Dinámica V. Movimiento oscilatorio. Movimiento Armónico Simple ( MAS) Estiramiento de un muelle y...

Dinámica Dinámica

V. Movimiento oscilatorioV. Movimiento oscilatorio

Movimiento Armónico Movimiento Armónico Simple Simple ( MAS)( MAS)

Estiramiento de un muelle y ley de HookeEstiramiento de un muelle y ley de Hooke

2

2

dt

xdmkx

II Ley de Newton

amF

mkwxw

dt

xd 22

2

2

,0

)cos()( wtAtx

Amplitud frecuencia

Solución

Movimiento Armónico Movimiento Armónico Simple Simple ( MAS)( MAS)

Solución oscilanteSolución oscilante

FrecuenciaFrecuenciaw= [rad/s], w= [rad/s],

w= 2w= 2 f, f=[Hz] f, f=[Hz] PeriodoPeriodo

T=2T=2/w/w Desfase Desfase

)cos()( wtAtx

Periodo ¼ s

Amplitud 4cm

Desfase /2

Datos obtenidos de condiciones iniciales

Aproximación parabólica Aproximación parabólica del potencialdel potencial

Desarrollo en serie de Taylor de la función Desarrollo en serie de Taylor de la función energía potencial ( sistema de dos energía potencial ( sistema de dos cuerpos) en torno al mínimo rcuerpos) en torno al mínimo r0 0 , U’(r, U’(r0 0 )=0)=0

Solución oscilante para la distancia Solución oscilante para la distancia interatómica r(t)interatómica r(t)

...))((''2

1))((')()( 2

00000 rrrUrrrUrUrU

200 )(

2

1)( rrkUrU

)cos()( wtAtr kw

)('' 0rUk

Masareducida

Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguaciónamortiguación

Fuerza de amortiguamiento que se opone al Fuerza de amortiguamiento que se opone al movimiento, proporcional a la velocidad.movimiento, proporcional a la velocidad.

Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton

Ecuación diferencialEcuación diferencial

-kx

-bv

dt

dxbkx

dt

xdm

2

2

Fuerza

elástica

Fuerza

amortiguadora

02 22

2

0 xw

dt

dx

dt

xd m

b2

mkw 2

0

Amortiguación

Frecuencia propia

Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones

Amortiguamiento: oscila con una frecuenciaAmortiguamiento: oscila con una frecuencia

ww22=w=w0022--22

La amplitud decreceLa amplitud decrece

exponencialmenteexponencialmente

)cos()( wteAtx t

teA

Amortiguamiento


Amortiguamiento crítico: solución no Amortiguamiento crítico: solución no oscilanteoscilante

ww22=w=w0022--22=0=0



cos)( teAtx

teA

Amortiguamiento crítico


Sobreamortiguamiento: solución no oscilanteSobreamortiguamiento: solución no oscilante

ww22=w=w0022--22< 0< 0



)()( twCheAtx t

teA

Sobreamortiguamietno

20

22 ww

Movimiento oscilatorio Movimiento oscilatorio forzado con amortiguaciónforzado con amortiguación

Fuerza externa oscilante + fuerza Fuerza externa oscilante + fuerza amortiguadora que se opone al movimiento.amortiguadora que se opone al movimiento.

Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton

Ecuación diferencialEcuación diferencial

-kx

-bv

)cos(2

2

twFdt

dxbkx

dt

xdm fo

Fuerza

elástica

Fuerza

amortiguadora

)cos(2 22

2

0fw

m

Fxw

dt

dx

dt

xdf

o m

b2

mkw 2

0

F0 cos(wft)

Fuerza

externa

Frecuencia propia

Amortiguación

Movimiento oscilatorio forzado Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Solucióncon amortiguación. Solución

Solución general = Solución transitoria + Solución general = Solución transitoria + solución permanente. solución permanente. TransitoriaTransitoriaSe anula para tiempos largos.Se anula para tiempos largos.

Solución de la ecuación sin término independienteSolución de la ecuación sin término independiente

Permanente: solución particularPermanente: solución particular

de la ecuación completa de la ecuación completa No se No se

anula en tiempos largosanula en tiempos largos

)cos()( wteAtx t

02 22

2

0 xw

dt

dx

dt

xd

)cos(2 22

2

0fw

m

Fxw

dt

dx

dt

xdf

o

Movimiento oscilatorio forzado con Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Solución permanenteamortiguación. Solución permanente

)cos()( twAtx f

22220

2

0

4)()(

ff

fwww

mF

wA

Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Pueden darse fenómenos de resonancia Pueden darse fenómenos de resonancia

cuando la amplitud sea máximacuando la amplitud sea máxima Energía Energía máximamáxima

decrecien

te

Resonancia

=0

Superposición de MASSuperposición de MAS Movimientos en la misma dirección y con la Movimientos en la misma dirección y con la

misma frecuenciamisma frecuencia)cos()( 111 wtAtx )cos()( 222 wtAtx

- 2=0 En oposición de faseEn fase

- 2=

x1 + x2

A

x2

x1

x1 +x2

Ejemplos

A1= A2

x1

x2

x1 + x2 A

)cos(21 wtAxxxcos2 21

21

21 AAAAA

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAtg

Superposición de MASSuperposición de MAS Movimientos en la misma dirección con Movimientos en la misma dirección con

diferente frecuenciadiferente frecuencia)cos()( 11 twAtx )cos()( 22 twAtx

Ejemplo A1= A2

x1

)2

cos()2

cos(2

111121

wwwwAxxx

x2 Modulación de ondas

x1 + x2

Osciladores acoplados (1)Osciladores acoplados (1)

No tienen movimientos independientes.No tienen movimientos independientes.

EcuacionesEcuaciones

k1 k k2

m2m1

x2x1

Estiramientos

Muelle 1 x1

Muelle 2 -x2

Muelle 3 x2 –x1

(3) (2)(1)

)( 121121

2

1 xxkxkdt

xdm

)( 122222

2

2 xxkxkdt

xdm

F1F2

1

F1

2 F2

Osciladores acoplados (2)Osciladores acoplados (2)

Resolución para y Resolución para y m1= m2

k1=k2

21121

2

)( kxxkkdt

xdm

12122

2

)( kxxkkdt

xdm

La solución general es unacombinación de los modos

normales de oscilación

Solución General

Osciladores acoplados (3)Osciladores acoplados (3)Modo Asimétrico x1= x2 Se mueven en

fase

Modo Simétrico x1= -x2 Se mueven en oposición de fase

)cos(

)cos(

2

1

2

1

twAx

twAx

aaa

aaa

mkwa 1

)cos(

)cos(

2

1

2

1

twAx

twAx

sss

sss

m

kkws

1

Osciladores acoplados (4)Osciladores acoplados (4)Solución General

)cos()cos(

)cos()cos(

221

111

twAtwAx

twAtwAx

aa

ss

aa

ss

Si A1=A2= A

tww

tww

Ax

tww

tww

Ax

asas

asas

2sin

2sin2

2cos

2cos2

1

1

Hay un intercambio de energía

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