Movimiento Oscilatorio

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F Í S I C A 2 MOVIMIENTO 0SCILATORIO

Autor: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez

Trujillo-2015

BENEDICTO XVI

MOVIMIENTO OSCILATORIO

2

3

¿Por qué el puente Franjo Tudjman (Duvrobnik) tiene amortiguadores?


INTRODUCCIÓN: En la naturaleza encontramos diversas formas de movimiento mecánico, pero una de las que se encuentra ampliamente difundida en nuestro entorno es el movimiento vibratorio u oscilatorio. Un ejemplo directo de este tipo de movimiento puede ser el vaivén de un péndulo, el vaivén de las ramas de un árbol por acción del tiempo, las vibraciones de las cuerdas de una guitarra, de nuestras cuerdas vocales, cuando hablamos. Existen oscilaciones de otra naturaleza, en las ondas electromagnéticas los vectores de campo eléctrico y magnético oscilan, en los circuitos eléctricos se pueden tener voltajes y corrientes oscilantes; a las vibraciones de los átomos y moléculas en sólido .

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Algunas aplicaciones y usos del Movimiento Oscilatorio La oscilación forzada del pistón sobre el cilindro del motor del

automóvil. Las oscilaciones de los electrones en los cables conductores

derivados a un osciloscopio se muestran la razón de denominarse corriente alterna.

Las oscilaciones de las partículas de un sólido que ha sido golpeado.

En medicina, la respuesta de nuestro corazón o cabeza a ciertos estímulos eléctricos, registran señales vibratorios en una pantalla,placa o papel(electrocardiogramas, electroencefalogramas), que sirven para realizar análisis y diagnóstico clínico.

Empezaremos nuestro estudio con las oscilaciones mecánicas.

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Movimiento Oscilatorio :Una partícula de masa «m» se dice que se encuentra en movimiento oscilatorio, si se describe con movimiento periódico, respecto de un punto, o posición de equilibrio estable.

Un sistema se encuentra en un movimiento periódico, cuando su estado se repite en intervalo de tiempo regulares.

Al período también se le suele definir como el mínimo intervalo de tiempo que debe transcurrir para que el movimiento de un cuerpo se repita en las mismas condiciones, es decir se encuentre en la misma posición, con la misma rapidez y moviéndose en la misma dirección.

En la mecánica clásica, el estado del movimiento de la partícula queda determinado por la posición y velocidad.

6


7

Ejemplo 1.


Ejemplo 2. El movimiento de una pequeña masa atada al extremo de un hilo inextensible, (péndulo simple) de la Fig. 2.

θ -θ

Ejemplo 3. El movimiento de una barra suspendida de un punto lejos de su Centro de Gravedad, (péndulo físico) de la Fig. 3.

A

θ

A´

Figura 3

8

A´ A

O Figura 2

Posición extrema

Posición extrema

Posición extrema

Posición extrema


Ejemplo 4. El movimiento de rotación parcial de un disco suspendido de un hilo o varilla delgada de metal (péndulo de torsión) Fig.4.

Ejemplo 5. El movimiento de los puntos de una cuerda templada respecto a la posición de equi-librio, Fig.5.

• • •

Figura 5.

• • • • •

• •

9

Figura 4

θ

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO


Oscilación o vibración. Es el recorrido de ida y vuelta que realiza el móvil oscilante pasando por las dos posiciones extremas.

Período ( T ). Es el tiempo que demora el móvil oscilante en realizar una oscilación completa. Se mide en segundos.

Frecuencia ( f ). Es el el número de oscilaciones que realiza el móvil oscilante en la unidad de tiempo. Se mide en Oscil/s, Vibrac/s, Ciclos/s o Hertz: Hz .

La frecuencia y el período se relacionan en forma inversa.

f = 1 / T (1)

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Elongación (lineal o angular). Es el desplazamiento del móvil oscilante respecto a la posición de equilibrio en cualquier instante.


Amplitud (lineal o angular). Es la máxima elongación lineal (xm = A) o máxima elongación angular (

θm ) que se desplaza el

móvil oscilante a uno y otro lado de la posición de equilibrio.

Elongación angular

θ(t)

O

θm

B´ B

Figura 7.

O A - A

X

Elongación lineal

Figura 6.

x (t) •

El desplazamiento lineal se representa por x(t), (Fig.6), se mide en m y el desplazamiento angular por ¸ (t), (Fig.7), se mide en rad.

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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)


El estudio dinámico del MAS se hace utilizando un OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE (OAS), consistente de una masa m atada al extremo libre de un resorte de constante elástica k como en la Fig.8

El MAS es el modelo más adecuado para el estudio y descripción matemática de las diversas oscilaciones periódicas que existen en la naturaleza.

Las oscilaciones se inician cuando el resorte es estirado o comprimido una distancia x = ± A, mediante una fuerza externa F aplicada sobre m. Al cesar la fuerza externa F queda la fuerza recuperadora F´ del resorte que mueve la masa hacia la posición de equilibrio x = 0.

Figura 8.

- A + A o

m k -F

F

12

Por la ley de Hooke, la fuerza deformadora F es directamente proporcional a la deformación x


F = k x (2)

Y como la fuerza recuperadora F´ es de igual módulo pero de sentido opuesto a la fuerza deformadora (Fig.9) entonces:

F´ = – k x (3)

La fuerza recuperadora acelera la masa hacia la posición de equilibrio, incrementando su velocidad desde cero en x = ± A, hasta alcanzar un valor máximo en la posición de equilibrio x = 0.

x

F

Según esta ecuación, la fuerza recuperadora es máxima en los extremos (x = ± A) y es cero en la posición de equilibrio (x = 0)

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Figura 9.

k m

o

F´

ECUACIÓN BÁSICA DEL MAS


La ecuación dinámica básica del MAS se obtiene aplicando las leyes de Newton al Oscilador Armónico Simple (OAS).

F´ = m a = – k x

m = – k x d2x

d t2

que puede escribirse en la forma: = – x d2x

d t2 (4)

k

m

Como ya indicamos, en el OAS, la fuerza recuperadora F´ = - k x es la responsable del movimiento de la masa hacia la posición de equilibrio. Entonces aplicando la segunda ley de Newton, a la Fig.10, se tiene:

14

k m

x

F´

Figura 10

o

http://www.youtube.com/watch?v=SflEz0S3sKE&NR=1

Esta es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con

coeficientes constantes ,cuya solución es una función del tipo x(t).


15

22

20

d xx

dtω+ =

( ) 1 2i t i tx t c e c eω ω−= +

Por lo tanto, la función matemática que describe el MAS debe ser del tipo

x = A sen (ωo t + α ) x = B cos (ωo t + α ) o


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RELACIÓN ENTRE EL MAS Y EL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME

Los parámetros posición (x), velocidad(V) y aceleración (a); pueden deducirse fácilmente proyectando el Movimiento Circunferencial Uniforme sobre una línea paralela a su diámetro


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Consideraciones Iniciales: Para medir el desplazamiento angular, se puede tomar los extremos o la posición de equilibrio. Según esto la ecuación de la elongación puede ser senoidal o cosenoidal


18


19


20


21

V

El gráfico de las funciones seno o coseno son similares a la curva que describe un OAS sobre una cinta de papel que se desplaza con velocidad constante frente a la masa oscilante, como se ilustra en la Fig.11.


t

x

A

-A

0

Una oscilación

Figura 11. Gráfico experimental descrito por un oscilador armónico similar al gráfico de la función SENO o COSENO

22

T/4 T/2 3T/4 2T T

m


Donde : A , es la amplitud del MAS

(ωo t + α), es la fase del MAS y se expresa en rad

ωo , es la frecuencia angular del MAS y se mide en rad/s

Si el ángulo de desfasaje, o fase inicial se mide respecto a la equilibrio(P.E) la ecuación adopta la forma

(5) x = A sen (ωo t + α )

α , es la fase inicial del MAS y se mide en rad

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La fase inicial α es la cantidad que nos permite medir las os-cilaciones desde cualquier posición e instante iniciales en la trayectoria del MAS. Si consideramos que en to = 0 la posición inicial de la partícula oscilante es xo, podemos usar estos valores iniciales en la Ec.(5) y obtener:

De donde la fase inicial es: α = sen-1(xo/A) (7)

xo = A sen α

La frecuencia angular se define como

ωo = 2 π f = 2 π

T (6)

xo = A sen (ωo (0) + α )

24


VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN. Verifiquemos que la función x = A sen (ωot + α) efectivamente satisface la ecuación diferencial del MAS, (Ec.4).

Derivando la función x(t) respecto al tiempo dos veces se tiene:

= ωo A cos (ωo t + α) d x d t

= – (ωo)2 A sen (ωo t + α) d2 x d t2

y

= – x d2xd t2

km

Remplazando en la ecuación diferencial obtenemos:

– (ωo)2 A sen (ωo t + α) = – A sen (ωo t + α) km

25


Esta igualdad se cumple siempre que

(ωo)2 = km

(8)

De donde la frecuencia angular del MAS de un Oscilador Armónico simple es

(9) ωo = km

El período es

(11) T = = 2 π 2πωo

mk

La frecuencia lineal es

(10) f = = ωo 2π

1 2 π

km

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Usando la Ec.(7) podemos escribir la ecuación diferencial del MAS en la forma

= - x d2x

d t2 (ωo)2 (12)

Velocidad del MAS. La velocidad instantánea del MAS se defi-ne como la derivada de la posición respecto al tiempo.

Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima velocidad del MAS .

V = d x d t

Vm = ωo A (14)

V = ωo A cos (ωo t + α) (13)

27


Si usamos la identidad trigonométrica : sen2φ + cos2 φ = 1, obtenemos:

cos φ = 1 – sen2 φ Aplicando esta relación en la Ec.(12) de la velocidad se tiene:

28

v = ωo A2 – x2

V = ωo A 1 – sen2 (ωo t + α) = ωo A2 – A2 sen2 (ωo t + α)

(15)

Según esta ecuación la velocidad depende de la posición del móvil oscilante.

v = ωo A2 – 02 v =

ωo A =

vm

En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:

En x =

A ( posición extrema)

v = ωo A2 – A2 v = 0


v = 0 v = 0

-A +A o

x

Figura 12.

En la Fig. 12 se muestran las posiciones donde la velocidad es máxima y donde es cero.

- vm

+ vm

Aceleración del MAS. La aceleración instantánea del MAS se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

d v d t a =

a = – (ωo)2 A sen (ωo t + α) (16)

am = (ωo)2 A (17)

Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima aceleración del MAS

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x = A sen (ωo t + α )

Estos resultados nos indican que la aceleración del MAS es cero en la posición de equilibrio y es máxima en las posi-ciones extremas.

En la Ec.(15) podemos usar la función

En esta ecuación, el signo menos ( - ) indica que la aceleración siempre es opuesta al desplazamiento y depende de éste.

En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que: a = – ( ωo )2 (0) = 0

En x =

A ( posición extrema)

a = – ( ωo )2 A

a = – ( ωo )2 x (18) y entonces:

30


a = 0

– A +A o

x

Figura 13.

En la Fig. 13 se muestra las posiciones donde la aceleración es cero y es máxima.

+am – am

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Es importante resaltar que, los vectores desplazamiento x(t) velocidad v(t) y aceleración a(t) pueden graficarse en el mismo instante a fin de saber que dirección tienen y como se mueve la partícula oscilante. Observe los siguientes esquemas de las Fig.14 y Fig.15

-A +A o

x •

v

– a Figura 14. Para esta partícula que se mueve hacia el extremo +A, los vectores posición x(t) y velocidad v(t) tienen la misma dirección pero son opuestos al vector aceleración a(t)


-A +A o •

x v

– a

32

Figura 15. Para esta partícula que se mueve hacia el extremo -A, el vector posición x(t) es opuesto con los vectores velocidad v(t) y aceleración a(t)


33

Ejemplo 1. Una masa de 20,0 g oscila con MAS atada al extremo libre de un resorte de constante elástica k = 70,0 N/m. Las oscilaciones se empiezan a contar en t = 0, cuando el desplazamiento de la masa es de 3,0 cm y su velocidad es – 1,32 m/s. Calcular: a) la frecuencia angular, b) la fase inicial, c) la amplitud y d) la ecuación del MAS que realiza la masa.

Datos: m = 20,0 g = 2,00x10-2 kg, k = 70,0 N/m, en to = 0, xo = 3,0x10-2 m y vo = – 1,32 m/s

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1


Solución.

a) La frecuencia angular se obtiene usando

ωo = km =

70,0 2,00x10-2

ωo = 59,16 rad/s

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b) La fase inicial se obtiene usando los valores de la frecuencia angular y los valores iniciales de xo y vo en to = 0, en las ecuaciones: de la elongación: x = A sen (ωo t + α), obteniendo

3,0x10-2 = A sen [59,16 (0) + α]

y de la velocidad: v = ωo A cos (ωo t + α), obteniendo

– 1,32 = (59,16) A cos [59,16(0) + α]

A sen α = 3,0x10-2 (i)

A cos α = – 2.23x10-2 (ii)


Dividiendo miembro a miembro las relaciones (i) y (ii) se tiene

A cos α – 2,23x10-2

A sen α 3,0x10-2 =

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Simplificando obtenemos Tan α = – 1,345291480

De donde α = 2,21 rad c) La amplitud se obtiene elevando al cuadrado (i) y (ii), y luego

sumándolas. A2 sen2 α = 9,0x10-4

A2 cos2 α = 4,97x10-4

A2 (sen2 α + cos2 α ) = 13,97x10-4

A2 = 13,97x10-4

A ≅

3,74x10-2 m


x = 3,74x10-2 sen (59,16 t +2,21 ) m

Usando los valores de las constantes obtenidas, la Ecuación del MAS es entonces

d)

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Ejemplo 2. En la Fig.16 se tiene un gráfico de la velocidad versus el tiempo de una partícula de 9 g que oscila con MAS. Hallar en t = 1.60 s: a) la posición, b) la velocidad y c) la aceleración

Datos: m = 9 g = 9x10-3 kg, t = 1.60 s y del gráfico T = 8x10-2 s

t [s] 10-2

2 4 6 8

– 10

V [m/s]

+ 10

0

– 8

Figura 16

En primer lugar debemos definir las funciones x(t), V(t) y a(t), usando los datos del gráfico.

Solución:

T

1 oscilación


En el gráfico de la Fig. 16, vemos que una oscilación se realiza en un tiempo T = 8x10-2 s, que es el período del MAS.

37

Por lo tanto la frecuencia angular del MAS es ωo = 2 π / T = 2 π / 8x10-2 ωo = 25 π rad/s

En el gráfico también vemos que la velocidad máxima es:

vm =

10 m/s.

vm = ωo A 10 = 25 π A A = m 0,4

π

Usando este valor y el de la frecuencia angular en la ecuación

vm = ωo A

Obtenemos el valor de la amplitud de las oscilaciones

Finalmente en la figura vemos que las condiciones iniciales son: vo = – 8 m/s, en t = 0


Usando estas condiciones iniciales y los valores de los otros parámetros en la ecuación de la velocidad, podemos calcular la fase inicial del MAS

v = ωo A cos (ωo t + α) – 8 = 25 π ( ) cos [25 π (0) + α] 0,4

π

Finalmente la ecuación completa de la posición de la partícula oscilante en cualquier instante es

X = sen (25 π t + 2,4981) m 0,4 π

α = cos-1 (0,80) = 2,498091545

cos α = – 0,80 de donde

Considerando solamente 4 decimales: α ≅ 2,4981 rad

38


x = 0,076 m = 7,6 cm

b) La velocidad es: v = (25 π)( ) cos (25 π t + 2,4981) 0,4 π

c) La aceleración es: a = –(25 π) (10) sen (25 π t + 2,4981)

a = – 250 π sen (25 π (1,60) + 2,4981) a = – 471,23 m/s2

v = 10 cos (25 π (1,60) + 2,4981) v = – 8.00 m/s

Ahora damos calculamos x, V y a en t = 1,60 s

a) La posición es: x = sen (25 π (1,60) + 2,4981) 0,4 π

39

v = 10 cos (25 π t + 2,4981)

Ejemplo 3. El oscilador armónico de la Fig. 17 consiste de una masa de 1.6 kg y un resorte de constante elástica 3.2x103 N/m. La masa es separada de su posición de equilibrio una distancia xo = 9 cm y luego es dejada libre para que oscile sobre una superficie sin fricción. Hallar: a) la ecuación que permita calcular la posición de la masa en cualquier instante, b) el período, c) la frecuencia en osc/s. Luego en t = 0.1 s calcular, d) la posición, e) la velocidad y f) la aceleración de la masa oscilante.


Datos:

m = 1.6 kg, k = 3.2x103 N/m, xo = 0.09 m que es la posición inicial y a su vez la amplitud del MAS, A = 0.09 m.

m k

xo = A

F

Figura 17.

40

Solución:


a) La ecuación de la posición es: x = A sen (ωo t + α )

ωo = k

m

Donde la frecuencia angular se obtiene de

= 3.2x103

1.6

ωo = 44.7 rad/s

y usando las condiciones iniciales t = 0, x0 = 0.09 [m] en la ecuación de la posición se tiene:

0.09 = 0.09 sen [44.7(0) + α]

Sen α = 1 α = π/2 rad Finalmente: x = 0.09 sen (44.7 t + π/2 ) m ó x = 0.09 cos (44.7 t ) m

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b) El período se obtiene con


T = = 2π

ωo

2π

44.7 T = 0.14 s

c) La frecuencia es

f = = 1

T

1

0.14 f = 7.14 osci/s

Ahora en t = 0.1 s

d) La posición lo calculamos con la ecuación obtenida en (a)

x = 0.09 cos [44.7 (0.1)]

x = - 0.022 m e) La velocidad se obtiene con

v = dx/dt = - 4.023 sen (44.7 t) m/s

42

Usando valores


v = - 4.023 sen [44.7 (0.1)] v = 3.90 [m/s]

f) La aceleración se obtiene con a = dv/dt = - 179.83 cos (44.7 t ) m/s2

a = - 179.83 cos [44.7 (0.1) ] a = 43.16 m/s2

43

Ejemplo 4. En la Fig. 18 se tiene un bloque A que, atado al extre-mo libre de un resorte, oscila con MAS sobre una superficie hori-zontal liza con un período de 0,50 s. Si sobre A colocamos un bloque B y si sabemos que el coeficiente de fricción estático entre los dos bloques es 0,5 ¿cuál es la máxima amplitud que puede tener el sistema para que el bloque B no se deslice?

Datos: A

Figura 18

B

T = 0,50 s ωo = 2π/0,50 = 4 π rad/s, µs = 0,5

Solución.


44

En este problema hay que usar la aceleración del bloque B por reali-zar un MAS y las leyes de Newton por estar sujeto a fricción con A. En el MAS la aceleración está definida por la ecuación:

a = – (ωo)2 A sen (ωo t + α)

Donde la máxima aceleración es: am = (ωo)2 A (I)

Por otra parte, en el D.C.L (Fig.19) del bloque B, vemos que cuando se mue-ve hacia la derecha con velocidad v, la aceleración a del MAS es hacia la izquierda en el mismo sentido que la fuerza de fricción f. Por lo tanto, aplicando las leyes de Newton se tiene:

ΣFx = -f = - m a (II) y ΣFy = N – mg = 0 (III)

X

Y B

Figura 19

N

mg

v a

f

De (III) se tiene: N = mg y como f = µs N, entonces f = µs mg


45

Usando esta relación en (II) se tiene: µs mg = m a Simplificando la masa y usando (I) se tiene: µs g = (ωo)2

A

De donde la máxima amplitud es: µs g (ωo)2

Am =

Usando valores: (0,5)(9,81)

(4 π)2

Am = Am = 0,031 m = 3,1 cm

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE


Considerando que el oscilador armónico es un sistema conservativo la energía mecánica total es constante y esta dada por la suma de la energía la energía cinética y la energía potencial.

E = Ek + Ep = constante (19)

Donde la Energía Cinética del MAS es

ó Ek = ½ m (ωo)2 (A2 – x2) = ½ k (A2 – x2) (21)

Ek = ½ m v2 = ½ m (ωo)2 A2 cos2 (ωot + α ) (20)

46

y la Energía Potencial del MAS es

Ep = ½ k x2 = ½ m (ωo)2 A2 sen2 (ωot + α ) (22)

(23) Ep = ½ m (ωo)2 x2 ó

http://www.youtube.com/watch?v=H6be43Xfvs8&feature=related


Por lo tanto la energía mecánica total se puede expresar en la forma E = ½ k (A2 – x2 ) + ½ k x2

Esto significa que durante una oscilación la partícula intercambia continuamente energía cinética y energía potencial, de forma tal que la suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante, tal como se ilustra en las Fig.20 y Fig.21.

E = ½ k A2 = ½ m (ωo)2 A2 = constante (24)

47

E = Ek + Ep = constante

E k

E p

x

Ep(t)

Ek(t)

E

X +A - A

Figura 20.

E

½ k A2

t

Figura 21.

T/2 T


Ejemplo 5. Una partícula de masa 90 g oscila con MAS de frecuencia 4 vib/s y amplitud 10.0 cm. En t = 0, la partícula está en x = 4.0 cm. Calcular en t = 15.2 s: a) la posición, b) la velocidad, c) la aceleración, d) la energía potencial, e) la energía cinética y f) la energía total de la masa oscilante. Datos: m = 0.090 kg, f = 4 vib/s, A = 0.10 m y las condiciones iniciales son en t = 0, x = 0.04 m. Solución: a) La posición está definida por: x = A sen (ωo t + α )

Donde: ωo = 2πf = 2π(4) ωo = 8π rad/s

Reemplazando en la ecuación de la posición los datos calculados y las condiciones iníciales se tiene

0.04 = 0.10 sen [8π(0) + α ] sen α = 0.40 α = 0.412 rad

48


Por lo tanto, la ecuación de la posición completamente definida es

x = 0.10 sen (8 π t + 0.412) m

Ahora en t = 15.2 s x = 0.10 sen[8 π (15.2) + 0.412] x = - 0.075 m = - 7.5 cm

b) La velocidad esta definida por: v = dx/dt v = 0.80 π cos (8 π t + 0.412) m/s

En t = 15.2 s

v = 0.80 π cos[8 π (15.2) + 0.412] v = 1.67 m/s

c) La aceleración está definida por: a = d2x/dt2

a = - 6.40 π2 sen (8 π t + 0.412) m/s2 En t = 15.2 s

a = 47.23 m/s2 a = - 6.40 π2 sen [8 π(15.2) + 0.412]

49


d) La energía potencial está definida por: Ep = ½ m (ωo)2 x2

Según (a), en t = 15.2 s, x = - 0.075 m, entonces

Ep = ½ (0.090)(8π)2(- 0.075)2 Ep = 0.16 J

e) La energía cinética está definida por: Ek = ½ mv2

Según (b), en t = 15.2 s, v = 1.67 m/s, entonces

Ek = ½ (0.090)(1.67)2 Ek = 0.13 J

f) La energía total está definida por: E = Ep + Ek

E = 0.16 + 0.13 = 0.29 J

Entonces

50


Datos:

m = 2.0 kg, A = 0.12 m, en x = 0.07 m su Ek = 0.380 J

Ejemplo 6. Una masa de 2.0 kg atada al extremo de un resorte realiza MAS de amplitud 12 cm. Cuando su desplazamiento es 7 cm su energía cinética es 0.380 J. Calcular: a) la velocidad en tal posición, b) la constante elástica del resorte, c) el período de oscilación y d) la energía total del sistema.

Solución: a) La velocidad se obtiene de: Ek = ½ m v2

v = 0.616 m/s v = 2Ek

m =

2(0.380)

2.0

51


d) La energía total del sistema es : E = ½ k A2

E = ½ (80.0)(0.12)2 E = 0.576 J

b) La constante elástica se obtiene de: Ek = ½ k (A2 – x2)

k = 2Ek

(A2 – x2) =

2(0.380)

(0.122 – 0.072) k = 80.0 N/m

T = 2π 2.0 80.0 T = 0.99 s

52

M k

c) El período de oscilación es : T = 2π


1) Superponer o componer dos MAS de igual frecuencia e igual dirección : ,


53

1x Asen tω= ( )2x Bsen tω δ= +

2) Superponer o componer dos MAS de igual frecuencia en direcciones perpendiculares : , .Analizar para los siguientes casos a) b) cuando y

x Asen tω= ( )y Bsen tω δ= +0ºδ = 90ºδ = A B≠ A B=

3) Componer los siguientes MAS y escribir la ecuación del MAS resultante : , ( )1 2 5 / 4x sen tω π= + ( )2 5 5 / 3x sen tω π= +4) Componer los siguientes MAS y escribir la ecuación del MAS resultante : , ( )1 2 3 / 6x sen t π= − ( )2 4 3 / 4x sen t π= +

5) Determine la amplitud y la fase de la suma de dos MAS ,de igual frecuencia, amplitud y dirección , cuyas diferencias de fases son a)0º b)30º c) 45º d) 60º e) 90º f)120º g)135º h) 150º i)180º


6. Superponer o componer dos MAS de igual dirección, diferente frecuencia y amplitud; si , a)¿El movimiento resultante es un MAS?. Justifique su respuesta b) Analizar para el caso

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1 1 1x A sen tω= 2 2 2x A sen tω=

1 2A A=


1.Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43,2 N/m y describe un MAS de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar: a)Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. b)Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. c) Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.


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2.Un cuerpo de masa 2 kg está unido a un muelle horizontal de constante k = 5N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0.Hallar a)La frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del MAS. b)¿Cuál es la velocidad y aceleración máxima? c)¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio?

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3.Un resorte horizontal tiene una constante recuperadora de 48N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0,75 kg y se estira el resorte 0,2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar: a)El período de la oscilación b) La ecuación del MAS


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c)El(los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x = -0,1 m, después de haber pasado por el origen. d)Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s) 3.Hallar el período de oscilación de un bloque de masa M= 250 g unido a los dos muelles elásticos de la figura. Se supone que no hay rozamiento

4. Un muelle elástico de constante 0,4 N/m está unido a una masa de 25 g En el instante inicial su posición es x= 5cm y su velocidad cm/s.Calcular: a)El período de la oscilación

20 3v = −


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b)Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS c)Los valores de la energía cinética, potencial y total en la posición x=0.El (los) instantes en que el móvil pasa por la citada posición. 5.Una partícula de 200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un MAS, siendo la frecuencia angular 100 rad/s. Sabemos que en el instante t=0, la posición inicial es cm y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s. a)Escribir la ecuación del MAS y graficar b)Deducir la fórmula del período de la oscilación de una masa «m» unida a un muelle de constante k c)Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento d)Para qué valores de x y t la energía potencial es máxima y mínima

0,5 3−


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6.Una partícula cuya masa es de 0,5 kg se mueve con MAS. Su período es de 0,15 s y la amplitud de su movimiento es de 10 cm. Hallar a) la aceleración b) la fuerza c) la energía potencial d) la energía cinética cuando la partícula está a 5 cm de la posición de equilibrio. Desprecie rozamiento. 7. La fase inicial de un MAS es igual a cero. Cuando la elongación del punto es 2,4 cm su velocidad es igual a 3 cm/s y cuando dicha elongación es de 2,8 cm, la velocidad es igual a 2 cm/s. Hallar la amplitud y el período de esta vibración. 8. Encontrar la frecuencia angular de

oscilación del sistema masa – resorte cuando está en conjunto, acelerado horizontalmente con valor constante tal como se muestra en la figura. Fundamente su respuesta.


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PÉNDULO SIMPLE


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PÉNDULO SIMPLE


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4 1.Un péndulo oscila en un plano vertical con el período de 2,0 s .Al aumentar la longitud de la cuerda en 25 cm, el nuevo período es de 3,0 s .¿Cuál es la longitud inicial de la cuerda? Rpta: 20 cm

2.Un péndulo de longitud 5 m oscila en un plano vertical , se encuentra suspendido en el techo de un carro. Si el móvil acelera horizontalmente con , determinar el período de oscilación. ( ) Rpta:

210 3 /a m s=210 /g m s= T sπ=

3.Se tiene un péndulo que bate segundos. a)¿Cuál es su longitud aproximada si ? Rpta: L = 1m

b)Si este péndulo fuera llevado a un lugar donde la aceleración de la gravedad fuera la cuarta parte de la Tierra. ¿Cuál sería su nuevo período de oscilación? Rpta: 4 s

2 9,8π ≈


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PÉNDULO FÍSICO


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 5 1.Un anillo de 0,10 m de radio está suspendido de una varilla, como se ilustra en la figura, determinar su período de oscilación. Rpta: T =0,88 s

2.En una caminata normal, las piernas del ser humano o del animal oscilan libremente más o menos como un péndulo físico. Esta observación ha permitido a los científicos estimar la velocidad a la cual las criaturas extintas tales como los dinosaurios viajaban.Si una jirafa tiene una longitud de piernas de 1,8 m y una longitud del paso de 1 m, qué estimaría usted para el período de oscilación de la pierna? Rpta : T=2,2 s ¿Cuál sería su velocidad al caminar? Rpta: 0,46 m/s


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PÉNDULO DE TORSIÓN Es un mecanismo que consiste en un disco u otro objeto con un momento grande de inercia puede girar en uno y otro sentido al extremo de una barra de suspensión .


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EJERCICIO DE APLICACIÓN 6


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Definimos a la constante de tiempo o decaimiento temporal como: Luego la solución viene dado por:

m

bτ =

( )2(t) Ae cost

x tτ ω δ−

= +

Debido a que la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, la energía de un oscilador amortiguado, también decrece exponencialmente con el tiempo (*) Un oscilador amortiguado a menudo se describe por su factor de calidad Q

( )2

2 2 2 20 0 0

1 1

2 2

t t

E m A t m Ae E eτ τω ω− −

= = =

0 0

mQ

bω τ ω= =


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Podemos relacionar Q a la pérdida de energía fraccional por ciclo diferenciando la ecuación (*), obtenemos: Si la pérdida de energía por período es pequeña, podemos reemplazar dE por y dt por el período T. Luego en un período viene dado por:

0

1 1t

dE E e dt Edtτ

τ τ−

= − = −

E∆E

E

∆

0

2 2E T

E Q

π πτ ω τ

∆= = =

2

ciclo

QE

E

π= ∆


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DECREMENTO LOGARÍTMICO : Es el logaritmo de la relación entre dos valores sucesivos de la amplitud separados entre si por un tiempo igual a un período T

( )ξ

121

bt

mx Ae−

= 222

bt

mx Ae−

=( )2 11 2 2

2

b bt t T

m mxe e

x

−= =

1

2

ln2

x bT

x mξ

= =

Se define al decremento logarítmico

1

ln2

n

n

x bT

x mξ

+

= =


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 7 1. Hallar la constante de amortiguamiento, si el periodo de las oscilaciones amortiguadas de una masa de 0,5 kg , unida a un resorte es de 0,2s , sabiendo que una masa de 1 kg estira al resorte 2,5 cm.

2.Una masa de 10 kg se cuelga de un resorte vertical el que se estira 2,5 cm . El peso se empuja 10 cm hacia abajo y se abandona. Hallar la posición del peso en cualquier tiempo, si una fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual a 4 veces la velocidad instantánea con que está actuando. 3.Un movimiento oscilatorio amortiguado tiene una frecuencia que es del 5% menor que su frecuencia sin amortiguamiento. Hallar el factor que reduce la amplitud en cada ciclo b) El factor que reduce la energía en cada ciclo


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4. El periodo de las oscilaciones amortiguadas de una masa de 1 kg unida a un resorte es de 0,5 s. Si la masa de 1 kg estira al resorte 5 cm. Hallar la constante de amortiguamiento

5. El periodo de amortiguación de una vibración es de 4 s, su decremento logarítmico es 1,6 y la fase inicial es igual a cero. La elongación del punto cuando t=T/4 es de 4,5 cm . Escribir la ecuación de este movimiento vibratorio suponiéndola de la forma ( )tx Ce sen tγ ω ϕ−= +

6. Un peso de 20 lbf se cuelga de un resorte vertical el que se estira entonces 2 pies. El peso se empuja 5 pies hacia abajo y se abandona. Hallar la posición del peso en cualquier tiempo si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 5 veces la velocidad instantánea con que está actuando se hace presente.


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7.El peso unido a un resorte vertical está forzado a vibrar de acuerdo a la ecuación , donde x es el desplazamiento de la posición de equilibrio y es una constante. Si para t=0 , x=0 y Hallar a) x(t) b) El período de la fuerza externa para la cual la resonancia ocurre

8.

..

16 12x x sen tω+ =0ω >

.

0x =

Se observa que la amplitud de vibración del sistema mostrado en la figura, decrece hasta un valor del 25% del valor inicial, después de cinco ciclos consecutivos de movimiento, determine una relación para evaluar el coeficiente de amortiguamiento en función de k , y m

Movimiento Oscilatorio

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