Movimiento periodico

F = −k x

La fuerza ejercida por el resorte esta en la direccion del resorte ycon sentido contrario al desplazamiento del objeto.

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Movimiento periodico

~F 6= cte. −→ ~a 6= cte.

El movimiento se repite, de ida y de vuelta,entre x = A y x = −A.

La rapidez del objeto es maxima, vmax, alpasar por x = 0.

amplitud, A [m]

ciclo

perıodo, T [s]

frecuencia, f [Hz]f =

1T

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Energıa potencial elastica

Un resorte almacena energıacuando es deformado y puedehacer trabajo al liberarlo.

W = F d = (12

k xf ) (xf ) =12

k x2f

Uelastica =12

k x2

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Energıa potencial elastica

E = K + Uelastica =12

m v2 +12

k x2

Suponiendo que no hay roce,

12

m v2 +12

k x2 =12

k A2

v2max =

km

A2

v = ±vmax

√1− x2

A2

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Tarea en grupo

Un resorte se estira 0.150 m cuando una masa de 0.300 kg secuelga de el. El sistema resorte+masa se coloca horizontalmentesobre una mesa sin friccion. La masa es luego desplazada hastaque el resorte se estira 0.100 m, desde el punto de equilibrio, y selo deja libre desde el reposo.Determinar

la constante elastica del resorte, k.la amplitud de la oscilacion horizontal, A.la magnitud de la velocidad maxima de la masa, vmax.la magnitud de la velocidad cuando la masa esta a 0.050 mdel equilibrio.la magnitud de la aceleracion maxima de la masa, amax.

Rtas.: 19.6 N/m, 0.100 m, 0.808 m/s, 0.70 m/s y 6.53 m/s2.FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 5 / 13

Movimiento armonico simple

Cualquier sistema cuya aceleracion es proporcional al negativo

del desplazamiento experimenta movimiento armonico simple

Fexterna = Fresorte = −k x = m a → a = − km

x

El movimiento de una masa unidaa un resorte es comparable con elmovimiento de un objeto rotandoen un cırculo.

La proyeccion del movimiento circular sobre una lınea rectaconstituye un ejemplo de movimiento armonico simple.

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Movimiento armonico simple

vvmax

=

√A2 − x2

A→ v = vmax

√1− x2

A2

vmax =2 π A

T= 2 π A f → T =

2 π Avmax

12

k A2 =12

m v2max → A

vmax=

√mk

T = 2π√

mk

=1f

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Movimiento armonico simple¿Cual es la posicion de la masa m en funcion del tiempo?

x = A cos θ θ = ω t = 2 π f t =2 πT

t

x = A cos(

2 πT

t)

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Movimiento armonico simple¿Cuales son la velocidad y aceleracion de la masa m en funciondel tiempo?

v = −vmax sin θ

v = −vmax sin(

2 πT

t)

a = − km

x → a = −k Am

cos(

2 πT

t)

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Ejercicio

Una arana de 0.30 g esta en su telarana de masa despreciable. Unsutil movimiento provoca que la tela vibre con una frecuencia deaproximadamente 15 Hz.

Estime el valor de la constante de dureza de la tela.¿A que frecuencia vibrara la telarana si un insecto de 0.10 gquedara atrapado?

Rtas.: 2.7 N/m y 13 Hz.

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Movimiento armonico amortiguadoEn los sistemas reales, las fuerzas disipativas son proporcionalesa la rapidez del objeto en movimiento y retardan el movimiento.

La energıa mecanica del sistema disminuye en el tiempo.

x(t) = A e−b

2m t sin(ω t+δ)

ω =

√km−(

b2 m

)2

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Movimiento armonico forzado - ResonanciaPara compensar la perdida de energıa en un sistema amortiguadopuede aplicarse una fuerza periodica externa que haga trabajopositivo en el sistema.

x(t) = A sin(ωt + δ) A =Fext/m√

(ω2 − ω2o)2 +

(b ωm

)2

El sistema oscilara con la frecuencia de la fuerza impulsora

ωo es la frecuencia natural del sistema

Si el amortiguamiento es debil (b ≈ 0),

A se vuelve muy grande cuando ω → ωo

resonancia

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Tarea para la casa

El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0.150kg colgada de un resorte ligero de 6.30 N/m. El sistema esimpulsado por una fuerza oscilante con amplitud de 1.70 N.¿A que frecuencia debe actuar la fuerza para que hagavibrar a la masa con una amplitud de 0.440 m?

Una bola de masa m esta conectada a dos ligas de hule delongitud L, cada una bajo una tension T conocida, comomuestra la figura. La bola se desplaza una pequena distanciay perpendicular a la longitud de las ligas. Suponiendo que latension no cambia, demostrar que el sistema efectua unmovimiento armonico simple con una frecuencia angular

ω =

√2 Tm L

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