Ejercicios Masa y Resorte Ecuaciones

Instituto Tecnologico de Ciudad Juarez

Ecuaciones Diferenciales

Apuntes para el curso deMatemticas V

Autor:Cuevas-Machado,Francisco

Dirigido a:Ingenieras

Cualesquiera

7 de enero de 2013

ndice general

ndice general iii

Prlogo v

1. Separables y homogneas 11.1. Ecuacin diferencial, orden, grado, linealidad . . . . . . . . . 11.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Intervalo de definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Variables separables y reducibles . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Lineales, exactas y de Bernoulli 132.1. Exactas y no exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Situaciones diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 173.1. Definicin de ecuacin diferencial de orden n . . . . . . . . . 173.2. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3. Teorema de existencia y unicidad de solucin nica . . . . . 173.4. Principio de superposicin, ecuaciones diferenciales homo-

gneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Dependencia e independencia lineal, Wronskiano . . . . . . 183.6. Solucin general de las ecuaciones lineales homogneas . . . 19

3.6.1. Reduccin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.2. Con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 22

Orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ecuacin caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior . . . . . 223.8. Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas . . . . . . . 22

3.8.1. Solucin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8.2. Solucin por coeficientes indeterminados . . . . . . . 233.8.3. Solucin por variacin de parmetros . . . . . . . . . 233.8.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales

de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

iv NDICE GENERAL

4. Transformada de Laplace 274.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Condiciones suficientes de existencia . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Transformada de Laplace de funciones bsicas, de funciones

definidas por secciones, de la funcin escalon unitario . . . . 294.4. Propiedades de linealidad y teoremas de traslacin . . . . . 294.5. Transformada de funciones multiplicadas por tn divididas

entre t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.6. Teorema de la transformada de derivadas . . . . . . . . . . . 294.7. Teorema de la transformada de integrales . . . . . . . . . . . 294.8. Teorema de la convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.9. Transformada de Laplace de una funcin peridica y de la

funcin Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.10. Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.11. Algunas transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 294.12. Propiedades de la transformada inversa (linealidad, trasla-

cin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.12.1. Determinacin de la transformada inversa mediante

el uso de las fracciones parciales . . . . . . . . . . . . 294.12.2. Determinacin de la transformada inversa usando

los teoremas de Heavyside . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Solucin de ecuaciones diferenciales utilizando la transformadade Laplace 315.1. Solucin de una ecuacin diferencial lineal con condiciones

iniciales por medio de las transformadas de Laplace . . . . . 315.2. Solucin de un sistema de ecuaciones lineales con condicio-

nes iniciales por medio de la transformada de Laplace . . . . 315.3. Problemas de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A. Apndice 33A.1. Funcin Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2. Ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.3. Funcin error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B. Tablas de Transformadas de Laplace 37

Glosario 41Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bibliografa 41

Prologo

Estos apuntes se han realizado a partir del curso de Ecuaciones Dife-renciales que se imparte en los Institutos Tecnolgicos del pas. La baseprincipal para este curso es el libro del autor Dennis G. Zill. ste libro seha venido usando desde hace muchos aos y se han usado varias de susediciones. Estos apuntes no pretenden sustituir a algn libro de ecuacionesdiferenciales, ms bien, la intencin de estos apuntes es que los alumnostengan un acceso fcil a una serie de ejercicios para comprensin.

v

vi PRLOGO

1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

En este captulo analizaremos las ecuaciones diferenciales que se pue-den resolver bajo los mtodos de separacin de variables y homogneaspor sustitucin.

Tambin se vern problemas de aplicacin, tales como crecimientospoblacionales, desintegracin radiactiva y la ley de enfriamiento y calenta-miento de Newton, dejando las otras aplicaciones para el captulo siguien-te.

1.1. Definiciones

DEFINICIN 1.1. Ecuacin diferencial

Una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variablesdependientes con respecto a una o ms variables independienteses una ecuacin diferencial (ED).

Las ecuaciones diferenciales se clasificacin segn su:

. Tipo. Si una ecuacin slo contiene derivadas ordinarias de una o msvariables dependientes con respecto a una sola variable independien-te, entonces se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (EDO).Si una ecuacin contiene las derivadas parciales de una o ms varia-bles dependientes, respecto de dos o ms variables independientes,se llama ecuacin diferencial en derivadas parciales (EDP).

. Orden. Es la derivada de mayor orden en una ecuacin diferencial(ordinaria o en derivadas parciales).

. Linealidad. Se dice que una ecuacin diferencial F(x, y, y, . . . , y(n)) = 0es lineal, si F es lineal en y, y, . . . , y(n), o bien

an(x)dnydxn

+ an1(x)dn1ydxn1

+ . . . + a1(x)dydx

+ a0(x)y = g(x)

En esta ecuacin vemos las dos propiedades caractersticas de lasecuaciones diferenciales lineales:

I. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primergrado, esto es, el exponente de todo trmino donde aparece y es1.

II. Cada coeficiente slo depende de x, que es la variable indepen-diente.

1

2 CAPTULO 1. SEPARABLES Y HOMOGNEAS

1.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales

El objetivo de este curso es resolver o encontrar soluciones de las ecua-ciones diferenciales. Veamos a continuacin el concepto de solucin de unaecuacin diferencial.

DEFINICIN 1.2. Solucin de una EDO

Cualquier funcin definida en un intervalo I R que posea almenosnderivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuacindiferencial ordinaria de orden n reduce la ecuacin a una identidad,es una solucin de la ecuacin en el intervalo.

1.2.1. Intervalo de definicin

Al contrario de las soluciones de las ecuaciones cuya solucin son npuntos si la ecuacin es de grado n, las soluciones de las ecuaciones di-ferenciales son intervalos que pueden ser abiertos o cerrados, finitos o in-finitos. El intervalo I en la definicin 1.2, tiene los nombres de intervalode definicin, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio dela solucin, y puede ser un intervalo abierto (a, b), cerrado [a, b], infinito(a,), etc.

DEFINICIN 1.3. Solucin implcita de una ecuacin diferencial ordi-naria

Se dice que una relacin G(x, y) = 0 es una solucin implcita deuna ecuacin diferencial F(x, y, y, . . . , y(n)) = 0 en un intervalo I,siempre que exista al menos una funcin que satisfaga tanto larelacin como la ecuacin diferencial en I.

1.3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL 3

1.3. Problema de valor inicial

DEFINICIN 1.4. Problema de valor inicial

Si al resolver una ecuacin diferencial

dnydxn

= f (x, y, y, . . . , y(n1)),

sta est sujeta a las condiciones

y(x0) = y0, y(x0) = y1, . . . , y(n1)(x0) = yn1,

entonces es un problema de valor inicial de ensimo orden.

1.4. Variables separables y reducibles

DEFINICIN 1.5. Ecuacin diferencial separable

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma

dydx

= g(x)h(y),

es separable o de variables separables.

1.5. Aplicaciones

I. Dinmica de poblaciones. El fundamento del modelo de la dinmicade poblaciones es la suposicin de que la rapidez a la que crece lapoblacin de un pas en cierto tiempo es proporcional a la poblacintotal del pas en ese momento.

II. Desintegracin radiactiva. El ncleo de los tomos estn constitu-dos por protones y neutrones, algunas o ms bien, muchas de stascombinaciones son inestables, esto quiere decir que los tomos se de-sintegran o transmutan en tomos de otras sustancias. La rapidez a laque se desintegran los ncleos de una sustancia es proporcional a lacantidad (o con ms precisin, el nmero de ncleos) de la sustanciarestante en cierto momento.


III. Ley de Newton de enfriamiento o calentamiento. De acuerdo con laley emprica de Newton del enfriamiento o calentamiento, la rapideza la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a ladiferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del mediocircundante, la denominada temperatura ambiente.

dTdt T Tm

IV. Propagacin de una enfermedad. Una enfermedad contagiosa se pro-paga en una comunidad, por contaco entre personas. Denotemos x(t)el nmero de personas que han contrado la enfermedad y con y(t) elnmero de personas que no ha estado expuesta, todava, al contagio.Parece razonable suponer que la razn dxd a la que se propaga la en-fermedad es proporcional al nmero de encuentros o interaccioneses conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, proporcional alproducto xy, entonces dxdt = kxy, donde k es la constante de proporcio-nalidad usual. Suponga una pequea comunidad con una poblacinfija de n personas. Si una persona infectada se introduce en estacomunidad, entonces se podra argumentar que x(t) y y(t) estn re-lacionadas por x + y = n + 1. Una condicin obvia es que la codicininicial es x(t) = 1.

V. Reacciones qumicas. Las reacciones qumicas.

VI. Mezclas.

VII. Drenado de un tanque.

VIII. Circuitos en serie.

IX. Cada libre.

X. Cada de los cuerpos y resistencia del aire.

XI. Alcohol level. Alcohol enters the blood stream at a constant rate kgrams per unit time during a drinking session. The liver graduallyconverts the alcohol to other non-toxic byproducts. The rate of con-version per unit time is proportional to the current blood alcohollevel, so that the differential equation satisfied by the blood alcohollevel is

dcdt

= k scwhere k, s are positive constants. Suppose initially there is no alcoholin the blood. Find the blood alcohol level c(t) as a function of timefrom t = 0, when the drinking session started.

1.5. APLICACIONES 5

Ejercicios del captulo.

I. Clasifica cada ecuacin diferencial.

1. (1 x)y 4xy + 5y = cos x.2. t5y(4) t3y + 6y = 0.3. (sin)y (cos)y = 2.4. d

2Rdt2 = kR2 .

5. x d3ydx3 ( dydx )4 + y = 0.

II. Comprueba que la funcin dada es una solucin explcita de la ecua-cin diferencial dada.

1. (y x)y = y x + 8; y = x + 4x + 2.2. y = 25 + y2; y = 5 tan 5x3. y = 2xy2; y = 1/(4 x2)4. 2y = y3 cos x; y = (1 sin x)1/2

III. Comprueba que la funcin dada es una solucin explcita de la ecua-cin diferencial dada.

1. dXdt = (X 1)(1 2X); ln 2X1X1 = t2. 2xydx + (x2 y)dy = 0; 2x2y + y2 = 1

IV. Resuelve la ecuacin diferencial dada por medio de separacin devariables.

1. dydx = sin 5x. Solucin: y = 15 cos 5x + c2. dydx = (x + 1)

2. Solucin: y = 13 (x + 1)3 + c

3. dx + e3xdy = 0. Solucin: y = 13 e3x + c

4. dy (y 1)2dx = 0. Solucin: y = 1 xx+c5. x dydx = 4y. Solucin: y = cx

4

6. dydx + 2xy2 = 0. Solucin: y = 1x2+c

7. dydx = e3x+2y. Solucin: y = ln 1

c 23 e3x

8. ex dydx = ey + e2xy. Solucin: y = ln (c ex 13 e3x)

9. y ln x dxdy =( y+1

x

)2. Solucin: 9y2 + 36y + ln y18 = 2x3(ln x3

1) + c

10. dydx =( 2y+3

4x+5

)2. Solucin: 12y+3 =

18x+10 + c

11. csc ydx+sec2 xdy = 0. Solucin: y = arc cos ( 12 +14 cos 2x + c)


12. sin 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 Solucin: y =c 16 sec2 3x

13. (ey + 1)2eydx + (ex + 1)3exdy = 0 Solucin: 2 2ey+1 =1

(ex+1)2+c

14. x(1+y2)1/2dx = y(1+x2)1/2dy Solucin: y2 = [x2 + 1+c]21

15. dSdr = kS Solucin: S = cekr

16. dQdt = k(Q 70) Solucin: Q = 70 + cekt17. dPdt = P P2 Solucin: P = ce

t

1+cet

18. dNdt + N = Ntet+2 Solucin: N = e[(t1)et+2t+c]

19. dydx =xy+3xy3xy2x+4y8 Solucin: y ln (y + 3)5 = x ln (x + 4)5 + c

20. dydx =xy+2yx2xy3y+x3 Solucin: e

y(y 1)2 = cex(x 3)5

V. En los siguientes problemas, encuentra una solucin implcita y unasolucin explcita del problema de valor inicial dado.

1. dydx = x

1 y2; y(0) = 1 Solucin: y = sin ( 12x2 + pi2 )2. (ex + ex) dydx = y

2; y(0) = e Solucin: y = (1 + pi4 )e arctan (ex)

3. dxdt = 4(x2 + 1); x(pi/4) = 1

4. dydx =y21x21 ; y(2) = 2

5. x2 dydx = y xy; y(1) = 16. dydt + 2y = 1; y(0) =

52

7.

1 y2dx 1 x2dy = 0; y(0) =

32

8. (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0; y(1) = 0

9. (a) Encuentre una solucin del problema de valor inicial de laecuacin dydx = y

2 4 y las condiciones iniciales y(0) = 2,y(0) = 2 y y( 14 ) = 1.

(b) Encuentre la solucin de la ecuacin diferencial (e2yy) cos x dydx =ey sin 2x; y(0) = 0 cuando ln c1 se emplea como la constantede integracin en el lado izquierdo de la solucin y 4 ln c1se sustituye por ln c. A continuacin resuelve los mismoproblemas de valor inicial del inciso anterior.

10. Encuentre una solucin de x dydx = y2y y que pasa por los puntos

indicados(a) (0, 1) (b) (0, 0) (c) ( 12 ,

12 ) (d) (2,

14 ).

VI. Resuelve los siguientes problemas:

1.5. APLICACIONES 7

1. Bajo las mismas suposiciones en que se basa el modelo de laecuacin (1), determine una ecuacin diferencial para la pobla-cin P(t) de un pas cuando se permite que haya inmigracin auna tasa constante r > 0. Cul es la ecuacin diferencial parala poblacin P(t) del pas cuando se permite que las personasemigren de un pas a una tasa constante r > 0?

2. Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta con unarapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene encualquier momento t. Si la poblacin se duplic en cinco aos,en cunto tiempo se triplicar y cuadruplicar?

3. Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta con unarapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene encualquier momento t. Si la poblacin se duplic en cinco aos,si se sabe que la poblacin es de 10,000 despus de tres aos.Cul era la poblacin inicial? Cul ser la poblacin en 10aos?

4. La poblacin de una comunidad crece a razn proporcional ala poblacin en cualquier momento t. Su poblacin inicial es de500 y aumenta 15 % en 10 aos. Cul ser la poblacin en 30aos?

5. El modelo de poblacin que se proporciona en la ecuacin (1)no toma en cuenta los individuos que han fallecido; la tasade crecimiento es igual a la de natalidad. En otro modelo deuna poblacin cambiante de una comunidad, se supone que larazn a la que cambia la poblacin es una tasa neta, es decir,la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidaden la comunidad. Determinar un modelo para la poblacin P(t)si tanto la tasa de natalidad como la tasa de mortalidad sonproporcionales a la poblacin presente en el tiempo t.

6. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivocrece a razn proporcional al nmero de bacterias presentes. Alcabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Despusde 10 horas hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicialde bacterias?

7. Cuando pasa un haz vertical de luz por una sustancia transpa-rente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcionala I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En aguade mas clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25 % dela intensidad inicial I0 del haz incidente. Cul es la intensidaddel haz a 15 pies bajo la superficie?

8. Cuando el inters se capitaliza (o compone) continuamente, encualquier momento la cantidad de dinero aumenta a razn pro-porcional a la cantidad presente S, dSdt = rS, donde r es la tasa deinters anual.


(a) Calcula la cantidad reunida al trmino de cinco aos, cuan-do se depositan %5,000 en una cuenta de ahorro que rinde5.75 % de inters anual compuesto continuamente.

(b) En cuntos aos se habr duplicado el capital inicial?(c) Con una calculadora compara la cantidad obtenida en la

parte (a) con el valor de S = 5000(1 + (0.0575)5(4)); este valorrepresenta la cantidad reunida cuando el inters se capita-liza cada trimestre.

9. El Pb-209, istopo radiactivo del plomo, se desintegra con unarapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempot y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio haba ungramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que sedesintegre 90 %?

10. Al inicio haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Alcabo de seis horas, esa cantidad disminuy 3 %. Si la rapidezde desintegracin, en cualquier tiempo t, es proporcional a lacantidad de la sustancia presente, calcula la cantidad que quedadespus de 24 horas. Calcula la vida media.

(a) El problema de valor inicial dAdt = kA,A(0) = A0 es el modelode desintegracin de una sustancia radiactiva. Demuestreque, en general, la vida media, T, de la sustancia es T = ln 2/k.

(b) Demuestra que la solucin del problema de valor inicial enla parte (a) se puede escribir A(t) = A02t/T.

(c) Si una sustancia radiactiva tiene una vida media T descritaen la parte (a) cunto durar una cantidad inicial A0 de ellapara decaer hasta 18A0.

11. Una medicina se inyecta en el torrente sanguneo de un pacientea un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina des-aparece con una razn proporcional a la cantidad x(t) presenteen cualquier momento t. Formule una ecuacin diferencial quedescriba la cantidad x(t).

12. En el momento t = 0, se introduce una innovacin tecnolgicaen una comunidad de n personas, cantidad fija. Proponga unaecuacin diferencial que describa la cantidad de individuo, x(t),que hayan adoptado la innovacin en cualquier momento t.

13. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galo-nes de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras desal. Al tanque entra agua pura con un flujo de 3 gal/min y, con eltanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuacindiferencial que exprese la cantidad A(t) de sal, que hay en eltanque cuando el tiempo es t.

1.5. APLICACIONES 9

14. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene al prin-cipio, 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 librasde sal. Al tanque entra otra salmuera a un flujo de 3 gal/min y,estando bien mezclado el contenido del tanque, salen tan slo2 gal/min. Si la concentracin de la solucin que entra es de 2lb/gal, deduzca una ecuacin diferencial que exprese la cantidadde sal, A(t), que hay en el tanque cuando el tiempo es t.

15. Por un agujero circular de rea A0, en el fondo de un tanque,sale agua, debido a la friccin y a la contraccin de la corrientecerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce acA0

2gh, donde 0 < c < 1. Deduzca una ecuacin diferencial

que exprese la altura h del agua en cualquier momento t, quehay en el tanque cbico de la figura 1.14. El radio del agujero es2 in y g = 32 f t/s2

16. Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto, de 2 ftde radio y 10 ft de altura, parado sobre una de sus bases. alprincipio, el tanque est lleno de agua y sta sale por un agujerocircular de 1/2 in de radio en el fondo. Con la informacin delproblema (6), formule una ecuacin diferencial que exprese laaltura h del agua en cualquier momento t.

17. Los arquelogos utilizaron piezas de madera quemada, o car-bn vegetal, que se encontraron en el sitio para fechar pinturasprehistricas y dibujos en paredes y techos de una caverna enLascaux, Francia. Emplee la informacin que aparece en la p-gina 94 para determinar la edad aproximada de una pieza demadera quemada, si se encontr que haba disminudo 85.5 %respecto del C14 que se encontr en rboles vivos del mismotipo.

18. Muchos creen que la Sabana Santa de Turn, que muestra el ne-gativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado,es la mortaja de Jess de Nazareth. En 1988 el vaticano otorgel permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios inde-pendientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario tenaalrededor de 660 aos de antigedad, una edad consistente consu aparicin histrica. Con esta edad, determine que porcentajede C14 original permaneca en la tela en 1988.

19. Se toma un termmetro de una habitacion donde la temperaturaes de 70 F y se lleva al exterior, donde la temperatura del airees de 10. Despues de medio minuto el termmetro marca 50 F.Cunto tarda el termmetro en alcanzar 15 F?

20. Una pequea barra metlica, cuya temperatura inicial fue de 20C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente. Cuntotarda la barra en alcanzar 90 C si se sabe que su temperatura


aumenta 2 C en un segundo? Cunto le toma a la barra llegara 98 C?

21. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito LR enserie en el que la inductancia es 0.1 henry y la resistencia es de50 Calcule la corriente i(t) si i(0) = 0. Determine la corrientecuando t.

22. Resuelva la ecuacin L didt + Ri = E(t) bajo la suposicin de queE(t) = E0 sint y que i(0) = i0.

23. Resuelva la ecuacin L didt + Ri = E(t) bajo la suposicin de queE(t) = E0 sint y que i(0) = i0.

VII. En las siguientes ecuaciones diferenciales homogneas, use una sus-titucin adecuada para resolverlas.

1. (x y)dx + xdy = 02. (x + y)dx + ydy = 0

3. xdx + (y 2x)dy = 04. ydx = 2(x + y)dy

5. (y2 + yx)dx x2dy = 06. (y2 + yx)dx + x2dy = 0

7. dydx =yxy+x

8. dydx =x+3y3x+y

9. ydx + (x + xy)dy = 010. x dydx = y +

x2 y2

VIII. Resuelve los problemas de valor inicial.

1. xy2 dydx = y3 x3, y(1) = 2

2. (x2 + 2y2) dydx = xy, y(1) = 13. (x + yey/x)dx xey/x = 0, y(1) = 04. ydx x(ln x ln y 1)dy = 0, y(1) = e

IX. Problemas de aplicacin

1. Ley de Newton. Un cuerpo que est a cierta temperatura, seintroduce en agua hirviente y se observa que a los 2 minutos sutemperatura es de 60 C y que a los 8 minutos su temperatura esde 80. Resuelva la ecuacin diferencial para responder: Cules la temperatura inicial del cuerpo?

1.5. APLICACIONES 11

2. Suponga que se disuelve azcar en agua de tal modo que elazucar no disuelta es s(t) = Aekt siendo A la cantidad inicial deazcar y t la cantidad de horas despus de agregar el azcar alagua. Si se agregaron 5 lb de azcar y se disolvieron 2 lb en 2horas, cuntas libras de azcar quedarn sin disolver pasadas6 horas?

3. Se analiz una momia egipcia y se encontr que haba perdidoel 40 % de su C14 original. Calcule la antigedad de la momia.[Recuerde que la vida media del carbono 14 es 5,600 aos.]

4. De un barril se fuga cerveza con una rapidez proporcional a laraz cuadrada de la profundidad de la cerveza en ese momento.Si el nivel comienza en 30 pulgadas y baja a 21 pulgadas en 2horas. Cunto tardar en salir toda la cerveza del barril?

5. XOX es una medicina que se usa como anticoagulante. Despusde detener su ingestin, la cantidad que queda en el organismodel paciente decrece con una rapidez proporcional a la cantidadpresente. La vida media del XOX es de 37 horas. A partir delproblema responda lo siguiente:

5. a. Deduzca una ecuacin diferencial para el problema.5. b. Cuntos das se necesitan para que la cantidad de medicina

en el organismo se reduzca al 35 % de la cantidad original?

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.1. Exactas y no exactas

La ecuacin diferencial

y dx + x dy = 0 (2.1)

es, por supuesto, de variables separables, sin embargo se puede considerarde otra forma: Si calculamos el diferencial del producto de dos funciones, xe y, esto es, d(xy) tendramos exactamente la expresin del lado izquierdode (2.1). Digamos que u = xy, entonces du = 0 que nos lleva a concluir queu = C o, de otra forma, xy = C que es la solucin de (2.1).

2.2. Ecuaciones lineales

Para la resolucin de una ecuacin diferencial de primer orden en formageneral, el mtodo de separacin de variables ya no es suficiente, necesi-tamos de otro mtodo. Esto lo vamos a lograr a travs de una funcinespecial llamada factor integrante. Para resolver la ecuacin diferencial, esnecesario escribirla en la forma:

dydx

+ P(x)y = Q(x) (2.2)

donde P(x) y Q(x) son funciones no nulas de x. Si analizamos el primermiembro de esta ecuacin (2.2) y la comparamos con el segundo miembrode la derivada del producto de dos funciones

ddx

(uv) = udvdx

+ vdudx

notamos que existe cierta similitud. Para que la similitud sea ms certera,sea u = y y v = (x) multipliquemos este primer miembro de (2.2) poruna funcin auxiliar (x) e igualmosla a la derivada del producto de laderivada de y (x), tenemos entonces

(x)dydx

+ (x)P(x)y = y(x)dx

+ (x)dydx

y simplificando esta ecuacin llegamos a

(x)P(x) =d(x)dx

que es una ecuacin diferencial de variables separables y reacomodndolatenemos

d(x)(x)

= P(x)dx.

13

14 CAPTULO 2. LINEALES, EXACTAS Y DE BERNOULLI

Resolviendo esta ecuacin diferencial, encontramos el factor integrante quees

(x) = eP(x) dx.

2.3. Ecuacin de Bernoulli

Una ecuacin diferencial de Bernoulli es una ecuacin de la forma

dydx

+ P(x)y = Q(x)yn

donde tenemos los casos

I. Si n = 0. Entonces la ecuacin que resulta es dydx + P(x)y = Q(x) que eslineal no homognea.

II. Si n = 1. Entonces la ecuacin que resulta es dydx + (P(x) Q(x))y = 0que es lineal homognea.

Si n , 0 y n , 1 entonces, para resolver la ecuacin de Bernoullidebemos de usar una sustitucin. La sustitucin adecuada es

u = ya; y = u1a

donde a es una cantidad por determinar. La derivada de y es dydu =1au

(1a)/a.Por otra parte, por la regla de la cadena, derivada en la ecuacin de Bernou-lli se puede escribir como dydx =

dydu

dudx as que la ecuacin se puede escribir

bajo la sustitucin como:

1au(1a)/a

dudx

+ P(x)u1/a = Q(x)un/a

2.4. Situaciones diversas

2.5. Aplicaciones

I. Encuentra la solucin general de la ecuacin diferencial dada.

1. dydx = 2y

2. dydx + 5y = 0

3. dydx + y = e3x

4. 3 dydx + 12y = 4

5. y + 3x2y = 10x2

2.5. APLICACIONES 15

6. y + 2xy = x3

7. x2y + xy = x + 18. y = 2y + x2 + 5

9. x dydx y = x2 sin x10. x dydx + 2y = 3

11. x dydx + 4y = x3 x

12. (1 + x) dydx xy = x + x213. x2y + x(x + 2)y = ex

14. xy + (1 + x)y = ex sin 2x15. ydx 4(x + y6)dy = 016. ydx = (yey 2x)dy17. cos x dydx + (sin x)y = 1

18. cos2 x sen x dydx + (cos3 x)y = 1

19. (x + 1) dydx + (x + 2)y = 2xex

20. (x + 2)2 dydx = 5 8y 4xyII. Resuelve los problemas de valor inicial. Encuentra el intervalo de

solucin.

1. xy + y = ex; y(1) = 42. y dxdy x = 2y2; y(1) = 53. L didt + Ri = E; i(0) = i0, L, R, E e i0 constantes

4. dTdt = k(T Tm); T(0) = T0, k, Tm y T0constantes5. (x + 1) dydx + y = ln x; y(1) = 10

6. y + (tan x)y = cos2 x; y(0) = 1

16 CAPTULO 2. LINEALES, EXACTAS Y DE BERNOULLI

3 Ecuaciones diferenciales de orden superior

Las ecuaciones diferenciales que se vern en este captulo son las ecua-ciones diferenciales de orden superior, esto es, cuando una ecuacin dife-rencial es de segundo orden o mayor, se dice que es de orden superior.

3.1. Definicin de ecuacin diferencial de ordenn

3.2. Problema de valor inicial

DEFINICIN 3.1. Problema de valor inicial

Para una ecuacin diferencial lineal, un problema de valor inicialde orden n es

Resolver: an(x)dnydxn

+ . . . + a1(x)dxdx

+ a0(x)y = g(x)

Sujeta a: y(x0) = y0, y(x0) = y1, . . . , y(n1)(x0) = yn1

3.3. Teorema de existencia y unicidad de solucinnica

3.4. Principio de superposicin, ecuaciones dife-renciales homogneas

TEOREMA 3.1. Problema de superposicin, ecuaciones homogneas

Sean y1, y2, . . . , yk soluciones de la ecuacin de la ecuacin homo-gnea de n-simo orden en un intervalo I. Entonces la combinacinlineal

y = c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + ckyk(x),

donde ci, i = 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, tambin es unasolucin en el intervalo.

17

18CAPTULO3. ECUACIONESDIFERENCIALESDEORDENSUPERIOR

3.5. Dependencia e independencia lineal, Wrons-kiano

DEFINICIN 3.2. Dependencia e independencia lineal

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) es linealmente de-pendiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, . . . , cn notodas cero, tales que

c1 f1(x) + c2 f2(x) + . . . + cn fn(x) = 0, x I.Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en elintervalo, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente indepen-diente en un intervalo I si las nicas constantes para las que

c1 f1(x) + c2 f2(x) + . . . + cn fn(x) = 0

para toda x en el intervalo son c1 = c2 = = cn = 0.

DEFINICIN 3.3. Wronskiano

Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) poseeal menos n 1 derivadas. El determinante

W( f1, f2, . . . , fn) =

f1 f2 . . . fnf 1 f

2 . . . f

n

......

...

f (n1)1 f(n1)2 . . . f

(n1)n

donde la primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de lasfunciones.

El wronskiano nos permite saber si un grupo de funciones son lineal-mente independientes entre ellas.

TEOREMA 3.2. Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones de la ecuacin diferencial lineal ho-mognea de n-simo orden en el intervalo I. El conjunto de solucio-nes es linealmente independiente en I si y slo siW(y1, y2, . . . , yn) ,0, x en el intervalo.

3.6. SOLUCINGENERALDELASECUACIONESLINEALESHOMOGNEAS19

Debemos asegurarnos que el wronskiano sea diferente de cero paratoda x en el intervalo.

DEFINICIN 3.4. Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto y1, y2, . . . , yn de n soluciones linealmente inde-pendientes de la ecuacin diferencial lineal homogneal de n-simoorden en un intervalo I es un conjunto fundamental de solucionesen el intervalo.

El hecho que la integracin y la derivacin sean operaciones inversas,plantea el hecho que al momento de calcular la integral de alguna funcinlleguemos a una situacin en la que tengamos que suponer algn valorpara la integral de cero.

TEOREMA 3.3. Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaciondiferencial homognea de n-simo orden en un intervalo I.

3.6. Solucin general de las ecuaciones linealeshomogneas

TEOREMA 3.4. Solucin general, ecuaciones homogneas

Sea y1, y2, . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecua-cin diferencial lineal homognea de n-simo orden en el intervaloI. Entonces la solucion general de la ecuacin en el intervalo es

y = c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x),

donde ci, i = 1, 2, . . . ,n son constantes arbitrarias.


Ejercicios. Ecuaciones homogneas.

Determina, en los problemas 1 al 8, si el conjunto de funciones es lineal-mente independiente en el intervalo (,).

I. f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = 4x 3x2II. f1(x) = 0, f2(x) = c, f3(x) = ex

III. f1(x) = 5, f2(x) = cos2 x, f3(x) = sin2 x

IV. f1(x) = cos 2x, f2(x) = 1, f3(x) = cos2 x

V. f1(x) = x, f2(x) = x 1, f3(x) = x + 3VI. f1(x) = 2 + x, f2(x) = 2 + |x|

VII. f1(x) = 1 + x, f2(x) = x, f3(x) = x2

VIII. f1(x) = ex, f2(x) = ex, f3(x) = sinh x

En los problemas 9 al 16, compruebe que las funciones que se proporcionanforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencialen el intervalo que se indica. Forme la solucin general.

IX. y y 12y = 0; e3x, e4x, (,)X. y 4y = 0; cosh 2x, sinh 2x (,)

XI. y 2y + 5y = 0; ex cos 2x, ex sin 2x, (,)XII. 4y 4y + y = 0; ex/2, xex/2, (,)

XIII. x2y 6xy + 12y = 0; x3, x4, (0,)XIV. x2yxy + y = 0; cos (ln x), sin (ln x), (0,)XV. x3y + 6x2y + 4xy 4y = 0; x, x2, x2 ln x, (0,)

XVI. y(iv) + y = 0; 1, x, cos x, sin x, (,)

3.6.1. Reduccin de ordenSe vi que la solucin general de una ecuacin diferencial lineal homo-

gnea de segundo orden

a2(x)y + a1(x)y + a0(x)y = 0 (3.1)

es una combinacin lineal y = c1y1 + c2y2, donde y1 y y2 son soluciones queconstituyen un conjunto linealmente independiente en algn intervalo I.

Reduccin de orden. Suponga que y1 denota la solucin no trivial de (3.1)y que y1 se define en un intervalo I. Se busca una segunda solucin, y2, talque y1, y2 sea un conjunto linealmente independiente en I

3.6. SOLUCINGENERALDELASECUACIONESLINEALESHOMOGNEAS21

EJEMPLO 3.1. Sea x2y3xy+4y = 0. Si y1 = x2 es una solucin, determinarpor reduccin de orden, la segunda solucin.

Solucin. Como y1 = x2 es una solucin de la ecuacin diferencial,entonces satisface a la ED. Por tanto, para encontrar una segunda solucin,hacemos que y2 = u(x) y1(x), as tenemos y2 = uy1 = ux2. Por tanto, lasderivadas sucesivas hasta orden dos son:

y2 = 2ux + ux2 y y2 = 2u + 4u

x + ux2.

Al sustituir estas derivadas en la ecuacin diferencial, tenemos

x2(2u + 4ux + ux2) 3x(2ux + ux2) + 4(ux2) = 0

Realizando los productos

2ux2 + 4ux3 + ux4 6ux2 3ux3 + 4ux2 = 0

Al reducir este ltimo resultado llegamos a

ux4 + ux3 = 0

En este punto podemos aplicar la reduccin de orden. Esto es, si decimosque u = , entonces u = y con este cambio, reducimos la ecuacindiferencial de orden dos a una ecuacin diferencial de primer orden. Paradarle la forma divi

Ejercicios. Reduccin de orden.

Resuelve los siguientes problemas de reduccin de orden usando lasolucin dada.

I. y 4y = 0; y1 = cosh 2x.

II. 4y 4y + y = 0; y1 = ex/2.

III. x2y 6xy + 12y = 0; y1 = x3.

IV. xy + y = 0; y1 = ln x.

V. (1 x2)y + 2xy = 0; y1 = 1.


3.6.2. Con coeficientes constantes

Orden dos

Ecuacin caracterstica

3.7. Ecuaciones diferenciales lineales de ordensuperior

3.8. Ecuaciones diferenciales lineales no homo-gneas

TEOREMA 3.5. Solucin general, ecuaciones no homogneas

Sea yp cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial nohomognea de n-simo orden en un intervalo I, y sea y1, y2, . . . , ynun conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferenciallineal homognea relacionada en I. Entonces la solucion generalde la ecuacin en el intervalo es

y = c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x) + yp,

donde las ci, i = 1, 2, . . . ,n son constantes arbitrarias.

TEOREMA 3.6. Principio de superposicin, ecuaciones no homogneas

Sean yp1 , yp2 , . . . , ypk soluciones particulares de la ecuacin diferen-cial lineal no homognea de n-simo orden en un intervalo I quecorresponde, a su vez, a k funciones distintas g1, g2, . . . , gk. Es decir,se supone que yp, denota una solucin particular de la ecuacin dela ecuacin diferencial correspondiente

an(x)y(n) + an1(x)y(n1) + . . . + a1(x)y + a0(x)y = g1(x) (3.2)

donde i = 1, 2, . . . , k. Entonces

yp = yp1 (x) + yp2 (x) + . . . + ypk (x) (3.3)

es una solucin particular de

an(x)y(n) + . . . + a0(x)y = g1(x) + . . . + gk(x) (3.4)

3.8. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOHOMOGNEAS23

3.8.1. Solucin general

3.8.2. Solucin por coeficientes indeterminados

3.8.3. Solucin por variacin de parmetros

3.8.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales linealesde orden dos

Ejercicios de ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientesconstantes.

I. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales con el mtodo desuperposicin.

1. (D3 + 3D2 + 3D + 1)y = 0

2. (D4 2D3 13D2 + 38D 24)y = 03. (D6 + 9D4 + 24D2 + 16)y = 0

4. (8D3 4D2 2D + 1)y = 05. (D4 + D3 4D2 4D)y = 06. (D4 2D3 + 5D2 8D + 4)y = 07. (D4 + 2D2 + 1)y = 0

8. (D4 + 5D2 + 4)y = 0

9. (D4 + 3D3 4D)y = 010. (D5 + D4 9D3 13D2 + 8D + 12)y = 011. (D4 11D3 + 36D2 16D 64)y = 012. (D2 + 2D + 5)y = 0

13. (D4 + 4D3 + 2D2 8D 8)y = 014. (4D4 24D3 + 35D2 + 6D 9)y = 015. (4D4 + 20D3 + 35D2 + 25D + 6)y = 0

16. (D4 7D3 + 11D2 + 5D 14)y = 017. (D3 + 5D2 + 7D + 3)y = 0

18. (D3 2D2 + D 2)y = 019. (D3 D2 + D 1)y = 020. (D3 + 4D2 + 5D)y = 0

21. (D4 13D2 + 36)y = 022. (D4 5D3 + 5D2 + 5D 6)y = 023. (4D3 + 8D2 11D + 3)y = 024. (D3 + D2 16D 16)y = 0


25. (D4 D3 3D2 + D + 2)y = 026. (D3 2D2 3D + 10)y = 027. (D5 + D4 6D3)y = 0Utilice cualesquier recurso que tenga para resolver las siguientesecuaciones diferenciales por el mtodo de superposicin.

28. (4D3 + 28D2 + 61D + 37)y = 0

29. (4D3 + 12D2 + 13D + 10)y = 0

30. (18D3 33D2 + 20D 4)y = 031. (4D4 15D2 + 5D + 6)y = 032. (D5 + D4 7D3 11D2 8D 12)y = 033. (D4 + 3D3 6D2 28D 24)y = 034. (4D4 4D3 23D2 + 12D + 36)y = 035. (4D5 23D3 33D2 17D 3)y = 0

Ejercicios de aplicacin.

I. Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado.

1. Un peso de 20 libras estira un resorte 6 pulgadas. El peso es sol-tado a partir del reposo en un punto situado a 6 pulgadas debajode la posicin de equilibrio. Halla la ecuacin del movimientosi suponemos que no hay ninguna otra fuerza actuando sobreel sistema.

2. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es16 lb/pie. Cul es el perodo del movimiento armnico simple?

3. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuenciadel movimiento armnico simple es 2/pi ciclos/s, cul es laconstante k? Cul es la frecuencia del movimiento armnicosimple si la masa original se remplaza con una masa de 80kilogramos?

4. Una masa que 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga aste 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en unpunto 3 pulgadas arriba de la posicin de equilibrio. Encuentrela ecuacin de movimiento.

5. Determine la ecuacin la ecuacin de movimiento si la masadel problema anterior al inicio se libera desde la posicin deequilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.

6. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. Lamasa se libera desde el reposo de un punto 6 pulgadas abajo dela posicin de equilibrio.

3.8. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOHOMOGNEAS25

6. a. Encuentre la posicin de la masa en los timepos t = pi/12,pi/8, pi/6, pi/4, 9pi/32 s.

6. b. Cul es la velocidad de la masa cuando t = 3pi/16 s? Enqu direccin se dirige la masa en este instante?

6. c. En qu tiempos la masa pasa por la posicin de equilibrio?7. Una fuerza de 400 newtons alarga un resorte 2 metros. Una

masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se liberainicialmente desde la posicin de equilibrio con una velocidadhacia arriba de 10 m/s. Encuentre la ecuacin de movimiento.

8. Otro resorte cuya constante es de 20 N/m se suspende del mis-mo soporte, pero paralelo al sistema resorte-masa del problemaanterior. Al segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilo-gramos, y ambas se liberan al inicio de la posicin de equilibriocon una velocidad ascendente de 10 m/s.

8. a. Cul masa exhibe la mayor amplitud de movimiento?8. b. Cul masa se mueve ms rpido en t = pi/4 s? En pi/2 s?8. c. En qu instante las dos masa estn en la misma posicin?

Dnde estn las masas en estos instantes? En qu direc-ciones se estn moviendo las masas?

9. Una masa que pesa 32 libras alarga a un resorte 2 pies. Deter-mine la amplitud y el periodo del movimiento si la masa selibera inicialmente desde un punto situado a 1 pie arriba de laposicin de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s.Cuntos ciclos completos habr completado la masa al final de4pi segundos?

10. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se po-ne en movimiento, el sistema resorte-masa exhibe movimientoarmnico simple. Determine la ecuacin del movimiento.

II. Sistemas masa-resorte: movimiento libre amortiguado.

11. Una fuerza de 2 libras estira un resorte 1 pie. Un peso de 3.2 librases sujeto al mismo resorte y el sistema est inmerso en un me-dio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numricamenteigual a 0.4 veces la velocidad instantnea. Halla la ecuacin delmovimiento, si el peso es soltado a partir del reposo y desde unpunto situado 1 pie arriba de la posicin de equilibrio.

12. Una masa de 1 slug es sujeta a un resorte cuya constante es de 5lb/ft. Inicialmente, la masa es movida 1 pie debajo de la posicinde equilibrio, con una velocidad dirigida hacia abajo de 5 ft/seg,y el movimiento toma lugar en un medio que ofrece una fuerzade amortiguamiento numricamente igual a 2 veces la velocidadinstantnea. Halla la ecuacin del movimiento si la masa esafectada por una fuerza externa igual a f (t) = 12 cos 2t + 3 sin t


III. Circuitos elctricos.

13. En un circuito en serie LRC donde L = 0,05 Henry, R = 2 Ohms,C = 0,01 Farads, la fuente E(t) = 0 Volts, la carga inicial es de 5coulombs y la corriente inicial es de 0 amperes.

13. a. Halla la carga en el capacitor en el tiempo t = 0,01 segundos.13. b. Halla el primer tiempo en el cual la carga en el capacitor es

0.

14. En un circuito en serie LRC donde L = 1 Henry, R = 2 Ohms,C = 0,25 Farads, la fuente E(t) = 50 cos t Volts, adems se sabeque la carga inicial es de 1 coulombs y la corriente inicial es de0 amperes.

4 Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una poderosa herramienta en matem-ticas, es un caso particular de la transformada de Fourier. La transformadade Laplace nos permite, como su nombre indica, transformar una ecuacindiferencial dada para trabajarla desde otro punto de vista.

4.1. Definicin

DEFINICIN 4.1. Transformada de Laplace

Sea f una funcin definida para t 0. Entonces la integral

L { f (t)} =

0est f (t) dt

se llama Transformada de Laplace de f , siempre y cuando la integralconverja.

Aqu tenemos a una integral impropia, donde la variable de integracines t y al evaluarla, nos quedar en una funcin de s.

Una pregunta muy natural que surge al trabajar con la transformadade Laplace es por qu la expresin est f (t)? No sera posible trabajar conotra funcin o ncleo, por ejemplo con (st)1 f (t)? Podramos, por ejemplo,definir la transformada de Laplace como

0 (st)

1 f (t) dt?

Para saber si podemos utilizar esta definicin como transformada deLaplace, primero observamos que es una integral impropia de primera ysegunda especie, para evitar la integral de segunda especie, redefinimosel lmite de integracin inferior, entonces quedara como

1 (st)

1 f (t) dt. Sies una definicin vlida, debemos de poder calcular la transformada decualesquier funcin polinmica, en caso que no se pueda, lo tomamos co-mo contraejemplo y desechamos la funcin. Comencemos con una funcinmuy sencilla para f (t), con la funcin f (t) = 1. Entonces la transformadade Laplace a calcular es

1 (st)

1 dt, en este caso, la integral es [ 1s ln(st)]1

que diverge.

Si redefinimos el ncleo, podemos, por ejemplo, proponerlo como(st)2 f (t) y la transformada de Laplace sera

1 (st)

2 dt (recordemos quef (t) = 1) as que la integral es [ 1s 1st ]1 = 1s2 .

27

28 CAPTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Perfecto, esta definicin transform la funcin f (t) = 1, pero, funcio-nar para la funcin f (t) = t? Calculemos la transformada

1 t(st)

2 dt. Suintegral es [ 1s2 ln(t)]

1 que tambin diverge, por tanto, el ncleo ya no fun-

ciona. Qu tal si proponemos el ncleo (st)3? Entonces, debemos calcularlas dos integrales anteriores y una nueva:

.

1 (st)3 dt

.

1 t(st)3 dt, y

.

1 t2(st)3 dt

La primer integral es [ 1s 12(st)2 ]1 = 12s3 . La segunda integral es [ 1s3 1t ]1 = 1s3y la ltima integral es [ 1s3 ln(t)]

1 que diverge.

Definitivamente, podemos ver que es posible calcular la transformadade Laplace

1

tn(st)m dt

si se cumple la relacin n > m + 2.

4.2. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA 29

4.2. Condiciones suficientes de existencia

4.3. Transformada de Laplace de funciones bsi-cas, de funciones definidas por secciones, dela funcin escalon unitario

4.4. Propiedades de linealidad y teoremas de tras-lacin

4.5. Transformada de funciones multiplicadas portn divididas entre t

4.6. Teorema de la transformada de derivadas

4.7. Teorema de la transformada de integrales

4.8. Teorema de la convolucin

4.9. Transformada de Laplace de una funcin pe-ridica y de la funcin Delta Dirac

4.10. Transformada inversa

4.11. Algunas transformadas inversas

4.12. Propiedades de la transformada inversa (li-nealidad, traslacin)

4.12.1. Determinacin de la transformada inversa medianteel uso de las fracciones parciales

4.12.2. Determinacin de la transformada inversa usandolos teoremas de Heavyside

Ejercicios.

I. Resolver el problema de valor inicial y 3y + 2y = et; y(0) = 1,y(0) = 0.

30 CAPTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

II. Resolver el problema de valor inicial y + 2y + y = 2(t 3)U3(t);y(0) = 2, y(0) = 1.

III. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x = 2x + y + t; y =x + 3y + 1; x(0) = 3, y(0) = 0.

5 Solucion de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace

En esta seccin se tratarn problemas de aplicacin. Hegel deca quelos idealistas estn muy mal de la cabeza.

5.1. Solucin de una ecuacin diferencial linealcon condiciones iniciales por medio de lastransformadas de Laplace

5.2. Solucin de un sistema de ecuaciones linea-les con condiciones iniciales por medio de latransformada de Laplace

5.3. Problemas de aplicacin

31

32CAPTULO5. SOLUCINDEECUACIONESDIFERENCIALESUTILIZANDOLATRANSFORMADADELAPLACE

A Apendice

A.1. Funcin Gamma

Sea

() =

0t1etdt, > 0

la funcin gamma, entonces,

( + 1) =

0tetdt

mostrar que( + 1) = ().

Solucin: Integremos

0 tetdt por partes, entonces u = t, du =

t1dt, dv = etdt y v = et, asi que nos queda 0

tetdt = tet0

+

0

t1etdt

el primer trmino del segundo miembro es cero, por lo tanto 0

tetdt =

0t1etdt.

Como el miembro izquierdo de esta ltima ecuacin es ( + 1) y pordefinicin

0t1etdt = ()

entonces, tenemos que( + 1) = ().

A.2. Ecuacin de onda

Sea la solucin de la ecuacin de onda

u(x, t) =n=1

(An cos

npiaL

t + Bn sinnpiaL

t)

sinnpiLx

donde An es

An =2L

L0f (x) sin

npiLx dx

33

34 APNDICE A. APNDICE

y Bn es

Bn =2

npia

L0g(x) sin

npiLx dx

Dado que: f (x) = 6 sin (2x) + 2 sin (6x), g(x) = 11 sin (9x) + 14 sin (15x),a = 3 y L = pi, tenemos que

An =2pi

pi0

(6 sin (2x) + 2 sin (6x)) sin (nx) dx

y

Bn =2

3pin

pi0

(11 sin (9x) + 14 sin (15x)) sin (nx) dx

realizando los productos, quedan de la siguiente forma

An =2pi

pi0

(6 sin (2x) sin (nx) + 2 sin (6x) sin (nx)) dx

y

Bn =2

3pin

pi0

(11 sin (9x) sin (nx) + 14 sin (15x) sin (nx)) dx

entonces, despus de integrar

An =6pi

[sin (2 n)x

(2 n) sin (2 + n)x

(2 + n)

]pi0

+2pi

[sin (6 n)x

(6 n) sin (6 + n)x

(6 + n)

]pi0

y

Bn =11

3pin

[sin (9 n)x

(9 n) sin (9 + n)x

(9 + n)

]pi0+

143pin

[sin (15 n)x

(15 n) sin (15 + n)x

(15 + n)

]pi0.

An falta evaluar las funcionesAn yBn, y despus sustituir en la funcinde onda para algunos valores de n.

A.3. Funcin error

Definimos la integral de la siguiente forma:

I =

ex2 dx

Entonces

I2 =(

ex2 dx) (

ey2 dy

)asi que

I2 =

e(x2+y2) dxdy

A.3. FUNCIN ERROR 35

y ahora cambiando a coordenadas polares

I2 = 2pi

0

+0

er2 rdrd

La integral de nos da 2pi, mientras que la integral de r sucumbe a lasustitucin u = r2

I2 = 2pi

0eu du/2 = pi

Asi queI =pi

y tu integral es la mitad de esto por simetra.

36 APNDICE A. APNDICE

B Tablas de Transformadas de Laplace

37

38 APNDICE B. TABLAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

I. L {1} = 1sII. L {t} = 1s2

III. L {tn} = n!sn+1 , n Z+

IV. L {t1/2} = pisV. L {t1/2} =

pi

2s3/2

VI. L {t} = (+1)s+1VII. L {sin kt} = ks2+k2

VIII. L {cos kt} = ss2+k2IX. L {sin2 kt} = 2k2s(s2+k2)X. L {cos2 kt} = s2+2k2s(s2+k2)

XI. L {eat} = 1saXII. L {sinh kt} = ks2k2

XIII. L {cosh kt} = ss2k2XIV. L {sinh2 kt} = 2k2s(s24k2)XV. L {cosh2 kt} = s22k2s(s24k2)

XVI. L {teat} = 1(sa)2XVII. L {tneat} = n!(sa)n+1 , n Z+

XVIII. L {eat sin kt} = k(sa)2+k2XIX. L {eat cos kt} = sa(sa)2+k2XX. L {eat sinh kt} = k(sa)2k2

XXI. L {eat cosh kt} = sa(sa)2k2XXII. L {t sin kt} = 2ks(s2+k2)2

XXIII. L {t cos kt} = s2k2(s2+k2)2XXIV. L {sin kt + kt cos kt} = 2ks2(s2+k2)2

XXV. L {sin kt kt cos kt} = 2k3(s2+k2)2XXVI. L {t sinh kt} = 2ks(s2k2)2

XXVII. L {t cosh kt} = s2+k2(s2k2)2XXVIII. L { eatebtab } = 1(sa)(sb)

XXIX. L { aeatbebtab } = s(sa)(sb)XXX. L {1 cos kt} = k2s(s2+k2)

XXXI. L {kt sin kt} = k3s2(s2+k2)XXXII. L { a sin btb sin atab(a2b2) } = 1(s2+a2)(s2+b2)

XXXIII. L { cos btcos ata2b2 } = s(s2+a2)(s2+b2)XXXIV. L {sin kt sinh kt} = 2k2ss4+4k4XXXV. L {sin kt cosh kt} = k(s2+2k2)s4+4k4

XXXVI. L {cos kt sinh kt} = k(s22k2)s4+4k4XXXVII. L {cos kt cosh kt} = s3s4+4k4

XXXVIII. L {J0(kt)} = 1s2+k2XXXIX. L

{ebteat

t

}= ln sasb

XL. L{

2(1cos kt)t

}= ln s

2+k2s2

XLI. L{

2(1cosh kt)t

}= ln s

2k2s2

XLII. L{

sin att

}= arctan

(as

)XLIII. L

{sin at cos bt

t

}= 12 arctan

a+bs +

12 arctan

abs

XLIV. L{

1pitea2/4t

}= e

ass

XLV. L{

a2pit3

ea2/4t}

= eas

XLVI. L{erfc

(a

2t

)}= e

ass

39

XLVII. L{2

tpi ea2/4t a erfc

(a

2t

)}=

eas

ss

XLVIII. L{eabeb2t erfc

(bt + a

2t

)}= e

ass(s+b)

XLIX. L{eabeb2t erfc

(bt + a

2t

)+ erfc

(a

2t

)}=

beas

s(s+b)

L. L {(t)} = 1LI. L {(t t0)} = est0

LII. L {eat f (t)} = F(s a)LIII. L { f (ta)U(ta)} = easF(sa)LIV. L {U(t a)} = eassLV. L { f (n)(t)} = snF(s)s(n1) f (0)

. . . f (n1)(0)LVI. L {tn f (t)} = (1)n dndsn F(s)

LVII. L{ t

0 f ()g(t ) d}

= F(s)G(s)

40 APNDICE B. TABLAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Bibliografia[1] H. Hegel: German TEX, TUG-

boat Volume 9, Issue 1 (1988)

41

ndice generalPrlogoSeparables y homogneasEcuacin diferencial, orden, grado, linealidadSoluciones de las ecuaciones diferencialesIntervalo de definicin

Problema de valor inicialVariables separables y reduciblesAplicaciones

Lineales, exactas y de BernoulliExactas y no exactasEcuaciones linealesEcuacin de BernoulliSituaciones diversasAplicaciones

Ecuaciones diferenciales de orden superiorDefinicin de ecuacin diferencial de orden Problema de valor inicialTeorema de existencia y unicidad de solucin nicaPrincipio de superposicin, ecuaciones diferenciales homogneasDependencia e independencia lineal, WronskianoSolucin general de las ecuaciones lineales homogneasReduccin de ordenCon coeficientes constantesOrden dosEcuacin caracterstica

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superiorEcuaciones diferenciales lineales no homogneasSolucin generalSolucin por coeficientes indeterminadosSolucin por variacin de parmetrosAplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos

Transformada de LaplaceDefinicinCondiciones suficientes de existenciaTransformada de Laplace de funciones bsicas, de funciones definidas por secciones, de la funcin escalon unitarioPropiedades de linealidad y teoremas de traslacinTransformada de funciones multiplicadas por y divididas entre Teorema de la transformada de derivadasTeorema de la transformada de integralesTeorema de la convolucinTransformada de Laplace de una funcin peridica y de la funcin Delta DiracTransformada inversaAlgunas transformadas inversasPropiedades de la transformada inversa (linealidad, traslacin)Determinacin de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parcialesDeterminacin de la transformada inversa usando los teoremas de Heavyside

Solucin de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de LaplaceSolucin de una ecuacin diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de las transformadas de LaplaceSolucin de un sistema de ecuaciones lineales con condiciones iniciales por medio de la transformada de LaplaceProblemas de aplicacin

ApndiceFuncin GammaEcuacin de ondaFuncin error

Tablas de Transformadas de LaplaceGlosarioTablas

Bibliografa

Ejercicios Masa y Resorte Ecuaciones

Documents

Transcript of Ejercicios Masa y Resorte Ecuaciones