MODELADO CON ECUACIONES

DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial

5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado

5.1.4 Sistemas

5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera

5.3 Ecuaciones no lineales

Ejercicios de repaso

Hemos visto que una sola ecuacin diferencial puede servir como modelo matemtico

de distintos fenmenos. Por este motivo, en la seccin 5.1 examinaremos con mayor de-

talle una aplicacin, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la

terminologa y las interpretaciones fsicas de los cuatro trminos de la ecuacin lineal

+ + = g(t), veremos que los procedimientos matemticos para manejar, por

ejemplo, un circuito elctrico en serie son idnticos a los que se emplean en un sistema

vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuacin diferencial de segundo orden

surgen en el anlisis de problemas en muchas y diversas reas de la ciencia y la

ingeniera. En la seccin 5.1 slo estudiaremos problemas inicial. En la seccin

5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera,

adems de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores

propios y funciones propias. La seccin 5.3 se inicia con una descripcin de las

diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cmo el pndulo

simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales.

195

196 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

n Sistema lineal dinmico Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento Sistema de resorte y masa Movimiento libre no amortiguado Movimiento armnico simplen Ecuacin del movimiento Amplitud n ngulo de n Resorte desgastable

Movimiento libre amortiguado Movimiento forzado Trminos transitorios y de estado estable Resonancia pura Circuitos en serie

En esta seccin revisaremos varios sistemas lineales (pg. 127) en donde cada

modelo matemtico es una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

+ + = g(t).

No olvidemos que la funcin g es la entrada (funcin de entrada o funcin forzada) del

sistema. La salida o respuesta del sistema es una solucin de la ecuacin diferencial en

un intervalo que contiene a que satisface las condiciones iniciales prescritas

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura una masa est unida a unresorte flexible colgado de un soporte rgido. Cuando se reemplaza con una masa distinta

el estiramiento, elongacin o alargamiento del resorte cambiar.

soporte

resortesin estirar

en reposo

F IGURA 5.1

Segn la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta a ladireccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento En concreto, F =

donde es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las

masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, est caracterizado

Seccin 5.1 Ecuaciones l ineoles: problemas de valor inicial 197

esencialmente por su numero por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira pie un

resorte, entonces 10 = implica que = 20 Entonces, necesariamente, una masa cuyo

peso sea de 8 libras estirar el resorte de pie.

Segunda ley de Newton Despus de unir una masa a un resorte, sta lo estira unalongitud y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso, est equilibrado por la

fuerza de restauracin Recurdese que el peso se define por = mg, donde la masa se

expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 9.8 o 980 respectivamente.

Como se aprecia en la figura la condicin de equilibrio es mg = o mg = 0. Si la

masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de equilibrio, la fuerza de restitucin

del resorte es + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema

y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos

igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitucin y

el peso:

mg= -kx.

c e r o

El signo negativo de la ecuacin (1) indica que la fuerza de restitucin del resorte acta en la

direccin opuesta del movimiento. Adems, podemos adoptar la convencin que los desplaza-

mientos medidos abajo de la posicin de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).

sin estirar

m

posicinde equilibrio

movimiento

- - - -

FIGURA 5.2 FIGURA 5.3

Ecuacin diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos laecuacin (1) por la masa m, obtendremos la ecuacin diferencial de segundo orden +

0, 0 sea

+ = 0

donde = Se dice que la ecuacin (2) describe el movimiento armnico simple o

movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son

198 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

x(O) = la cantidad de desplazamiento inicial, y x(O) la velocidad inicial de la masa. Por

ejemplo, si 0, 0, la masa parte de un punto de la posicin de equilibrio con una

velocidad hacia arriba. Si 0, = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto

ubicado unidades arriba de la posicin de equilibrio, etctera.

Solucin y ecuacin del movimiento Para resolver la ecuacin (2) observemos quelas soluciones de la ecuacin auxiliar = 0 son los nmeros complejos = wi,

As, segn (8) de la seccin 4.3, la solucin general de (2) es

x(t) + sen

El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = y la frecuencia es f = =

Por ejemplo, para = 2 3t 4 sen el periodo es y la frecuencia es

El nmero anterior indica que la grfica de x(t) se repite cada unidades y el ultimo numero

indica que hay tres ciclos de la grfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa

pasa por vibraciones completas por unidad de tiempo. Adems, se puede demostrar que

el periodo es el intervalo entre dos mximos sucesivos de x(t). Tngase en mente que un

mximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia abajo

de la posicin de equilibrio, mientras que un mnimo de x(t) es el desplazamiento negativo

cuando la masa llega a la altura mxima arriba de esa posicin. Ambos casos se denominan

desplazamiento extremo de la masa. Por ltimo, cuando se emplean las condiciones iniciales

para determinar las constantes y en la ecuacin se dice que la solucin particular que

resulta es la ecuacin del movimiento.

Interpretacin de un problema de valor inicial

Resuelva e interprete el problema de valor inicial

+ = 0, = 10, x(O) = 0.

SOLUCIN El problema equivale a tirar hacia masa unida a un resorte 10unidades de longitud respecto de la posicin de equilibrio, sujetarla hasta que = 0 y soltarla

desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solucin

x(t) = 4t + sen 4t

se obtiene x(O) = 10 = + . 0, y entonces 10; por consiguiente

x(t) = 10 4t + sen

Como x(t) -40 sen + entonces x (0) 0 . 1, as que = 0; por

consiguiente, la ecuacin del movimiento es = 10 4t.

Est claro que la solucin indica que el sistema permanece en movimiento una vez

puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posicin de

equilibrio = 0. Como se advierte en la figura el periodo de oscilacin es =

Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 199

X masa abajo de la posicin de equilibrio

masa de la de equilibrio

FIGURA 5.4

Movimiento libre no amortiguado

Una masa que pesa 2 hace que un resorte se estire 6 Cuando = 0, la masa se suelta

desde un punto a 8 abajo de la posicin de equilibrio con una velocidad inicial, hacia

arriba, de Deduzca la ecuacin del movimiento libre.

SOLUCIN Como empleamos el sistema tcnico de unidades inglesas, las medidasexpresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 n = ft; 8 = ft. Adems, debemos

convertir las unidades de peso, que estn en libras, en unidades de masa. Partimos de m

y, en este caso, m = = slug. Tambin, segn la ley de Hooke, 2 = implican que

la constante del resorte es 4 por lo tanto, la ecuacin (1) se transforma en

0 + = 0.

El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(O) x(O) donde el signo negativo

en la ltima condicin es consecuencia de que la masa recibe una velocidad inicial en

direccin negativa o hacia arriba.

Entonces, 64, o sea, = 8, de modo que la solucin general de la ecuacin

diferencial es

x(t) sen

Al condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtienen y As, la ecuacin

del movimiento es

x(t) = sen n

5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Cuando 0 y 0, la amplitud de las vibraciones

libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuacin (3). Esto es, aunque la masa

tiene un desplazamiento inicial de de pie respecto a la posicin de equilibrio en el ejemplo 2,

la amplitud de las vibraciones es mayor de por lo anterior, a menudo conviene pasar una

solucin de la forma (3) a la forma ms simple

x(t) = A

donde y es un ngulo de fase definido por

(7)

Para comprobarlo, desarrollamos la ecuacin (6) aplicando la frmula del seno de la suma:

A + A sen = (A sen + (A sen

En la figura 5.5 tenemos que si definimos mediante

la ecuacin (8) se transforma en

F IGURA 5.5

Forma alternativa de solucin de (5)

En vista de lo que acabamos de explicar, podemos escribir la solucin (5) del ejemplo 2

como sigue:

sen 0, lo que es lo mismo, x(t) +

La amplitud est definida por

Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 2 0 1

El lector debe tener cuidado al calcular el ngulo de fase definido por (7). Cuando =

y = resulta que tan -4 y con una calculadora obtenemos tan-(-4) = -1.326 rad.*

Pero este ngulo est en el cuarto cuadrante y, por consiguiente, contraviene el hecho que

sen 0 y 0 (recordemos que 0 y 0). Entonces, debemos suponer que es

un ngulo que est en el segundo cuadrante, = + (-1.326) = 1.8 16 rad. As llegamos a

+ 1.816). .

La forma (6) es til porque con ella es fcil determinar valores del tiempo para los cuales

la grfica de x(t) cruza el eje positivo de las (la lnea x = 0). Observamos que + = 0

cuando wt + donde n es un entero no negativo.

Sistemas con constantes de resorte variables

un mundo ideal, en que las caractersticas fsicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin

embargo, en el mundo real es lgico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado

en movimiento durante largo tiempo, el resorte se debilite (o pierda bro); en otras palabras,

la constante de resorte va a variar o, ms concretamente, decaer a travs del tiempo. En el

modelo del resorte desgastable, la funcin decreciente K(t) = k 0, 0 sustituye a la

constante de resorte k en (1). La ecuacin diferencial mx + = 0 no se puede resolver con

los mtodos que vimos en el captulo 4; sin embargo, podemos obtener dos soluciones

linealmente independientes con los mtodos del captulo 6. Vanse los problemas 15, ejercicios

5.1; el ejemplo 3, seccin 6.4, y los problemas 39 y 40, ejercicios 6.4.

Cuando un sistema de masa y resorte se somete a un ambiente en que la temperatura es

rpidamente decreciente, la constante k se podr cambiar con K(t) k 0, funcin que crece

con el tiempo. El modelo resultante, + = 0 es una forma de la ecuacin diferencial de

Airy. Al igual que la ecuacin de un resorte envejecido, la de Airy se puede resolver con los

mtodos del captulo 6. Vanse el problema 16, en los ejercicios 5.1; el ejemplo 4, en la seccin

6.2, y los problemas 41 a 43, en los ejercicios 6.4.

51.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armnico libre no es realista porque el movimiento que describe

la ecuacin (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la masa en movimiento.

A menos que la masa est colgada en un vaco perfecto, cuando menos habr una fuerza de

resistencia debida al medio que rodea al objeto. Segn se advierte en la figura 5.6, la masa

podra estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuacin diferencial del movimiento amortiguado libre

sidera que las fuerzas de amortiguamiento que actan sobre un cuerpo son proporcionales a

alguna potencia de la velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la

descripcin que esta fuerza est expresada por un mltiplo constante de Cuando no hay

otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

*La imagen de la tangente inversa es

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

FIGURA 5.6

donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del

hecho de que la fuerza amortiguadora acta en direccin opuesta a la del movimiento.

Al dividir la ecuacin (10) por la masa m, la diferencial del movimiento

amortiguado libre es d + 0, o sea

+ + = 0,

m

El smbolo slo se usa por comodidad algebraica, porque as la ecuacin auxiliar queda

+ + 0 y las races correspondientes son

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de

Puesto que cada solucin contiene al factor de amortiguamiento 0, los

desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO 0. Aqu, se dice que el sistema est sobreamortiguado porque elcoeficiente de amortiguamiento, es grande comparado con la constante de resorte, k. La

solucin correspondiente de (11) es x(t) = + o bien

xt

FIGURA 5.7 FIGURA 5.8

Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 203

Esta ecuacin representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos

grficas posibles de x(t).

CASO II: 0. que el sistema est crticamente amortiguado puesto quecualquier pequea de la fuerza de amortiguamiento originara un movimiento

oscilatorio. La solucin general de la ecuacin (ll) es x(t) = + es decir,

x(t) +

En la figura 5.8 vemos dos tpicos grficos de este movimiento. Obsrvese que se parecen

mucho a los de sistema sobreamortiguado. Tambin se aprecia, segn la ecuacin que

la masa puede pasar por la posicin de equilibrio, a lo ms una vez.

CASO 0. Se dice que el sistema est subamortiguado porque el coeficientede amortiguamiento es pequeo en comparacin con la constante del resorte. Ahora las races

y son complejas:

Entonces, la solucin general de la ecuacin (ll) es

+ sen

Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa

del coeficiente las amplitudes de vibracin tienden a cero cuando

FIGURA 5.9

204 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Movimiento sobreamortiguado

Se comprueba fcilmente que la solucin del problema de valor inicial

es

= 1, x(O) = 1

El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de

una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posicin 1 unidad de la

posicin de equilibrio con una velocidad hacia de 1

Para x(t), se calcula el valor de donde la funcin tiene un extremo; esto es, el

valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuacin

(16) se llega a x(t) = + as que x(t) 0 implica que = o sea = = 0.157.

De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuicin fsica, ~(0.157) 1.069 ft

es, en realidad, un mximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo

de 1.069 abajo de la posicin de equilibrio.

Tambin debemos comprobar si la grfica cruza al eje esto es, si la masa pasa por la

posicin de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuacin x(t) 0, o

= tiene la solucin = -0.305 que es fsicamente irrelevante.

En la figura 5.10 mostramos la grfica de x(t) y algunos de sus valores. n

1 0.6011.5 0.3702 0.225

2 . 5 0.137

3 0.083

FIGURA 5.10

Movimiento crticamente amortiguado

Una masa de 8 de peso estira 2 un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numri-

camente igual a 2 veces la velocidad instantnea acta sobre el contrapeso, deduzca la

ecuacin del movimiento si la masa se suelta de la posicin de equilibrio con una velocidad

hacia arriba de 3

Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial

SOLUCIN De acuerdo con la ley de 8 = da 4 Entonces mg dam slug. Entonces la ecuacin diferencial del movimiento es

1

4 d t

La ecuacin auxiliar de (17) es + 8m + 16 = (m + = 0, de forma que = = -4.

Luego el sistema es crticamente amortiguado y

x(t) = +

Al aplicar las condiciones iniciales x(O) 0 y x(O) = -3 vemos, a su vez, que = 0 y = -3.

As, la ecuacin del movimiento es

x(t) =

Para procedemos igual que en el ejemplo 4. De x(t) 1 4t) tenemos

que = 0 cuando = El desplazamierito extremo correspondiente es = =

-0.276 En la figura 5. ll vemos que interpretar este valor como el punto en que

el contrapeso alcanza una altura mxima de 0.276 ft sobre su posicin de equilibrio.

mxima sobrela posicin de equilibrio

FIGURA 5.11

Movimiento subamortiguado

Un objeto que pesa 16 se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posicin de equilibrio,

el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 arriba de

la posicin de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que

rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numricamente igual a la velocidad

instantnea.

SOLUCIN El alargamiento del resorte, despus de unir el peso, es 8.2 5 = 3.2 ft, demodo que, segn la ley de Hooke, 16 = o sea = 5 Adems, m = slug y

la ecuacin diferencial es

1

2- -

d t

Las races de + 2m + 10 = 0 son = -1 + 3i y = lo cual implica que el sistema

es subamortiguado y que

x(t) 3t + 3t).

206 5 CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Por ltimo, las condiciones iniciales -2 y x(O) 0 determinan las constantes -2

y = as que la ecuacin de movimiento es

.

Forma alternativa de De manera idntica al procedimiento que empleamos en lapgina 200, podemos escribir cualquier solucin

+ sen

en la forma alternativa

x(t) = sen + (23)

en donde el ngulo de fase queda determinado por las ecuaciones

En ocasiones, el coeficiente se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones.

Dado que la ecuacin 23) no es una funcin peridica, el se llama

cuasiperiodo y es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo

entre dos mximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuacin de movi-

miento del ejemplo 6, A = 2 y 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de

(22) es

x(t) = 4.391).

Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado

Ecuacin diferencial del movimiento forzado con amortiguamientotomaremos en cuenta una fuerza externa, que acta sobre una masa oscilatoria en un

resorte; por podra representar una fuerza de impulsin que causara un movimien-

to oscilatorio vertical del soporte del resorte 5.12). La inclusin en la formulacin

de la segunda ley de Newton da la ecuacin diferencial del movimiento forzado:

+

Al dividir esta ecuacin por m se obtiene

+ = (25)

5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial

FIGURA 5.12

donde F(t) y, al igual que en la seccin anterior, = = Para resolver esta

ecuacin no homognea tenemos el mtodo de los coeficientes indeterminados o el de la

variacin de parmetros.

Interpretacin de un problema de valor inicial

Interprete y resuelva el problema de valor inicial

= x(O) = 0.

S O L U C I N Podemos ver el problema como la representacin de un sistema vibratorio

formado por una masa (m = slug o kg) unida aun resorte = 2 o La masa parte

del reposo a unidad (ft o m) abajo de su posicin de equilibrio. El movimiento es

amortiguado = 1.2) y est impulsado por una fuerza externa peridica (T s) que se

inicia cuando = 0. Cabra esperar, intuitivamente, que aun con amortiguamiento el sistema

permanecer en movimiento hasta el momento en que la funcin forzada se desconectara

y en adelante las amplitudes disminuyeran; sin embargo, tal como est enunciado el

5 4t permanecer conectada por siempre.

Primero multiplicamos por 5 la ecuacin diferencial (26)

y la resolvemos con los mtodos acostumbrados. Dado que = -3 + i, -3 i, entonces

x,(t) = t + sen

Aplicamos el de los coeficientes indeterminados, suponiendo que una solucin

particular tiene la forma = 4t + B sen 4t. Entonces

= -4A + 4B = -16A

5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

de modo que

El sistema resultante de ecuaciones

-6A 24B = 25. -24A 6B = 0

tiene las soluciones = y B = En consecuencia

x(t) = + 4t51

Cuando hacemos 0 en la de arriba obtenemos Si diferenciamos

la expresin y hacemos = 0, obtenemos = por consiguiente, la ecuacin de

movimiento es

x(t) = 38 86t -sen t5 1 5 1

n

Trminos transitorio de estado establetaria

=

en la ecuacin (28) tiene la propiedad de que 0. Como se vuelve insignifi-

cante (es decir, 0) cuando se dice que es un trmino transitorio o solucin

transitoria. As, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema

anterior son muy bien aproximados por la solucin particular Esta ltima funcin se

llama tambin solucin de estado estable, de estado estacionario o de estado permanente.

Cuando F es una funcin peridica, como F(t) = sen o F(t) = la solucin general

de la ecuacin (25) esta formada por

x(t) parte transitoria parte estable.

Soluciones transitorias y de estado estable

Se demuestra con facilidad que la solucin del problema de valor inicial

= 0, x(O) = 3

e s = + = t + 2 sen t.

transitorio estado estable

Al examinar la figura 5.13 vemos que el efecto del trmino transitorio en la solucin es

insignificante en este caso, cuando t n

Seccin 5.1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial 209

(b)

FIGURA 5.13

Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamientoCuando se ejerce una fuerza peridica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte

transitoria en la solucin de un problema. Veremos tambin que si se ejerce una fuerza peridica

cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede

originar un grave problema en un sistema mecnico oscilatorio.

Movimiento forzado no amortiguado

Resuelva el problema de valor inicial

+ = sen = 0, x(O) = 0,

en donde es constante y w.

S O L U C I N La funcin complementaria es = wt + sen wt. Para obtener unasolucin particular supondremos que = + sen de modo que

+ = + sen =

Al igualar los coeficientes obtenemos de = 0 y B = por consiguiente

= - s e n

Aplicamos las condiciones iniciales del problema a la solucin general

sen

5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

y obtenemos = 0 y = por lo tanto, la solucin es

x(t) = (-ysenot + osenyt), n

Resonancia pura Aunque la ecuacin (30) no est definida cuando w, es interesante

observar que su valor lmite, cuando w, se puede obtener aplicando la regla de

Este proceso al lmite equivale a una sintonizacin de la frecuencia de la fuerza impulso-

ra con la de las vibraciones libres Esperamos intuitivamente que al paso del

tiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vibracin. Para w, la solucin

se define como

sen + sen

x ( t ) = + osenyt F

0

=-sen +

=-sen +

Como lo esperbamos, cuando los desplazamientos crecen; de hecho, cuando

. . El fenmeno que acabamos de describir se llama resonancia pura. La

grfica de la figura 5.14 muestra un movimiento caracterstico de este caso.

En conclusin, se debe notar que no hay una necesidad real de emplear un proceso al lmite

en (30) para llegar a la solucin para w. Tambin, la ecuacin (31) es consecuencia de

resolver el problema de valor inicial

+ = sen = 0, x(O) = 0

directamente por los mtodos convencionales.

Si una fuerza como la (31) representa en realidad los desplazamientos de un sistema de

resorte y masa, este sistema se destruira. En ltimo trmino, las oscilaciones grandes de la

masa forzaran al resorte a rebasar su lmite elstico. Tambin se podra decir que el modelo

FIGURA 5.14