DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CARRERA DE INGENIERA MECATRNICA

MATEMTICA SUPERIOR

INFORME DE PROYECTO

TEMA: RESPUESTA AL SISTEMA AMORTIGUADO FORZADO MASA-RESORTE MEDIANTE APLICACIN DE LAS SERIES DE FOURIER.

AUTORES: CRDENAS ARIAS MILTON EDUARDO GAMBOA RICARDO JAVIER VEGA DELGADO DIEGO ARMANDO

DOCENTE: DR. ROMAN, MARCELO

ECUADOR-LATACUNGA

27

2015 NDICE DE CONTENIDOS

RESUMENIVABSTRACTVPALABRAS CLAVEVICAPITULO I1GENERALIDADES11.1.Tema:11.2.Planteamiento del Problema:11.3.Justificacin del problema:11.4.Objetivo general:11.5.Objetivos especficos:21.6.Hiptesis:21.7.Alcance:2CAPITULO II3MARCO TERICO32.1.Historia del Arte32.2.Funciones de Transferencia62.3.Variables de Estado72.4.Sistemas Dinmicos Lineales82.5.Respuesta en Estado Estacionario92.6.Sistema Masa-Resorte-Amortiguador-Forzado92.7.Funcin Peridica112.8.Diagramas de Bloque122.9.Series de Fourier13CAPITULO III14TRABAJO143.1.Materiales y Equipos143.2.Diagrama del circuito:153.3.Procedimiento de armado:153.4.Procedimiento de uso:153.5.Clculos:163.6.Anlisis de Resultados21CAPITULO IV244.1.Conclusiones:244.2.Recomendaciones:24ANEXOS26

NDICE DE FIGURASFigura 1: Multmetro5Figura 2: Conexin de Cables6Figura 3: Ampermetro7Figura 4: Ampermetro8Figura 5: Protoboard8Figura 6: Conexiones en el Protoboard9Figura 7: Representacin de resistencias10Figura 8: Cdigo de Colores10Figura 9: Representacin de un circuito en serie11Figura 10: Representacin de un circuito en serie12Figura 11: Nodo13Figura 12: Malla14

NDICE DE TABLASTabla 1: Materiales y Equipos14Tabla 2: Medidas de Voltaje, Corriente y Resistencia22

RESUMEN

En el transcurso de la actividad acadmica los estudiantes de ingeniera son conscientes de la necesidad de integrar todo el conocimiento adquirido en dar solucin a problemas con el mayor nivel de aproximacin de la solucin a una respuesta de la realidad, en este proceso se generan un sinnmero de problemas, las mismas que requieren una solucin confiable y que estime una cantidad mnima de tiempo. Unos de los problemas es encontrar la respuesta al sistema oscilatorio amortiguado forzado masa-resorte, mediante aplicacin de la serie de Fourier, la ventaja de utilizar este mtodo es que su solucin es una aproximacin confiable a la descripcin del sistema lineal MASA-RESORTE.

Por lo tanto surge la necesidad de implementar el software aplicado MATLAB, que es una herramienta de software matemtico que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un lenguaje de programacin propio, muy til a nivel de ingeniera porque permite simular un sin nmero de sistemas, entre ellos el popular Sistema Oscilatorio MASA-RESORTE, y as poder deducir una cercana aproximacin a la posibilidad de implementarlo en la realidad.

ABSTRACT

In the course of the academic activity engineering students they are aware of the need to integrate all knowledge acquired to solve problems with the highest level of approximation of the solution to a response from the fact this process generates countless problems, the same solution that require reliable and deemed a minimum amount of time.One of the problems is finding the response to forced damped oscillatory mass-spring system, by applying the Fourier series, the advantage of using this method is that its solution is a reliable description of the mass-spring system linear approximation.

Thus arises the need to implement the applied software MATLAB, which is a mathematical software tool that offers an integrated development environment with its own programming language, very useful in terms of engineering that can simulate a number of systems, including Oscillating including the popular mass-spring system, so we can deduce a close approximation to the possibility of implementing it in reality.

PALABRAS CLAVE

Multmetro: Se comprendi el adecuado uso del mismo, as como a diferenciar las formas de medir voltaje y corriente. Circuito: Se arm un circuito bsico mixto con ayuda del protoboard, resistencias, batera y cables de conexin Serie Paralelo: En un circuito en serie y paralelo las consideraciones en las formas Voltaje: Para medir voltajes en un componente, se pone el multmetro en paralelo con el componente a medir Corriente: La corriente se mide intercalando el multmetro en el circuito, es decir, poniendo el multmetro en serie en el punto en el que se desee medir la corriente. Leyes: Se comprobaron las leyes de Ohm y Kirchhoff mediante el circuito armado en el laboratorio.

CAPITULO I

GENERALIDADES

Tema:

Respuesta al sistema amortiguado forzado masa-resorte mediante aplicacin de las Series de Fourier.

Planteamiento del Problema:

Dificultades que se presentan en la implementacin de todos los conceptos de las series de Fourier al momento de relacionar la parte terica con la prctica, para describir la respuesta del sistema oscilatorio masa-resorte

Justificacin del problema:

Este proyecto tiene como propsito contribuir a la mejora del aprendizaje de los estudiantes de tercer semestre de la carrera de Ingeniera Mecatrnica, mediante estrategias que relacionen lo prctico con lo terico en la construccin del sistema masa-resorte amortiguado, para potencializar las habilidades al poner en prctica nuestros conocimientos. Por consiguiente este proyecto nos permitir manipular herramientas como le software aplicado Matlab y Simulink.

Objetivo general:

Aplicar los conocimientos de Matemtica Superior, combinados con conocimientos del Software Aplicado MATLAB para encontrar la respuesta estacionaria del sistema MASA-RESORTE. Objetivos especficos:

-Generar un diagrama de bloque mediante la aplicacin Simulink de Matlab, que describa el comportamiento del sistema Masa-Resorte.

-Implementar la funcin de transferencia en conjunto con la Serie de Fourier, para encontrar la respuesta en estado estacionario del sistema MASA-RESORTE.

Hiptesis:

Es muy importante poder realizar este proyecto con el fin de que los estudiantes de tercer nivel de la carrera de Ingeniera Mecatrnica pueden aprender y fortalecer sus conocimientos en el manejo de los conceptos relacionados con las series de Fourier y su vital importancia en la Ingeniera, as como tambin y uso del Software Matlab.

Alcance:

Por medio del proyecto efectuar y comprender la obtencin de la Respuesta en estado estacionario del sistema, con una aproximacin con el menor error posible, adems el manejo y funcionamiento de Matlab en la realizacin de la simulacin correspondiente del sistema, finalmente el anlisis de cada una de los datos obtenidos de manera prctica y analtica.

CAPITULO II

MARCO TERICO

1. 1. Historia del ArteEl desarrollo del anlisis de Fourier tiene una larga historia que involucra a un gran nmero de personas as como la investigacin de muchos fenmenos fsicos diferentes. La idea de emplear sumas trigonomtricas, relacionadas armnicamente, para describir fenmenos peridicos data, cuando menos, del tiempo de los babilonios, quienes utilizaron ideas de este tipo para eventos astronmicos. La historia moderna de esta materia comienza a mediados del siglo XVI-II, cuando varios matemticos (DAlembert, Euler, Bernouilli) estudian el movimiento de una cuerda vibratoria.La aportacin clave de J.B Fourier, ya clsica de hoy en las matemticas, fue la idea, ya intuida por D.Bernoullli, de que cualquier funcin y=f(x) se puede representar por una serie de la forma:

donde los coeficientes ak bk (k=0,1,2,) son constantes. Serie que hoy conocemos con el nombre de serie de Fourier. Si tal serie converge para todo x tal que - < x < , entonces representa una funcin peridica de periodo 2 y bastara, por tanto, estudiar su restriccin al intervalo [- ].Las representaciones por medio de tales series permiten un grado de generalidad mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a desarrollar, que el que permite la serie de Taylor. Incluso si hay muchos puntos en los que no exista la derivada, o en los que sea discontinua, la funcin puede tener un desarrollo en serie de Fourier. (ver figura 1)

Figura 1 Ejemplo de funciones desarrollables en serie de Fourier

Fourier haba deducido una ecuacin que describa la conduccin del calor a travs de los cuerpos slidos: la ecuacin del calor. Pero no slo la haba deducido, sino que haba desarrollado un mtodo para resolverla: el mtodo de separacin de variables, y lo usa de manera sistemtica en la resolucin de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicacin de esta tcnica en la ecuacin del calor le condujo a escribir la solucin en forma de serie trigonomtrica, e incluso llegar a afirmar que cualquier funcin peridica de 2, se puede expresar de esa forma. Y, por ello, encontr las frmulas que permiten calcular los coeficientes de la serie, los cuales se determinan mediante:

Aunque la representacin de una funcin en serie trigonomtrica se haba considerado antes de que lo hiciera Fourier, nadie antes que l puso de manifiesto la correspondencia entre funcin y coeficientes. Es de justicia aadir que el estudio de las series de Fourier contribuy o de manera decisiva a clarificar la idea de funcin hasta el moderno concepto de nuestros das. Todo el tratamiento posterior est asociado a nombres tales como P. G. L. Dirichlet (1805-1859), B. Riemann (1826-1866), G.Cantor (1845-1918) y H. Lebesgue (1875-1941). La idea de Fourier se demostr fructfera, no slo en el campo del Anlisis Matemtico, sino tambin en Ingeniera y, particularmente, en el de la Ingeniera de Telecomunicacin, donde su aportacin ha permitido desarrollar el Anlisis Espectral, lo que posibilita pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, lo cual ha dado pie a numerossimas aplicaciones prcticas, como filtros, mdems, etc.MATLABMatlab nace como una solucin a la necesidad de mejores y ms poderosas herramientas de clculo para resolver problemas de clculo complejos en los que es necesario aprovechar las amplias capacidades de proceso de datos de grandes computadores.El nombre Matlab viene de "Matrix Laboratory" (laboratorio matricial). Matlab fue originalmente escrito para proveer acceso fcil al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan el estado del arte e software para computacin matricial. Hoy Matlab es usado en una variedad de reas de aplicacin incluyendo procesamiento de seales e imgenes, diseo de sistemas de control, ingeniera financiera e investigacin mdica. La arquitectura abierta facilita usar Matlab y los productos que lo acompaan para explorar datos y crear herramientas personalizadas que proveen visiones profundas tempranas y ventajas competitivas.Matlab es la fundacin numrica y grfica para todos los productos de The Mathworks. Matlab combina computacin numrica, grficos 2d y 3d y capacidades de lenguaje en un nico ambiente fcil de usar. Con su amplio rango de herramientas para modelar sistemas de control, anlisis, simulacin y procesamiento de prototipos, Matlab es el sistema ideal para desarrollar sistemas avanzados de control, se puede modelar un sistema de control usando las cajas de herramientas para el diseo de controles avanzados de Matlab, adems este software permite realizar anlisis y refinamientos estableciendo una simulacin interactiva en Simulink, la cual permite predecir la factibilidad de implementar el desarrollo de un sistemaSimulink es la interface grfica de simulacin de MATLAB. Permite el anlisis y estudio de sistemas de distintas disciplinas de la tcnica, mediante la simulacin de los modelos construidos en Simulink. La creacin de estos modelos es sencilla e intuitiva, ya que se forman mediante la interconexin grfica de distintos bloques. Dentro del editor de modelos de Simulink se insertan bloques, se conectan y se parametrizan para su posterior simulacin. En Simulink es posible crear y simular modelos mecnicos, elctricos, electrnicos, aeronuticos, etc. gracias a la gran variedad de bloques (blocksets) de los que dispone. Estos conjuntos de bloques se encuentran agrupados en la Simulink library browser, que se despliega al ejecutar Simulink.

Funciones de Transferencia

La funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo est definida como la razn de la transformada de Laplace de la salida del sistema (o funcin de respuesta) a la transformada de Laplace de la entrada del sistema(o funcin de fuerza), bajo el supuesto de que todas las condiciones iniciales son cero (esto es que el sistema esta inicialmente en reposo).Las funciones de transferencia se usan frecuentemente en ingeniera para caracterizar las relaciones de entrada-salida de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, y juegan un papel importante en el anlisis y diseo de dichos sistemas.Considerando un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por la ecuacin diferencial:

Donde n m, las letras a y b son coeficientes constantes, y es la respuesta del sistema o salida correspondiente a la entrada o termino de fuerza aplicado en el tiempo t=0. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial mencionada se llega a la ecuacin transformada. Como se supone que todas las condiciones iniciales son cero, se puede obtener la ecuacin transformada, simplemente remplazando sObteniendo

Finalmente y son las respectivas transformadas de Laplace de y , la funcin de transferencia del sistema est definida por:

Y la representacin del sistema en diagrama de bloque est dada por

Figura 2 Este diagrama se lo conoce como el diagrama de bloque de entrada-salida.Una funcin de transferencia solo describe la dinmica del sistema, mas no proporciona informacin concerniente a la naturaleza fsica del sistema.Aspectos de una funcin de transferencia:-El grado n del polinomio del denominador (define la ecuacin caracterstica del sistema) de la funcin de transferencia debe ser mayor o igual que el grado m del polinomio del numerador.-El orden n del denominador determina el orden del sistema.-Las races del polinomio denominador son conocidos como los polos de la funcin de transferencia.Las races del polinomio numerador son conocidos como los ceros de la funcin de transferencia.

Variables de Estado

Estado: El estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas variables de estado) tal que el conocimiento de esas variables en t = t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t > t0 , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t > t0.Variables de Estado: Las variables de estado de un sistema dinmico son las variables que constituyen el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado del mencionado sistema dinmico. Se requieren al menos n variables x1,x2,,Xn para describir completamente el comportamiento dinmico del sistema de orden n. Estas son la n variables de estado. Conocidas estas n variables en el instante de tiempo inicial y las evoluciones de las entradas para tiempos t > t0 , el estado futuro del sistema queda completamente determinado. Espacio de Estado: El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados consisten en el eje x1, el eje x2,, el eje xn, de denomina Espacio de Estado. Cualquier estado se puede representar por un punto en el espacio de estado.Ecuaciones en el Espacio de Estado: Para la representacin del modelo dinmico de sistemas en el espacio de estado se usan tres tipos de variables. Las variables de entradas, Las variables de salida Las variables de estadoSistemas Dinmicos Lineales

Los sistemas dinmicos son sistemas cuyos parmetros internos (variables de estado) siguen una serie de reglas temporales, se llaman sistemas porque estn descritos por un conjunto de ecuaciones y dinmicos porque sus parmetros varan con respecto a alguna variable que generalmente es el tiempo, los sistemas pueden clasificarse en discretos, continuos, lineales y no lineales.Un sistema dinmico es lineal si, la funcin F que relaciona la tasa de incremento de las variables de estado con sus valore actuales cumple con el principio de superposicin, su expresin matemtica est dada por:

Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar, ya que la solucin del sistema sujeto a condiciones complejas se puede lograr simplificando el problema a la suma de respuestas del sistema a condiciones ms sencillas. Existen tcnicas ampliamente usadas para analizar estos sistemas como lo son, la transformada de Laplace, el principio de superposicin, y en particular inters la transformada de Fourier entre otros. Por lo anterior es usual encontrar soluciones analticas exactas de sistemas lineales, aunque es muy comn recurrir a mtodos geomtricos para visualizar la evolucin del sistema en el tiempo.Este mtodo de anlisis no se puede concebir en sistemas dinmico no lineales puesto que su anlisis es mucho ms complejo, ya que el anlisis no se puede simplificar a instancias ms sencillas, por lo que el anlisis de este tipo de sistemas se auxilia mucho en tcnicas geomtricas de visualizacin de y anlisis.

Respuesta en Estado Estacionario

Se dice que un sistema est en estado estacionario cuando las caractersticas del mismo no varan con el tiempo, cuando se genera este acontecimiento se define que el sistema tiene una respuesta estacionaria.Durante el funcionamiento del sistema en estado estacionario se generan errores en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinado tipos de entradas, estos errores indican la precisin del sistema.Cualquier sistema de control fsico sufre por naturaleza un error en estado estacionario en respuesta a ciertos tipos de entrada, el que el sistema determinado exhiba un error en estado estacionario para un tipo especfico de entrada depende del que tipo de funcin de transferencia.El error en estado estacionario como respuesta a un escaln unitario se puede calcular aplicando el teorema del valor final

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador-Forzado

Ley de Hooke: Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rgido y luego se le fi ja una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongacin del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la direccin de elongacin y proporcional a la cantidad de elongacin s y es expresada en forma simple como F = ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el nmero k.

Figura 3: Sistema Masa-Resorte

Segunda Ley de Newton: Despus de que se une una masa m a un resorte, sta alarga el resorte una cantidad s y logra una posicin de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks. La condicin de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posicin de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas movimiento libre se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.

Ecuacin Diferencial de Movimiento Forzado con Amortiguamiento: Suponga que ahora se toma en consideracin una fuerza externa f(t) que actua sobre una masa vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podra representar una fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. La inclusin de f(t) en la formulacin de la segunda Ley de Newton de la ecuacin diferencial de movimiento forzado o dirigido:

Dividiendo la ecuacin entre m, se obtiene

Figura 4: Sistema Masa Resorte Amortiguador

Funcin Peridica

Una funcin f(t) se dice que es peridica si sus imgenes se repiten en intervalo regulares en su dominio. As la grfica de una funcin peridica puede dividirse en tiras verticales que son replicas una de la otra como se ilustra e la figura:

Figura 5: Grfica correspondiente a una funcin escaln de periodo T=2 s

El intervalo entre dos replicas sucesivas se llama perodo de la funcin. Por tanto decimos que una funcin f(t) es peridica con periodo T si, para todos los valores t de su dominio, se cumple que:f(t+mT)=f(t)Para cualquier entero m.Para dar una medida del nmero de repeticiones por unidad de t, definimos la frecuencia ( f ) de una funcin peridica como el reciproco de su periodo entonces se tiene:f=1/TEl trmino frecuencia circular ( w) tambin se usa en ingeniera y est definido por: frecuencia circular=2*frecuencia=2/T ,y se mide en radianes por segundo.

Aspectos importantes de las funciones peridicas.Es claro que 0 es periodo de cualquier funcin.Las funciones constantes son peridicas y cualquier nmero es un periodo.Las funciones seno y coseno son peridicas con periodo fundamental 2. La tangente tiene periodo fundamental .

Diagramas de Bloque

Los diagramas de bloque son representaciones de las relaciones entre parte componentes de un sistema y son especialmente convenientes para la compresin de las seales y componentes de los sistemas, los diagramas de bloques se utilizan para describir esquemticamente el funcionamiento de los sistemas. Esta representacin grfica de la transformada de Laplace, se puede manejar casi con la misma facilidad que en el caso de los diagramas de circuitos elctricos, aunque el tratamiento de las reglas sea diferente. Los diagramas de bloque pueden utilizarse para describir la dinmica interna de un sistema como por ejemplo, amplificador, motor de control, filtros etc. Los diagramas de bloque ofrecen una alternativa sumamente simple para estudiar directamente las ecuaciones.En un diagrama de bloques, se utiliza un bloque para indicar una correspondencia proporcional entre dos seales transformadas de Laplace. La funcin de proporcionalidad, o transferencia, relaciona las seales de entrada y salida. Esto se indica dentro del bloque. Un sumador se usa para indicar adiciones o sustracciones de seales. Este sumador puede tener cualquier nmero de seales entrantes, pero solo una seal de salida. Los signos algebraicos que se emplean en la suma, se indican prximos a la punta de la flecha de cada seal entrante. Una unin o punto de reparto, indica que la misma seal sale hacia diferentes lugares.

En esta figura pueden apreciarse los elementos bsicos de los diagramas de bloques.(a)Bloque.(b)Sumador.(c)Unin o punto de reparto.

Series de Fourier

La idea bsica de las series de Fourier es que toda funcin peridica de perodo T puede ser expresada como una suma trigonomtrica de senos y cosenos del mismo perodo T. El problema aparece naturalmente en astronoma, de hecho Neugebauer (1952) descubri que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la prediccin de ciertos eventos celestiales.La historia moderna de las series de Fourier comenz con DAlembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violn. El desplazamiento u = u(t, x) de una cuerda de violn, como una funcin del tiempo t y de la posicin x,

La serie de Fourier Se nombra en honor de Jean-Baptiste Jos Fourier (1768-1830), que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonomtrica, despus de investigaciones preliminares por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli.

El poder extraordinario y la flexibilidad de las series y transformadas de Fourier se ponen de manifesto en la asombrosa variedad de las aplicaciones que ellas tienen en diversas ramas de la matemtica y de la fsica matematica, desde teora de numeros y geometra hasta mecanica cuantica.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde a_n y b_n se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin f(t).

Ilustracin grfica

Figura 6: Aproximacin de la serie de Fourier de una onda cuadrada de periodo T=2s

CAPITULO IIITRABAJOTabla 1: Materiales y Equipos2. 2. Materiales y EquiposMATERIALESCANTIDADCARACTERSTICASGRFICO

Madera

3MDFDimensiones: 50 x 50

Clavos libraDimensiones:1/2 pulgadaPara asegurar las tablas unas a otras

Serrucho1Stayley- Heavy Duty

Motor112 v 5 A

Flexmetro

1

Marca: TruperLongitud: 2m

Pegamento Blanco ltPegamento Blanco para Carpinteria

Arduino1Tarjeta de Adquisicin de Datos

Sensor Fotoelctrico1Para capturar datos del movimiento del sistema masa-resorte

Martillo1Marca: Truper

Diagrama de la Maqueta del Proyecto:

Solucin Analtica:

En un diagrama de bloques Determine la respuesta en estado estacionario del sistema masa-resorte-amortiguador de la figura(a): (a) Cuando la masa se somete a la fuerza peridica f(t) aplicada externamente mostrada en la figura(b)(b) Qu frecuencia domina la respuesta y por qu?

Figura 7:(a) Sistema masa-resorte-amortiguador, (b) fuerza aplicada

La expansin en Serie de Fourier es:

Por la ley de newton el desplazamiento x(t) de la masa est dado por :

La funcin de transferencia es

De modo que

Nos da

La respuesta de estado estacionario o la n-esima armnica

Y la respuesta de estado estacionario para f(t) es

Lo evaluamos con los primeros trminos

Solucin en Matlab:

clcclear all fprintf('\t-APLICACION DE LAS SERIES DE FOURIER EN INGENIERIA'); fprintf('\n\tDETERMINACION DE LA RESPUESTA EN ESTADO ESTACIONARIO DE UN');fprintf('\n\tSISTEMA MASA - RESORTE - AMORTIGUADOR, CUANDO LA MASA ES SOMETIDA');fprintf('\n\tA UNA FUERZA PERIODICA F(t) APLICADA EXTERIORMENTE\n'); syms t n l s w j lo lm lf af Ao = 0;An = 0;Bn = 0;j=sqrt(-1);fprintf('Ingreso de la funcion periodica.\n');lo=input('Ingrese el valor del limite inicial de la funcion periodica.\n');lm=input('Ingrese el valor del limite medio de la funcion periodica.\n');lf=input('Ingrese el valor del limite final de la funcion periodica.\n');P = [lo lm lf] %INTERVALO DEL PERIODO DE LA FUNCION F(T)af=input('Ingrese la magnitud de la fuerza escaln\n');F = [af -af]% FUNCION ESCALON DE LA FUERZA PERIODICA F(t)F = sym(F);T = max(P)-min(P);wo = 2*pi/(T);for cont=1:length(F) Ao = Ao +int(F(cont),'t', P(cont), P(cont+1)); An = An +int(F(cont)*cos(n*wo*t), P(cont), P(cont+1)); Bn = Bn +int(F(cont)*sin(n*wo*t), P(cont), P(cont+1));endAo = simplify(Ao/T);An = simplify(2*An/T);Bn = simplify(2*Bn/T); An = char(An);Bn = char(Bn); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'sin(pi*n)', '0')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'sin(pi*n)', '0'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'cos(pi*n)', '(-1)^n')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'cos(pi*n)', '(-1)^n'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'sin(n*pi)', '0')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'sin(n*pi)', '0'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'cos(n*pi)', '(-1)^n')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'cos(n*pi)', '(-1)^n'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'sin(2*pi*n)', '0')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'sin(2*pi*n)', '0'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'cos(2*pi*n)', '1')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'cos(2*pi*n)', '1'))); An = simplify(sym(strrep(char(An), 'cos(2*n*pi)', '1')));Bn = simplify(sym(strrep(char(Bn), 'cos(2*n*pi)', '1'))); disp('Ao')pretty(Ao)disp('An')pretty(An)disp('Bn')pretty(Bn) %FUERZA PERIODICA f(t) APLICADA A LA MASA DEL SISTEMAt = linspace(min(P), max(P), 1000);fp = 0;%fuerza periodicafor cont=1:length(P)-1 if mod(cont, 2) == 1 fp = fp+((t>=P(cont))&(tP(cont))&(t0 for n=1:1:n x_e_e=((400/(pi*(2*n-1)))/sqrt(((1000-10*((2*n-1)^2))^2)+0.25*((2*n-1)^2)))*sin((2*n-1)*t-atan((1/2*(2*n-1))/(1000-10*(2*n-1)^2))); %x_e_e=(400/(pi*(2*n-1)))/(abs(Gw*pi))*sin(((2*n-1)*pi*t)-(angle(Gw))*pi); pretty(x_e_e) endendezplot(x_e_e,[5 -5])

Solucin en Simulink:

Anlisis de Resultados

Tabla 2: Medidas de Voltaje, Corriente y ResistenciaMedidas de Voltaje, Corriente y Resistencia

Circuito SerieValor CalculadoValor MedidoError

Resistencia Total10.802 10.81 0.07%

Voltaje Total8.993 v9.42 v4.53%

V10.273 v0.28 v0.025%

V20.56 v0.58 v3.44%

V38.16 v8.56 v0.04%

Intensidad Total8.33*10-4 A8.46*10-4 A1.53%

Circuito ParaleloValor CalculadoValor MedidoError

Resistencia Total215.7729 217k 0.56%

Intensidad Total0.049 A0.0465 A5.37%

I10.027 A0.0255 A5.88%

I20.013 A0.0125 A4.16%

I39.18*10-3 A0.009 A2%

Voltaje Total8.993 v9.42 v4.53%

Circuito MixtoValor CalculadoValor MedidoError

Resistencia Total0.958 0.960 0.2%

Voltaje Total8.993 v9.42 v4.53%

V13.07 v3.04 v0.9%

V25.921 v5.88 v0.69%

V35.921 v5.88 v0.69%

Intensidad Total9.39*10-3 A0.0094 A0.10%

I19.39*10-3 A0.0094 A0.10%

I28.78*10-3 A0.0088 A0.22%

I36.041*10-4 A0.0006 A0.068%

Los resultados acerca de la lectura del valor de las resistencias mediante el cdigo de colores y con el instrumento de laboratorio no presentan suficiente correspondencia entre s. Esto es apreciable en los porcentajes de error de cada lectura de las resistencias, que van desde 0.07% hasta 0.5%Dado que el multmetro realiza una medida sobre la propia resistencia, es ms precisa y confiable que el valor aproximado proporcionado por el cdigo de colores. Adems, dado que las resistencias estn en constante uso, podra darse una leve decoloracin de las bandas, dando como resultado un valor de la resistencia errneo.

Circuito en serieEl circuito en serie contiene todas sus resistencias secuencialmente esto quiere decir que todas estn conectadas una detrs de otra. Al aplicarle a travs de la fuente una corriente se puede observar que la medicin de la corriente (tabla 2) disminuye de acuerdo al paso por cada resistencia esto es debido a que segn su definicin se opone al paso de la corriente en medida proporcional a su resistencia en ohm. En un circuito en serie los electrones de la corriente tienen un nico camino y de acuerdo a su paso por cada una de las resistencias. Para el clculo de la resistencia equivalente se realiza una suma de cada una de sus resistencias esto es debido a que se encuentran en secuencia.

Circuito en paraleloUn circuito en paralelo se diferencia a uno con resistencias en serie en que cada una de sus resistencias forman el circuito con un camino independiente por cada resistencia, esto tuvo como resultado que al aplicarle una corriente, la corriente pasa a travs de las resistencias sin realizar ningn cambio en su magnitud. Lo que se observ fue un cambio en su intensidad de corriente en cada una de las resistencias. Para la medicin de la resistencia equivalente se utiliza la ley de ohm, que al simplificar se obtiene una ecuacin. Circuito mixtoPara el anlisis de un circuito mixto, el cual contiene resistencias en serie y en paralelo se realiza un anlisis por partes donde se analizan las resistencias en serie por separado de las que se encuentran en paralelo. Para la resistencia 1se puede observar un cambio de corriente en comparacin a las otras dos, esto es debido a que esta se encuentra en serie y las otras en paralelo. De igual forma la intensidad de la corriente. Para la medicin de la resistencia equivalente se sum la primera resistencia y las otras dos resistencias se utilizaron de nuevo la ecuacin.

CAPITULO IV

3. 3. Conclusiones:

-Se concluye que a travs del cdigo de colores se puede conseguir un valor aproximado de la resistencia con cierto porcentaje de error, ya que con el uso del multmetro se puede obtener el valor real de la misma.-Concluimos que la ecuacin matemtica que describe esta relacin es I=V/R; de la formula podemos concluir que la resistencia que circula por un alambre con una diferencia de potencial constante.-Se concluye que las perforaciones del protoboard estn separadas entre s por una distancia de 0.1, distancia que corresponde a la separacin entre pines o terminales de los circuitos, al insertar las terminales de los componentes en las perforaciones del protoboard, el contacto elctrico se realiza a travs de laminillas.-Concluimos que el multmetro tiene diferentes aplicaciones para medir intensidad de corriente, voltaje y resistencias, as como las condiciones que hay que tener el circuito antes de utilizar el multmetro, para que de esta manera no se cometan errores en la medicin y obtener un resultado ms confiable, para esta prctica utilizamos un hmetro, para conocer el valor de varias resistencias, un voltmetro si queramos medir voltaje era necesario conectarlo en paralelo, pero si queramos medir corriente elctrica con el Ampermetro, debamos conectarlo en serie a la carga, esto era necesario para evitar danos en el aparato o medidas errneas.

Recomendaciones:

-Se recomienda que antes de construir un circuito en el Protoboard, se lo debe elaborar primero en papel, analizarlo y realizar los clculos para obtener resultados aproximados y en base a los mismos realizar la comprobacin.-Se recomienda tomar en cuenta al momento de analizar entre resultados calculados y medidos, que existe un margen de error debido a que los materiales que se utilizan para armar un circuito, influyen al momento de realizar mediciones utilizando el multmetro, adems otro factor es la precisin y exactitud del mismo ya que dependiendo de su calidad los valores varan.-Se recomienda al momento de usar el multmetro se debe tomar en cuenta que para medir voltajes en un componente, se pone el multmetro en paralelo con el componente a medir mientras que la corriente se mide intercalando el multmetro en el circuito, es decir, poniendo el multmetro en serie en el punto en el que se desee medir la corriente.

Bibliografa:Glyn James, David Burley. (2002). Matemticas avanzadas para ingeniera. Pearson Educacin: ilustrada.

Zill, Dennis G.(1997).A First Course in Differential Equations with modelling applications, Sixth Ed.Brooks/Cole Publishing Co. ITP.QA 372.Z54 1997.

Cesar Perez. (202). Matlab y sus Aplicaiones en las Ciencias e Ingenierias. Espaa: Pearson Education.

ANEXOS

ANEXOS AFOTOGRAFAS DE LA PRCTICA

ANEXO BHOJA DE TRABAJO EN CLASE