Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. E.Patino, P. Galan.

CALCULO. Hoja 15.

Sistemas masa-resorte

Consideremos un resorte de longitud l suspendido verticalmente de un soporte rıgido. Sicolgamos de el una masa m, el resorte se alargara una cantidad, llamada elongacion,que denotamos por ∆l (vease Figura 1).

Figure 1: Sistema masa-resorte.

Movimiento armonico simple o libre no amortiguado

mx′′(t) + kx(t) = 0. (1)

Ejemplo 1. Si situamos una masa de 5 kg en un resorte, este se alarga 10 cm.Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posicion de equilibrio. ¿Cual es la ecuacion delmovimiento suponiendo un movimiento armonico simple? (Tomese el valor aproximadode g = 10 m/s2).Solucion: x(t) = 8 cos(10t).

Figure 2: Movimiento libre no amortiguado.

Movimiento libre amortiguado

mx′′(t) + cx′(t) + kx(t) = 0. (2)

La ecuacion caracterıstica se escribe como

mλ2 + cλ+ k = 0 (3)

cuyas raıces son

λ =−c±

√c2 − 4km

2m.

Dependiendo del signo de c2 − 4km distinguiremos tres casos:

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. E.Patino, P. Galan.

(a) Sistema sobreamortiguado. Si c2−4km > 0, tendremos dos raıces reales distintas,

λ1 =−c+

√c2 − 4km

2my λ2 =

−c−√c2 − 4km

2m.

La solucion de la ecuacion diferencial (2) viene dada por

x(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t. (4)

Ejemplo 2. Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte. Determinar laecuacion del movimiento libre amortiguado si la masa se libera dos metros por debajo dela posicion de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerzaamortiguadora es 3 veces la velocidad instantanea.Solucion; x(t) = e−t + e−2t.

Figure 3: Sistema sobreamortiguado.

(b) Sistema subamortiguado Si c2 − 4km < 0, tendremos como soluciones de laecuacion caracterıstica (3) dos raıces complejas conjugadas,

λ1 =−c+ i

√4km− c2

2my λ2 =

−c− i√4km− c2

2m.

La solucion de la ecuacion diferencial (2) viene dada ahora por

x(t) = c1e− c

2mt cos

(√4km− c2

2mt

)+ c2e

− c2m

t sen

(√4km− c2

2mt

)

= e−c

2mt

(c1 cos

(√4km− c2

2mt

)+ c2 sen

(√4km− c2

2mt

)).

Ejemplo 3. Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte para elcaso m = 1 kg, c = 2N s/m y k = 10N/m suponiendo que la masa se libera desde laposicion de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s.Solucion: x(t) = e−t sen(3t).

Figure 4: Sistema subamortiguado.

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. E.Patino, P. Galan.

(c) Sistema crıticamente amortiguado. Si c2 − 4km = 0, tendremos como solucion

de la ecuacion caracterıstica (3) una raız real doble, λ = − c

2m. En este caso, la solucion

de (2) viene dada por

x(t) = c1eλt + c2te

λt = eλt (c1 + c2t) . (5)

Ejemplo 4. Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte cuya constante es k = 2N/m.Supongamos que sobre el sistema esta actuando una fuerza amortiguadora que es iguala 4 veces la velocidad instantanea. Determinar la ecuacion del movimiento si la masa selibera 1 m por debajo de la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 1m/s.Solucion: x(t) = e−2t(1 + 2t).

Figure 5: Sistema crıticamente amortiguado.

Ejemplo 5. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior con lascondiciones iniciales dadas por x(0) = 1 y x′(0) = −3.Solucion: x(t) = e−t(1− 2t).

Figure 6: Sistema crıticamente amortiguado.

Movimiento forzado amortiguado

mx′′(t) + cx′(t) + kx(t) = F (t). (6)

Ejemplo 6. A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos parametros son m = 1 kg,c = 4N s/m y k = 3N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 5 cos t.Determinar la ecuacion que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 0y x′(0) = 0.

Solucion: x(t) = −5

4e−t +

3

4e−3t +

1

2cos t+ sen t.

Movimiento forzado no amortiguado

mx′′(t) + kx(t) = F (t). (7)

Ejemplo 7. Al sujetar una masa de 2 kilogramos a un resorte cuya constante esk = 32N/m, este queda en reposo en la posicion de equilibrio. A partir de t = 0, se

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. E.Patino, P. Galan.

Figure 7: Movimiento forzado amortiguado.

aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t) = 4 cos(2t). Encontrar la ecuacion delmovimiento en ausencia de amortiguacion.

Solucion: x(t) = −1

6cos(4t) +

1

6cos(2t)

Figure 8: Movimiento forzado no amortiguado.

Ekjemplo 8. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior al quese le aplica ahora una fuerza externa dada por F (t) = 3 cos(4t).

Solucion: x(t) =3

16t sen(4t).

Como puede observarse en la Figura 9, en este caso se produce el fenomeno de resonancia,ya que la frecuencia de la fuerza externa coincide con la del movimiento oscilatorio libre.

Figure 9: Movimiento forzado no amortiguado. Resonancia.

Ejercicios1. Supongamos que una masa de 2 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la ecuaciondel movimiento libre amortiguado si la masa se libera 2 m por encima de su posicionde equilibrio sin velocidad inicial suponiendo que la fuerza amortiguadora es 4 veces lavelocidad instantanea.

Solucion: x(t) = −2e−t(cos t+ sen t)

2. Consideremos una masa de 5 kg sujeta a un resorte de constante k = 20N/m. Sobreeste sistema esta actuando una fuerza amortiguadora de constante c = 20N s/m. Sila masa se suelta 2 m por debajo de su posicion de equilibrio con una velocidad inicialdescendente de 1 m/s, determınese la ecuacion del movimiento del sistema.

Solucion: x(t) = 2e−2t + 5te−2t

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. E.Patino, P. Galan.

3. Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte formado por unamasa de 8 kg suspendida de un muelle de constante k = 32N/m suponiendo que, enausencia de amortiguacion, actua una fuerza externa dada por F (t) = 16 cos(4t). Lamasa se libera desde la posicion de equilibrio con una velocidad inicial ascendente de 1m/s.

Solucion: x(t) =1

6cos(2t)− 1

2sen(2t)− 1

6cos(4t)

4. A un sistema masa-resorte no amortiguado cuyos parametros son m = 1 kg y k =9N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 6 sen(3t). Determinar la ecuacionque describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 1 y x′(0) = 0.

Solucion: x(t) = cos(3t) +1

3sen(3t)− t cos(3t)