M. Oscilatorio

Tecsup – PFR Física I

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Unidad III

MMOOVVIIMMIIEENNTTOO OOSSCCIILLAATTOORRIIOO

Figura 1.

1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Ley de Hooke

En 1676 Robert Hooke descubrió y estableció la ley que lleva su nombre y que se utiliza para definir las propiedades elásticas de un cuerpo. En el estudio de los efectos de las

fuerzas de tensión, y compresión, observó que había un aumento en la longitud del resorte, o cuerpo elástico, que era proporcional a la fuerza aplicada, dentro de ciertos

límites. Esta observación puede generalizarse diciendo que la deformación es directamente proporcional a la fuerza deformadora.

F = -kx

Donde F es la fuerza, medida en newtons, k, la constante del resorte y x, el

alargamiento, o compresión. El signo negativo indica que la fuerza del resorte es restitutiva, u opuesta a la fuerza externa que lo deforma. Esta expresión se conoce con

el nombre de ley de Hooke. Si la fuerza deformadora sobrepasa un cierto valor, el

cuerpo no volverá a su tamaño (o forma) original después de suprimir esa fuerza. Entonces se dice que el cuerpo ha adquirido una deformación permanente. La tensión más pequeña que produce una deformación permanente se llama límite de elasticidad.

Física I Tecsup – PFR

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Para fuerzas deformadoras que rebasan el límite de elasticidad no es aplicable la ley de Hooke.

Movimiento Armónico Simple

Cuando el movimiento de un objeto se repite en intervalos regulares, o períodos, se le llama movimiento periódico. Si tomamos las oscilaciones de un péndulo simple hacia

los lados, tenemos un ejemplo de movimiento periódico. Consideremos una partícula de masa m, sujeta a un resorte, que oscila en la dirección x sobre una superficie

horizontal, sin fricción. Ver la figura 1, y acceder el siguiente enlace de Internet en donde aparece la animación de dos osciladores armónicos simples con diferentes

frecuencias de oscilación:

Figura 2. El oscilador armónico simple reacciona con una fuerza que se opone a la

deformación

Aplicando la segunda ley de Newton al resorte tenemos:

-Kx = ma

Por otro lado, la aceleración instantánea se define como,

2

2

d xa

dt

De donde obtenemos que: 2

2

d xm kx

dt

O bien, 2 2

2

2 20 0

d x k d xx o x

dt m dt

Proponemos una solución de la forma,


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( ) ( )x t Asen t

Donde A es la amplitud de oscilación, o máxima elongación, y , la frecuencia. Esta

solución es correcta si

k

m

De aquí podemos decir que el período de oscilación, T = /2 se puede escribir como:

2m

Tk

Figura 3.

Función seno


40

Figura 4.


41

Figura 5.

2. PÉNDULO SIMPLE

En el caso de un péndulo ideal o simple, se cuelga una partícula material (la bola) de una cuerda inextensible de masa despreciable. Aunque no hay ningún péndulo real que

tenga estas propiedades idealizadas, puede considerarse con pequeño error como péndulo simple el formado por una bola pequeña y pesada colgada de un punto fijo

mediante un hilo.

La posición de dicho péndulo se describe mediante su distancia angular respecto a la

vertical, como se ve en la figura. EL momento de la fuerza gravitatoria sobre la bolita

del péndulo respecto al punto de suspensión es mglsen , que tiende a restaurarlo

a su posición vertical de equilibrio. Como el momento de inercia del péndulo es 2I ml , la ecuación del movimiento I se convierte en

T

21

2peE kx

21

2kE mv

21

2kA

=0

21

2peE kx

21

2kE mv


42

C

L

mg

O

22

2

dml mglsen

dt

o sea.

2

20

d gsen

dt l

Si es pequeño, podemos utilizar la aproximación sen

(radianes), que resulta valida hasta un 10%, para < 45º y hasta el 1% para <14º. Sustituyendo

sen por en la ecuación anterior, obtenemos una

ecuación simple:

2

2

20n

d

dt

En donde 2 /n g l , 2 /T l g . Obsérvese que el periodo del movimiento es

independiente de la masa de la bola. En el límite de las oscilaciones pequeñas la solución general (t) tiene la forma:

( ) ( )m nt sen t

3. PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico o compuesto esta formado por un cuerpo rígido cualquiera

suspendido de un eje horizontal, que sirve de soporte, y que se encuentra en libertad de oscilar alrededor de su posición de equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la

reacción del eje de soporte. Un reloj de pared ordinario es un buen ejemplo.

La figura muestra una sección vertical de un péndulo físico compuesto, que esta suspendido por un eje que pasa por O y tiene un centro de masas en el punto C. El

momento debido a la gravedad puede considerarse como si estuviese aplicado en el centro de masas en sentido opuesto al del movimiento del péndulo,

mgLsen

En donde m es la masa del péndulo entero y L es la distancia del centro de masas a O.

la ecuación general del movimiento correspondiente al péndulo físico es, por consiguiente,

2

20

d mgLsen

dt I

En donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de suspensión. En el caso de valores pequeños de

, esto equivale a una oscilación armónica simple de

periodo

2I

TmgL


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Valor que corresponde a la frecuencia de oscilación de un pendulo ideal de longitud l,

en donde I

lmL

En otras palabras, un péndulo físico suspendido por O oscilara como si fuese un

péndulo ideal con toda su masa concentrada en un punto O’, situado a una distancia l de O sobre la prolongación que pasa por C.

4. MOVIMIENTO AMORTIGUADO

Hemos pasado por alto cualquier fuerza disipativa o amortiguadora presente en el

sistema oscilante. Las fuerzas amortiguadoras reducen la energía mecánica total del sistema, normalmente mediante una transformación en calor. Un péndulo puede estar oscilando durante un tiempo considerable; sin embargo, si no se le suministra energía para compensar la resistencia del aire y el rozamiento en el pivote de giro, la amplitud

de oscilaciones ira disminuyendo gradualmente, la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Como la fuerza de amortiguamiento se opone siempre a la velocidad podemos

expresarla como F v , en donde es una constante llamada coeficiente de

amortiguamiento. En el caso del movimiento unidimensional, la ecuación del movimiento es:

2

2

d x dxm kx

dt dt

que después de reordenarla, toma la forma

2

2

20n

d x dxx

dt dt

En donde / m y 2 / .n k m

Una solución es de la forma:

( ) ( )t

dx t Ae sen t

en donde A es la amplitud sin amortiguar, d es la frecuencia angular amortiguada y

es una constante positiva denominada constante de amortiguamiento.

Para hallar y d reemplazando x(t) en la ecuación diferencial obtenemos:

1

2

2 2 2 2 2 21

4d n n n

La solución es:

/ 2( ) ( )t

dx t Ae sen t


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En donde 2 21

4d n y la amplitud A y el ángulo de fase son constantes

arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales.

Figura 6.

5. MOVIMIENTO FORZADO

A veces el oscilador amortiguándose encuentra sometido también a una fuerza

impulsora periódica externa que impide la disminución de las oscilaciones, o incluso actúa incrementando su amplitud, como sucede en el caso de los relojes accionados eléctricamente, juguetes y relojes accionados por una cuerda mecánica, tropas en

marcha rítmica sobre un puente o los impulsos que se dan en un columpio. Si

representamos la fuerza por 0 FF F sen t= w , siendo F la frecuencia de la fuerza, la

ecuación del movimiento correspondiente a f0 = F0/m se transforma en

2

2

02 n F

d x dxx F sen t

dt dt

Cuando se resuelve esta ecuación, suponiendo que el oscilador esta subamortiguado,

resulta que la respuesta del sistema a la fuerza impulsora se compone de dos


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movimientos, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera corresponde a la oscilación armónica libre y subamortiguada de frecuencia d que se

anula con el tiempo; la segunda corresponde a una oscilación forzada que continua con amplitud constante y con la frecuencia F de la fuerza impulsora.

La solución general de la ecuación diferencial anterior es:

t / 2

d F F Fx(t) Ae sen( t ) A sen( t )- m= w + f + w + f

en donde AF es la amplitud de las oscilaciones estacionarias forzadas, no es arbitraria sino que puede determinarse sustituyendo en la ecuación diferencial. Como el termino

transitorio no contribuye a AF, obtenemos:

0F 2 2 2 2

n F n

fA

( )=

w - w + mw

La diferencia de fase o desplazamiento de fase F, entre la fuerza impulsora y el

desplazamiento estacionario es

FF 2 2

F n

arctg 0mw

- p £ f = £w - w

lo cual implica que el desplazamiento no estará exactamente sincronizado con la

fuerza, sino desfasado en un ángulo constante. Obsérvese que AF y F no son

arbitrarias, sino que quedan determinadas por las condiciones físicas.

6. RESONANCIA MECÁNICA

La respuesta del oscilador es un máximo cuando la amplitud AF(F) posee su valor más

grande. Este fenómeno, conocido como resonancia, aparece a frecuencias

2 212F res nw = w = w - m

La figura muestra a AF y F como valores de F/n para 110n nym= w m= w . En el

caso de valores extremos de F, la fuerza impulsora y la velocidad de oscilación son

paralelas únicamente una parte del tiempo, durante el cual la fuerza realiza trabajo positivo. Sin embargo cuando la frecuencia impulsora se aproxima gradualmente a la

frecuencia natural, la diferencia de fases entre la fuerza y la velocidad disminuye rápidamente y la amplitud alcanza un máximo valor en la resonancia, res nw = w


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Figura 7.

7. PREGUNTAS

1. El análisis del MAS de este capitulo ignoro la masa del resorte. ¿Cómo cambia esta masa las características del movimiento?

2. Diga que debe Ud. hacer a la longitud del hilo de un péndulo simple para:

a) Duplicar su frecuencia b) Duplicar su periodo c) Duplicar su frecuencia angular.

3. Si un reloj de péndulo se sube a la cima de una montaña, ¿se adelanta o se

atrasa, suponiendo que marca la hora correcta a menor altura? Explique.

4. ¿En que punto del movimiento de un péndulo simple es máxima la tensión en el hilo? ¿Y mínima? Explique su razonamiento.


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5. Al diseñar estructura en una región propensa a terremotos, ¿Qué relación debe haber entre frecuencias de oscilación naturales de una estructura y las frecuencias de un terremoto común?¿La estructura debe tener mucha o poca amortiguación?

8. EJERCICIOS

1. Un oscilador armónico simple de 5 g tiene un periodo de 0,6 s y una amplitud de 18 cm. Hallar el ángulo de fase, la velocidad y la fuerza aceleradora en el instante en que el desplazamiento del oscilador es de -9 cm.

2. Una nadadora de masa m esta sobre una balanza situada en el extremo de

una palanca de salto, que ella ha puesto previamente en movimiento armónico simple con frecuencia angular y amplitud A = ym.

a) ¿Cuál es la lectura de la balanza? b) ¿En qué condiciones se verá lanzada la nadadora de la palanca? ¿La

frecuencia?

3. Una masa de 150 g situada en el extremo de un resorte horizontal se ve desplazada 3 cm hacia la izquierda de la posición de equilibrio mediante una fuerza de de 60 N. a) Hallar la frecuencia natural angular n.

b) Hallar la amplitud del movimiento subsiguientesi se dejase de repente en libertad la masa.

c) ¿Cuáles serán la posición y velocidad de la masa 10 s después de haber quedado libre?

4. Una caja de hierro fundido se esta moviendo horizontalmente con

movimiento armónico simple. Un bloque de acero que esta apoyado dentro del cajón empieza a deslizar cuando la frecuencia es f = 0,4 Hz y la amplitud es A = 0,3 m. ¿Cuál es el coeficiente estático entre ambos materiales?

5. Un oscilador armónico simple de masa 0,8 kg y frecuencia 10/3 Hz se pone en movimiento con una energía cinética inicial K0 = 0,2 J y una energía potencial inicial U0 = 0,8 J. Calcular: a) Su posición inicial b) Su velocidad inicial c) ¿Cuál es la amplitud de oscilación? d) ¿La velocidad máxima? e) Hallar el desplazamiento en el momento en que las energías cinética y

potencial son iguales

6. Un cohete que posee un empuje igual a cinco veces su peso está equipado con un reloj de péndulo vertical. Se dispara el cohete en el instante t = 0 y se eleva verticalmente. Después de 5 s se agota el combustible. ¿Cuál es el tiempo leído en dicho reloj de péndulo si un reloj semejante en el suelo marca 15 s?


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7. Calcule la longitud de un péndulo simple que realiza 100 oscilaciones completas en 55,0 s en lugar donde g = 9,8 m/s2.

8. Un péndulo simple de 3,00 m de largo oscila con un desplazamiento angular

máximo de 0,4 rad. a) Calcule su rapidez lineal v en su punto más bajo. b) Calcule su aceleración lineal a en los extremos de su movimiento.

9. Un péndulo simple de 0,55 m de largo se mueve 7º a un lado y se suelta.

¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su rapidez máxima?

10. Una manzana pesa 1N. si la colgamos del extremo de un resorte largo con k = 2 N/m y masa insignificante, rebota verticalmente con un MAS. Si tenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ángulo pequeño, la frecuencia de este movimiento es la mitad de la del movimiento de rebote. ¿Qué longitud tiene el resorte no estirado?

11. Una llave inglesa de 1,5 kg pivota en un extremo y oscila como un péndulo

físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de 0,82 s, y el pivote esta a 0,3 m del centrote masa. a) ¿Qué momento de inercia tiene la llave respecto a un eje que pasa por

el pivote? b) Si la llave inicialmente se desplaza 0,6 rad de la posición de equilibrio,

¿Qué velocidad angular tiene al pasar por dicha posición?

12. Un adorno navideño con forma de esfera sólida de masa M = 0,015 kg y radio R = 0,05 m se cuelga de una rama un trozo de alambre unido a la superficie de lña esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como un péndulo físico. Calcule su periodo (Ignore la fricción en el pivote. EL momento de inercia de esfera respecto al pivote en la rama es 7MR2/5)

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