1

Problema 1

Una barra de longitud L y masa M est articulada a la

pared mediante un pivote y su otro extremo est unido a

un resorte de constante elstica k. En la posicin de

equilibrio la barra se encuentra horizontal. Determine la

frecuencia angular de la barra cuando esta se desplaza un

ngulo pequeo a partir de la horizontal y se suelta.

Solucin

2

Diagrama de desplazamientos

Lx

22 )2(12

1LMMLIo

21

3oI M L

x

O

L

Momento de inercia

2MdII CMo

donde x es la deformacin del resorte

medida respecto a la posicin de equilibrio

ngulo pequeo:

Solucin (cont.)

3

xR

yR

Mg

kxO

DCL barra

o oI

21cos3

k xL M L

2 21

3k L M L

30

k

M

M

k30

cos 1

ngulo pequeo:

Lx

Problema 2

4

Una masa m puntual est

unida al extremo de una

varilla rgida de masa

despreciable. El otro

extremo de la varilla est

pivoteado en el punto O.

Determine la frecuencia

angular natural de

oscilacin del sistema.

Considere pequeas

oscilaciones.

Solucin

5

bx

Donde x es la deformacin

de cada resorte medida

respecto a la posicin de

equilibrio p.e.

Diagrama de desplazamientos

p.e.

(ngulo pequeo)

Solucin (cont.)

6

o oI 22 cosmg sen k xb m

o

sen

ngulo pequeo:

2

2

20

mg kb

m

2

2

0

2

m

kbg

cos 1 bx

7

Energa en el MAS

La fuerza que ejerce el

resorte sobre la masa es

conservativa. Por lo

tanto, se conserva la

energa mecnica.

2 21 1

2 2E mx k x cte

8

D qu depende la energa mecnica?

Pero:0cos( )x A t

0 0sen( )x A t

Reemplazando:

m

k0

2 21 1

2 2E mx k x cte

2 2 21 1 1

2 2 2E mx k x k A

9

Ejemplo

Una partcula describe un MAS con una amplitud de

3 cm. A qu distancia de su posicin de equilibrio

su rapidez es igual a la mitad de su rapidez mxima?

10

Solucin

)( 0 tAsenx

)cos( 00 tAx

2 2 21 1 1

2 2 2mx kx kA

m

k0

max 0x A

Haciendo:0 2x A

cm6,22

3

Ax

Ocurre a una distancia de

2,6 cm de su posicin de

equilibrio.

Conservacin de la energa

Donde:

11

Oscilaciones amortiguadas

AF bx

La fuerza amortiguadora ( FA ) la

produce la friccin del lquido

sobre la masa. Esta fuerza es

proporcional a la velocidad pero

su sentido es opuesto a ella.

b = coeficiente de amortiguamiento viscoso (N.s/m)

12

b

k

kx

xb

mg

N

x

m

kx bx mx

2da ley de Newton

Esquema de un oscilador amortiguado

0b k

x x xm m

13

Forma general y solucin

2

02 0x x x

donde:

0 = frecuencia angular natural del sistema. = factor de amortiguamiento del sistema.

La solucin depender de la magnitud del

amortiguamiento. Existen tres posibles soluciones:

Caso 1 : Sub-amortiguado:

Caso 2 : crticamente amortiguado:

Caso 3 : Sobre-amortiguado:

22 o22 o

22 o

14

Caso 1 : Sub-amortiguado )(22 o

x

tO

tAe

tAe

A

1cos( )tx Ae t

22

1 o

1

2

frecuencia angular del

sistema amortiguado:

Periodo del sistema

amortiguado:

La fuerza amortiguadora es pequea

comparada con la fuerza restauradora.

15

Caso 2 : crticamente amortiguado )( 22 o

)( DtCex t

El sistema no oscilar, por lo tanto, no hay un

periodo asociado al movimiento.

Si el sistema se saca del equilibrio y se suelta,

este retornar a su posicin de equilibrio y ah

permanecer.

Las constantes C y D se determinan con las

condiciones iniciales.

16

Caso 3 : Sobre-amortiguado )( 22 o

)( 22ttt DeCeex

22

2 o

En este caso el sistema tampoco oscilar.

Mientras mayor sea el amortiguamiento, mayor

tiempo emplear para alcanzar su posicin de

equilibrio.

C y D son constantes que se determinan a partir

de las condiciones iniciales.

17

Grficas sobre-amortiguado y crticamente amortiguado

Sobre-amortiguado

Crticamente amortiguado

18

Ejemplo 1

Hallar la ley de movimiento de la masa de 2 kg. La

superficie horizontal es lisa.

19

Solucin

21 196 0x x x

Por comparacin:

rad/s14196

rad/s5,10212

0

2

0

22 o Movimiento Sub-amortiguado

2

02 0x x x

)26,9cos(5,10 tAex t

rad/s26,95,1014 22221 o

20

Ejemplo 2

El sistema mostrado

en la figura se suelta

del reposo a partir de

la posicin inicial x0.

Hallar la ley de

movimiento de la

masa de 3 kg.

21

Solucin

x108 x18

g3

18 108 3x x x

6 36 0x x x

rad/s636

rad/s362

0

2

0

22 o Movimiento Sub-amortiguado

)2,5cos(3 tAex t

rad/s2,536 22221 o

2da ley de Newton:

22

Solucin (cont.)

)2,5cos(3 tAex t

Condiciones iniciales: 00 : ; 0t x x x

3 33 cos(5,2 ) 5,2 (5,2 )t tx Ae t Ae sen t

)cos(0 Ax

)(2,5)cos(30 sen

rad52,0

015,1 xA

23

Ejemplo 3

Hallar la ley de movimiento de la masa de 20 kg.

kg20

k

b

b

Datos:

N/m2600k

s/mN300 b

24

Solucin

rad/s4,11130

rad/s15302

0

2

0

22 o Movimiento Sobre-amortiguado

30 130 0x x x

15 9,75 9,75( )t t tx e Ce De

rad/s 75,9130225222 o

25

Ejemplo 4

kb

a

O

La varilla de masa m puede oscilar libremente

alrededor del punto O. Suponer pequeas oscilaciones

y hallar el valor de b para que el sistema tenga

amortiguamiento crtico.

26

SolucinDiagrama de desplazamientos

1x 2xa

ax 1

2x

DCL barra

xR

yR

mg1xb 2kxOo oI

2

1 2

1cos cos

3bx a k x m

27

Solucin (cont.)

2

1 2

1

3abx k x m

2 2 21

3a b k m

2

2

3 30

a b k

m m

22

0

Sistema crticamente

amortiguado:

0

m

k

m

ba 3

2

32

2

2

2

2

3

kmb

a

ngulo pequeo: cos 1 ax 1 2x