cualquiera de las curvas (respuesta vs frecuencia o FRF) para saber paraque frecuencias la respuesta sera maxima. De todas maneras, la FRF es mas facil de evaluar.

Las deformaciones que sufre la placa tambien son caracterısticas de cada frecuencia natural, tal como seaprecia en figura 10.5 (que podrıamos apreciar si tuviesemos suficientes sensores...). Se aprecian diferentes

Figura 10.1: Placa simple con acelerometro y martillo para analisis modal

143

144 CAPITULO 10. ANALISIS MODAL EXPERIMENTAL

Figura 10.2: Respuesta medida por el acelerometro cuando se varia la frecuencia de la fuerza

Figura 10.3: Funcion Respuesta en Frecuencia

Figura 10.4: Respuesta y FRF vs frecuencia

10.2. LA CADENA DE MEDICION 145

Figura 10.5: Modos propios

deformadas operacionales que corresponden (casi exactamente como veremos mas adelante) a losmodos propios de la placa. La primera frecuencia natural se asocia al primer modo de flexion, lasegunda al primer modo de torsion, la tercera al segundo modo de flexion, la cuarta al segundo modo detorsion.

Observacion 72 A mayor frecuencia mayor complejidad del modo propio.

Las frecuencias naturales y modos propios existen para todas las estructuras que disenamos. Sonpropiedades que dependen principalmente de la distribucion de masa y rigidez. A nivel de diseno esnecesario estimarlas para estudiar como una fuerza excitadora puede influenciar en la respuesta de laestructura y mejorar el diseno.

El analisis modal experimental consiste de cinco fases [?]:

Armado del set-up, que incluye la suspension del objeto, pegado de transductores, puesta a puntodel sistema de adquisicion, calibracion de transductores,..

Adquisicion de datos y estimacion de las FRF;

Identificacion de parametros o analisis modal en si mismo;

Validacion de los resultados obtenidos;

Diagnosis, mejoras sistematicas al sistema.

10.2. La cadena de medicion

Tal como se muestra en figura xx un setup incluye:

La estructura a analizar;

Algun medio de excitacion (martillo o shaker);

Transductores de vibracion;

Sistema de adquisicion de datos;

Software de analisis.


Figura 10.6: Setup con shaker

10.3. Excitacion

Podemos clasificar a la fuente de excitacion en:

Shakers fijos al suelo;

Shakers fijos a la estructura;

Martillos;

Desplazamientos iniciales;

Energıa acustica.

Los shakers pueden ser electro-hidraulicos o electrodinamicos. Ellos difieren en el nivel de la fuerzaaplicada, los niveles de desplazamiento y el rango en frecuencias.

Los shakers electro-hidraulicos funcionan bien para bajas frecuencias. Trabajan entre 0-200 Hz y hasta1000 Hz. Tienen carreras bastante grandes(25 mm por ejemplo) y pueden producir mayores niveles defuerzas. Una desventaja es su poca movilidad pues son acompanados de una fuente hidraulica.

Los shakers electrodinamicos consisten de una bobina que produce velocidades proporcionales al volta-je que se le entrega. Rangos tıpicos en frecuencia son de 0-4000 o 0-1000 Hz. Su carrera es menor (entre6 y 19 mm). Si se aplica sin un sensor de fuerza se debe ser cuidadoso pues la curva de velocidad/voltajeen frecuencia no es perfectamente plana.

Los shakers que se fijan a la estructura tienen la desventaja de que su masa contribuye a la del sistemay por tanto cambia las caracterısticas modales. Sin embargo, y dado que se aplica usualmente en grandesestructuras (puentes, edificios, plataformas,..) este efecto es despreciable.

Los agitadores usualmente se conectan con varillas que son rigidez axialmente y muy flexibles. De esamanera la carga es aplicada en el eje en cual el sensor de fuerza mide.

Los martillos producen una fuerza tipo impulso de Dirac, que tiene un espectro muy plano. Mientrasmas dura sea la punta del martillo menor sera la duracion del impacto y mayor la banda de frecuenciaexcitadas. El problema es que pueden causar efectos no lineales en la respuesta y deformar la estructura;sino se golpea bien el impacto puede ser doble.

Para estructuras tipo torre, es comun excitar con un desplazamiento inicial.Para estructuras muy livianas tambien se puede aplicar ruido como fuente de excitaciom; el problema

es que no se puede mediar la fuerza directamente.

10.3. EXCITACION 147

Figura 10.7: Shakers electrodinamicos

Figura 10.8: Martillos para analisis modal


10.4. Ecuaciones basicas

Expresado en terminos de series de modos, la matriz H puede ser escrita como:

H(jω) =∑

i

qijω − λi

φiφTi +

q∗ijω − λ∗i

φ∗iφ∗Ti

dondeφi es el i-esimo modo propio,λi = σi + jωi, y∗ indica el conjugado complejo.En terminos matriciales, ello puede ser escrito como

H(jω) = Φ (jωI−Λ)−1 L

dondenm es el numero de modos observables,Λ es una matriz diagonal donde estan ubicadas las raıces λi y sus complejos conjugados. (Por tanto

tiene dimension 2nm × 2nm),L es la matriz de factores de participacion modal:

L = QΦT

Q es la matriz diagonal conteniendo los factores de escala modales.Φ es la matriz modal, conteniendo los vectores propios y sus conjugados complejos.En caso de que el numero real de modos sea superior a nm se puede anadir una aproximacion para

tomar en cuenta el efecto de los modos fuera de la banda de interes:

H(jω) = Φ (jωI−Λ)−1 L + U− 1ω2

L

Observacion 73 O sea, el efecto de los modos de alta frecuencia es aproximado por una constante Umientras que la de los modos a baja frecuencia por un termino constante corregido con el factor ω2.

En el dominio temporal podemos escribir:

h(t) =∑

i

qiφiφTi e

λit + q∗i φ∗iφ∗Ti eλ∗i t

o en forma simbolica,h(t) = VE(t)L

donde E(t) es una matriz diagonal conteniendo los valores eλit.

Observacion 74 En el dominio temporal no es posible anadir correcciones por los modos no observables.

10.5. Conceptos basicos

10.5.1. Metodos con hipotesis de uno o mas grados de libertad

En general, la respuesta de un sistema es una combinacion de varios de sus modos propios, Sinembargo, si en un rango de frecuencias dado, un modo predomina; entonces los parametros de tal modopueden ser estimados separadamente. En el dominio frecuencias ello equivale tomar la aproximacion:

H(jω) =qi

jω − λiφiφ

Ti + +U− 1

ω2L

para desarrollar el metodo de analisis modal. Este tipo de metodo es muy rapido, de poco costocomputacional o de tiempo.

La hipotesis anterior es valida solo si los modos del sistema estan bien desacoplados. En general, ellono sera el caso y sera necesario utilizar la hipotesis MDOF (Multiple degrees of freedom).

10.5. CONCEPTOS BASICOS 149

Polos alejados

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Frecuencia (ω)

Vel

ocid

ad

Figura 10.9: Sistema con polos bien separados

Polos cercanos

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.1210

0

101

102

Frecuencia (ω)

Vel

ocid

ad

Figura 10.10: Sistema con polos poco separados


10.5.2. Single input vs Multiple input

La estimacion de parametros modales a partir de datos con varios puntos de excitacion tiene variasventajas. Los polos dobles o con poca separacion pueden ser separados solo con metodos de multi-entrada.Dado que los coeficientes modales son independientes de la posicion de la excitacion, este tipo de metodosentrega estimaciones globales para estos parametros.

Asumase que hay dos polos dobles o con poca separacion, λk y λl respectivamente. Si la columna 1de H(t) refiere a la excitacion en el punto 1, se tiene

h1(t) = . . . φkeλktLk,1 + φle

λltLl,1 . . .

como son igualesh1(t) = . . . (φkLk,1 + φlLl,1) eλkt . . .

Por otro lado, si la entrada considera la columna 2,

h2(t) = . . . (φkLk,2 + φlLl,2) eλkt . . .

donde los factores de participacion son diferentes. Al considerar ambas ecuaciones simultaneamente, esposible identificar los modos acoplados o incluso, los polos dobles.

10.5.3. Modelo modal vs modelo directo

Tambien es posible clasificar los metodos de indentifacion de acuerdo al tipo de datos que estiman:

Los metodos que identifican un modelo modal sintetizan la respuesta medida como una comibinacionde modos propios.

Los metodos de identifiacon directa usan las ecuaciones diferenciales mismas. El procedimiento tienedos pasos. En el primero, se estiman los coeficientes de las ecuaciones diferenciales. En el segundopaso, se calculan los parametros modales a partir de los coeficientes estimados, por ejemplo, via unanalisis de valores propios de las matrices espaciales (M,C,K) encontradas.

Varios metodos emplean la formulacion general en el espacio de estado,

xs(t) = Axs(t) + Bus(t)ys(t) = Cxs(t) + Dus(t)

al cual define:

el vector de estado xs(t):

xs =

xx

el vector de salidas,

ys = x

el vector de entradas,us(t) = f(t)

Las matrices A,B,C,D son denominadas la realizacion del sistema, dado que describen la respuestadel sistema en cualquier instante ante una senal de entrada conocida. Si definimos

Ax =[

0 MM C

]Bx =

[−M 00 K

]

10.6. DESCRIPCION DE ALGUNOS METODOS 151

Peak picking

Figura 10.11: Estimacıon de amortiguamiento

entonces la matrices de la realizacion se definen como

A = −A−1x Bx

B =[

M−1

0

]C =

[0 I

]D = 0

Los soluciones propias de A entregan los polos del sistema, los vectores propios y los factores de partici-pacion.

10.5.4. Numero de modos vs numero de grados de libertad medidos

Hablamos de modelos completos de bajo orden cuando el metodo permite identificar un numerode modos superior al numero de grados de libertad medidos (notese que se pierde necesariamente laindependencia lineal de los mismo).

Los modelos incompletos de alto orden permiten tener menos modos que grados de libertad medidos.

10.6. Descripcion de algunos metodos

10.6.1. Peak picking

Este metodo permite estimar rapidamente frecuencias naturales y factores de amortiguamiento. Setrata de un metodo SDOF.

El metodo se basa en que las FRFs alcanzan valores peaks en las cercanıas de cada frecuencia natural.El metodo de la mitad de potencia entrega aproximaciones para el factor de amortiguamiento:

ξi =ω2 − ω1

ωi

donde ω1 y ω2 son las frecuencias para las cuales la amplitud de la FRF ha bajado desde su maximo enωi

Amax

aAmax√

2


FRF

0.5

1

1.5

-100-50

0

50100-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

FrecuenciaRe(Velocidad)

Im(Velocidad)

Figura 10.12: Representacion tridimensional de una FRF

10.6.2. Mode picking

Este metodo permite obtener estimaciones rapidas para los modos propios. Es un metodo SDOF.Asume a que la FRF es dominada por un solo modo, a la frecuencia natural asociada:

H(jωi) =qi

jωi − λiφiφ

Ti

10.6.3. Ajuste de circulo

Este metodo permite obtener estimaciones para las frecuencias naturales, los modos propios y losfactores de amortiguamiento. Se trata de un metodo SDOF. Se basa en el hecho de que la FRF (enterminos de velocidad/fuerza) de un sistema bajo la hipotesis SDOF describe un circulo en el diagramade Nyquist (parte real vs parte imaginaria de la FRF).

Ejemplo 37 1Usando tecnica del swept-sine se han medido los valores FRF entregados en tabla. Usandola tecnica de ajuste de circulo, estime la frecuencia natural, el factor de amortiguamiento y el residuo.

i frecuencia (rad/s) FRF (m/N)1 1,62 0,5663− 0,0650i2 1,67 0,5692− 0,1493i3 1,72 0,5669− 0,3069i4 1,77 0,4229− 0,5593i5 1,82 0,0302− 0,6060i6 1,87 −0,1635− 0,3643i7 1,92 −0,1594− 0,1943i8 1,97 −0,1229− 0,1110i

Cuadro 10.1: FRF experimental

El grafico de Nyquist se muestra en figura (10.14).

1control 3, 2003.


Ajuste de circulo

Suficientes puntos en cada resonancia

shaker

-60 -40 -20 0 20 40 60-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

RE(Velocidad)

Im(V

eloc

idad

)

Figura 10.13: Diagrama de Nyquist de la FRF en terminos de velocidad

Aproximaremos la FRF usando,

hij(jω) =u+ jv

−σr + j(jω − jωr)+ (r + ji)

donde ωr y σr conforman el polo alrededor del cual se ha medido la FRF. r e i son correcciones paratomar en cuenta el efecto de los demas modos no considerados explicitamente. u y v forman el residuo.

La frecuencia natural amortiguada es aproximada por el punto experimental donde la tasa de cambiode angulo entre dos puntos es maxima (medida desde el centro del circulo).

Para estimar el mejor circulo se minimiza el error,

mınxo,yo,ro

e =∑

j=1..i

[r20 − (xj − x0)2 − (yj − y0)2

]2donde (x0, y0) es el centro del circulo y r0 es el radio. El problema de minimizar e es no lineal por lo

que se reescribe convenientemente como

mınxo,yo,ro

e =n∑

j=1

[c−

(x2

j + axj + byj + y2j

)]2donde

x0 = −a2

y0 = − b2

r0 =√c+ x2

0 + y20

Para obtener los parametros a, b, c se resuelve el sistema: ∑x2j

∑xjyj −

∑xj∑

y2j −

∑yj

sim n

abc

=

−(∑

x3j +

∑xjy

2j

)−(∑

y3j +

∑yjx

2j

)∑x2

j +∑y2

j


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Real

Imag

Figura 10.14: Ajuste de circulo


1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

iCos2 (θ i)

Figura 10.15: Valores MAC obtenidos

i 1 2 3 4 5 6 7Cos2θi 0.959 0.826 0.467 0.214 0.470 0.813 0.941θi (rad) 0.203 0.430 0.818 1.090 0.815 0.448 0.245tan(θi/2) 0.102 0.218 0.434 0.606 0.432 0.228 0.123

Cuadro 10.2: Table Caption

Ejemplo 38 donde se consideran los n puntos que se aproximen al circulo visualmente.Usando los datosentregados se obtiene:

x0 = 0,210y0 = −0,257r0 = 0,379

A continuacion se calculan los angulos entre puntos con respecto al centro del cırculos:

θi = ] ((xi − x0) , (xi+1 − x0)) con i = 1, ..., n− 1= ] (xi,r,xi+1,r)

donde θ

xi =xi

yi

se tiene entonces

MAC (xi,r,xi+1,r) = cos2 θi

Los valores se muestran en figura (10.15). θ4 es maximo. Luego, el valor estimado para la frecuencianatural asociada al peak de la FRF es:

ωr = 1,82 rad/s

La razon de amortiguamiento se calcula a partir de

ξr =2∆ω

ωr [tan(θmax/2) + tan(θs max/2)]

donde ∆ω es el paso del muestreo de la FRF (asumido constante),θs max es el angulo adyacente al maximo.En este caso,

∆ω = 0,05 rad/sθs max = 0,818rad


luego la razon de amortiguamiento estimada es:

ξr = 0,053

lo que permite estimar el factor de amortiguamiento segun la relacion,

ξr = − σr√ω2

r + σ2r

de la que se despeja σr,

σr = − ξr√1− ξ2r

ωr

en este caso,σr = −0,096 rad/s

Para hallar el residuo, se utilizan las relaciones:

r0 =√u2 + v2

σr

tanα =u

v

donde α es el angulo entre el vector xr − x0 y el eje imaginario. En este caso:

xr = x5 =

0,0302−0,6060

x0 =

0,210−0,257

luego

cosα =(xr − x0)

T

0−1

|xr − x0| · 1

en este caso,

cosα = 0,888α = 0,476 rad

tanα = 0,516

De las ecuaciones anteriores ambas se despeja,

v =r0σr√

tan2 α+ 1= −0,032

y

u = v tanα= −0,018

La correccion r + ji se obtiene a partir de x0,ri

= x0 +

12σr

uv

luego

ri

=

0,1230,042


10.6.4. Metodo LSFD (Least-squares Frequency Domain)

Este metodo permite estimar frecuencias naturales, modos propios y factores de participacion modal. Para ello, se utiliza la aproximacion:

Hij(jω) =∑

k

Lkj

jω − λkφik +

L∗kj

jω − λ∗kφ∗ik + Uij −

Lij

ω2(10.1)

funcion que es aproximada por Gij(jω), que es funcion de las estimaciones para las incognitas en cadaiteracion.

El problema de optimizacion consiste en minimizar el error cuadratico para todas las frecuencias ygrados de libertad:

mınλk,φk

E =∑

i

∑j

∑ω

eij(jω)e∗ij(jω)

sobre todos los modos k, dondeeij(jω) = Gij −Hij

Dado que aparecen incognitas en el denominador de (10.1) el problema es no lineal y se resuelve pormetodos iterativos.

Observacion 75 La convergencia de este metodo puede ser influenciada de manera importante por losvalores iniciales para las iteraciones.

10.6.5. Metodo ISSPA (Identification of Structural System Parameters)

Este metodo es MDOF,directo y en el dominio frecuencial. Permite obtener modos reales.Si se pre-multiplica la ecuacion de equilibrio en frecuencias por la matriz de masa, se obtiene:(

−ω2I+jωM−1C + M−1K)x(jω) = f(jω)

Si factorizamos y consideramos todas frecuencias y la ordenamos en la matriz diagonal Ω:

−XΩ2+jM−1CXΩ + M−1KX = F

la que puede ser separada en sus partes real e imaginaria. Si se aplican las propiedades de trasposicionde matrices queda:[

XTr

XTi

] [M−1K

]T −Ω[

XTr

XTi

] [M−1C

]T −Ω2

[XT

r

XTi

]=[

F0

]De donde es posible despejar

[M−1K

],

([Xg −ΩXg

])2 [ [M−1K]T[

M−1C]T]

=[

F0

]+ Ω2Xg

con

Xg =[

XTr

XTi

]la cual permite obtener frecuencias y modos propios del sistema conservativo asociado a traves de laidentidad:

M−1Kφ =ω2i φ


n 0 1 2 3 4 5h11(t) 1 0 -1 0 1 0

Cuadro 10.3: datos medidos

10.6.6. Metodo de poli-referencias

Este metodo utiliza las series de tiempo para estimar polos y factores de participacion modal. Con-siderese la n-esima muestra:

H(n∆t) = VE(n∆t)L

Si consideramos o-esima fila de la matriz de respuesta (respuesta en el grado de libertad o),

hTo (n∆t) =

∑r

φoreλrn∆tlTr + φ∗ore

λ∗rn∆tl∗Tr

o equivalentementehT

o (n∆t) =∑

r

φorznr lTr + φ∗orz

∗nr l∗Tr

dondezr = eλ∗r∆t

que son solucion de la siguiente ecuacion matricial en diferencias finitas, de orden p:

znr lTr I+zn−1

r lTr W1 + · · ·+ zn−pr lTr Wp = 0T

La dimensionde las matrices Wi es ni × ni, mientras que el orden del polinomio debe cumplir

p ≥ 2nm

ni

de modo de encontrar 2nm polos. Se tiene ademas que:

hTo (n∆t)I + hT

o ( (n− 1) ∆t)W1 + · · ·+ hTo ((n− 1p) ∆t)Wp = 0T

Tomando esta ecuacion simultaneamente para todos los grados de libertad medidos, permite calcular lasestimaciones para las matrices Wi. Ellas generan un problema de valores propios a partir del cual sepueden conocer los polos λi y los vectores de participacion modal lr.

Ejemplo 39 Considerese un sistema donde se ha medido un grado de libertad, excitando en el mismopunto.

Si asumimos que hay un solo modo (nm = 1) p debe cumplir:

p ≥ 211

luego se cumple,h(n∆t)+h( (n− 1)∆t)w1 + h ((n− 2) ∆t)w2 = 0

variando n desde 2 hasta 5, obtenemos:h(1∆t) h(0∆t)h(2∆t) h(1∆t)h(3∆t) h(2∆t)h(4∆t) h(3∆t)

w1

w2

= −

h(2∆t)h(3∆t)h(4∆t)h(5∆t)

sustituyendo,

0 1−1 00 −11 0

w1

w2

= −

10−10

10.7. EJEMPLO EXPERIMENTAL 159

luego w1

w2

=

01

y la ecuacion () se reduce a

z2 + w1z + w2 = 0

oz2 + 1 = 0

luego

z1 = j

z2 = −j

por definicionzr = eλr∆t

luego

λr =log(zr)

∆t

si ∆t = 0,25 s, se tiene:ω1,2 = 2π rad/s

10.6.7. Metodo CMIF Complex Model Indicator Function

La tecnica CMIF es un multi-input, basada en un modelo modal, en el dominio frecuencial. Laestimacion de los modos es global.

El CMIF es un grafico logaritmico de la magnitud de los valores singulkares de la matriz de funcionesrespuesta en frecuencia como una funcion de la frecuencia. La descomposicion en valores singulares de lamatriz FRF para una frecuencia ωk es:

H(jωk) = PkSkRTk

dondeH(jωk) es la matriz de FRF que tiene no filas y ni columnas,Pk es la matriz con los vectores singulares izquierdos de H(jωk),Rk es la matriz con los vectores singulares derechos de H(jωk),Sk contiene los valores singulares de H(jωk),en orden ascendiente; ellos son reales y no negativos.Por otro lado, teniamos que:

H(jωk) = Φ (jωkI−Λ)−1 L

En ausencia de raices repetidas, y en la cercania a una resonancia, cuando jωk se acerca al polo λr,la cantidad

1jωk − λr

alcanza un maximo. Dado que las matrices V y L son constantes, la informacion de amplitud de la matrizH solo depende de los terminos 1/(jωk−λr). Similarmente,como las matrices Pky Rk contienen vectorescon norma unitaria para cada linea espectral, la informacion de amplitud de la FRF esta contenida en lamatriz de valores singulares Sk. Luego, si 1/(jωk − λr) alcanza un maximo, tambien lo haran los valoressingualres: los peaks en el grafico CMIF determinan las frecuencias naturales amortiguadas (segun elespaciamiento entre las frecuencias medidas ωk).


Figura 10.16: Modos 3 y 4

10.7. Ejemplo experimental

El ejemplo considera una placa de acero de 0,6× 0,4× 0,003m suspendida por elasticos para modelarla situacion libre-libre. Fue excitada con un agitador electro-dinamico en el rango 20 Hz- 20 kHz, agitadorelectro-dinamico en una de sus esquinas. Se registro la senal de velocidad con un Velocımetro laser Doppleren 532 puntos. No hay registro directo de la fuerza sino que de la senal de entrada para agitador.


Se han medido 3 FRFs en un sistema (figura 10.17). Estime modos propios, frecuencias naturales yfactores de amortiguamiento2. Los valores a usar son:

0 0.5 1 1.5 2 2.510-2

10-1

100

101

102

ω rad/s

Am

plitu

d de

spla

zam

ient

o(m

)

Figura 10.17: FRFs medidas

Para identificar los modos se utiliza el metodo LSFD.Com valores iniciales de iteracion tomamos valores aproximativos del grafico: 0.45, 1.26, 1.78 rad/s.

Ası construimos el vector de raıces para la iteracion inicial 0:

λ0=

jω01

jω02

jω03

2control 2, 2003.


gdl-ω 0.25 0.50 0.75 1.25 1.75 2.001 1.455-0.027i -3.659-0.354i -0.451-0.018i -0.589-2.443i -0.927+1.064i 0.338+0.204i2 2.818-0.050i -6.401-0.643i -0.648-0.035i -0.024-1.141i 0.680-1.352i -0.744-0.265i3 3.006-0.056i -8.539-0.785i -1.479-0.009i -0.307+1.997i -0.413+0.609i 0.235+0.121i

Cuadro 10.4: FRFs para estimacion, excitacion en gdl 2

Ello permite construir un sistema de ecuaciones para los modos propios, usando cada frecuencia:

Aωx = bω

donde

x =

q1

q∗1q2

q∗2q3

q∗3ul

Aω =

[1

jω−λ1I 1

jω−λ∗1I 1

jω−λ2I 1

jω−λ∗2I 1

jω−λ3I 1

jω−λ∗3I I − 1

ω2 I]

bω = hω

donde I es la matriz identidad (3×3 en este caso) y ∗ representa el conjugado complejo.Cada frecuencia genera 3 ecuaciones complejas y en x hay 3×3 × 2 incognitas. La estimacion global

se logra acoplando todas las ecuaciones,

Ac =

Aω1

Aω2

...Aωn

bc =

bω1

bω2

...bωn

Siendo un sistema complejo, no hay garantıas de que los modos obtenidos sean normales. Ello se puedeforzar al realizar la siguiente operacion,

Ac = Ar + jAi

bc = br + jbi

luego

A =[

Ar

Ai

]b =

br

bi

y resolviendo

Ax = b

Como se midieron 6 frecuencias, se obtienen 36 ecuaciones para las 18 incognitas. La resolucion conmınimos cuadrados entrega los siguientes valores iterativos:

q01=

0,0160,0390,038

q02=

−0,027−0,0090,018

q03=

0,023−0,0310,014


A modo de comparacion se mide la correlacion con los verdaderos modos que son conocidos gracias a queel ejemplo es numerico:

K =

2 −1 02 −1

sim 1

M = I

C =120

K

q∗1=

−0,328−0,591−0,737

q∗2=

0,7370,328−0,591

q∗3=

−0,5910,737−0,328

λ∗ =

−0,0050 + 0,4450j−0,0389 + 1,2464j−0,0812 + 1,8001j

El MAC resultante entre los pares de modos correspondientes es

MAC(q01,q

∗1) = 0,984

MAC(q02,q

∗2) = 0,992

MAC(q03,q

∗3) = 0,999

lo que indica la rapida convergencia de los modos.


Hemos visto que existen una variedad de metodos para realizar un analisis modal. Esta la posibilidad deusar senales temporales ası como funciones respuesta en frecuencia. En general es recomendable verificarlos resultados de un metodo con los de otros para disponer de mayor confianza en los resultados delanalisis.

Capıtulo 11

Metodos de Correlacion

11.1. Introduccion

En el contexto del analisis modal entendemos por metodos de correlacion al grupo de tecnicas que nospermiten medir las diferencias y similitudes que existen entre 2 grupos de respuestas; por ejemplo, entrelos modos propios identificados experimentalmente y aquellos estimados numericamente con un modelode elementos finitos.

11.2. Correlacion en el dominio modal

An important advantage of the mode shapes rely in their capacity to reduce the amount of informationthat has to be analyzed. The natural frequencies have a high level of confidence, and do not suffer fromthe problem of mesh correspondence between the experimental setup and the FE model since they arescalar quantities.

Mode shapes are also advantageous since they are less sensitive to the presence of damping in the realstructure. This facilitates the correlation task since models are in general conservative or do not representwell the dissipative effects.

A disadvantage is that mode shapes are the result of an identification process (the experimentalmodal analysis), and for this reason, they implicitly contain the errors and the assumptions that eachidentification technique uses.

Another disadvantage is that, in general, only global mode shapes may be identified from the ex-perimental setup since local modes need an extensive sensor setup and appear in the medium and highfrequencies that may fall beyond the observable frequency range.

11.2.1. Modal Assurance Criterion (MAC)

La tecnica de correlacion mas utitlizada para la correlacion entre modos propios es el MAC [?]. Itgives quantitatively a good idea of the global closeness between two families of mode shapes, Φ and V:

MAC(φ(i),v(j)

)=

(φT

(i)v(j)∥∥φ(i)

∥∥∥∥v(j)

∥∥)2

(11.1)

where i and j correspond to the indices of two mode shapes that may be from the same origin(experimental or analytical) in order to check linear dependency, or mixed in order to check correlationbetween two modal bases.

Una forma alternativa del MAC que considera el uso de modos complejos es de la forma:

MAC(φ(i),v(j)

)=

(φH

(j)v(i)

)H (φH

(j)v(i)

)(φH

(j)φ(j)

)(vH

(i)v(i)

) (11.2)

163

164 CAPITULO 11. METODOS DE CORRELACION

Evaluation of equation (11.1) gives rise to the MAC matrix. MAC values oscillate between 0 and 1.A unitary value means perfect correlation. In general this situation does not appear, and a value greaterthan 0.8-0.9 is commonly recognized as acceptable to establish the correspondence between two modeshapes. In this case, two corresponding modes will have a high degree of correlation. This property isexploited by MAC to allow a correct mode tracking which is commonly needed for the construction ofresidues to minimize [?].

Attention must be paid to the number of degrees of freedom in the vectors being compared. MACis sensitive to this parameter. If it is low, pairing may result in errors since local modes are not wellrepresented and may be confused with the global modes. It is also remarked that even if the numericalmodel corresponds exactly to the real structure, the MAC matrix may have non diagonal elements.

A variant of MAC is given by:

MACM

(v(i), φ(j)

)=

(vT

(i)Mφ(j)

)2

(vT

(i)Mv(i)

)(φT

(j)Mφ(j)

) (11.3)

which is a version exploiting the metric of M, best known as the cross orthogonality check and that

oscillates in the interval [0, 1]. Thanks to the orthogonality condition:

MACM

(φ(i), φ(j)

)= δij

MACM tends to exhibit lower non diagonal values than MAC, facilitating the task of mode pairing. It isrecalled that the used of equation (11.3) implies that the problem of dimension between model matricesand experimental vectors has been solved.

11.2.2. Modal Scale Factor (MSF)

If the experimentally identified modal mass is considered to be accurate (i.e., by comparing severalexperimental identification results), the use of the Modal Scale Factor [?] can also be considered as a wayto compare two corresponding mode shapes. MSF gives a least square estimate of the ratio between twomode shapes:

MSF (v(i), φ(j)) =

∥∥φ(j)

∥∥2∥∥∥v(i)

∥∥∥2 (11.4)

Of course, both input modes should have the same modal mass. This may severely affect the computedMSF value since the error in the estimation of the modal masses is commonly high (∼ 30 %) .

11.3. Correlacion en el dominio frecuencial

Interesting conclusions can be stated for a reference system with system matrices K, M and anotherwith matrices K∗, M∗ following:

K∗ = αK (11.5)

where α > 0 is a perturbing parameter (termed as stiffness factor); and

M∗ = M

Thus, it can be easily proven [1] that:

H∗ (√αω) =1αH (ω) (11.6)

where H and H∗ are the reference and perturbed dynamic flexibility matrices, respectively:

H =(K−ω2M

)−1= Z−1 (11.7)

11.3. CORRELACION EN EL DOMINIO FRECUENCIAL 165

Axial position (m)

α[Κ]

Frequency (Hz)

[Κ]

Am

p litu

d e (

m/m

)

1)1( at ωφ

2)2( at ωφ

*1

*)1( at ωφ

*2

*)2( at ωφ

jωjiω

jω

Referencesystem

Perturbedsystem

Figura 11.1: Frequency domain shift on the example of a beam

Equation (11.6) shows that a shift in frequency and a new scale factor appears on all the operatingdeflection shapes and, which is the most important, a direct correlation exists for two operating deflectionshapes if the frequency shift is taken into account. In figure (11.1) the operating deflection shapes of asimply supported beam are depicted for the reference system and for the perturbed system. If correlationis measured at the same frequency ωj , it will compare two deflection shapes with a phase lag of 180

and with completely different modal participations. Otherwise, if ωj is used in the model and ωj

i in theexperimental shapes as comparison frequencies, both operating deflection shapes will be in phase andwill have a high degree of correlation.

In a more general situation, and referring to figure (11.2), if ωP , ωQ, and ωR are used as frequencies forcomparison, the deflection shapes associated to points P ′′, Q′′, and R′′ are compared with the referenceshapes associated to P , Q, and R respectively instead of using the shapes related to points P ′, Q′, and R′

which are the shapes that show the best agreement. In this way, no use is made of the natural correlationon the frequency axis.

Note that correlation methods based on modal information implicitly take the frequency shift intoaccount, since they pair mode shapes at different frequencies: referring to figure (11.2), φ(1) will becompared with φ∗(1) and φ(2) with φ∗(2).

It should be pointed out that usually, as several parameters at elementary levels are perturbed, eachone of these parameters will shift the eigenfrequencies in different directions so that an average frequencyshift exists for each point. In figure (11.2), P ′,Q′ and R′ are unknown. A frequency domain correlationtechnique that allows the estimation of such points in a global sense is presented hereafter.


Frequency (Hz)

'

*1

*(1) at ωφ

*2

*(2) at ωφ

1(1)at ωφ

2(2)at ωφ

'Pω Pω

Am

plitu

de (m

/m)

Qω 'RωRω

Figura 11.2: Frequency response function of the reference and perturbed systems

11.3.1. Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC)

In reference [?] it is proposed to measure the correlation between two operating deflection shapes atthe same frequencies. In this case, a vector of correlation is obtained.

Based on the frequency shift mentioned above, we propose to measure the closeness between measuredand synthesized operating deflection shapes by using the following correlation criterion:

FDAC(ωi, ωj) =

(hH

(j)h(i)

)H (hH

(j)h(i)

)(hH

(j)h(j)

)(hH

(i)h(i)

) (11.8)

where:H indicates the conjugate transposed,ωj corresponds to the frequency at which the numerical operating deflection shape h(j) is calculated,ωi corresponds to one frequency at which the experimental operating deflection shape h(i)was mea-

sured experimentally.

The so-called Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC) [?] can be regarded as equivalent toMAC in the frequency domain. It follows from equation (11.8) that FDAC values are limited to theinterval [0, 1]. As for MAC, a value of 1 means perfect correlation, and 0 no correlation at all.

From FDAC, it is possible to define the frequency residue:

∆ω(ωj) = ωji − ωj (11.9)

to measure the distance between the model and the test structure. ωj represents the frequency on themodel, and ωj

i is the frequency at which FDAC reaches its maximum for all measured frequencies.A drawback of FDAC computed from equation (11.8) is its insensitivity to the phase lag between the

operating deflection shapes. It may give a maximum correlation for two ODS that have a relative phase

11.3. CORRELACION EN EL DOMINIO FRECUENCIAL 167

of 180. As will be seen later, this may induce badly conditioned residues for model updating. In orderto avoid this situation it is better to redefine FDAC as (for real operating shapes):

FDAC(ωi, ωj) =hT

(j)h(i)∥∥h(j)

∥∥∥∥h(i)

∥∥ (11.10)

and for complex operating shapes as:

FDAC(ωi, ωj) = s

√√√√√√(hH

(j)h(i)

)H (hH

(j)h(i)

)(hH

(j)h(j)

)(hH

(i)h(i)

) (11.11)

where

s = sign(<(hH

(j)h(i)

))with

sign (x) =

1 if x is positive0 if x is zero

−1 if x is negative

and < (x) is the real part of x.In this way, FDAC may take values in the range [−1, 1] and a value FDAC > 0 means that both

shapes are ”in phase”.As will be presented in §?? in the context of an updating procedure based on operating deflection

shapes, FDAC helps in the choice of the frequencies that should be used. It allows the selection of intervalswhere the model is close enough to the experiments (a high value of FDAC, and low ∆ω(ωj) in equation11.9). If equations (11.10) (or 11.11) are evaluated for a given set of analytical frequencies and for allmeasured frequencies , the FDAC matrix is obtained. A perfectly updated model will have only positiveunitary values on the axis ωi = ωj . As a consequence, the criteria of shape and phase similarity, and null∆ω(ωj) will be satisfied by the finite element model.

The special case considered in equation (11.5) appears clearly in the FDAC matrix as shown in figure(11.3). The stiffness factor may be estimated easily from the slope of the line (ωj

i , ωj). The lines ofdiscontinuity in each frequency axis represent the eigenfrequencies. This may be exploited for modalidentification purposes.

11.3.2. Frequency Response Scale Factor (FRSF)

With regard to its definition, it results that FDAC is insensitive to the existent scale factor betweenboth analytical and experimental operating deflection shapes. The amplitude is also a characteristicproperty of an operating deflection shape. For this reason, a Frequency Response Scale Factor (FRSF)may be defined (by analogy with the Modal Scale Factor [?]):

FRSF (ωj , ωji ) =

hH(j)h(j)

hH(i)h(i)

(11.12)

where ωji is obtained through equation (11.9).

For a perfect model, all the components of the FRSF vector should be equal to 1.However since damping is not taken into account in the model, it is expected to find FRSF values

not equal to 1 near resonance frequencies. Zones where the energy ratio is too high should be avoided ascandidates for updating purposes as will be studied in §??.


2

1

Figura 11.3: FDAC for K∗ = 2K

11.4. Correlacion en el dominio temporal

In reference [18, ?] a technique to measure distances between model and test data is presented.It consists of comparing the subspaces of the time domain shapes. The technique is called PrincipalComponents Analysis (PCA) and requires the use of the Singular Value Decomposition (SVD). It canalso be applied to systems showing non linear behavior.

Let t = to, t1, · · · , tn be a set of instants (enough to represent all deformations of the structure)where measurements have been taken in a structure (that may show non-linear behavior):

X =[

x(o) x(1) · · · x(ns)

](11.13)

is a matrix ordering each measured instantaneous shape x(i) at instant ti side by side. X may be decom-posed using the SVD technique into:

X = UΣVT (11.14)

Σ is a diagonal matrix containing all non zero singular values of X. V is an orthonormal base thatspans the subspace generated by the shapes in X, and is a compact representation of the way the structurebehaves (in parallel, mode shapes do the same for linear systems)1.

The same decomposition may be done for the time responses of the model, assuming similar excitationconditions:

X =[

x(t0) x(t1) · · · x(tn)]

(11.15)

X = UΣVT (11.16)

For a perfect model,X− X = 0

1The notation for the SVD analysis has been kept as in reference [18] and is valid exclusively in this chapter.

11.5. EJEMPLOS 169

L = 1.80 m, A = 104 m2 , E = 2.1011 Pa,I = 8.33 1010 m4 , = 7800 kg/ m3 .

Figura 11.4: The clamped beam

Since the finite element model presents parameter errors and imperfect border and initial conditionsand measurements are perturbed by noise, a MAC related correlation technique may be defined:(

UT U)2

and (VT V

)2(11.17)

The denominator has been simplified since the singular vectors have an unitary euclidean norm.Another way to show the distance between V and V is to use the angles between the vectors:

](v(i), v(j)) = cos−1(vT(i)v(j)) (11.18)

And also:∆Σ = Σ− Σ (11.19)

V and V being orthogonal bases for the space Rnm×nm (provided that all singular values are non-zero)can also be related through a rotation matrix such that:

V = QV

which corresponds to the orthogonal Procrustes problem described i.e. in reference [18].V can be associated to the mode shapes of a linear system if the system response is dominated by a

single mode. In a general case there is no explicit relationship between V and the modal basis or betweenΣ and the natural frequencies. For the special case M = αI, α > 0 a study is presented in reference [?].

11.5. Ejemplos

11.5.1. Viga empotrada

This example considers a cantilever beam extensively used in the bibliography. We will also use thisexample in the chapters on error localization and model updating. The model is composed of 15 Euler-Bernoulli beam elements. The “experimental” structure differs from the initial FE model by the bendingstiffness of the element 8 which has been doubled in the ”experimental” structure. Measurements havebeen ”done” in 15 equally spaced degrees of freedom which correspond to the nodes of the model. Onlythe vertical direction is ”measured”. See figure (11.4).

Correlation using modal data is presented in figure (11.5) (each mode is identified through its fre-quency). The MAC allows a pairing of the modes, and the establishment of the frequency shift, which islisted in table (11.1). The error of the model does not affect the shape of the eigenvectors much since theMAC values are very close to 1. Eigenfrequencies show a better sensitivity.

Correlation in the frequency domain is performed using FDAC and FRSF. Results are depicted infigures (11.6) and (11.7) respectively. In the FDAC matrix a black line shows the experimental frequencythat maximizes the correlation with respect to a fixed frequency in the model, for all measured frequencies.A white line on the axis x = y has also been superposed. The difference between the black line and thewhite line indicates the effect of the frequency shift in the operating deflection shapes.


2.5 15.8 44.2 86.8 143.5 214.5 300 400 515 645.4

2.5

16.3

44.3

89.9

143.8

222.2

301.4

414

518.9

666.8

FE modes

Exp

erim

enta

l mod

es

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 11.5: MAC of the beam case

Experimental FE MAC Frequencyfrequency (Hz) frequency (Hz) shift ( %)

2,5 2,5 ,998 −0,7716,4 15,8 ,996 −3,4744,3 44,3 ,998 −0,0889,9 86,8 ,999 −3,48

143,9 143,6 ,995 −0,24222,3 214,6 ,996 −3,47301,4 300,0 ,991 −0,47414,1 400,1 ,992 −3,38519,0 515,1 ,993 −0,75666,9 645,4 ,994 −3,22

Cuadro 11.1: Correlation of the beam case

11.5. EJEMPLOS 171

Figura 11.6: FDAC of the beam case

The jump of phase at each resonance produce the rectangular shapes which can be observed around theaxis x = y. The 2 corners which are nearest to this axis indicate the test and numerical eigenfrequencies.

The curve of FRSF (figure 11.7) shows discontinuities at each FE natural frequency. This situationappears due to the conservative nature of both the FE model and the ”test” structure. For the rest offrequencies the values are very close to 1. This would not be the case if the comparison frequencies werethe same for the test and the numerical operating deflection shapes. The stability of FRSF shows itsutility when residues are produced to update the model (§??).

Ejemplo 40 Calcule el MAC para las 2 bases de modos dadas. Establezca los pares de modos y el errorrelativo en frecuencia. Verifique si los modos son normales.

λ −0,0812 + 1,8001i −0,0389 + 1,2464i −0,0050 + 0,4450iq −0,1574 + 0,2824i 0,3561− 0,4435i 0,3080− 0,1371i

0,1963− 0,3522i 0,1585− 0,1974i 0,5550− 0,2470i−0,0874 + 0,1567i −0,2856 + 0,3557i 0,6920− 0,3080i

Cuadro 11.2: Modos experimentales

λ −0,0786 + 1,9828i −0,0414 + 1,3620i −0,0050 + 0,4529iq −0,0928 + 0,1677i −0,3058 + 0,4248i 0,3309− 0,1503i

0,1663− 0,3315i −0,0498 + 0,0569i 0,5939− 0,2697i−0,0979 + 0,2060i 0,1892− 0,2541i 0,6884− 0,3116i

Cuadro 11.3: Modos reducidos Elementos Finitos

Como primera accion se decide normalizar los vectores para verificar si son normales. Cada vectornormal es dividido arbitrariamente por su componente en el primer grado de libertad. Se obtiene:


0 100 200 300 400 500 600 70010

-3

10-2

10-1

100

101

102

103

FE frequency (Hz)

FRS

F

Figura 11.7: Beam case. Initial FRSF

Φ1 =

1 1 1−1,247 0,4450 1,80190,5550 −0,8019 2,2470

y para la base EF:

Φ2 =

1 1 1−1,9331 + 0,0784i 0,1439 + 0,0138i 1,7948 + 0,0001i1,1872− 0,0733i −0,6051− 0,0098i 2,0792 + 0,0024i

Se aprecia que los modos de la base 2 son complejos. La funcion angle de Matlab permite verificar elgrado de desviacion c/r a 0o o 180o:

angle(Φ2) =

0 0 0177,7 5,5 0,0−3,5 −179,1 0,1

Por lo que se usa la formula (11.2) para calcular el MAC: 0,94 0,06 0,00

0,06 0,94 0,000,00 0,00 0,99

Con lo cual es facil establecer las parejas correspondientes: (1, 2), (2, 2), (3, 3). Los resultados se resumenen tabla (11.4).


Hemos estudiado diversas tecnicas en los dominios modal y frecuencial.


Φ1 Φ2 MAC ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω2−ω1ω1

1001 1 .94 1,80 1,98 +10,12 2 .94 1,25 1,36 +9,23 3 .99 0,44 0,45 +1,8

Cuadro 11.4: Resultado

El Frequency Domain Assurance Criterion representa una herramienta poderosa que puede ser usadaventajosamente con varios propositos. Como tecnica de correlacion global, la matriz FDAC evalua cuanti-tativamente la cercania entre las deformadas operacionales experimentales y numericas. Esta informaciones muy util para el ingeniero, quien en general debera reducir las vibraciones en terminos de las respues-tas dinamicas. Las bandas frecuenciales ne las cuales el modelo muestra resultados pobres son facilmentedetectadas; sin requerir de procesos de identificacion tales como el analisis modal experimental; dadoque se usan directamente los valores experimentales. FDAC es sensible a tres parametros caracteristicosde las respuestas: forma, fase y frecuencia. Otra propiedad es el factor de escala, el cual es afectadoprincipalmente por el nivel de amortiguamiento y los errores de modelamiento.

Capıtulo 12

Amortiguamiento

12.1. Introduccion

En el mundo real, todas las estructuras muestran siempre algun nivel de amortiguamiento; el cualpuede observarse en las funciones respuesta en frecuencia.

Existen una extensa variedad de mecanismos de discipacion de energıa. Por otro lado, la comprensionteorica sobre estos mecanismos es insuficiente. Ello conlleva a que el modelamiento del amortiguamientosea muy difıcil de lograr de manera precisa.

Aun ası, existen una gran cantidad de aplicaciones en donde las predicciones obtenidas con modelosconservativos (de elementos finitos) son lo suficientemente precisas. Si se requiere considerar el amor-tiguamiento, se pueden usar aproximaciones, las que veremos a continuacion.

Si las frecuencias de excitacion estan lejos de las frecuencias naturales, las fuerzas de amortiguamientoson pequenas en comparacion a las elasticas y de inercia, por lo que pueden ser despreciadas. Sin embargo,en situaciones de resonancia, las fuerzas de discipacion se hacen importantes y deben ser consideradaspara obtener buenas predicciones con el modelo numerico.

En general, los modelos de elementos finitos no incluyen el amortiguamiento de las misma maneraen que incluyen la masa o la rigidez. Para construir las matrices de masa y rigidez, la estructura essubdividida en elementos que permiten una descripcion razonablemente precisa de la distribucion de masay rigidez. Al ensamblar los elementos se obtienen las matrices globales M y K. Para el amortiguamiento,sin embargo, la descripcion a nivel de elemento es muy difıcil, principalmente por la gran variedad demedios de discipacion de energıa que existen y por la falta de informacion para la descripcion apropiadade estos medios. Si se dispone de informacion experimental, ella permite la estimacion de una matrizglobal de amortiguamiento C.

Tras un analisis modal experimental es posible obtener las razones de amortiguamiento ξi para unaserie de modos. Ellos pueden ser usados para anadir los efectos del amortiguamiento en un modelo deelementos finitos. Pasos necesarios son: identificar los modos propios experimentales asociados y formarlos pares de modos correspondientes en el modelo numerico (vease capitulo §11).

Existen 2 modelos para modelar el amortiguamiento en una matriz global C:

amortiguamiento proporcional (o viscoso);

amortiguamiento estructural (o de histeresis).

12.1.1. Amortiguamiento proporcional

El amortiguamiento proporcional modela las fuerzas de amortiguamiento como proporcionales a lavelocidad, tanto en amplitud como en fase. Escrito en el dominio frecuencia ello equivale a:

−ω2Mq + jωCq + Kq = f

con M, C, K constantes.

175

176 CAPITULO 12. AMORTIGUAMIENTO

Se dice que la matriz C es proporcional cuando al aplicar la transformacion modal:

Cm = ΦtCΦ (12.1)

se obtiene una matriz diagonal Cm. En este caso los modos son reales e iguales a los modos del sistemaconservativo asociado. Una condicion necesaria y suficiente para que C sea proporcional es:

CM−1K = KM−1C

conocida como la condicion de Caughey.

Amortiguamiento de Rayleigh

Un caso especifico de amortiguamiento proporcional es el amortiguamiento de Rayleigh:

C = αK + βM

Para determinar los coeficientes α y β bastan 2 valores de razones de amortiguamiento:

ξi =ωi

2α+

12ωi

β

Por supuesto, en caso de tener mas de dos valores de amortiguamiento modal, se pueden usar los mınimoscuadrados.

El amortiguamiento de Rayleigh es muy facil de aplicar. su desventaja principal es que solo es capazde modelar exactamente solo dos frecuencias naturales.

Rayleigh extendido

En este caso,

C = Mn−1∑i=0

αi

(M−1K

)iLos coeficientes αi son obtenidos a partir de

ξi =1

2ωi

∑j=0,2,..,n

αiω2ji

En teorıa, el modelo extendido de Rayleigh estima valores exactos para todos los modos usados. Sinembargo, en la practica los modos a alta frecuencia generan inestabilidad numerica lo que hace inutil elmetodo cuando se dispone de un gran numero de modos[1].

Amortiguamiento modal

Otra manera de estimar una matriz de amortiguamiento proporcional es explotar la condicion dediagonalizacion de C (12.1). Cada elemento de la diagonal de Cm es

cm,i = 2ωiξi (12.2)

luegoC = ΦT−1

CmΦ−1

esta ecuacion es impractica en su uso pues requiere del calculo de todos los modos propios del modelode elementos finitos. Si los modos estan normalizados con respecto a la matriz de masa (masas modalesunitarias) se tiene que:

Φ−1 = ΦT M

lo que permite escribir:C =(MΦ)Cm (MΦ)T (12.3)

donde no es necesaria calcular toda la base modal numerica. Solo se usaran aquellos modos numericosque tengan un par experimental identificado.


12.1.2. Amortiguamiento estructural

Una matriz de amortiguamiento estructural D define las fuerzas de amortiguamiento como propor-cionales al desplazamiento pero en fase con la velocidad

−ω2Mq + jDq + Kq = f

En sistemas reales, D es dependiente de la frecuencia; en general se modela como una constante.Una manera posible de estimar D considera el uso de un promedio de las razones de amortiguamiento

obtenidas experimentalmente, con:D = αK

yα = 2ξi

oα = 2

1n

∑i

ξi


Consideremos el ejemplo propuesto en ref. [?] y ya visto en §??. Se tiene:

K = 1010

1,2300 −1,2300 0 0 0 0

1,4655 −0,2355 0 0 00,2745 −0,0390 0 0

0,0496 −0,0053 −0,00530,0053 0

sim 0,0053

in · lb/rad

M =

257500

262000115000

35602720

2720

lb · in · sec2

Asumamos que se han estimado experimentalmente las razones de amortiguamiento. ellas son

ξi = 0,02, i = 2, ..., 6

Usando amortiguamiento modal (ec. ??),

Cn =

0

4,725,59

6,3212,69

15,34

normalizando los modos de modo que

µi = φTi Mφi = 1

y aplicando (??),

C =106

1,6811 −1,4818 −0,1896 −0,0047 −0,0025 −0,0025−1,4818 1,8856 −0,3911 −0,0067 −0,0030 −0,0030−0,1896 −0,3911 0,6217 −0,0324 −0,0043 −0,0043−0,0047 −0,0067 −0,0324 0,0524 −0,0043 −0,0043−0,0025 −0,0030 −0,0043 −0,0043 0,0147 −0,0005−0,0025 −0,0030 −0,0043 −0,0043 −0,0005 0,0147


Notese que los grados de libertad 1,2 y 3 concentran la mayor parte del amortiguamiento (asociados almotor).

A fin de verificar la matriz C estimada, se calcularon las raıces del sistema no conservativo, obtenien-dose

λ =

0−0,0236± 1,1809i−0,0280± 1,3982i−0,0316± 1,5790i−0,0634± 3,1707i−0,0767± 3,8346i

rad/s

y recordando queσi = ξiωi,0

donde ωi,0 es la frecuencia natural del sistema conservativo asociado (??). Al hacer la operacion severifica que todos las razones de amortiguamiento ξi son 0.02.

Retomando el tema del calculo de los factores de amplificacion de torque, se considerara el valoresperado del torque dinamico siendo que la respuesta transitoria a la salida del lingote se atenua en eltiempo por la existencia de amportiguamiento. En este caso las respuestas modales seran de la forma(segun ec. ??):

qi(t) = q0,ie−ξiωit cos(ωi,dt) (12.4)

donde ωi,d es la frecuencia natural amortiguada del modo i.Segun (??) se hace mas dificil que esten todas en fase en algun instante (como se considero en el

caso conservativo). Los peores escenarios de torque dinamico se daran durante los primeros ciclos; luegoconsideraremos una simulacion sobre un intervalo segun el modo de menor frecuencia natural (el segundo):

n2πω2

segundos, para algun valor apropiado de n. Para el calculo del torque dinamico modal en cada eje(elemento) usamos:

Tφi,k(t) = kk (xi(t)− xj(t))

y luego vemos elTk(t) =

∑i

Tφi,k(t)

para quedarnos con el valor maximo:

Tmaxk (t) = max

t∈(0,n 2π

ω2

)Tk(t)

Para la simulacion se selecciono un paso temporal que asegurase al menos 50 muestras para el ciclo masrapido, que corresponde al del modos φ6, luego:

dt =150

2πω6

Los resultados para n = 20 se observan en figura (??). Los valores maximos de TAF observados son:

TAFmaxsl,d (t) =

3,74843,08141,16941,00001,0000

los que son muy similares obtenidos con el sistema conservativo asociado (ec. ??).


1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejetiempo (s)

TAF

Figura 12.1: Evolucion del factor de amplificacion en el tiempo


No existe una justificacion fısica para el amortiguamiento proporcional. Este modelo se revela utilpor conveniencias numericas (modos reales, matriz Cm. diagonal). En la practica, este tipo de modeloproduce buenas predicciones cuando el amortiguamiento esta distribuido de manera homogenea en elsistema.

Para el caso del modelamiento estructural, tampoco existen justificaciones fısicas. su uso se revela utilpara modelar el amortiguamiento de los materiales.

Hemos presentado un estudio mostrando el efecto de la inclusion de amortiguamiento en el factor deamplificacon de torque, producto de condiciones transientes en un sistema laminador.

Bibliografıa

[1] Lammens, S., Frequency Response Based Validation of Dynamic Structural Finite Element Models,Ph.D. thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium 1995.

[2] Galloway, L., Transient Torsional Vibrations in Multiple-Inertia Systems, IEEE Transactions on In-dustry Applications, 6, 690-696, 1972.

181

182 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 13

Tecnicas de expansion/reduccion

13.1. Introduccion

El numero de grados de libertad del modelo de elementos finitos usualmente es muy superior al de losgrados de libertad medidos. Ello ocurre por la necesidad de un mallado adecuado para lograr resultadosnumericos satisfactorios. Por otro lado, no es practico (ni posible) medir todos los grados de libertad dela estructura:

muchos grados de libertad de la estructura son internos y no pueden ser accesados para medicion

los grados de libertad rotacionales son difıciles de medir

Para propositos de un analisis modal, no es necesario disponer de un gran numero de puntos demedicion

Para efectos de las tecnicas de ajuste de modelos, la mayorıa de los metodos requieren una corre-spondencia 1 a 1 entre los grados de libertad experimentales y numericos. El numero y la posicion delos grados de libertad de ambos conjuntos deben ser identicos. Ello se logra a traves de las tecnicas dereduccion y expansion.

En primer lugar, los grados de libertad del modelo que son correspondientes con las medicionesexperimentales son identificados. Ello define el grupo de grados de libertad activos. El resto de grados delibertad del modelo son llamados grados de libertad condensados o borrados.

13.2. Reduccion

Algunas veces es conveniente reducir el tamano de las matrices K y M, como veremos mas ade-lante. Este proceso es llamado reduccion. La reduccion de un modelo puede ser llevada a cabo condiferentes clases de datos: modos propios, deformadas operacionales y matrices estructurales (rigidez,masa, amortiguacion). La reduccion de modos y deformadas es relativamente sencilla dado que se retieneun subconjunto de los grados de libertad del modelo. En contraste, la reduccion de matrices implicainevitablemente, un proceso de simplificacion. El precio a pagar es que el modelo reducido solo puederepresentar un subconjunto reducido de los modos del sistema. La conectividad existente entre los gradosde libertad es violada y la comprension fısica de los elementos en K, M, C se pierde.

Toda tecnica de reduccion introduce una matriz de transformacion T ∈ Rnfe×nm (donde nfe es elnumero de grados de libertad del modelo y nm es el numero de grado de libertad retenidos), tal que lassoluciones del problema original:

Kq = ω2nMq (13.1)

es restringido a tomar la forma:q = Tq (13.2)

183

184 CAPITULO 13. TECNICAS DE EXPANSION/REDUCCION

donde q ∈ Rnm corresponde al modo propio del modelo reducido. Notese que el vector q es ahora unacombinacion de los nm vectores columna de T.

De acuerdo al principio de Hamilton, el equilibrio se encuentra cuando:

δ

(12qT Kq−1

2ω2

nqT Mq)

= 0 (13.3)

al aplicar la restriccion (13.2), el problema reducido se convierte en:

δ

(12φT Kφ−1

2ω2

j φT Mφ

)= 0 (13.4)

donde:

M = TT MT (13.5)

K = TT KT

y que lleva al problema reducido:Kq = ω2

nMq (13.6)

Las diferencias entre las soluciones obtenidas a traves de (13.6) y las originales obtenidas a partir de(13.1) dependen de la seleccion de T. Este operador caracteriza cada metodo de reduccion [16].

Observacion 76 Podemos aplicar el operador en forma inversa, eso es, conocer que pasa en los gradosde libertad no retenidos cuando ya se dispone de q. De acuerdo a la ecuacion (13.2) el operador tambienpuede ser usado con medidas experimentales.

13.3. Metodos de Expansion

Las tecnicas de expansion son aplicables a vectores tales como modos propios y deformadas opera-cionales. Para efectos del ajuste de modelos, una lista de ventajas por sobre la reduccion incluye:

se utiliza toda la informacion contenida en el modelo a escala completa,

la conectividad del modelo es respetada,

la implementacion de los algoritmos en los paquetes comerciales disponibles es mas facil, y requierede menos calculos.

Una primera clasificacion de los metodos considera el nivel de confianza que se tenga en las medidasexperimentales:

metodos con restriccion de igualdad, que imponen que los vectores expandidos sean iguales a losexperimentales en los grados de libertad medidos.

metodos que usan relajacion, los cuales no imponen la condicion anterior.

Una subclasificacion de las tecnicas que usan relajacion incluye los metodos que obtienen el vectorexpandido a partir de una base de deformadas predefinidas, y aquellas que estiman el conjunto completode grados de libertad del modelo (incluida la particion medida).

Otro criterio para clasificar los metodos se base en el dominio de la funcion objetivo del problema deexpansion:

metodos basados en energıas residuales (expansion estatica o de Guyan [19], expansion dinamica[27], minimizacion de error de la ecuacion constitutiva [10, 28]),

metodos basados en fuerzas residuales [20, 21],

metodos basados en desplazamientos residuales [3], basic modal displacement method [24],

metodos hibridos (??).

13.3. METODOS DE EXPANSION 185

13.3.1. Metodo MECE

Para estimar el vector expandido, este metodo busca el mınimo de la energıa de deformacion residual:

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)(13.7)

en el caso de los modos propios, sujeto a:

K u(i) = ω2i M v(i) (13.8)

y (vm(i) − v(i)

)T (vm(i) − v(i)

)= 0 (13.9)

v(i) corresponde al modo experimental asociado a la frecuencia natural ωi; y v(i) corresponde al vectorexpandido el cual esta reordenado entre los grados de libertad medidos m y los grados de libertad nomedidos o:

v(i) =

vm(i)

vo(i)

(13.10)

13.3.2. Otras tecnicas de expansion

En general, los metodos de expansion comienzan su desarrollo a partir del ensamble dado por elmetodo de los elementos finitos. Asumamos que los errores de estructura son despreciables y que soloexisten errores en los parametros del modelo (por ejemplo en las propiedades materiales o geometricas).La ecuacion de equilibrio dinamico de la estructura experimental correspondiente al modo v∗(i) ∈ Rnfe

puede ser escrita en el dominio frecuencial como:

K∗ v∗(i) = ω∗2i M∗ v∗(i) (13.11)

donde K∗ ∈ Rnfe×nfe y M∗ ∈ Rnfe×nfe respetan los mismo patrones de conectividad entre los grados delibertad que las matrices del modelo de elementos finitos.

La validez de la ecuacion (13.11) es crucial y su violacion produce efectos que han sido estudiadospor ejemplo en las referencias [5, 6, 25, 30]. La hipotesis de validez de tal modelo estructural nos diceimplıcitamente que la estructura experimental (con un posible defecto) posee comportamiento lineal yque los efectos disipativos no imfluencian los modos propios considerados en el analisis.

La correspondencia entre las estructura experimental y la del modelo de elementos finitos puede serexpresada por:

K∗ = K +4K∗ (13.12)M∗ = M +4M∗

y el modos propio experimental (asumido) v∗(i) (y su frecuencia ω∗i ) pueden ser descompuestos entre elvector experimental expandido v(i) mas los errores cometidos∆v(i) y ∆ωi debido a errores en el analisismodal experimental, ruido y errores del modelos,

v∗(i) = v(i) + ∆v(i) (13.13)

ω∗i = ωi + ∆ωi

Una aproximacion al modo experimental v∗(i) puede ser encontrada asumiendo que el modelo numericorepresenta aceptablemente a la estructura real. Usando una formulacion standard, el vector expandidov(i) puede ser estimado minimizando el residuo de la ecuacion de equilibrio en alguna metrica adecuadaΘ:

mınv(i)

∆fT(i) Θ ∆f(i) (13.14)

con∆f(i) =

(K− ω2

i M)

v(i) = Zi v(i) (13.15)


Para resolver el problema (13.14), se usan los datos experimentales requiriendo que los vectores ex-pandidos se ajusten a los vectores medidos, que constituyen la referencia. Se anade la siguiente restriccion:

(vm(i) − v(i)

)T (vm(i) − v(i)

)= 0 (13.16)

lo cual es muy exigente para el proceso de expansion 1, dado que implica confianza absoluta en los procesosde adquisicion y analisis modal experimental. En la practica, el vector medido v(i) esta perturbado porruido y en vez de usar la restriccion (13.16), se utiliza:

mınv(i)

(vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)(13.17)

Algunas tecnicas de expansion se basan el la verificacion de la ecuacion (13.16) y resuelven el prob-lema (13.14). En una primera version del metodo MECE [32] , ambas condiciones (13.14 y 13.17) sonconsideradas simultaneamente en una solo funcion objetivo hıbrida:

mınv(i)

∆fT(i) Θ ∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)(13.18)

donde α es un parametro de regularizacion que indica el nivel de confianza en las medidas.

Observacion 77 Notese que el vector expandido no esta restringido a ajustarse al vector experimental.Su similitud dependera de los pesos relativos entre la condicion de equilibrio y el termino de regularizacion.

Si se selecciona la matriz de flexibilidad estatica para el termino de equilibrio

Θ = K−1

yΞ = K

para el termino de regularizacion, el problema (13.18) puede ser reescrito como sigue,

mınv(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)TK(vm(i) − v(i)

)(13.19)

Substrayendo la ecuacion (13.15) de la ecuacion (13.8) se obtiene la relacion que une al objetivoMECE(13.7) con el objetivo general (13.14):

∆f(i) = K(v(i) − u(i)

)(13.20)

y

∆fT(i) K−1 ∆f(i) =

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)(13.21)

el problema de expansion (13.19) puede ser expresado en la forma:

mınv(i)

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)+ α

(vm(i) − v(i)

)TK(vm(i) − v(i)

)(13.22)

sujeto a la condicion (13.8). Los problemas MECE (con y sin el uso de la restriccion de igualdad), definidospor las ecuaciones (13.7-13.9), (13.8 y 13.22) respectivamente, pueden ser comparados.

1En lo que sigue el uso de la retriccion (13.16) sera referido como restriccion de igualdad.


13.3.3. Relajacion

Para resolver el problema de optimizacion (13.19) y reducir los costos computacionales, el modoexpandido puede ser expresado como una combinacion lineal de un cierto numero de modos del modelo:

v(i) = Φ q(i) (13.23)

donde Φ ∈ Rnfe×nn y nn es el numero de modos utilizados en el proceso de expansion.Tal estrategia presenta las siguientes ventajas:

el numero de incognitas se reduce considerablemente;

la base modal es muy adecuada para describir las deflexiones de la estructura modelada;

el problema de expansion se independiza de la talla del modelo (en el caso de que los modosseleccionados no sean influenciados por la malla);

las condiciones de ortogonalidad de la base modal pueden ser usadas convenientemente;

la estimacion de los desplazamientos modales q(i) puede ser usada como criterio para disponer lossensores;

los calculos requeridos son bastante reducidos respecto de otros metodos.

Observacion 78 Notese que la ecuacion (13.23) es una restriccion extra al proceso de expansion dadoque la seleccion de la base para construir v(i) es arbitraria. Una desventaja es que resulta en una aproxi-macion suavizada al vector expandido. Por ejemplo, en las referencias [4, 8, 14], la base de expansion esenriquecida usando deformadas estaticas asociadas a las deformaciones inducidas por algun dano en laestructura:

v(i) = Φ q(i) + Ψa (13.24)

conψ(j)= K−1f(j) (13.25)

Sin embargo, estas deformadas son usualmente altamente dependientes linealmente, por lo que suscontribuciones tienden a ser difıciles de estimar de manera precisa.

Proyeccion modal basica

Si se considera el problema (13.17) sujeto a la restriccion (13.23), se obtiene el metodo System Equiv-alent Reduction Expansion Process (SEREP) [24]. La mejor estimacion (en el sentido de los mınimoscuadrados) se obtiene usando la pseudo-inversa Φ+

m:

qse(i) = Φ+

mv(i) (13.26)

conΦ+

m =(ΦT

mΦm

)−1ΦT

m

SEREP puede ser representado por su operador de expansion:

Tse = ΦΦ+m (13.27)

el cual es una de las formas de operador de la tecnica de coordenadas modales [23].Notese que la anulacion del objetivo (13.17) es satisfecha para cualquier modo v(i) que este en el

subespacio generado por los vectores columna de Φm, si ese no es el caso, la funcion objetivo (13.17) esnecesariamente mayor que 0, y el vector expandido sera necesariamente suavizado. Si la influencia delruido es importante, este efecto es util para evitar un modo expandido poco precisa (biased).


Variantes

Una variante del metodo anterior es presentada en la referencia [33], donde se pregona el uso de unabase modal que contenga mas modos que grados de libertad medidos. La cercanıa entre el vector expandidoen los grados de libertad medidos y los vectores experimentales es controlada usando un parametro cuyorango es [0,1]. Si vale 0, se obtiene SEREP. Si vale 1, se obtiene el metodo de mezcla de modos [22].Este ultimo metodo simplemente completa los grados de libertad no medidos del vector expandido conlos valores del modo numerico asociado a ese modo experimental:

v(i) =

v(i)

φo(i)

(13.28)

Para operar correctamente, el metodo requiere que cada modo experimental sea emparejado con sucontraparte experimental. Lo cual no es obvio, en general.

Otra variante es presentada en [34], donde se que considera que los vectores expandidos cumplan conla condicion de ortogonalidad con respecto a la matriz de masa del modelo (asumiendo a priori que loserrores de masa son despreciables):

vT(i)Mv(j) = δijvT

(i)Mv(j)

Si los vectores de desplazamientos modales de ecuacion (13.26) son agrupados en una matriz Q:

Q =[

q(1) q(2) · · · q(n)

](13.29)

y si se impone que esta matriz sea ortogonal:

QT Q = I (13.30)

se puede probar que los vectores expandidos siguen la condicion de ortogonalidad con respecto a M. Elmetodo utiliza auxiliarmente la descomposicion en valores singulares [18].

En el contexto de la reduccion, se puede probar que la base modal del modelo reducido usandoSEREP corresponde exactamente a la particion medida de los modos numericos utilizados para construirel operador de reduccion en tanto nn ≤ nm [24]. Ello hace de SEREP un buen metodo de reduccion dadoque representa de manera exacta los modos y frecuencias fundamentales del sistema completo.

13.3.4. Expansion con restriccion de igualdad

Usando proyeccion modal

Un enfoque alternativo de expansion es forzar a los vectores expandidos a cumplir la condicion (13.16).Consideremos entonces el uso de los desplazamiento modales (13.26) solo para la particion no medida delvector expandido:

vo(i) = Φo(i)qse (13.31)

Luego, el vector expandido puede ser escrito como:

v(i) =

v(i)

Φo(i)qse

lo que equivale a una de las formas del metodo de coordenadas modales [23] o del metodo Test-analysismodel (TAM) [26], definido por:

Tmc =[

IΦo(i)Φ+

m

](13.32)


Expansion dinamica

De referencia [27], la funcion de costo de este metodo considera la energıa:

mınvo(i)

vT(i)Ziv(i) (13.33)

sujeto a la restriccion de igualdad (13.16):

vm(i) = v(i)

El problema puede ser reescrito como:

mınvo(i)

vT(i)Zmm(i)v(i) + 2 vT

o(i)Zom(i)v(i) + vTo(i)Zoo(i)vo(i) (13.34)

con

Zi = K− ω2i M =

[Zmm(i) Zmo(i)

Zom(i) Zoo(i)

]Resolviendo para vo(i):

vo(i) = −Z−1oo(i)Zom(i) v(i) (13.35)

se obtiene:

Tdyni =

[I

−Z−1oo(i)Zom(i)

](13.36)

Expansion Estatica

La referencia [19] propone la funcion objetivo:

mınvo(i)

vT(i)Kv(i) (13.37)

sujeta la restriccion (13.16). El problema puede ser reescrito como:

mınvo(i)

vT(i)Kmm(i)v(i) + 2 vT

o(i)Kom(i)v(i) + vTo(i)Koo(i)vo(i) (13.38)

y se obtiene el operador:

Tst =[

I−K−1

oo Kom

]Fuerza residual

El metodo de expansion propuesto en [20] utiliza Θ = I en (13.14) y la restriccion (13.16), lo queimplica confianza completa en los vectores medidos. El problema es reescrito como:

mınvo(i)

∆fT(i)∆f(i) (13.39)

o en terminos del desplazamiento residual u(i) − v(i) del metodo MECE (ecuacion 13.21):

mınvo(i)

(u(i) − v(i)

)TK2

(u(i) − v(i)

)(13.40)

El problema (13.39) puede ser escrito como:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)Zm(i)v(i) + 2 vT

o(i)ZTo(i)Zm(i)v(i) + vT

o(i)ZTo(i)Zo(i)vo(i) (13.41)

conZi =

[Zm(i) Zo(i)

](13.42)


lo que conduce a:ZT

o(i)

(Zm(i)v(i) + Zo(i)vo(i)

)= 0 (13.43)

y

Trfi =

[I

−(ZT

o(i)Zo(i)

)−1

ZTo(i)Zm(i)

](13.44)

Observacion 79 Una desventaja seria de este metodo es que la funcion objetivo no considera que enel vector de fuerzas residuales ∆f(i) hay dos tipos de incognitas: fuerzas para los grados de libertad detraslacion y momentos para los grados de libertad de rotacion. Estas variables difieren en su magnitudrelativa de manera importante. Desde el punto de vista del problema de optimizacion, el objetivo (13.39)no toma esto en cuenta. Ello puede afectar severamente la calidad del vector expandido.

Desplazamientos residuales

Para tratar el problema de la dominancia de las altas frecuencias del metodo de las fuerzas residuales,Alvin [3] propone usar Θ = K−2 en el problema (13.14):

mınvo(i)

∆fT(i) K−2 ∆f(i) (13.45)

o en terminos de los desplazamientos residuales u(i) − v(i):

mınvo(i)

(u(i) − v(i)

)T (u(i) − v(i)

)(13.46)

Usando al condicion (13.16), el problema se reescribe como:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)K

−2Zm(i)v(i) + 2 vTo(i)Z

To(i)K

−2Zm(i)v(i) + vTo(i)Z

To(i)K

−2Zo(i)vo(i) (13.47)

lo que conduce a:

Tdi =

[I

−(ZT

o(i)K−2Zo(i)

)−1

ZTo(i)K

−2Zm(i)

](13.48)

Tal como en el metodo de las fuerzas residuales, una desventaja es que el objetivo no toma en cuentaque los vectores residuales u(i)−v(i) contienen dos tipos de variables: traslaciones y rotaciones. El objetivo(13.45) es insensible a la diferencia fısica, lo que influye en el vector expandido.

MECE con restriccion de igualdad

Si consideramos Θ = K−1 para el problema (13.14) mas la condicion (13.16) obtenemos:

mınvo(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) (13.49)

desarrollando:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)K

−1Zm(i)v(i) + 2 vTo(i)Z

To(i)K

−1Zm(i)v(i) + vTo(i)Z

To(i)K

−1Zo(i)vo(i) (13.50)

Tcmei =

[I

−(ZT

o(i)K−1Zo(i)

)−1

ZTo(i)K

−1Zm(i)

](13.51)

13.3.5. Comparacion de metodos

A fin de comparar los diferentes metodos, restringiremos los vectores expandidos a tomar la forma(13.23):

v(i) = Φ q(i)


Modal MECE

Por conveniencia usaremos la matriz de rigidez reducida con SEREP Ξ = Kse en el problema (13.18).Entonces:

mınv(i)

(u(i) − v(i)

)K(u(i) − v(i)

)+ α

(v(i) − vm(i)

)TKse

(v(i) − vm(i)

)(13.52)

sujeto a (13.8):K u(i) = ω2

i M v(i)

Observacion 80 Notese que ambos terminos del objetivo (13.52) estan unidades de energıa. Esto aseguraun buen balance entre los mismos.

Para resolver el problema, retomamos el concepto de matriz reducida:

Kse = TseT

K Tse (13.53)

donde Tse es definida en ecuacion (13.27). Se obtiene:

Tsevm(i) = T Φ qme(i) = Φ qme

(i) = vme(i) (13.54)

Luego, el problema (13.52) puede ser reescrito como:

mınqme

(i)

(u(i) − v(i)

)TK(u(i) − v(i)

)+ α

(v(i) − vse

(i)

)T

K(v(i) − vse

(i)

)(13.55)

Si K y M son expresados en terminos de su descomposicion modal [16], se logra la siguiente expresion:

qme(i) = α

[(I− ω2

i Ω−2)2 + αI

]−1

qse(i) (13.56)

donde Ω ∈ Rnnm×nnm es una matriz diagonal que contiene las frecuencias naturales asociadas a la matrizde modos Φ y:

qse(i) = Φ+

mv(i)

La matriz de coeficientes en la ecuacion (13.56) es diagonal gracias a la restriccion (13.23) y al usodel parametro de regularizacion (13.53). Esto facilita el analisis y permite un calculo rapido del vectorexpandido MECE. La relacion (13.56) es mas facil de visualizar a nivel de cada desplazamiento modal:

qmej(i) =

α((1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

)qsej(i) (13.57)

Para cada modo, la version modal de MECE considera el corrimiento de las frecuencias, ponderado porα. Si no hay corrimiento en frecuencias, el factor asociado es siempre unitario. Para la mayorıa de losmodos, ambos metodos obtienen casi los mismos resultados. SEREP puede ser visto como una versionsimplificada de MECE. En la figura (??) el factor:

α((1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

)que corrige los desplazamientos SEREP es mostrado en un grafico triple-log. Claramente, para factoresde valores altos de α, los desplazamientos modales de ambos se acercan bastante.

Otros pesos Ξ pueden ser usados en el problema (13.52): la referencia [10] usa la matriz reducidade Guyan [19]; en las referencias [9, 28] Kmm es usado. La dificultad que aparece al usar estos pesos esque la matriz de coeficientes que aparece para encontrar qme

(i) esta muy poblada y una relacion explıcitadel tipo (13.56) no puede ser encontrada. Usando la ecuacion (13.26) y (13.56) el operador de expansionasociado a la expansion MECE es de la forma:

Tmei = ΦWiΦ+


αωωi

j

Figura 13.1: Factor de frecuencia de la expansion MECE

dondeWi = α

((I− ω2

i Ω−2)2

+ αI)−1

(13.58)

que puede ser comparado con el operador SEREP (13.27), que es independiente de las frecuencias. Logi-camente, si α −→∞ ⇒ Tme

i −→ Tse.

Expansion dinamica

Una version modal de la expansion dinamica considera:

mınv(i)

vT(i)Ziv(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(13.59)

omınv(i)

∆fT(i)Hi∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(13.60)

sujeto av(i) = Φqrd

(i) (13.61)

La funcion de costo (13.59) puede ser expresada como:

mınqrd

(i)

qrdT

(i)

((Ω2 − ω2

i I)µ)qrd

(i)+α(Φmqrd

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrd

(i) − v(i)

)(13.62)

Derivando con respecto a qrd(i) lleva a:

qrd(i) = α

[(1 + α) I− ω2

i Ω−2]−1

qse(i) (13.63)

y la contribucion de cada modo numerico es:

qrdj(i) =

α(1 + α− ω2

i

ω2j

)qsej(i) (13.64)

Notese que el factor dependiente de la frecuencia puede cambiar de signo para ω2i < ω2

j , dependiendodel valor de α.

Expansion estatica

Una version modal de la expansion estatica:

mınv(i)

vT(i)Kv(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(13.65)


sujeto av(i) = Φqrs

(i) (13.66)

La funcion objetivo (13.65) puede ser expresada como:

mınqst

(i)

qrsT

(i) γ qrs(i)+α

(Φmqrs

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrs

(i) − v(i)

)(13.67)

Derivando con respecto a qrs(i) lleva a:

qrs(i) = α [(1 + α) I]−1 qse

(i) (13.68)

y para cada modo:qrsj(i) =

α

(1 + α)qsej(i) (13.69)

de lo que se desprende que el vector expandido con este metodo es tan solo una version escalada delobtenido con SEREP:

vrs(i) =

α

(1 + α)vse

(i)

Fuerza residual

En este caso utilizamos Θ = I y Ξ = Kse en el problema general (13.18):

mınqrf

(i)

∆fT ∆f + α(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(13.70)

sujeto av(i) = Φqrf

(i) (13.71)

El primer termino posee unidades de fuerza al cuadrado y el segundo termino tiene unidades de energıa.El primer termino dominara la funcion objetivo a menos que se utilice un alto factor de regularizacion α.

La funcion objetivo (13.70) puede ser expresada como:

mınqrf

(i)

qrfT

(i)

((Ω2 − ω2

i I)2µ)qrf

(i)+α(Φmqrf

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrf

(i) − v(i)

)(13.72)

Minimizando con respecto a qrf(i):

qrf(i) = α

((Ω2)−1

(Ω2 − ω2i I)

2 + αI)−1

qse(i) (13.73)

y para cada modo:qrfj(i) =

α((ω2

j−ω2i )2

ω2j

+ α)qse

j(i) (13.74)

Desplazamientos residuales

En este caso Θ = K−2 y Ξ = Kse son sustituidos en el problema (13.18):

mınv(i)

(K−1∆f

)T (K−1∆f

)+ α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(13.75)

sujeto av(i) = Φqrd

(i) (13.76)


Metodo Factorpara cada modo numerico φ(j)

SEREP 1MECE α(

1− ω2i

ω2j

)2

+ α

Dinamica α

1− ω2i

ω2j

+ α

Estatica α1 + α

Fuerza residual α(ω2

j − ω2i )2

ω2j

+ α

Desplazamiento residual α

1ω2

j

(1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

Cuadro 13.1: Hybrid methods (qj(i) = εqsej(i))

La funcion de costo (13.70) puede ser expresada como:

mınqrd

(i)

(qrd

(i)

)T ((I− ω2

i Ω−2)2µ)qrd

(i)+α(Φmqrd

(i) − vi

)T

Kse(Φmqrd

(i) − v(i)

)(13.77)

Minimizando con respecto a qrd(i):

qrdi = α

((Ω2)−1 (

I− ω2i Ω

−2)2

+ αI)−1

qsei (13.78)

y la contribucion de cada modo numerico:

qrdj(i) =

α

1ω2

j

(1−

(ωi

ωj

)2)2

+ α

qsej(i) (13.79)

De acuerdo a la tabla (13.1) todos los metodos consideran un factor de castigo en la proyeccion en ladireccion de algun modo numerico φ(j). Tal factor es funcion del corrimiento en frecuencias entre cadamodo numerico y el modo experimental. Llevando la situacion al extremo (todos los grados de libertadmedidos y todos los modos en la base de expansion) el vector expandido no converge exactamente almodo experimental hipotetico v∗(i) a menos que el termino de regularizacion controle la funcion objetivo(α→∞), (ecuacion 13.18).

13.3.6. Expansion usando restriccion de desigualdad cuadratica

La referencia [29] tambien considera la expansion usando relajacion pero sin hacer uso de la proyeccionen la base modal (13.23). En tal caso, el numero de incognitas es mucho mayor (nfe), pero se incrementael control sobre el modo expandido. Considera el problema (13.14) con Θ = I pero en vez de construiruna funcion hıbrida del tipo (13.18), usa la tecnica de mınimos cuadrados con restriccion de desigualdad-LSQI por sus siglas en ingles- donde la condicion (13.16) es sustituida por la restriccion:(

vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)≤ α2 (13.80)

donde Ξ = I. El enfoque es interesante dado que permite un nivel mas preciso de los efectos del ruido.Un enfoque similar puede ser utilizado para la expansion MECE, para considerar una version LSQI.Retomando las ecuaciones (13.7-13.9), (13.14) y (13.21) el problema a resolver es:

mınv(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) (13.81)


sujeto a la condicion (13.80).La desventaja es que el uso de LSQI es un proceso que requiere de las descomposiciones QR y SVD

sobre matrices con nfe(!) (vea referencia [18] para detalles).

Parte III

Apendice

197

Sistemas de ecuacionessobre-determinados

Durante el proceso de identificacion de parametros (analisis modal experimental, ajuste de modelos)es normal el obtener sistemas de ecuaciones sobredeterminado,

Ap = b (82)

conA ∈ <m×n,m ≥ n

que puede incluir ruido, mal acondicionamiento, rango deficiente. El objetivo de este capitulo es introduciral lector al problema; y referimos al lector a las referencias [15, 18] para explicaciones mas teoricas.Trataremos las siguientes tecnicas:

Mınimos cuadrados lineales

Descomposicion en valores singulares

Regularizacion

Mınimos cuadrados lineales totales

.1. Algunas propiedades de matrices

Rango

Se define rango como el espacio definido por todos los vectores b, resultado de la operacion de A sobrecualquier p. La dimension del rango se puede medir por el numero de columnas linealmente independientesde A.

rank(A) = dim(rango(A))

El rango es deficiente cuando:rank(A) < mın(m,n)

Espacio nulo

El espacio nulo esta conformado por todos los vectores p, cuya transformacion (por A) resulta en elvector nulo:

Ap = 0

Acondicionamiento

El acondicionamiento de A se refiere a la estabilidad de la solucion p cuando A sufre perturbaciones.

199

200 SISTEMAS DE ECUACIONES SOBRE-DETERMINADOS

.2. Mınimos cuadrados lineales

La teorıa de los mınimos cuadrados lineales asume que existe algun nivel de ruido en el vector b. Seasume que tal ruido es de varianza constante, y de correlacion nula. Adicionalmente, se asume que besta incluido en el rango de A, en otras palabras, b puede ser reconstruido como una combinacion de losvectores columna de A.

El objetivo es minimizar la norma del residuo:

‖Ap− b‖ (83)

Si las condiciones anteriores se cumplen:

pLS = A⊕b (84)

A⊕ =(AT A

)−1AT b

pLS es unico, y no sera influenciado por el ruido. La ecuacion (84) es referida como la ecuacion normaldel problema original y A⊕ es conocida como la pseudo-inversa de Moore Penrose.

En caso que no se cumplan las hipotesis, por ejemplo

ruido en A

ruido correlacionado en b

b parcial o totalmente fuera del rango de A

rango deficiente de A

la solucion por mınimos cuadrados no esta garantizada.

.2.1. Ponderacion de las ecuaciones

Cuando la norma de las ecuaciones (cada fila en A) difiere de manera importante en su magnitud, esuna buena idea escalarlas para:

homogeneizar la relevancia de cada ecuacion en la solucion,

ponderar mejor algunas ecuaciones con respecto a la solucion

La ponderacion de las ecuaciones se realiza a traves de la premultiplicacion de (82) con la matriz deponderacion D:

DAp = Db (85)

donde D es diagonal y no singular. La solucion es ahora:

pWLS = (AT DA)−1AT Db (86)

Puede mostrarse[18] que la diferencia entre la solucion del problema original y la del problema pon-derado es:

pWLS − pLS = QrLS

Q = (AT D2A)−1AT (D2 − I)rLS = (b−ApLS)

Luego, si b no esta completamente en el rango de A (lo que no es dificil en la realidad), la ponderacionafecta la solucion, lo que obliga la seleccion juiciosa de los factores de peso dii, dependiente del problemaen estudio.

Una manera de ver el efecto de la ponderacion es verificar que pasa con la solucion cuando solo unfactor dii es perturbado:

.2. MINIMOS CUADRADOS LINEALES 201

Sea rk el k-esimo elemento del residuo b−ApWLS , y D(δ) la matriz de ponderacion:

D(δ) = diag(d1, ..., dk

√1 + δ, ..., dn)

conδ > −1

se puede probar que

rk(δ) =rk(δ = 0)

1 + δd2ke

Tk A(AT D2A)−1AT ek

donde ek es el vector unitario

ek =

0...1...0

Luego, el k-esimo residuo efectivamente se acerca a 0 cuando dk crece. Una expresion para

rj , j 6= k

es mucho mas complicada. Las ecuaciones con la norma mas grandes seran las mas importantes para lasolucion p.

.2.2. Descomposicion en valores singulares

Una herramienta muy utilizada en el campo de la identificacion de parametros es la descomposicionen valores singulares (SVD). La tecnica mejora el acondicionamiento del problema y entrega solucionessatisfactorias donde otros metodos fallan.

Se puede probar que toda matriz A ∈ <m×n posee una descomposicion de la forma:

Am×n = UΣVT (87)

donde U es de dimensiones m×n, Σ es de dimensiones n×n y V posee dimensiones n×n. (87) se puedeexpresar alternativamente con la serie,

A =mın(m,n)∑

i=1

uiσivTi (88)

dondeU =

[u1 ... un

]U y V son matrices ortornormales:

UT U = I

VT V = I

Σ es una matriz diagonal, con elementos reales no negativos:

Σ =

σ1

σ2

. . .σn

, σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn ≥ 0


.2.3. Propiedades

La descomposicion SVD se muestra muy util para comprender las cualidades de A, pues entrega variosparametros interesantes:

Numero de condicionamiento

El numero de acondicionamiento cuantifica la calidad de la inversa de una matriz. En terminos deSVD,

cond (A) =σmax

σmın, σmın > 0

Si σmın es cercano a cero (o la precision del computador) el acondicionamiento puede ser mejorado alsustituir σmın con el valor nulo, y reconstruir A. De esta manera el nuevo σmın sera el valor siguiente enla diagonal de Σ.

Rango

rank(A) = dim(σi)/σi > 0

Norma de A (Frobenius)

‖A‖2F =n∑

i=1

σ2i

Eigenespectro de AT A y AAT

Puede probarse[31] que los valores propios de

AT A

yAAT

son iguales a los cuadrados de los valores singulares de A. Ello explica la perdida de acondicionamientoal resolver las ecuaciones normales (ecuacion 84).

Otra propiedad SVD es que los vectores singulares izquierdos y derechos de A son los vectores propiosde

AT A

yAAT

respectivamente.

Pseudoinversa

Para resolver el sistema sobredeterminado (82), se usa la pseudoinversa de A:

A⊕ = VΣ−1UT

donde

Σ−1 = diag

(1σ1, ...,

1σn

)y la solucion SVD es:

pSV D = A⊕b

.3. REGULARIZACION 203

En el caso de encontrar valores singulares nulos o casi nulos, es conveniente sustituir 1σi

con un cero.Ello se justifica a continuacion.

Si A es casi deficiente en rango y sobredeterminada, su pseudoinversa puede ser escrita como:

A⊕ = VbΣ⊕b UT

b + VzΣ⊕z UT

z (89)

donde b y z corresponden a las particiones de valores singulares grandes y casi cero respectivamente.Usando (88) se tiene:

Avi = σiui

Se puede observar que cuando σi → 0 ⇒ Avi ≈ 0, en otras palabras, Vz esta muy cerca del espacionulo de A. Si Σ⊕z no es sustituida por 0, la solucion estara muy cerca del espacio nulo de A, lo queintroduce errores en la solucion p. Se dice que Vz es una base para la nulidad de A.

Al multiplicar A⊕ y b para obtener pSV D , vemos que la primera parte de (89) proyecta b ortogo-nalmente en el rango de A, y el segundo termino (que debe ser eliminado) lo proyecta en el espacio nuloA.

.3. Regularizacion

La regularizacion del problema original (82) mejora el acondicionamiento al mover los valores singu-lares lejos de cero. Ello se logra reformulando el objetivo original del problema de mınimos cuadradoslineales (82) por

|Ap− b|+ λ2 |p|para algun valor λ seleccionado. Ello resulta en:(

AT A + λ2I)p = AT b

en lugar de (AT A

)p = AT b

Al usar la descomposicion SVD de A notamos la mejora en el numero de acondicionamiento:

pREG = V[diag

(σi +

λ

σi

2)]−1

UT b

versus

pSV D = V[diag

(1σi

)]UT b

Notese que trabajamos con las ecuaciones normales perturbadas. La posible existencia de ruido en Ano es tomada aun en cuenta, y la seleccion del parametro de regularizacion λ no es obvia.

.4. Total linear least squares

La tecnica TLLS?? es una alternativa los mınimos cuadrados pues considera la existencia de error(ruido) tanto en A como en b. No solo b es proyectado en el rango de A sino que se construye el nuevoproblema:

ApTLLS ≡ b (90)

Para encontrar las proyecciones A y b , se minimiza la distancia entre el sistema original y susproyecciones: ∥∥∥[A, b]− [A,b]

∥∥∥ (91)

Al descomponer [A,b] en sus componentes SVD:

C = [A,b]

=[

U1 U2

] [ Σ1

Σ2

] [V11 v12

v21 v22

]T


Se puede probar que [A, b

]− [A,b] = −u2Σ2

[vT

12v22]

minimiza (91).Para encontrar la solucion, (90) es reescrita como[

A, b] pTLS

−1

= 0

Usando las ecuaciones anteriores se puede mostrar que el espacio nulo de[A, b

](que es donde se

busca la solucion p) esta en el rango de

v12

v22

, por lo que

pTLLS = −v12

v22

La solucion es unica en tanto el ultimo valor singular de Σ1 sea mayor que el de Σ2.

Analisis modal numerico

.5. de un sistema conservativo

)) K=[1 -1; -1 1];)) M=[1 0; 0 1];)) [Q,Omega2]=eig(K,M)Q =0.7071 -0.70710.7071 0.7071Omega2 =0 00 2.0000))

.6. en sistemas no conservativos

)) K=[2 -1;-1 1];)) M=eye(2,2);)) C=.2*K;)) A=[K O;O -M];)) B=[C M; M O];)) [Q,V]=eig(A,-B)Q =0.4435 - 0.0574i 0.0897 - 0.4381i 0.4471 - 0.0114i 0.0213 + 0.4467i-0.2741 + 0.0355i -0.0555 + 0.2708i 0.7234 - 0.0185i 0.0345 + 0.7228i-0.0244 + 0.7232i -0.7230 - 0.0286i -0.0100 + 0.2762i 0.2747 - 0.0302i0.0151 - 0.4470i 0.4469 + 0.0177i -0.0162 + 0.4469i 0.4445 - 0.0489iV =-0.2618 + 1.5967i 0 0 00 -0.2618 - 1.5967i 0 00 0 -0.0382 + 0.6169i 00 0 0 -0.0382 - 0.6169i))

Notese que los modos contienen numeros complejos. Si son normalizados, se verifica que correspondena modos normales. Como ejemplo tomemos el primer vector r1 con raız λ = −0,2618 + 1,5967i:

r1 =

0,4435− 0,0574i−0,2741 + 0,0355i−0,0244 + 0,7232i0,0151− 0,4470i

205

206 ANALISIS MODAL NUMERICO

Dividamos por su primer elemento:

r1 =1

0,4435− 0,0574i

0,4435− 0,0574i−0,2741 + 0,0355i−0,0244 + 0,7232i0,0151− 0,4470i

=

1

−0,6118−0,2618 + 1,5967i0,1618− 0,9868i

por lo que

q1 =

1−0,6118

y verifiquemos que el tercer y cuarto elemento de r1 corresponden a λ1q1:

λ1q1 = −0,2618 + 1,5967i

1−0,6118

√=−0,2618 + 1,5967i0,1618− 0,9868i

Algunas formulas utiles

d cosxdx

= − sinx

d sinxdx

= cosx

Para θ pequeno:

cos θ ≈ 1sin θ ≈ θ

207

208 ALGUNAS FORMULAS UTILES

Deflexion en vigas

Figura 2: Viga en voladizo

209

210 DEFLEXION EN VIGAS

Metodo de aceleraciones modales

%metodo de aceleraciones modales%sistemaK=[2 -1; -1 1];

M=eye(2,2);

[Q,V]=eig(K,M);

w1=sqrt(V(2,2))%primera frecuencia natural en rad/s

w=0.9*w1 %frecuencia excitadora

f=[1 0]’ %fuerza excitadora

%respuesta por metodo directo

Z=K-w^2*M; %rigidez dinamica

x=inv(Z)*f %rta exacta por metodo directo

%respuesta aprox por metodo modal con un solo modo

mu=Q’*M*Q; %masas modales

gamma=Q’*K*Q; %rigidez modal

fm=Q’*f; %proyecci\’on de f en la base modal

a=fm(2)/(gamma(2,2)-w^2*mu(2,2)) %participacion del modo asociado%a la 1era frecuencia natural

xx=a*Q(:,2) %aproximacion con un modo

errorxx=norm(xx-x)/norm(x)

macxx=((x’*xx)/norm(x)/norm(xx))^2

%%respuesta aprox con metodo de aceleraciones modales

xxx=(w/w1)^2*xx+inv(K)*f

errorxxx=norm(xxx-x)/norm(x)

211

212 METODO DE ACELERACIONES MODALES

macxxx=((x’*xxx)/norm(x)/norm(xxx))^2

Elementos Finitos en Matlab

Aqui se considera una viga empotrada en ambos extremos mas un apoyo simple en su centro. Se hanusado 48 elementos.

l=1;EI=1;M=1;Ke=EI/lˆ3*[12 6*l -12 6*l6*l 4*lˆ2 -6*l 2*lˆ2-12 -6*l 12 -6*l6*l 2*lˆ2 -6*l 4*lˆ2]Me=M/420*[156 22*l 54 -13*l22*l 4*lˆ2 13*l -3*lˆ254 13*l 156 -22*l-13*l -3*lˆ2 -22*l 4*lˆ2]%con ne elementosne=48M=zeros(2*ne+2,2*ne+2);K=M;for i=1:2:2*nelocel=i:i+3;K(locel,locel)=K(locel,locel)+Ke;M(locel,locel)=M(locel,locel)+Me;end%fijar extremos y traslacion en el mediofix=[1:2 ne+1 2*ne+1:2*ne+2]free=setdiff(1:2*ne+2,fix)n=length(free) %nro de grados de libertad activosK=K(free,free); M=M(free,free);%freqs[Q,QQ]=eig(K,M)modo1=zeros(2*ne+2,1);%solo el primer modomodo1(free)=Q(:,n)%graficar solo traslacionesplot(modo1(1:2:2*ne+2))

213

214 ELEMENTOS FINITOS EN MATLAB

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 3: Primer modo de la viga

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Vibraciones Mecánicas 2

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