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MOVIMIENTO OSCILATORIO

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2017

Índice general

5. Movimiento oscilatorio 15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2. Cinemática del Movimiento Armónico Simple Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.2.1. Posición en el Movimiento Armónico Simple Lineal . . . . . . . . . . . . . . 25.2.2. Velocidad en el Movimiento Armónico Simple Lineal . . . . . . . . . . . . . . 35.2.3. Relación entre la velocidad, la amplitud y la posición en un MAS lineal . . . 35.2.4. Aceleración en el Movimiento Armónico Simple Lineal . . . . . . . . . . . . 4

5.3. Dinámica del Movimiento Armónico Simple lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3.1. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.4. Cinemática del Movimiento Armónico Simple Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.5. Dinámica del Movimiento Armónico Simple Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.5.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5.2. Péndulo compuesto ó físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5.3. Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.6. Energía en el movimiento armónico simple lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.6.1. Energía cinética en el movimiento armónico simple lineal . . . . . . . . . . . 105.6.2. Energía potencial en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . 105.6.3. Energía total en el movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.6.4. Gráficas de energía en el movimiento armónico simple lineal . . . . . . . . . 11

5.7. Energía en el movimiento armónico simple angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.8. Superposición de dos movimientos armónicos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.9. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bibliografía 16

3

Capı́tulo 5Movimiento oscilatorio

Competencias.En esta unidad se busca que el estudiante:

Aplique los conceptos analizados en lasunidades anteriores, para el caso de movi-mientos que se repiten en el tiempo.

Distinga entre movimiento oscilato-rio,movimiento periódico y movimientoarmónico simple (MAS).

Obtenga las ecuaciones cinemáticas de po-sición, velocidad y aceleración, para unapartícula con MAS.

Identifique y defina los conceptos de am-plitud, frecuencia angular, fase, fase inicialy elongación.

Obtenga la relación entre la velocidad y laamplitud en un MAS.

Obtenga la relación entre la aceleración yla posición de una partícula animada deMAS.

Obtenga y analice la forma diferencial dela segunda ley de Newton, válida en todoMAS.

Obtenga la frecuencia angular para el osci-lador armónico, el péndulo simple, el pén-dulo compuesto y el péndulo de torsión.

Identifique las propiedades internas y ex-ternas que generan la frecuencia angular encada uno de los casos anteriores, cuando setiene MAS.

Obtenga las expresiones para la energía ci-nética, la energía potencial y la energía totalen un MAS.

Analice gráficas de energía potencial en elcaso de un MAS.

Analice la superposición de movimientosarmónicos simples.

Identifique las condiciones bajo las cualesla superposición de dos MAS perpendicu-lares, genera un movimiento elíptico o unmovimiento circular.

Analice diferentes situaciones en las cualesse presenta MAS.

CONCEPTOS BASICOSEn esta unidad, se analizan movimientos que serepiten cada que transcurre determinado inter-valo de tiempo, esto es, movimientos periódi-cos. Particularmente se considera el movimien-to armónico simple, que se presenta en diferen-tes casos y de manera aproximada en la natu-raleza. Se analizan situaciones en las cuales loscuerpos pueden ser tratados bien bajo el mode-lo de partícula o bien bajo el modelo cuerpo rí-gido, dependiendo del tipo de movimiento ad-quirido por el cuerpo. Algo muy importante tie-ne que ver con el hecho que en esta unidad seaplican los conceptos vistos en las unidades an-teriores, es decir, debe entenderse la unidad deoscilaciones como una aplicación de los concep-tos mecánicos analizados en las unidades ante-riores.

2 CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO OSCILATORIO

5.1. Introducción

Hasta ahora se han analizado y definido losconceptos, cinemáticos y dinámicos, necesariospara estudiar el movimiento de cuerpos trata-dos bajo el modelo de partícula y bajo el mo-delo de cuerpo rígido. En esta unidad se anali-za el movimiento periódico de cuerpos, es decir,movimientos que se repiten cada que transcurreun intervalo de tiempo determinado. Como ca-so especial se estudia el movimiento armónicosimple (MAS).

5.2. Cinemática del MovimientoArmónico Simple Lineal

En la naturaleza se presentan movimientos quese repiten, conocidos como movimientos oscila-torios o vibratorios. El movimiento de un pén-dulo simple , el movimiento de un cuerpo sujetoa un resorte y el movimiento de los átomos enun cristal son algunos ejemplos de este tipo demovimiento.

Si el movimiento se repite cada que trans-curre determinado intervalo de tiempo, se diceque es periódico y a este tiempo se le define co-mo el período del movimiento, que correspondeal inverso de la cantidad física conocida como lafrecuencia del movimiento.

Un movimiento oscilatorio de interés en la fí-sica y que es periódico, se conoce como movi-miento armónico simple y se acostumbra deno-minarlo como un MAS.

De acuerdo con lo anterior, el MAS que ad-quiere una partícula es un movimiento periódi-co , esto es, un movimiento que se repite cadaque transcurre determinado intervalo de tiem-po, que como fue definido antes, se llama pe-ríodo del movimiento. Como se analizará poste-riormente, todo MAS es periódico, pero no todomovimiento periódico es MAS.

5.2.1. Posición en el Movimiento Armó-nico Simple Lineal

Como el MAS es un movimiento periódico , laecuación cinemática de posición , x(t), debe res-

ponder por dicha periodicidad, es decir, debeser una función periódica en el tiempo. Para quese cumpla lo anterior, la función debe ser senoi-dal o cosenoidal, cuya única diferencia es unafase de π/2. De este modo,

x(t) = A sen(ωt + φ)

x(t) = A cos(ωt + φ), (5.1)

donde la posición x de la partícula respecto alorigen de coordenadas, se conoce como la elon-gación ; el máximo valor de la elongación comola amplitud A; el término ωt + φ como la fase, la cantidad ω como la frecuencia angular delmovimiento y la fase inicial como φ, esto es, enel instante t = 0. En la figura 5.1 se muestra lamáxima elongación de un cuerpo que se muevesobre una recta con MAS, respecto al origen decoordenadas, esto es, xmáx = ±A.

O

x

-A +A

Movimiento

Figura 5.1: MAS alrededor del origen O.

Las ecuaciones (5.1), por la forma que se ex-presan, son periódicas en el tiempo como seilustra en las figura 5.2, para el caso de un MAS,donde se ha tomado la función seno con fase ini-cial nula (φ = 0), esto es, cuando el cuerpo partedel origen de coordenadas.

x

+A

-A

Ot

Figura 5.2: Variación temporal de la posición en unMAS.

Si P es el período de una partícula animadade MAS, la frecuencia angular del movimientoestá definida por

ω =2π

P= 2πν, (5.2)

5.2. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE LINEAL 3

donde se ha utilizado la definición de frecuenciacomo el inverso del período .

5.2.2. Velocidad en el Movimiento Armó-nico Simple Lineal

Utilizando la definición de velocidad dada porla ecuación (1.11) y las ecuaciones (5.1), se en-cuentra que la velocidad de una partícula conMAS, está dada por una de las expresiones

v(t) = ωAcos(ωt + φ)

v(t) = −ωAsen(ωt + φ). (5.3)

De acuerdo con las ecuaciones (5.3), se tiene quela rapidez es máxima cuando la función trigo-nométrica, respectiva, adquiere su máximo va-lor, de este modo, el máximo está dado por

vmáx = ±ωA (5.4)

La figura 5.3 muestra la forma como varía la ve-locidad con el tiempo, tomando la primera delas ecuaciones (5.3), para una partícula que po-see un MAS con fase inicial nula.

v

+ Aw

Ot

-wA

Figura 5.3: Variación temporal de la velocidad en unMAS.

Al comparar las figuras 5.2 y 5.3, se ve clara-mente que en el instante que la elongación ad-quiere su máximo valor, la velocidad es nula, ycuando la elongación adquiere su valor cero lavelocidad adquiere su máximo valor.

Ejercicio 5.1 Obtenga las gráficas de la segundade las ecuaciones (5.1) y (5.3). Compárelas con la fi-gura 5.1 y la figura 5.3, respectivamente. ¿Qué puedeconcluir?

Ejemplo 5.1 Suponga que el movimiento dela aguja de una máquina de coser es un MAS. El

extremo inferior de la aguja de una máquina decoser, pasa por la posición de mínima elongacióncon una rapidez de 3 m · s−1. La máxima elongacióntiene un valor de 5 mm. (a) Encuentre la frecuenciay el período del movimiento de la aguja. (b) Escribala ecuación cinemática de posición y de velocidadpara el movimiento de la aguja.Solución(a) Como se conoce la rapidez máxima alcanzadapor la aguja y la amplitud de su movimiento, me-diante la ecuación 5.4, se encuentra que la frecuenciaangular de la aguja tiene el valor

ω = 600 rad · s−1.Con este valor de la frecuencia angular, es posibleencontrar para la frecuencia y para el período, losvalores respectivos dados por

ν = 95.49 Hz,P = 10.47 × 10−3 s.

(b) Utilizando la información anterior, las ecuacio-nes cinemáticas de posición y velocidad para la agu-ja, adquieren la forma

x(t) = 5 × 10−3 sen(600 t),v(t) = 3 cos(600t),

donde se ha asumido que el extremo inferior de laaguja parte del origen, es decir, que su fase inicial escero.

Ejercicio 5.2 Resuelva la situación anterior, utili-zando para la posición, la función trigonométrica co-seno. Compare los resultados.

5.2.3. Relación entre la velocidad, la am-plitud y la posición en un MAS li-neal

Partiendo de cualquiera de las ecuaciones(5.1) y empleando la identidad trigonométricasen2θ + cos2θ = 1, es posible obtener la expre-sión

v2 = (A2 − x2)ω2. (5.5)

La ecuación (5.5), de nuevo permite afirmar

i) La rapidez es máxima donde la elongaciónes mínima, esto es, en x = 0.

ii) La rapidez es mínima donde la elongaciónes máxima, o sea en x = ±A.

Ejercicio 5.3 Partiendo de cada una de las ecua-ciones (5.1), obtenga la ecuación (5.5).


5.2.4. Aceleración en el Movimiento Ar-mónico Simple Lineal

Mediante la definición de aceleración dada porla ecuación (2.2) y las ecuaciones (5.3), se en-cuentra que la aceleración de una partícula conMAS, está dada por una de las expresiones

a(t) = −ω2Asen(ωt + φ)

a(t) = −ω2Acos(ωt + φ). (5.6)

Las ecuaciones (5.6) muestran que se tiene ace-leración máxima cuando la función trigonomé-trica, respectiva, adquiere su máximo valor, deeste modo, el máximo está dado por

amáx = ±ω2 A. (5.7)

La figura 5.4 muestra la forma como varía laaceleración con el tiempo, tomando la primerade las ecuaciones (5.6), para una partícula queposee MAS.

a

- Aw2

O t

+w2

A

Figura 5.4: Variación temporal de la aceleración enun MAS.

Al comparar las figuras 5.2 y 5.4, se ve clara-mente que en el instante que la elongación ad-quiere su máximo valor, la aceleración en mag-nitud también es máxima, y cuando la elonga-ción adquiere su valor mínimo la aceleraciónadquiere su mínimo valor.

La situación anterior, lleva a encontrar unarelación entre la aceleración y la posición, pa-ra una partícula animada de MAS. Mediante lasecuaciones (5.1) y (5.6) se tiene que la acelera-ción de una partícula con MAS, está relacionadacon su elongación, por medio de la expresión

a = −ω2x. (5.8)

La ecuación (5.8) es característica de cualquierMAS, es decir, en un MAS la aceleración es pro-porcional y opuesta a la posición de la partícula.

5.3. Dinámica del MovimientoArmónico Simple lineal

En el caso particular de la segunda ley de New-ton para masa constante, F = ma, la fuerza so-bre una partícula de masa m animada de MAS,adquiere la forma

F = −ω2mx, (5.9)

donde se ha utilizado la relación entre la ace-leración y la elongación, dada por la ecuación(5.8). Se encuentra igualmente que la fuerza so-bre una partícula con MAS, es proporcional yopuesta a la posición de la partícula.

Ahora, empleando la definición de acelera-ción obtenida en el caso de una partícula quese mueve a lo largo del eje x, esto es,

a =d2xdt2 ,

y la ecuación (5.8), la segunda ley de Newtonadquiere la forma

d2xdt2 + ω2x = 0, (5.10)

que corresponde a la ecuación diferencial carac-terística de todo movimiento armónico simplelineal; donde ω es la frecuencia angular del mo-vimiento que depende de las propiedades físi-cas del sistema, como se encontrará en diversassituaciones que serán discutidas a continuación.

Toda partícula, cuyo movimiento esté regi-do por la ecuación diferencial de la forma dadapor la ecuación (5.10), está animada de un MAS,donde el término que multiplica a la elongaciónx corresponde al cuadrado de la frecuencia an-gular del MAS.

El oscilador armónico y el péndulo simple ,son ejemplos de MAS lineal.

Ejercicio 5.4 Demuestre que las ecuaciones (5.1)son soluciones de la ecuación diferencial (5.10) pa-ra un MAS.

5.3.1. Oscilador armónico

Como se analizó a la luz de la ley de Hooke , unejemplo de oscilador armónico está constituido

5.4. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR 5

por un cuerpo de masa m sujeto a un resorte yque desliza sobre una superficie horizontal lisa,como se ilustra en la figura 5.5.

m

Ox

xO

mFe

x

k

kN

mg

Figura 5.5: D. C. L. en un oscilador armónico.

El oscilador armónico es un ejemplo clásicodel MAS de una partícula. De acuerdo con eldiagrama de cuerpo libre mostrado en la figu-ra 5.5, se observa que sobre la partícula actúanel peso mg ejercido por la tierra, la normal Nejercida por la superficie y la fuerza elástica Feejercida por el resorte.

Igualmente se observa que la única fuerzaque afecta el movimiento de la partícula es lafuerza elástica, que de acuerdo con la ley deHooke, tiene la forma

Fe = −kx,

donde el signo menos aparece debido a que lafuerza apunta en sentido opuesto a la deforma-ción del resorte, respecto a la posición de equi-librio de la partícula que en este caso coincidecon el origen de coordenadas O.

De este modo, en este caso, la ecuación (5.10)adquiere la forma

d2xdt2 +

km

x = 0, (5.11)

que es idéntica a la ecuación (5.10), lo cualmuestra que la partícula adquiere un MAS conuna frecuencia angular dada por

ω =

√km

. (5.12)

En la ecuación (5.12) se observa que la frecuen-cia angular depende de las propiedades físicasdel sistema, como son el agente externo al cuer-po, dado por la constante elástica del resorte y

el agente interno al cuerpo, dado por la masa dela partícula.

Mediante la relación que existe entre la fre-cuencia angular y el tiempo que tarda la partí-cula en realizar una oscilación completa, el pe-ríodo de oscilación es dado por

P = 2π

√mk

, (5.13)

y la frecuencia, dada por el inverso del período,es

ν =1

2π

√km

. (5.14)

Una característica interesante que se observa enlas ecuaciones (5.12), (5.13) y (5.14) es la depen-dencia de la frecuencia angular, del período yde la frecuencia con la masa de la partícula enun oscilador armónico.

La ecuación (5.13) muestra que el osciladorarmónico permite obtener experimentalmenteel valor de la constante elástica del resorte mi-diendo la masa y el período de oscilación de lapartícula.

Ejercicio 5.5 La partícula de un oscilador armóni-co tiene una masa de 15 g y posee un MAS cuyo pe-ríodo es de 4 s. Halle (a) la constante elástica del re-sorte, (b) la frecuencia del movimiento y (c) la fre-cuencia angular correspondiente.

5.4. Cinemática del MovimientoArmónico Simple Angular

En la vida diaria se presentan situaciones físicasde cuerpos animados con MAS angular, tal quesu posición se expresa mediante una ecuacióncinemática de posición angular , donde al igualque en el caso lineal se utiliza la función trigo-nométrica seno ó coseno, ya que el movimientose repite cada que transcurre determinado in-tervalo de tiempo, esto es, el movimiento es pe-riódico. De este modo, la posición angular de lapartícula está dada por una de las ecuaciones

θ(t) = θo sen(ωt + φ)

θ(t) = θo cos(ωt + φ), (5.15)


donde la posición angular θ de la partícula res-pecto a la posición de equilibrio, es la elonga-ción ; el máximo valor de la elongación es la am-plitud θo; el término ωt + φ, es la fase , la canti-dad ω es la frecuencia angular del movimientoy la fase inicial , en t = 0, es φ.

Utilizando la definición de velocidad angu-lar y las expresiones (5.15), se encuentra que laecuación cinemática de velocidad angular parauna partícula animada de MAS angular, respec-tivamente, está dada por

ω′(t) = ωθocos(ωt + φ)

ω′(t) = −ωθosen(ωt + φ). (5.16)

Las ecuaciones (5.16) muestran que la rapidezes máxima cuando la función trigonométrica,respectiva, adquiere su máximo valor, de estemodo, el máximo está dado por

ω′máx = ±ωθo (5.17)

De igual forma, empleando la definición deaceleración angular y las ecuaciones (5.16), res-pectivamente, se encuentra que la ecuación ci-nemática de aceleración angular para una partí-cula con MAS angular, está dada por

α(t) = −ω2θosen(ωt + φ)

α(t) = −ω2θocos(ωt + φ). (5.18)

Mediante las ecuaciones (5.18), se encuentraque el máximo valor que puede adquirir la ace-leración angular está dado por

αmáx = ±ω2θo (5.19)

Igual que en el MAS lineal, cuando la elonga-ción es máxima, la rapidez angular es mínima yla aceleración angular es máxima. Mientras quecuando la elongación adquiere su valor míni-mo, la rapidez angular es máxima y la acelera-ción angular es mínima.

Al comparar una de las ecuaciones (5.15) consu respectiva ecuación (5.18), se obtiene la ex-presión

α = −ω2θ, (5.20)

donde se tiene que la aceleración angular esproporcional al desplazamiento angular delcuerpo rígido. Por ello, la ecuación (5.20) corres-ponde a la expresión característica de todo MASangular.

Del análisis anterior, se observa que las ecua-ciones cinemáticas para el MAS angular, se ob-tienen de las ecuaciones cinemáticas de MAS li-neal, al cambiar x por θ y A por θo.

Ejercicio 5.6 Demuestre que para la rapidez angu-lar, ω′, se satisface la expresión

ω′2 = (θ2o − θ2)ω2

.

5.5. Dinámica del MovimientoArmónico Simple Angular

Como se verá, en el caso de un péndulo com-puesto y del péndulo de torsión , el cuerpo enconsideración se debe tratar bajo el modelo decuerpo rígido, ya que en este caso el cuerpo ad-quiere un movimiento de rotación alrededor deun eje que puede pasar o no por su centro demasa, luego de haber sido desplazado de su po-sición de equilibrio.

Como el momento de una fuerza respecto aun punto A está dado por

MA = IAα, (5.21)

al tener en cuenta la ecuación (5.20), se puedeexpresar en la forma

MA = −ω2 IAθ, (5.22)

La ecuación (5.22) muestra que en todo MASangular, el momento de la fuerza respecto alpunto A es proporcional y con sentido opuestoal desplazamiento angular.

Ahora, teniendo en cuenta la definición deaceleración angular y las ecuaciones (5.21) y(5.22), se encuentra que la ecuación diferencialcaracterística de todo MAS angular, tiene la for-ma

d2θ

dt2 + ω2θ = 0, (5.23)

5.5. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR 7

donde ω es la frecuencia angular del MAS an-gular y la cual depende de propiedades físicasdel sistema en estudio, como se encontrará pos-teriormente.

Ejercicio 5.7 Demuestre que las ecuaciones (5.15)son soluciones de la ecuación (5.23) para un MASangular.

5.5.1. Péndulo simple

El péndulo simple proporciona un ejemplo deMAS de una partícula, siempre y cuando la am-plitud del movimiento sea pequeña. En este ca-so la coordenada correspondiente es el ángulo θque la cuerda forma con la vertical. De acuerdocon el diagrama de cuerpo libre mostrado en lafigura 5.6, se observa que sobre la partícula ac-túan el peso mg ejercido por la tierra y la tensiónT ejercida por la cuerda.

mg

q

Tl

q

O

Figura 5.6: D. C. L. en un péndulo simple.

Igualmente, se observa que el peso de la par-tícula genera un momento respecto al punto desuspensión O, por lo que la ecuación de movi-miento en esta dirección adquiere la forma

−(mg sen θ)l = ml2α,

donde el signo menos aparece debido a que es-te momento genera rotación de la partícula, ensentido opuesto al desplazamiento angular dela partícula, respecto a la posición de equilibrio,que en este caso coincide con la vertical.

De este modo, simplificando y empleando ladefinición de aceleración angular, la ecuaciónde movimiento adquiere la forma

d2θ

dt2 +gl

sen θ = 0, (5.24)

donde aparecen las variables θ y sen θ, por loque en general el movimiento de esta partículano es un MAS ya que no satisface la ecuacióndiferencial de movimiento (5.23). A pesar de es-to,cuando la amplitud de las oscilaciones es pe-queña, el ángulo que forma la cuerda con la ver-tical es pequeño y es válida la aproximación

sen θ ≈ θ. (5.25)

Así, mediante la ecuación (5.25), la ecuación(5.24) adquiere la forma

d2θ

dt2 +gl

θ = 0, (5.26)

que es idéntica a la ecuación (5.10) cuando secambia θ por x, lo cual muestra que cuando laamplitud de las oscilaciones es pequeña la par-tícula adquiere un MAS con una frecuencia an-gular dada por

ω =

√gl

. (5.27)

En la ecuación (5.27) se observa que la frecuen-cia angular depende de la aceleración de la gra-vedad, que es un agente externo al péndulo sim-ple, y de una propiedad del péndulo simple co-mo es la longitud l de la cuerda a la que estásujeta la partícula, que es el agente interno.


P = 2π

√lg

, (5.28)

y la frecuencia, dada por el inverso del período,es

ν =1

2π

√gl

. (5.29)

La característica interesante que se observa enlas ecuaciones (5.27), (5.28) y (5.29) es la inde-pendencia con la masa de la partícula, en el casode un péndulo simple.

Mediante la ecuación (5.28) es posible encon-trar experimentalmente y de una forma senci-lla, el valor de la aceleración de la gravedad mi-diendo la longitud de la cuerda y el período deoscilación de la partícula.


5.5.2. Péndulo compuesto ó físico

A diferencia del péndulo simple, el péndulo fí-sico ó compuesto corresponde a un cuerpo rí-gido que oscila con MAS, siempre y cuando laamplitud de la oscilación sea pequeña. Un pén-dulo compuesto es un cuerpo rígido que osci-la alrededor de un eje horizontal fijo, debido asu interacción con la tierra. En la figura 5.7 semuestra el diagrama de cuerpo libre de un pén-dulo compuesto, que puede girar libremente al-rededor de un eje fijo que pasa por el punto O.La fuerza que ejerce el eje sobre el cuerpo rígido,garantiza que el péndulo físico tenga un movi-miento de rotación pura alrededor de un eje quepasa por O, es decir, la fuerza neta es nula.

Feje

mg

qd

O

C

Figura 5.7: D. C. L. en un péndulo físico.

En este caso, como el peso del cuerpo es quiengenera el movimiento de rotación, el momentodel peso respecto al punto O es

MO = −mgd sen θ,

donde el signo menos se debe a que la fuerzagenera un momento en sentido opuesto al des-plazamiento angular del cuerpo respecto a suposición de equilibrio, la cual es coincidente conla vertical, y d sen θ es el brazo del peso, respec-to al punto O.

Por consiguiente, utilizando la definición deaceleración angular, y la ecuación de movimien-to para la rotación de un cuerpo rígido, se obtie-ne la ecuación diferencial

d2θ

dt2 +mgdIO

sen θ = 0, (5.30)

donde de nuevo aparecen las variables θ y sen θ,lo cual indica que en general el movimiento de

este cuerpo rígido no es un MAS ya que no sa-tisface la ecuación diferencial de movimiento(5.23). Pero si se consideran amplitudes de os-cilación pequeñas, el ángulo que forma el seg-mento OC de la figura 5.7 con la vertical es pe-queño y es válida la aproximación

sen θ ≈ θ. (5.31)

Así, mediante la ecuación (5.31), la ecuación(5.30) adquiere la forma

d2θ

dt2 +gd

KO2 θ = 0, (5.32)

donde se ha utilizado la relación entre el mo-mento de inercia I y el radio de giro al cuadra-do K2. La ecuación (5.32) es idéntica a la ecua-ción (5.10) al intercambiar θ por x, lo cual mues-tra que para pequeñas amplitudes de oscilación,el péndulo físico adquiere un MAS con una fre-cuencia angular dada por

ω =

√gd

KO2 . (5.33)

De acuerdo con la ecuación (5.33), la frecuenciaangular depende del agente externo aceleraciónde la gravedad, y de los agentes internos longi-tud d y radio de giro del cuerpo rígido respectoal eje de rotación, es decir, que la frecuencia an-gular depende de la forma del cuerpo.


P = 2π

√KO

2

gd, (5.34)

y la frecuencia, dada por el inverso del período,esto es

ν =1

2π

√gdK2

O. (5.35)

En el caso del péndulo compuesto la caracte-rística interesante que muestran las ecuaciones(5.33), (5.34) y (5.35) es la independencia con lamasa del cuerpo rígido, en la frecuencia angu-lar, el período y la frecuencia del MAS.

5.5. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR 9

Empleando la ecuación (5.34), experimental-mente se puede encontrar el valor de la acele-ración de la gravedad, conociendo la forma delcuerpo y midiendo el período de oscilación delcuerpo rígido.

5.5.3. Péndulo de torsión

El péndulo de torsión permite considerar otrocaso de MAS en un cuerpo rígido . Un péndulode torsión no es mas que un cuerpo rígido sus-pendido verticalmente de un alambre sujeto alcentro de masa C del cuerpo y fijo en O, comose indica en la figura 5.8.

O

C

q

AM

Figura 5.8: Péndulo de torsión rotado.

Cuando el cuerpo rígido se rota un ángulo θpequeño, respecto a la orientación de equilibrioCA sobre un plano horizontal y en determina-do sentido, el alambre se tuerce generando unpar a su alrededor con un momento en sentidoopuesto dado por

M = −κθ, (5.36)

donde κ es una constante que depende de laspropiedades físicas y geométricas del alambrey se conoce como el coeficiente de torsión delalambre, cuyo valor depende de su forma, susdimensiones y del material con el cual fue cons-truido.

Ahora, si se emplea la definición de acelera-ción angular,y la ecuación de movimiento parala rotación de un cuerpo rígido alrededor de uneje que pasa por su centro de masa, se llega a laecuación diferencial

d2θ

dt2 +κ

ICθ = 0, (5.37)

donde aparece la variable θ en los dos térmi-nos de la ecuación, es decir, el cuerpo rígido ad-quiere un MAS, donde la ecuación diferencialcorrespondiente es

d2θ

dt2 +κ

mKC2 θ = 0, (5.38)

donde se ha utilizado la relación entre el mo-mento de inercia I y el radio de giro al cuadradoK2.

Al comparar la ecuación (5.10) con la ecua-ción (5.38), se tiene que el cuerpo rígido adquie-re un MAS con una frecuencia angular dada por

ω =

√κ

mKC2 . (5.39)

En la ecuación (5.39) la frecuencia angular de-pende del agente externo coeficiente de torsióndel alambre y de los agentes internos masa y ra-dio de giro del cuerpo rígido respecto a un ejeque pasa por su centro de masa, es decir, de laforma geométrica del cuerpo y de sus propieda-des físicas.


P = 2π

√mKC

2

κ, (5.40)

y la frecuencia, dada por el inverso del período,esto es

ν =1

2π

√κ

mKC2 . (5.41)

En el caso del péndulo de torsión la caracte-rística interesante que muestran las ecuaciones(5.39), (5.40) y (5.41) es la dependencia con lamasa del cuerpo rígido, en la frecuencia angu-lar, el período y la frecuencia del MAS, a dife-rencia de los dos casos anteriores.

La ecuación (5.40) muestra que entre mayorsea la masa del cuerpo rígido ó menor sea elcoeficiente de torsión del alambre, mayor es elperíodo de oscilación. Igualmente se ve que elperíodo de oscilación depende de la geometríadel cuerpo rígido, al depender del radio de giro.


Utilizando la expresión (5.40) es posible de-terminar, de manera experimental, el coeficientede torsión del alambre conociendo la forma delcuerpo rígido, su masa y midiendo su períodode oscilación.

5.6. Energía en el movimiento ar-mónico simple lineal

Un cuerpo animado de un MAS, tiene una ener-gía total no nula como consecuencia de su ener-gía cinética y su energía potencial . La energíacinética es de tipo traslacional si el cuerpo só-lo tiene movimiento de traslación, ó es de tiporotacional si el cuerpo posee movimiento única-mente de rotación. Adicionalmente, la energíapotencial se le asocia a las fuerzas conservati-vas, como lo es el peso en el caso de los péndu-los simple y compuesto, la fuerza elástica en elcaso de un oscilador armónico sobre una super-ficie horizontal y la fuerza de torsión en el casode un péndulo de torsión.

5.6.1. Energía cinética en el movimientoarmónico simple lineal

Debido a su movimiento, la energía cinética deun cuerpo con MAS, viene dada por

Ek =12

m(ωA)2 cos2(ωt + φ), (5.42)

donde se ha utilizado la definición de energíacinética y la primera de las ecuaciones (5.3).

Partiendo de la ecuación (5.42), es posible de-mostrar que la energía cinética del cuerpo sepuede expresar en la forma

Ek =12

mω2(A2 − x2). (5.43)

En la ecuación (5.43), se observa que a medidaque el cuerpo se mueve su energía cinética varíaadquiriendo su valor mínimo en los extremosde la trayectoria, x = ±A, y su valor máximocuando pasa por la posición de equilibrio x = 0.

5.6.2. Energía potencial en el movimien-to armónico simple

De acuerdo con el concepto de derivada direc-cional, se tiene que la fuerza conservativa F(x)que actúa sobre una partícula, está relaciona-da con la energía potencial asociada Ep(x), me-diante la expresión

F(x) = −dEp(x)

dx. (5.44)

Ahora, teniendo en cuenta la ecuación (5.9), seencuentra que la función de energía potencialpara una partícula con MAS, está dada por

Ep(x) =12

ω2mx2,

=12

m(ωA)2 sen2(ωt + φ), (5.45)

donde se ha tomado el nivel cero de energía po-tencial en la posición de equilibrio, esto es, enx = 0. La ecuación (5.45) muestra que la energíapotencial en un MAS, varía mientras el cuerpose mueve, adquiriendo su máximo valor cuan-do se tiene la máxima elongación y su valor mí-nimo en la posición de equilibrio.

Mediante la primera de las ecuaciones (5.1),es posible que la ecuación (5.45) adquiera la for-ma

Ep(v) =12

m(v2max − v2), (5.46)

donde se observa que la energía potencial es mí-nima cuando la rapidez es máxima y máximacuando la rapidez es mínima.

5.6.3. Energía total en el movimiento ar-mónico simple

En el caso de un cuerpo animado de un MAS,se tiene un sistema conservativo, es decir, aun-que tanto la energía cinética como la energía po-tencial varíen mientras ocurre el movimiento, laenergía total debe permanecer constante.

De nuevo, la energía total del cuerpo es la su-ma de su energía cinética y su energía potencial.De este modo, mediante las ecuaciones (5.43) y(5.45), se llega a

E =12

m(ωA)2, (5.47)

5.8. SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES 11

que de acuerdo con la ecuación (5.43), en x = 0,corresponde a la máxima energía cinética queadquiere la partícula. Por otro lado, la ecuación(5.47) confirma que realmente la energía totaldel cuerpo es una constante, ya que la frecuen-cia angular ω y la amplitud A son constantesdel movimiento.

5.6.4. Gráficas de energía en el movi-miento armónico simple lineal

Toda la información analizada anteriormente,respecto a la energía en el MAS, se resume enla figura 5.9, donde se tienen las gráficas de laenergía cinética,la energía potencial y la energíatotal de un cuerpo animado con MAS en fun-ción de la coordenada x.

Energía

E (Energía total)

x+xA-xA O

Figura 5.9: Curvas de energía cinética, potencial ytotal de un cuerpo con MAS.

En la figura (5.9) se observa que en los extre-mos de la trayectoria la energía potencial ad-quiere el máximo valor y la energía cinética esnula, mientras que en la posición de equilibriola energía cinética adquiere el máximo valor yla energía potencial es nula.

Lo anterior está de acuerdo con el hecho quea medida que aumenta la energía potencial, dis-minuye la energía cinética, con el fin de garan-tizar la constancia en la energía total.

5.7. Energía en el movimiento ar-mónico simple angular

En el caso de un cuerpo rígido en rotación,con MAS angular, la energía cinética está dada

por la energía cinética rotacional, que de acuer-do a la unidad 4, está dada por Ek = 1

2 IAω2, su-poniendo que la rotación se presenta alrededorde un eje que pasa por el punto A.

Por otro lado, si el centro de masa sufre des-plazamientos verticales respecto a la superficiede la tierra, la energía potencial asociada es lamisma que para el caso de la energía potencialde una partícula animada de MAS lineal.

5.8. Superposición de dos movi-mientos armónicos simples

Una situación interesante se presenta cuando sesuperponen simultáneamente dos movimientosarmónicos simples. Como se verá, la trayectoriadel movimiento resultante depende de las con-diciones de cada uno de los movimientos resul-tantes.

Superposición de dos movimientos armónicossimples perpendiculares con igual frecuenciae igual amplitud

Se considera un sistema de coordenadas rectan-gulares xy, tal que sobre cada eje se tiene unMAS. Se supone que sobre el eje x y el eje y larespectiva ecuación cinemática de posición estádada por

x = A cos(ωt + φ),y = A sen(ωt + φ). (5.48)

Al sumar los cuadrados de cada una de las com-ponentes dadas por la ecuación (5.48) y simpli-ficar, se encuentra que el movimiento resultantetiene como ecuación de la trayectoria, la expre-sión

x2 + y2 = A2. (5.49)

La forma de la ecuación (5.49) indica que la tra-yectoria que describe la partícula es circular, deradio A y centrada en el origen.

Igualmente, obteniendo las componentes enx y en y de la velocidad de la partícula, se en-cuentra que la magnitud es

v = ωA. (5.50)


De este modo, por la ecuación (5.50) se tiene queuna partícula sometida a estas condiciones, ad-quiere un movimiento circular uniforme ya quesu rapidez es constante.

Cuando la amplitud de estos dos movimien-tos perpendiculares es diferente, es posible de-mostrar que la partícula describe una trayecto-ria elíptica.

El caso inverso también es válido, o sea, cuan-do una partícula describe una trayectoria circu-lar de radio A con rapidez constante, la proyec-ción o sombra de la partícula sobre cada unode los ejes posee un movimiento armónico sim-ple . Por lo tanto, mientras la partícula describeuna trayectoria circular con velocidad angularde magnitud ω, la sombra tiene un MAS de fre-cuencia angular ω.

x

y

AB

Figura 5.10: MCU de una partícula y MAS de susombra sobre cada eje.

Como se ilustra en la figura 5.10, mientrasla partícula describe la trayectoria circular mo-viéndose de A a B en sentido antihorario, lasombra con MAS se mueve sobre el eje x desdeA hasta B, y a medida que la partícula se muevesobre la trayectoria circular desde B hasta A, lasombra lo hace sobre el eje x de B hasta A.

De forma similar, como se ilustra en la figu-ra 5.11, la sombra o proyección del movimientocircular uniforme de la partícula sobre el eje y,también adquiere un MAS.

A medida que la partícula se mueve sobre latrayectoria circular entre C y D, la sombra conMAS se mueve sobre ele eje y de C a D y mien-tras la partícula se mueve sobre la circunferen-cia de D a C, la sombra lo hace de D a C sobre eleje y.

x

y

C

D

Figura 5.11: MCU de una partícula y MAS de susombra sobre cada eje.

En síntesis, una partícula adquiere un movi-miento circular uniforme , cuando simultánea-mente se somete a dos movimientos armónicossimples perpendiculares entre sí, de igual am-plitud, de igual frecuencia angular e igual faseinicial.

Ejercicio 5.8 Demuestre, que cuando una partícu-la se somete simultáneamente a dos MAS perpendi-culares, de igual frecuencia angular, igual fase ini-cial, pero diferente amplitud, la partícula describeuna trayectoria elíptica.

5.9. ENUNCIADOS

5.1 Una partícula, con movimiento armónicosimple lineal, tiene amplitud A, periodo P y sumovimiento se inicia cuando la elongación es14 A. (a) El movimiento de la partícula: (i) ¿es os-cilatorio? (ii) ¿es periódico? (b) Obtenga, parala partícula, las ecuaciones cinemáticas de posi-ción, velocidad y aceleración. (c) Exprese la ace-leración de la partícula en función de su elon-gación. ¿El resultado está de acuerdo con lo es-perado? Explique. (d) Encuentre la forma queadquieren las expresiones de los numerales (b)y (c), si A = 12 cm y P = 6 s. (e) Calcule: laposición, la velocidad y la aceleración de la par-tícula, en el instante t = 3 s. (f) Halle los valo-res de la elongación máxima, la velocidad máxi-ma y de la aceleración máxima, que la partículaadquiere durante su movimiento. (g) Muestre,en un diagrama, los resultados obtenidos en losnumerales (e) y (f).

5.9. ENUNCIADOS 13

5.2 Un pequeño bloque, animado de un mo-vimiento armónico simple, adquiere una rapi-dez máxima de 6 m s−1 y una aceleración máxi-ma de magnitud 2 m s−2, durante su movimien-to. (a) Encuentre la amplitud y la frecuencia an-gular del movimiento. (b) Escriba las ecuacio-nes cinemáticas de posición, velocidad y acele-ración, que rigen el movimiento de la partícula.

5.3 Se tiene un péndulo simple de cierta longi-tud y cierta masa. ¿Qué le ocurre al período dedicho péndulo simple cuando se lleva de Mede-llín a Bogotá? Justifique física y completamentesu respuesta.

5.4 A un niño que se encuentra en un colum-pio, se le suelta cuando el cable del columpioforma un ángulo θo con la vertical. La masacombinada del niño y el columpio es m, el perio-do del movimiento es P y la longitud del cablees l. El valor de θo, es tal que el sistema adquie-re un movimiento armónico simple angular. (a)El movimiento del columpio: (i) ¿es oscilatorio?(ii) ¿es periódico? (b) Obtenga, para el colum-pio, las ecuaciones cinemáticas de posición an-gular, velocidad angular y aceleración angular.(c) Exprese la aceleración angular del columpio,en función de su posición angular. ¿El resultadoestá de acuerdo con lo esperado? Explique. (d)Encuentre la forma que adquieren las expresio-nes de los numerales (b) y (c), si θo = π

24 rady P = 2 s. (e) Calcule: la posición angular, lavelocidad angular y la aceleración angular delcolumpio, en el instante t = 0.5 s. (f) Halle losvalores de la elongación angular máxima, la ve-locidad angular máxima y de la aceleración an-gular máxima, que el columpio adquiere duran-te su movimiento. (g) Muestre, en un diagrama,los resultados obtenidos en los numerales (e) y(f).

5.5 Una pelota que se suelta desde una altu-ra h respecto a la tierra, rebota luego de haberchocado elásticamente con el piso. (a) ¿El movi-miento del cuerpo es oscilatorio? Explique. ¿Elmovimiento es periódico? Explique. (b) ¿Hastaqué altura regresa el cuerpo luego del choque?Explique. Halle el tiempo que tarda el cuerpo

en regresar a dicha altura, utilizando considera-ciones dinámicas y de energía. ¿Este tiempo quénombre recibe en este caso?(c) ¿El movimientodel cuerpo es armónico simple? Explique.

5.6 Un proyectil de masa m, que viaja convelocidad v, choca plásticamente con un blo-que de masa M que se encuentra sobre unasuperficie horizontal lisa y sujeto a un resor-te de constante elástica k. El bloque se encuen-tra inicialmente en la posición de no deforma-ción del resorte. (a) Halle la velocidad del sis-tema inmediatamente después del choque. (b)¿Qué movimiento adquiere el sistema? Expli-que. (c) Encuentre la máxima deformación delresorte. (d) Halle la frecuencia angular del mo-vimiento. (e) calcule los valores de las cantida-des obtenidas en los numerales (c) y (d), sabien-do que k = 100 N m−1, M = 900 g, m = 50 gy v = 100 m s−1. (f) Obtenga para el sistema yen función del tiempo, las expresiones de la po-sición, la velocidad, la aceleración y la fuerza,que son válidas después del choque. (g) Expre-se, para el sistema, la aceleración y la fuerza enfunción de su posición.

5.7 Una partícula, de masa m, adquiere un mo-vimiento armónico simple lineal de amplitud Cy período P. La partícula inicia el movimien-to cuando su elongación −C. (a) Encuentre, enfunción del tiempo, la fuerza que actúa sobre lapartícula. (b) Exprese la fuerza en función desu elongación. ¿El resultado obtenido está deacuerdo con lo esperado? Explique. (c) Encuen-tre la forma que adquieren las expresiones delos numerales (a) y (b), si C = 6 cm, m = 13 gy P = 8 s. (d) Calcule la fuerza que actúa sobrela partícula, en el instante t = 5 s. ¿En qué posi-ción se encuentra el columpio en este instante?(e) Halle el valor de la fuerza máxima que actúasobre la partícula en su movimiento.

5.8 Un columpio con su carga, de masa m ylongitud l, adquiere un movimiento armónicosimple angular de amplitud θo y período P. Elcolumpio inicia su movimiento cuando la posi-ción angular es θo. (a) Encuentre, en función deltiempo, el momento de la fuerza neta que actúasobre el columpio. (b) Exprese el momento de la


fuerza neta en función de su posición angular.¿El resultado obtenido está de acuerdo con loesperado? Explique. (c) Utilizando la definición,halle el momento neto que actúa sobre el colum-pio, respecto al punto de suspensión. Medianteeste resultado y el encontrado en el numeral (b)obtenga una expresión para la aceleración de lagravedad. (d) Encuentre la forma que adquie-ren las expresiones de los numerales (a) y (b), sim = 30 kg, l = 99 cm, θo = π

12 rad y P = 2 s.(e) Halle el valor del momento neto que actúasobre el columpio, en el instante t = 1.5 s. (f)Calcule los valores del momento máximo queactúa sobre el columpio y de la aceleración dela gravedad donde este se encuentra.

5.9 Una partícula, de masa m, tiene un movi-miento armónico simple lineal de amplitud B yfrecuencia ν. La partícula inicia su movimien-to cuando se encuentra en la posición de equili-brio. (a) Encuentre una expresión para la fuerzaen función de su elongación. ¿El resultado obte-nido está de acuerdo con lo esperado? Explique.(b) Halle, en función de la elongación, la energíapotencial asociada a la partícula. (c) Encuentrela forma que adquieren las expresiones de losnumerales (a) y (b), si B = 8 cm, m = 17 g yν = 0.4 Hz. (d) Calcule la fuerza que actúa sobrela partícula y la energía potencial, en el instantet = 0.5 s. (e) Halle el valor de la máxima fuer-za que actúa sobre la partícula y de la máximaenergía potencial asociada.

5.10 Un pequeño bloque de masa m, con mo-vimiento armónico simple lineal, tiene ampli-tud C, frecuencia ν y su movimiento se iniciacuando la elongación es 1

2 C. (a) El movimientode la partícula: (i) ¿es oscilatorio? (ii) ¿es perió-dico? (b) Obtenga, para el bloque y en funcióndel tiempo, la energía cinética, la energía poten-cial y la energía total. ¿Qué concluye del últimoresultado? Explique. (c) Exprese la energía ciné-tica, la energía potencial y la energía total delbloque, en función de su posición. ¿Los resulta-dos obtenidos están de acuerdo con lo espera-do? Explique. (d) Exprese la energía cinética, laenergía potencial y la energía total del bloque,en función de su rapidez. ¿Los resultados ob-tenidos están de acuerdo con lo esperado? Ex-

plique. (e)Encuentre la forma que adquieren lasexpresiones de los numerales (b), (c) y (d), siC = 0.2 m y ν = 0.2 Hz. (f) Calcule: la ener-gía cinética, la energía potencial y la energía to-tal del bloque, en el instante t = 3 s. (g) Hallelos valores de la energía cinética máxima y dela energía potencial máxima, que el bloque ad-quiere durante su movimiento. ¿Qué concluyede sus resultados? Explique. (g) Muestre, en undiagrama, los resultados obtenidos en el nume-ral (g).

5.11 Un bloque de masa m, inicialmente seencuentra estático sobre un resorte vertical deconstante k, como se ilustra en la figura 5.12.Mediante el bloque, se genera un desplazamien-to vertical del sistema y se suelta. (a) Halle ladeformación del resorte, cuando el bloque seencuentra en reposo. (b) Haga el diagrama decuerpo libre para el bloque, en una posición di-ferente a la inicial y plantee la ecuación de mo-vimiento respectiva. (c) Exprese la ecuación demovimiento en forma diferencial. ¿Qué puedeconcluir del resultado obtenido? Explique. (d)Calcule el valor de las cantidades que se puedenconocer del resultado encontrado en el numeral(c), sabiendo que m = 300 g y k = 200 N m−1.

m

k

Figura 5.12: Bloque sobre un resorte vertical.

5.12 Resuelva los numerales (c) y (d) del enun-ciado anterior, utilizando consideraciones deenergía.

5.13 Una varilla delgada de masa m y longi-tud l, inicialmente está apoyada sobre un re-sorte vertical de constante k, como se ilustra enla figura 5.13. La varilla puede rotar libremen-te alrededor de un eje fijo que pasa por su ex-tremo A, y el segmento AB tiene una longitudde 3l/4. Posteriormente se genera un despla-zamiento angular en la varilla y se suelta. (a)

5.9. ENUNCIADOS 15

Halle la deformación del resorte, cuando la va-rilla se encuentra estática. (b) Haga el diagra-ma de cuerpo libre para la varilla, en una po-sición diferente a la inicial y plantee la ecua-ción de movimiento correspondiente. (c) Expre-se la ecuación de movimiento en forma diferen-cial. ¿Qué puede concluir del resultado obteni-do? Explique. (d) Halle el valor de las cantida-des que se pueden conocer del resultado encon-trado en el numeral (c), sabiendo que m = 750 gy k = 100 N m−1.

k

A B

Figura 5.13: Varilla apoyada en un resorte.


5.15 A una varilla delgada de masa m y longi-tud 4R, se le suelda un aro de igual masa m y ra-dio R. Inicialmente la varilla se encuentra orien-tada verticalmente, como se ilustra en la figura5.14. La varilla puede rotar libremente alrede-dor de un eje fijo que pasa por su extremo A. Elsistema se desplaza de esta posición vertical yse suelta. (a) ¿Qué nombre recibe este sistema?Explique. (b) Haga el diagrama de cuerpo librepara el sistema, en una posición diferente a lainicial y plantee la ecuación de movimiento res-pectiva. (c) Exprese la ecuación de movimientoen forma diferencial. ¿Qué puede concluir delresultado obtenido? Explique. (d) Halle el valorde las cantidades que se pueden conocer del re-sultado encontrado en el numeral (c), sabiendoque m = 530 g, y R = 7.5 cm.


5.17 A una placa rectangular delgada con di-mensiones 2a y a, y de masa m, se le sueldaun alambre vertical de masa despreciable y con

A

Figura 5.14: Varilla conectada a un aro.

coeficiente de torsión κ. Inicialmente el sistemase encuentra en reposo, como se ilustra en la fi-gura 5.15. La placa se rota horizontalmente y sesuelta. (a) ¿Qué nombre recibe este sistema? Ex-plique. (b) Halle la fuerza que el punto de sus-pensión ejerce sobre el alambre. (c) Haga el dia-grama de cuerpo libre para el sistema, en unaposición diferente a la inicial y plantee la ecua-ción de movimiento correspondiente. (d) Expre-se la ecuación de movimiento en forma diferen-cial. ¿Qué puede concluir del resultado obteni-do? Explique. (e) Halle el valor del coeficientede torsión κ y la fuerza sobre el alambre, sabien-do que a = 15 cm, m = 100 g y que su períodoes P = 10 s

A

a2a

Figura 5.15: Placa soldada a un alambre.

5.18 La partícula de la figura 5.16 describe unatrayectoria circular de radio R y con frecuenciaν. (a) Utilizando la posición mostrada en la fi-gura, obtenga las ecuaciones cinemáticas de po-sición, velocidad y aceleración, que rigen el mo-vimiento de la proyección de la partícula sobrela horizontal. (b) Resuelva el numeral anterior,para la proyección de la partícula sobre la verti-cal. (c) Mediante los numerales (a) y (b), expreselos vectores posición, velocidad y aceleración,en sus componentes rectangulares. (c) Halle lamagnitud de los vectores posición, velocidad y


aceleración. ¿Los resultados obtenidos están deacuerdo con los esperado? Explique.

x

y

O

Figura 5.16: Partícula con movimiento circular.

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17

Índice alfabético

A,aceleración

angular, 6en el MAS lineal, 4máxima, 4

amplitud, 2, 6

C,cinemática

del MAS angular, 5–6del MAS lineal, 2–4

coeficientede torsión, 9

constanteelástica, 5

cuerpo rígido, 9

D,definición

de aceleración, 4de velocidad, 3

derivadadireccional, 10

diagramade cuerpo libre, 5

dinámicadel MAS angular, 6–10del MAS lineal, 4–5

E,ecuación

diferencial característica, 4ecuación cinemática

de aceleración angular, 6de posición, 2de posición angular, 5de velocidad angular, 6

elongación, 2, 6

energíacinética, 10

en el MAS lineal, 10rotacional, 11

en el MAS angular, 11en el MAS lineal, 10–11potencial, 10

en el MAS lineal, 10total, 10

en el MAS lineal, 10–11

F,fase, 2, 6fase inicial, 2, 6frecuencia, 2, 3frecuencia angular, 2, 6fuerza

conservativa, 10elástica, 5

funciónde energía potencial, 10

gráficasde energía

en el MAS lineal, 11

L,ley

de Hooke, 4

M,máxima

elongación, 2MAS perpendiculares, 11movimiento

armónico simple, 2, 12circular uniforme, 12de rotación, 6

18

ÍNDICE ALFABÉTICO 19

oscilatorio, 2periódico, 2

nivel cerode energía potencial, 10

oscilador armónico, 4

P,péndulo

compuesto, 6, 8de torsión, 6, 9simple, 2, 4, 7

período, 2, 3posición

en el MAS lineal, 2–3

R,rapidez máxima, 3rapidez mínima, 3

S,segunda ley de Newton, 4superposición

de dos MAS, 11–12

T,trayectoria

elíptica, 12

V,velocidad

angular, 6en el MAS lineal, 3

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