EL MODO HELMHOLTZ DE DOS OSCILADORES PARADIGMÁTICOS:

EL SISTEMA MASA RESORTE Y EL PÉNDULO

Dr. Reinaldo Welti – UNR - FCEIAMaterial preparado para el Taller TA2 de REF 17 – Sept 2011

Modos de oscilación de una botella

L

Si la botella se comporta como un tubo cerrado abierto, la longitud de onda del modo más bajo sería del orden de 4L,y su frecuencia f1 sería del orden de

c/4L,

donde c es la velocidad del sonido

Los dos primeros modos de un tubo abierto – cerrado

-0.6

00.6

y(u

nida

des

arbi

tria

s)

O L x

-0.6

00.6

y(u

nida

des

arbi

tria

s)

O L x

-0.6

00.6

y(u

nida

des

arbi

tria

s)

O L x

l

f1 = c/4l

f2 = 3c/4l

Si la botella no tiene cuello = tubo abierto cerrado

La frecuencia del modo más bajo de la botella con cuello es mucho menor. Esto significa que la longitud de onda de este modo es mucho

mayor que la longitud característica de la botella

m

keq

m

keq

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

0

5

10

15

x (cm)

pre

sió

n (

línea c

intinua)

velo

cid

ad (

línea a

tra

zos)

Si la longitud de onda es “grande”, las funciones que describen las ondas de desplazamientos y de presión son “casi” rectas.

Sólo energia potencial eléstica

Sólo energia cinética

Para el estudio de su primer modo la botella puede considerarse como de “parámetros concentrados”

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

0

5

10

15

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05-10

-5

0

5

10

x (m)

x (m)

pres

ión

(lín

ea c

onti

nua)

ve

loci

dad

(lín

ea a

traz

os)

[uni

dade

s ar

bitr

aria

s]

primer modo

segundo modo

(a)

(b)

Se observa que en el 2º modo las energías potencial y cinética se distribuyen sobre toda la botella. El sistema debe ser analizado como

de parámetros distribuidos.

Un interesante problema de elasticidad

OSCILADOR MASA RESORTE

¿porqué en muchos libros al sistema masa resorte se lo pone sobre una superficie horizontal?

En ausencia de campo gravitatorio

Estiramiento producido por el

campo gravitatorio

22

( )2

mg mgu x x x

kL kL

x

L

x

( )2

mgu x L

k

En ausencia de campo gravitatorio

Estiramiento producido por el

campo gravitatorio

22

( )2

mg mgu x x x

kL kL

x

L

x

( )2

mgu x L

k

Si al sistema se lo perturba se

generan ondas

Las ondas son análogas a las que se excitan en un

tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro

Se comporta igual que la botella sin el cuello

desplazamiento longitudinal

posi

ció

n de las e

spiras e

n e

l equili

brio

1er. modo

2do. modo

Resorte para mostrar las ondas longitudinales

Es un típico sistema de parámetros distribuidos

A la búsqueda de un “cuello” para el resorte

Se tiene que deformar poco (módulo de Young grande)

La masa tiene que ser lo suficientemente grande para que su energía cinética sea mayor que la del resorte

Cómo convertirlo en un sistema de parámetros concentrados

Líneas continuas: primer modo

Líneas a rayas: segundo modo

-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)x

O

L-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)x

O

L-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)

O

L

x-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)

O

L

x

Líneas continuas: primer modo

Líneas a rayas: segundo modo

-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)x

O

L-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)x

O

L-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)

O

L

x-0.6 0 0.6

y (unidades arbitrias)

O

L

x

Figura 3. Los dos primeros modos de oscilación de un sistema masa-resorte,

para 1m M (gráfica de la izquierda) y para 0M (gráfica de la derecha).

Nueva posición

de equilibrio

m

M

Efecto de la masa M sobre la forma de los modos: el primer modo es casi rectilíneo.

La frecuencia del segundo modo es más de 10 veces más alta

-1 0 1

y (unidades arbitrias)

O

l

x

-1 0 1

y (unidades arbitrias)

O

l

x

Figura 5. Los dos primeros modos de oscilación de un péndulo: línea continua (1º modo), línea a rayas (2º modo).

Figura 6. La forma que toma el péndulo durante una oscilación según Galileo.

EL PÉNDULO

En la Fig. 6 se muestra un dibujo de Galileo basado en observaciones de las oscilaciones de un péndulo cuando la masa suspendida es

pequeña (del orden de la masa de la cuerda). Palmieri (2009) afirma que Galileo conocía la existencia de los llamados modos de

oscilación (“modos latentes de oscilación”) y que el péndulo se mueve en una superposición de sus diferentes modos. Si esto ocurre el

movimiento del péndulo deja de ser periódico.

Palmieri afirma que esta es la causa por la cual Galileo en sus experimentos para demostrar el isocronismo insistía en utilizar hilos

delgados de masa despreciable comparada con la masa suspendida en su extremo.

En este caso la frecuencia del segundo modo es muy grande (30 veces más grande que la frecuencia fundamental) y, por lo tanto, oscila

solamente en su modo fundamental.

desolazamiento longitudinal del resorte

long

itud

del r

esor

te