Sistema Variables de Masa

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Formulacin discreta de las ecuaciones delmovimiento de un cohete.

Un cohete expulsa una fraccin m de su combustible a intervalos de tiempos fijos(por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es unproblema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arrojarepetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador oun vehculo propulsado por los proyectiles disparados, que se ha descrito en laseccin choques de este captulo.

Supondremos que el cohete est en el espacio exterior y por tanto, no acta ningunafuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida queva expulsando el combustible aplicamos el principio de conservacin del momentolineal.

El cohete tiene una masa M que incluye la carga til, el combustible y la masa del depsito que lo contiene.Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir,en los instantes 0, t, 2t...(n-1) t, alcanzando la velocidad en v1, v2, ....vn, tal como se muestra en la figura.

Velocidad del cohete

1. En el intervalo (0-t)

En el instante inicial t=0, expulsa una fraccin m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. Elcohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momentolineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete ms el momento lineal del combustible expulsadodebe dar cero.

(M-m)v1+m(-u)=0

El cohete se mover con velocidad constante v1 en el intervalode tiempo 0-t. La fraccin m del combustible expulsado se mover con velocidad constante u.

2. En el intervalo (t-2t)

En el instante t, el cohete expulsa otra fraccin m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-urespecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2.

El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete ms el de la fraccin m delcombustible expulsado.

(M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1

El cohete se mover con velocidad constante v2 en elintervalo de tiempo t -2t. La fraccin m del combustible expulsado se mover con velocidad constante v1-u.

3. En el intervalo (2t-3t)

En el instante 2t, el cohete expulsa otra fraccin m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-urespecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio deconservacin del momento lineal, despejamos v3.

(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2

El cohete se mover con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2t -3t. La fraccin m del combustibleexpulsado se mover con velocidad constante v2-u.

4. En el intervalo ((n-1)t-nt)

En el instante (n-1)t, el cohete expulsa la ltima fraccin m de combustible con velocidad u respecto del coheteo vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad vn.

El cohete se mover con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1) t. La ltima fraccin m delcombustible expulsado se mover con velocidad constante vn-1-u.

Momento lineal

En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)t -it el momento lineal del cohete es

Pc=(M-im)vi

El momento lineal del combustible expulsado, como podemos comprobar en la primera figura es

Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+m(vi-1-u)

La conservacin del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa,exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.

Energa

La energa final del sistema, es la suma de la energa cintica del cohete Ec con velocidad final vn, y la energacintica Eg de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u) (vn-1-u),respectivamente.

=v1m uM m

= + = mu( + )v2 v1 m uM 2m 1M m 1M 2m

= + = mu( + + )v3 v2 m uM 3m 1M m 1M 2m 1M 3m

= mu( + + .. + ) = muvn 1M m 1M 2m 1M n m i=1n 1

M i m

= (M n m)c 1 2

Desplazamiento

El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-t) es x1=v1t

El desplazamiento en el intervalo de tiempo (t-2t), vale x2=v2t

El desplazamiento en el intervalo de tiempo (2t-3t), vale x3=v3t

El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- nt) ser

Del modelo discreto al continuo

El paso del modelo discreto al modelo continuo, que veremos en la siguiente pgina, implica incrementar elnmero n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fraccin sea cada vez ms reducida. En ellmite, cuando n tienda a infinito, la masa de cada fraccin ser una cantidad infinitesimal dm. Vamos a compararlas predicciones del modelo discreto frente a las del modelo continuo.

La masa inicial M es la suma de la carga til, ms el combustible y ms la masa del recipiente que serproporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial M =carga til+(1+r) combustible.

donde r es del orden del 5% 0.05.

Tomaremos el intervalo de tiempot =1 s. De modo que, la primera fraccin de combustible se expulsa en elinstante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y as sucesivamente. El combustible seagota en el instante t=(n-1) s.

Ejemplo 1:

Combustible en el cohete, 9000 kg

Carga til que transporta, 800 kg.

Nmero de fracciones, 3.

La masa inicial del cohete es (carga til+combustible+masa del depsito)

M=800+1.059000=10250 kg.

La masa de cada fraccin de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s.

La velocidad con la que se expulsa cada una de las fracciones es u=2000 m/s constante respecto del cohete, y estfijada en el programa interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo (s) Masa del cohete (kg) Velocidad cohete (m/s) Velocidad del combustible(m/s)

0-1 10250-3000 827.6 -2000

1-2 10250-23000 2239.3 827.6-2000

2-3 10250-33000 7039.3 2239.3-2000

1. Desplazamiento del cohete en el intervalo de (0- 3) s es el rea bajo la curva escalonada.

= (M n m)Ec 12 v2n

= m + mEg 12 (u)2 1

2 i=1

n1( u)vi 2

x = = t = t mu i=1

nxi

i=1

nvi

i=1

n

j=1

i 1M m j

(0 1) s = 3000 2000 = 827.6 m/sv1 11025013000(1 2) s = + 3000 2000 ( ) = 2239.3 m/sv2 v1 11025023000(2 3) s = + 3000 2000 ( ) = 7039.3 m/sv3 v2 11025033000

x=827.61+2239.31+7039.31=10106.3 m.

2. Momento lineal final del cohete:

Pc=(10250-33000)7039.3=8799188.6 kgm/s

Momento lineal final de los gases expulsados:

Pg=3000(-2000)+3000(827.6-2000)+3000(2239.3-2000)=-8799188.6 kgm/s.

3. Energa del cohete:

Ec=(10250-33000)7039.32/2=3.0971010 J

Energa de los gases expulsados:

Eg=3000(-2000)2/2+3000(827.6-2000)2/2+3000(2239.3-2000)2/2=8.148109 J

La energa total necesaria para que el cohete alcance la velocidad final de 7039.3 m/s es la suma delas dos contribuciones.

E= Ec+ Eg=3.9121010 J

Modelo continuo.

En la formulacin continua, se queman 3000 kg de combustible cada segundo, D=3000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s

Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-3)s es, x=4246 m.

Como vemos hay una gran diferencia entre las predicciones de ambos modelos

Ejemplo 2:

Combustible en el cohete 9000 kg

Carga til que transporta 800 kg.

Nmero de fracciones 9.

La masa inicial del cohete es (carga til+combustible+masa del depsito)

M=800+1.059000=10250 kg.

La masa de cada fraccin de combustible es m=9000/9=1000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, ... t=8 s.

La velocidad de expulsin de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y est fijada en elprograma interactivo.

Modelo discreto

Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son

Intervalo(s)

Masa del cohete(kg)

Velocidadcohete (m/s)

Velocidad delcombustible (m/s)

0-1 9250 216.2 -2000

1-2 8250 458.6 216.2-2000

2-3 7250 734.5 458.6-2000

3-4 6250 1054.5 734.5-2000

4-5 5250 1435.5 1054.5-2000

5-6 4250 1906.0 1435.5-2000

6-7 3250 2521.4 1906.0-2000

7-8 2250 3410.3 2521.4-2000

8-9 1250 5010.3 3410.3-2000

1. El desplazamiento total del cohete en el intervalo (0-9) s es x=16747.4 m

2. El momento lineal final del cohete es Pc=6262895.8 kgm/s

El momento lineal final del combustible expulsado es Pg=-6262895.8 kgm/s

3. La energa cintica del cohete es Ec=1.571010 J

La energa cintica del combustible expulsado es Eg=7.32 109 J.

La energa total es E= Ec+ Eg=2.301010 J.

Modelo continuo

En la formulacin continua, se queman 1000 kg de combustible cada segundo, D=1000 kg/s, resultando

Velocidad final de v=4208 m/s.

Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-9) s es, x=12740 m.

Los resultados del modelo discreto se van acercando a los del modelo continuo.

Fijarse que en el modelo continuo, la velocidad final del cohete es independiente de D, la cantidad decombustible quemado en la unidad de tiempo.

Actividades

Se introduce

El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible en el cohete

La carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta

El nmero n de fracciones de combustible de masa m=c/n, que se expulsan a intervalos regulares de tiempo, enel control de edicin titulado Nmero de fracciones

La velocidad de expulsin de cada una de las fracciones se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete,

Se pulsa el botn titulado Empieza

En la parte inferior del applet, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fraccionesde combustible expulsados (en color rojo).

En la parte superior izquierda, tenemos un conjunto de tres barras:

La primera, seala el tanto por ciento de combustible (en color blanco) gastado y en color rojo el remanente.

La segunda representa, el momento lineal del cohete (azul) y el momento lineal de los gases expulsados (enrojo), ambos momentos son iguales y de sentido contrario, de modo que el momento lineal total es cero.

La tercera barra, representa la energa: la longitud total de la barra es la energa total disponible, la parte azulcorresponde a la energa cintica del cohete, y la parte roja, la energa cintica de las fracciones de combustibleexpulsadas.

Finalmente, tenemos la representacin de la velocidad del cohete en funcin del tiempo. En color rojo la curvacontinua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo. En color azul,tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelodiscreto descrito en esta pgina.

Probar con diversos valores del nmero de fracciones, por ejemplo n=3 y compararla con n=9. Veremos cmo amedida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo.

Cohete de una etapa

Cohete de dos etapas

Movimiento vertical deun cohete (I)

Movimiento vertical deun cohete (II)

Descenso del mdulolunar


Un cohete de empuje constanteEn esta pgina, estudiaremos el movimiento de un cohete en el espacio exterior.

Un cohete ordinario funciona a base de reacciones qumicas que proporcionan una velocidad constante u desalida de los gases en el Sistema de Referencia en el cohete. Si la cantidad de combustible D que se quema en launidad de tiempo es constante, entonces el empuje que proporcionan al cohete los gases expulsados es tambinconstante.

En esta pgina, veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemadoen la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad mxima o el desplazamiento delcohete si dependen de esta cantidad.

Ecuacin del movimiento

Consideremos un cohete de masa inicial m que lleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial(por ejemplo, la Tierra).

En el instante t+t, una masa se expulsa con una velocidad constante u relativa al cohete, comoconsecuencia la masa restante (m-) del cohete se incrementa en v+v.

En el instante t el cohete de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es

p(t)=mv

En el instante t+t

El cohete tiene una masa m-, su velocidad es v+v.

La masa expulsada lleva una velocidad u respecto del cohete o una velocidad u+ v, respecto de Tierra

El momento lineal en este instante es

p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)

Si el cohete est en el espacio exterior, el sistema formado por el cohete y el combustible que expulsa es aislado,el momento lineal p permanece constante. La ecuacin del movimiento del cohete es

p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v=0

En el lmite cuando t0

La masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado es constante M=+m, por lo qued+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la mismacantidad.

(1)

Despejando dv

m u = 0dvdtddt

m + u = 0dvdtdmdt

dv = u dv = uv m

cuya integracin entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresin

Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La masam del cohete en el instante t valdr m=m0-Dt. Donde m0 es la suma de la carga til ms el combustible inicial, yDt es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.

La ecuacin del movimiento (1), la podemos interpretar afirmando que el cohete se comporta como una partculade masa variable m que se mueve bajo la accin de una fuerza de empuje constante uD.

Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, seintegra la expresin de la velocidad

para lo cual, es til conocer la integral

resultando la expresin

Cuando se agota el combustible, el cohete se mueve con velocidad constate.

Momento lineal

Un cohete con una masa inicial m0 empieza a expulsar los gases con velocidad u relativa al cohete y porconsiguiente, comienza a moverse en el espacio exterior. Al cabo de un cierto tiempo, alcanza una velocidad v,expulsando los gases con una velocidad u relativa al cohete o con una velocidad v-u relativa al observadorterrestre.

Si el cohete parte del reposo v0=0, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre v-u no es constante.Al principio tiene sentido contrario al movimiento del cohete v-u0 es del mimo sentido que la del cohete.

En el instante t=0.632m0/D los gases expulsados estn en reposo respecto del observador terrestre.

El momento lineal del cohete en el instante t, es

dv = u dv = udmm v0

v

m0

mdmm

v = + u ln v = + u lnv0m0m v0

m0 Dtm0

m = u Ddvdt

x = v dtx0 0

t

ln z dz = z ln z z

x = + t + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]x0 v0 m0uD m0 m0 m0 m0

u ln u > 0 > em0 Dtm0m0 Dtm0

t > 0.632 m0D

mv = ( Dt) u lnm0m0 Dtm0

El momento lineal de los gases expulsados entre el instante t=0, y el instante t, es

Como el cohete y los gases forman un sistema aislado el momento lineal del cohete es igual y de sentidocontrario al de los gases expulsados desde el instante inicial t=0, al instante t. Como la velocidad de los gasesrespecto del observador terrestre no es constante es necesario calcular una integral para obtener el momento totalde los gases expulsados hasta el instante t, y comprobar de este modo que se cumple el principio de conservacindel momento lineal, principio en el que nos hemos basado por otra parte, para obtener la ecuacin delmovimiento del cohete.

Energas

La energa cintica del cohete en el instante t es

La energa cintica de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t es

Para llegar a esta expresin, es necesario conocer el resultado de las siguientes las integrales :

La energa cintica total del sistema aislado formado por el cohete y los gases en el instante t es

El rendimiento del cohete en el instante t es el cociente entre la energa cintica del cohete y la energa cinticatotal (cohete ms los gases expulsados).

Ejemplo:

Combustible total en el cohete 9000 kg

Carga til que transporta 800 kg

Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s

La velocidad constante de salida de los gases es u=2000 m/s respecto del cohete

La masa del recipiente que contiene el combustible es el 5% de la masa del combustible

Masa total del cohete=carga til+combustible+masa del recipiente

m0=800+9000+0.059000=10250 kg

1. Tiempo que tarda en agotarse el combustible

Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razn de 1000 kg/s, el combustible se agota en 9 s.

2. Velocidad mxima alcanzada por el cohete

dm(v u) = D (u ln u) dt = u( Dt) ln0

t

0

tm0 Dtm0

m0m0 Dtm0

= m = ( Dt)Ec12 v

2 12 m0 v

2

= dm = Dt ( Dt)Eg 0

t12 (v u)

2 12 u

2 12 m0 (u ln )m0Dtm0

2

= Dt ( Dt)Eg 12 u2 1

2 m0 v2

ln z dz = z ln z z

z dz = z z 2z ln z + 2zln2 ln2

+ = Dt Ec Eg12 u

2

v = u ln = 2000 ln( ) = 4208m/sm0 Dtm010250

10250 9000

3. Distancia recorrida hasta que se agota el combustible

4. Energas

La energa total proporcionada por el combustible es

La energa cintica del cohete cuando se ha agotado el combustible es

El rendimiento es el cociente entre Ek/Ei=61.5%

Actividades

Se introduce.

El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete


La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control de edicin titulado Combustiblequemado por seg.

La velocidad constante de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete

La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible


El cohete parte con velocidad inicial cero v0=0 desde el origen x0=0.

La masa inicial m0 es la suma de la carga til, ms el combustible y ms la masa del recipiente cilndrico que serproporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial m0 =carga til +(1+r) combustible.

donde r es del orden del 5% 0.05

El tiempo tmx que tarda en agotarse el combustible es igual al cociente entre la masa de combustible c y lacantidad D que se quema por segundo

tmx=c/D

Cuando se agota el combustible c, el cohete describe un movimiento rectilneo y uniforme, ya que no actanfuerzas sobre el mismo.

En la cola del cohete se dibuja una flecha que indica la intensidad de la fuerza de empuje. Como la velocidad delos gases es constante (en el Sistema de Referencia en el cohete) el empuje es constante.

Comprobar que el cohete alcanza el mismo valor de la velocidad mxima, independientemente de la cantidad Dde combustible quemado en la unidad de tiempo. Mantener constantes la cantidad de de combustible c, la cargatil y variar la cantidad de combustible quemado por segundo. Anotar en una tabla la velocidades finales vmx,una vez agotado todo el combustible, el tiempo empleado en alcanzar la velocidad mxima tmx, y eldesplazamiento del cohete x hasta este instante.

Usar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse al instante en el que se agota el combustible.

D tmx vmx x

En el applet se muestra el balance energtico del cohete. Un crculo muestra la energa inicial del combustible enel cohete, y cmo esta energa se va transformando en energa cintica de los gases expulsados y en energacintica del cohete. Al agotarse todo el combustible, una parte de la energa inicial del combustible se ha

x = ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]m0 uD m0 m0 m0 m0x = 2000 9 ln 10250 + [1250 ln 1250 + 9000 10250 ln 10250] = 12740m20001000

= Dt = 9000 JEi12 u

2 12 2000

2

= (10250 9000) JEk12 4208

2

v = u ln m0 cm0

Cohete de una etapa






Un cohete de dos etapasEn esta pgina, vamos a ver las ventajas que representa un cohete de dos etapas frente a un cohete de las mismascaractersticas de una sola etapa, e investigaremos el reparto ptimo de combustible entre las dos etapas paraconseguir que la velocidad final sea la mxima posible.


La masa inicial m0 es la suma de la carga til, ms elcombustible y ms la masa de los recipientes que contienen elcombustible. Para calcular esta ltima cantidad, se ha supuestoque los recipientes metlicos tiene una masa que es el factor rmultiplicado por la masa de combustible. Donde r es del ordendel 5% 0.05.

masa inicial m0 =carga til+(1+r) combustible total.

La cantidad de combustible en la primera fase c0 es igual alproducto del combustible total, por el tanto por ciento, y

dividido por cien.

combustible en la primera fase c0 =combustible total tanto por ciento/100;

Una vez que ha transcurrido un tiempo t0 igual al cociente entre el combustible en la primera fase c0 y la cantidadD que se quema por segundo.

se alcanza una velocidad mxima v1

El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m0 en una cantidad igual a lasuma de la masa del combustible quemado c0, y la masa del recipiente que lo contiene

masa inicial al encenderse la segunda fase m1=m0 -(1+r) c0

o bien

masa inicial al encenderse la segunda fase m1=carga til+(1+r) c1

Siendo c1 la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del combustible total menos la masade combustible de la primera fase c0 ya quemado.

combustible en la segunda fase c1 =combustible total - combustible en la primera fase c0

En el instante t1 se agota el combustible de la segunda fase, y es igual al cociente entre la masa de combustibletotal y la cantidad D que se quema por segundo

t1=combustible total/D.

Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad mxima v2, continuando con la misma velocidadya que no actan fuerzas sobre el mismo.

Actividades

Se introduce

=t0c0D

= u lnv1m0m0 c0

= + u lnv2 v1m1m1 c1

El combustible total en ambas fases, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete

El tanto por ciento del combustible total en la primera fase, en el control de edicin titulado Tanto por cientode combustible en la primera fase

La carga til que transporta el cohete, en el control de edicin titulado Carga til que transporta



Ahora se tratar de comprobar, que un cohete de dos etapas que transporta la misma cantidad de combustible y lamisma carga til, es ms ventajoso que el mismo cohete de una sola etapa.

En segundo lugar, se tratar de investigar la dependencia de la velocidad final del cohete con el reparto decombustible total entre las dos etapas. Manteniendo fijas la cantidad total de combustible y la carga til, se tratarde modificar el tanto por ciento de combustible en la primera etapa, c0/(c0+c1) y anotar la velocidad final unavez agotado todo el combustible de la primera y de la segunda etapa. Cul es aproximadamente la distribucinptima de combustible?, es decir, aquella que da lugar a una mayor velocidad final.

Tanto porciento

Velocidad al desprenderse laprimera fase

Velocidad final al agotarse elcombustible de la segunda fase

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Reparto ptimo del combustible

Disearemos un cohete de dos etapas que va a acelerar una carga til mu hasta una velocidad v, en el espacioexterior, libre de la accin del campo gravitatorio y de la resistencia del aire.

El combustible total del cohete es c0+c1 repartido en las dos fases. El recipiente que lo contiene tiene una masade r veces la masa del combustible. La velocidad de los gases relativo al cohete es u.

La masa total del cohete ser la suma de la carga til, del combustible y del recipiente que lo contiene.

m0=mu+(1+r)(c0+c1)

Una vez consumida la primera fase, la masa del cohete es la suma de la carga til, el combustible en la segundafase y el recipiente que lo contiene.

m1=mu+(1+r)c1

Como ya hemos demostrado, la velocidad del cohete al consumirse la primera fase ser

Cuando se haya consumido la segunda fase la velocidad final v2 ser

Llamando f0=m1/m0 y f1=mu/m1 se obtiene

Tenemos que minimizar el peso total del cohete m0, para un valor dado de la carga til mu y de la velocidad v2que queremos alcanzar. Utilizando el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange para las dos ecuacionesanteriores se obtiene el siguiente resultado

Teniendo en cuenta este resultado, podemos determinar la distribucin ptima de combustible en las dos etapasdel cohete.

Llamando p a la proporcin de combustible en la segunda fase

La igualdad f0=f1 nos conduce a la ecuacin de segundo grado en p

Despejamos la raz positiva de la ecuacin.

Ejemplo

Sea un cohete que transporta una carga til de 800 kg, el combustible total es 9000 kg, y el valor de r=0.05 (eldepsito representas una masa del 5% del combustible que contiene).

Primero calculamos k

y luego p=0.22. La mxima velocidad de la carga til despus de haberse consumido el combustible se obtienepara p=0.22, es decir, poniendo el 22% de combustible en la segunda fase y el 78% en la primera fase.

El cohete que llev el primer hombre a la Luna tena 3 etapas, se podra pensar que este es el nmero ptimo. Sepuede demostrar que a medida que se usan ms y ms etapas decrece el peso total al despegue. Sin embargo,despus de tres etapas las variaciones del peso tienen menos importancia para el diseador que los problemas quese derivan de la complejidad estructural (control de las vibraciones, etc.).

Referencias

Daz-Jimnez, A., Mathieu Valderrama R.. Redistribuyendo la masa con la velocidad: El cohete clsico. RevistaEspaola de Fsica. Volumen 4, n 3, 1990. pgs. 65-67.

Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca

= u lnv1m0m0 c0

= + u ln = u ln( )v2 v1 m1m1 c1m0m0 c0

m1m1 c1

=f0f1 mum0= u lnv2 (1+r)

2

(r+ )(r+ )f0 f1

=f0 f1

p = c1+c0 c1

+ 2kp k = 0 k =p2 mu(1 + r) ( + )c0 c1

p = k+ kk 2

k = = 0.08845800(1 + 0.05) 9000

Cohete de una etapa


Movimiento vertical deun cohete



Movimiento vertical de un cohete (I)Examinaremos ahora, el movimiento de un cohete que es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra.Supondremos que se trata de un cohete pequeo, que alcanza una altura limitada. Podemos considerar que laintensidad de la gravedad g es aproximadamente constante e igual a 9.8 m/s2.

Analizaremos las dos etapas en el movimiento del cohete:

1. Desde que se lanza hasta que agota el combustible

2. Desde el momento en el que agota el combustible, hasta que alcanza la mxima altura.

Descripcin

Consideremos un cohete que en el instante t, tiene una masa m quelleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial(por ejemplo, la Tierra).

En el instante t+t, una masa de combustible se expulsa conuna velocidad constante u relativa al cohete, como consecuencia lavelocidad de la masa restante (m-) del cohete se incrementa env+v.

En el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. Elmomento lineal es

p(t)=mv

En el instante t+t

El cohete tiene una masa m-, su velocidad es v+v.

La masa expulsada lleva una velocidad u respecto del cohete ouna velocidad u+ v, respecto de Tierra

El momento lineal en este instante es

p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)

El cambio de momento lineal entre los instantes t y t+t es

p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v


El cambio de momento lineal se debe a la accin de las fuerzas exteriores al sistema (la fuerza de atraccingravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).

Por otra parte, la masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado es constante M=+m, por lo que d+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado enla misma cantidad.

La ecuacin del movimiento del cohete se escribe

Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, esconstante, D=-dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdr m=m0-Dt. Donde m0 es lasuma de la carga til ms el combustible inicial, y Dt es el combustible quemado al cabo de

un cierto tiempo t.

= m udpdtdvdt

ddt

= mgdpdt

mg = m + udvdtdmdt

m = uD mgdv

Un cohete puede considerarse una partcula de masa variable m sometida a dos fuerzas de lamisma direccin pero de sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.

Como caso particular, mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, ysobre el cohete actuara nicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsin delos gases al quemarse el combustible.

La ecuacin anterior la podemos escribir

Que se puede integrar de forma inmediata

obtenindose la expresin de la velocidad en funcin del tiempo

Volviendo a integrar

Se obtiene la posicin x del mvil en cualquier instante t.

Ejemplos

El empuje es mayor que peso

Combustible total en el cohete, 1.0 kg

Carga til que transporta, 2.0 kg

Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s

Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s

Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible

1. Fuerzas sobre el cohete

Masa total del cohete=carga til+combustible

m0=2.0+1.0=3.0 kg

El peso del cohete m0g (29.4 N) es menor que el empuje uD (100 N)


Como hay 1.0 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agotaen el instante t0= 10 s.


4. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible

5. Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la mxima altura.

m = uD mgdvdt

= g + udvdtD Dtm0

dv = (g + u ) dtv0

v

0

tD Dtm0

v = gt + u lnv0m0 Dtm0

x = v dtx0 0

t

x = + t g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]x0 v012 t

2 m0uD m0 m0 m0 m0

v = 9.8 t + u ln m0Dtm0v = 9.8 10 + 1000 ln( ) = 307 m/s331

x = g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]12 t2 m0 uD m0 m0 m0 m0

x = 4.9 + 1000 10 ln 3 + [2 ln 2 + 1 3 ln 3] = 1400 m102 10000.1

Las ecuaciones del movimiento son

Donde x0, v0 es la posicin, velocidad del cohete en el instante t0 en el que se ha agotado elcombustible.

La altura mxima se alcanza cuando v=0, en el instante t=41.4 s. La posicin del cohete en dichoinstante es x=6223 m.

El empuje es menor que peso

Combustible total en el cohete, 2.0 kg

Carga til que transporta, 9.0 kg

Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s


Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible

1. Fuerzas sobre el cohete

El peso del cohete (2.0+9.0)9.8=107.8 N es mayor que el empuje uD=10000.1=100 N

Se va quemando el combustible sin que se mueva el cohete hasta el momento en el que el peso seiguala al empuje.

(c+9)9.8=100

Cuando el combustible c=1.204 kg el cohete empieza a elevarse. Se han desperdiciado 2-1.204=0.796 kg de combustible.

2. Masa inicial del cohete al despegue

m0=1.204+9.0=10.204 kg


Como hay 1.204 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible seagota en 12.04 s.


5. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible

6. Tiempo que tarda en alcanzar la mxima altura

0=7.56-9.8(t-12.04) t=12.8 s

Posicin del cohete en dicho instante

x=29.62+7.560.77-4.90.772=32.5 m

Actividades

Se introduce:

Combustible total en el cohete, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete

Carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta

Combustible quemado por segundo, en el control de edicin titulado Combustible quemado por seg.

v = g(t )v0 t0x = + (t ) gx0 v0 t0 12 (t )t0

2

v = 9.8 t + u ln m0Dtm0v = 9.8 12.04 + 1000 ln( ) = 7.56 m/s10.2049

x = g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]12 t2 m0 uD m0 m0 m0 m0

x = 4.9 + 1000 10.204 ln 10.204 + [9 ln 9 + 0.1 12.04 10.204 ln 10.204] = 29.62 m12.042 10000.1



Al lado del cohete, dos flechas, se dibujan las fuerzas sobre el cohete: en color rojo el empuje y en color azul elpeso. El empuje permanece constante, el peso va disminuyendo a medida que se va quemando el combustible.

Si el peso inicial del cohete (carga til ms combustible) m0g es mayor que el empuje proporcionado por laexpulsin de los gases uD, el cohete quema el combustible sin despegar, hasta el momento en el que el peso sehace igual o menor que el empuje.

Una vez que despega, el cohete agota el combustible en el instante t, cociente entre la masa combustible y elcombustible quemado por segundo.

La velocidad que alcanza el cohete cuando agota el combustible se obtiene mediante la frmula

donde m0 es la masa del cohete al despegar, y t es el tiempo desde que despega hasta que agota el combustible.Despus, el cohete contina ascendiendo hasta que su velocidad se hace cero.

En la parte derecha del applet, se representa la velocidad del cohete en funcin del tiempo.

En la parte izquierda del applet, observamos la altura del cohete en funcin del tiempo.


v = 9.8 t + u ln m0 Dtm0

Cohete de una etapa






Descenso del mdulo lunarEn esta pgina, se invita al lector a intentar posar suavemente una nave espacial en la superficie de la Luna o decualquier otro planeta elegido.

Un cuerpo que cae incrementa su velocidad, pero si le aplicamos una fuerza de empuje dirigida verticalmentehacia arriba, el cuerpo no se detiene instantneamente, sino que disminuye su velocidad hasta que se para. Si elcuerpo est ascendiendo debido a la fuerza de empuje, al dejar de aplicar esta fuerza, el cuerpo no se para deinmediato e inicia el descenso.

Sobre la nave de descenso actan solamente dos fuerzas, el peso debido a la atraccin del cuerpo celeste sobre elque intenta aterrizar, y el empuje que proporcionan los gases expulsados. El peso es proporcional a la masa totalde la nave, que a su vez, va disminuyendo debido al consumo de combustible. El empuje es proporcional a lacantidad de combustible que se quema en la unidad de tiempo.

El piloto deber regular el empuje con los controles que proporciona el programa de manera que la nave aterricesuavemente en la superficie del planeta elegido con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s. La pericia delpiloto consistir en aterrizar consumiendo la menor cantidad de combustible posible, ya que su transporte a loscuerpos lejanos es muy caro.

El cohete Saturno V y el mdulo Lunar

El cohete Saturno V puso en camino de la Luna a los dos primeros hombres que pisaron la superficie lunar el 20de Julio de 1969. Para darse una idea del gigantismo de esta mquina se proporcionan los siguientes datos:

Altura, 110, 6 m

Dimetro de la base, 10 m

Peso al lanzamiento, 2837 toneladas

Para subir 113 toneladas de carga til a 185 km de altura y regresar de la Luna con una carga de 43 toneladas.

El cohete constaba de tres fases

Parmetros Fase I Fase II Fase III

Longitud 42 m 24.8 m 17.9 mDimetro 10 m 10 m 6,6 mPeso en vaco 136 080 kg 43 100 kg 15 420 kgPeso del carburante 2 034 900 kg 426 800 kg 103 420 kgEmpuje inicial 3 400 000 kg 460 000 kg 102 000 kgAltura alcanzada 61 km 184 km Rumbo a la LunaVelocidad final 9650 km/h 24 600 km/h 39 420 km/hTiempo que tarda 2.30 min 6 min 8 minCombustible keroseno+O2 lquido O2+H2 lquidos

El mdulo Lunar constaba de dos fases:

La fase de alunizaje tena un motor de combustiblelquido cuyo empuje se poda graduar en la proporcin1 a 10. Se apoyaba sobre unas patas iban plegadasdentro del cohete Saturno V .

La fase de despegue comprenda el motor paradespegar de la superficie lunar, propulsoresadicionales de estabilizacin y direccin, una cabinade mando biplaza y numerosos equipos electrnicos.Sus datos son:

Altura del mdulo lunar 6.98 mDimetro (diagonal de la base) 9.45 mPeso total (incluido los pilotos) 14 742 kgPeso del carburante 10 730 kgEmpuje (en el vaco) de 475 a 4 480 kgTiempo de funcionamiento 910 s

Fuente: Werner Bdeler. Proyecto Apolo. Editorial Sagitario (1969)

Actividades

Se ha diseado el applet tomando los datos del mdulo de alunizaje: el peso inicial de la nave se calculamultiplicando la carga til (3900 kg) ms el combustible inicial (10800 kg) por la intensidad del campogravitatorio. El peso de la nave disminuye, a medida que el combustible se va quemando.

En este problema-juego intentaremos posar suavemente (con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s)dicho mdulo sobre la superficie de la Luna o de otros planetas del sistema solar, partiendo de una altura de 8600m sobre la superficie de dicho planeta.

En la siguiente tabla, se proporcionan datos de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de diversoscuerpos celestes.

Cuerpo celesteIntensidad del campo

gravitatorio (m/s2)

Mercurio 4.00Venus 8.22La Tierra 9.83La Luna 1.62Marte 3.87Jpiter 26.01Saturno 11.18Urano 10.30Neptuno 13.96

La velocidad u de escape de los gases respecto de la nave es constante y se ha fijado en el valor de 3000 m/s.Podemos cambiar el empuje modificando D la cantidad de combustible que se quema por segundo.

Se aconseja establecer un empuje inicial en un valor prximo e inferior al peso

Se pulsa en el botn titulado Empieza para que la nave inicie el descenso

Inicialmente el motor de la nave est apagado. Si se pulsa sobre el botn Motor apagado, el botn cambia suttulo a Motor encendido, y se observa la imagen de la nave con su estela de fuego.

Si se quiere apagar el motor basta volver a pulsar sobre el mismo botn, su ttulo cambia a Motor apagado, y lanave pierde su estela de fuego.

Observar en todo momento, el peso de la nave, empuje de los gases, la velocidad de la nave y su altura sobre lasuperficie del planeta. De acuerdo con estos datos, actuar sobre los botones que modifican el empuje con el motorencendido, para controlar la velocidad de la nave de modo que aterrice suavemente con una velocidadestrictamente menor que 3 m/s.

Observar las flechas roja y azul al lado de la nave espacial. La flecha roja indica el peso, la flecha azul el empuje,cuando ambas flechas son iguales, la velocidad de la nave es constante.

La barra vertical de color azul, muestra de forma grfica el tanto por ciento de combustible que queda sin quemar.Cuando se acaba el combustible, la nave cae libremente.


Aceleracin constante


El cohete "perfecto"Los cohetes que usan combustibles de tipo qumico proporcionan un empuje uD constante. Siendo u la velocidadde salida de los gases (en el Sistema de Referencia en el cohete) y D el combustible expulsado en la unidad detiempo. Si el cohete se mueve con velocidad v, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre es v-u,que no es constante. Esta solucin no es la ms eficiente, aunque sea la ms utilizada.

En esta pgina, vamos a estudiar el denominado cohete "perfecto" definido como aqul en el que la velocidad desalida de los gases u0 medida por el observador terrestre es constante. Por tanto, un cohete "perfecto" necesita deun motor que proporcione una velocidad variable de salida de los gases, que se incremente a medida que elcohete acelera.

Los cohetes del futuro probablemente dejarn de emplear combustibles qumicos, y usarn aceleradores de iones,lseres, o motores nucleares, etc. que podran aumentar de este modo el rendimiento del cohete.

Conservacin del momento lineal

Como se ha mencionado en la introduccin a esta pgina y como se muestra en la figura, la velocidad de losgases expulsados respecto del observador terrestre es constante e igual a u0. La velocidad de salida de los gasespara el observador situado en el cohete vale u0+v, si la velocidad del cohete es v.

La conservacin del momento lineal aplicada al sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v)y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m0-m y velocidad u0) es

mv-(m0-m)u0=0

La ecuacin del movimiento del cohete es muy simple

Siendo D la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo.

Integrando, obtenemos la posicin del cohete en funcin del tiempo (hay que integrar dos veces por partes)

Balance energtico

Energa cintica del cohete

Energa cintica de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t.

v = = mm0m u0Dt Dtm0

u0

x = v dt = [ ln Dt]0

tu0D m0

m0 Dtm0

= m = ( Dt)Ec12 v

2 12 m0 v

2

= Dt g1

Energa cintica total del sistema aislado formado por el cohete y los gases

Rendimiento

El rendimiento del cohete es grande, siempre que la masa final o carga til que transporta m=m0-Dt (masa inicialmenos combustible quemado) sea pequea comparada con la masa inicial m0.

Ejemplo

Combustible total en el cohete 9000 kg

Carga til que transporta 800 kg

Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s

Velocidad inicial de salida de los gases u0=2000 m/s

Masa del recipiente que contiene el combustible 5% de la masa del combustible

Masa total del cohete=carga til+combustible+masa del recipiente

m0=800+9000+0.059000=10250 kg


Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razn de 1000 kg/s. Luego, el combustible seagota en 9 s.


3. En un cohete normal, la velocidad de salida de los gases respecto del cohete es constante (recta de color azul).En un cohete perfecto, el motor impulsor ha de estar diseado de modo que la velocidad v+u0 de salida de losgases respecto del cohete (curva de color rojo) tiene que aumentar con el tiempo en la forma indicada en lafigura

4. Rendimiento cuando se ha agotado todo el combustible

5. Desplazamiento al cabo de 9 s.

= Dt Eg12 u

20

+ = DtEc Eg12

m0 Dtm0

u20

= =Ec+Ec EgDtm0

v = = = 14400m/sDt Dtm0u0

1000 910250 1000 9

= = = 87.8%Dtm01000 910250

= [ ln Dt]u0 0 m0

Actividades

Se introduce.

El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete



La velocidad inicial de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s

La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible


El applet simula un cohete perfecto, de modo que la velocidad de salida de los gases siempre es constante para elobservador terrestre pero crece en el sistema de referencia del cohete a medida que ste se acelera.

En la cola del cohete se dibuja una flecha que seala la fuerza de empuje uD=(u0+v)D. El empuje vaaumentando a medida que aumenta la velocidad de salida de los gases u0+v en el Sistema de Referencia en elcohete.

El cohete que estudiaremos, expulsar una cantidad constante D de combustible en la unidad de tiempo

Se sugiere al lector que compare el comportamiento de dos cohetes con la misma carga y la misma cantidad decombustible, y el mismo valor para el parmetro D (combustible quemado por segundo).

Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia del cohete

Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia terrestre (cohete perfecto)

Referencias

Gowdy, R.H. The physics of perfect rockets. Am. J. Phys. 63 (3) March 1995, pp. 229-232.


= [ ln Dt]u0D m0 m0Dtm0x = [10250 ln( ) 9000] = 25135m20001000 10250102509000

Cohete "perfecto"


Cohete con aceleracin constante

Si queremos que el cohete viaje con aceleracin constante a, la masa de gas expulsada por segundo D, deja de serconstante

Para que la aceleracin a sea constante D debe variar con el tiempo de la forma indicada en la figura. Los datosson los del ejemplo de ms abajo.

La energa total del cohete ms la de los gases expulsados ser

La potencia (energa por unidad de tiempo) suministrada por el motor es constante

Ejemplo

Supongamos un cohete con una masa inicial de 10000 kg y que la velocidad inicial de salida de los gases de1000m/s, la potencia de su motor es de 50106 W. Determinar, su velocidad al cabo de 5 minutos, la distancia quehabr recorrido y la masa de combustible que ha gastado.

1. En la frmula de la potencia P, despejamos la aceleracin

m0=10000 kgu0=1000 m/sP=50106 W

El resultado es a=10 m/s2

2. La velocidad al cabo de 5 minutos 300 s es v=10300=3000 m/s

3. La distancia que ha viajado

4. Combustible quemado en el tiempo t=300 s.

v = = at D =Dt Dtm0u0

am0+ atu0

= Dt = atEk12

m0 Dtm0

u2012m0u0

P = a12m0u0

x = a = 450 km12t2

D = = = = kg/sdm am0 1000010 1000


D = = = = kg/sdmdtam0

+atu010000101000+10t

1000100+t

m = dt = 10000 ln 4 kg0

3001000

100 + t


El cohete de TorricelliEn un cohete de empuje constante, la velocidad de salida de los gases esconstante desde el punto de vista del observador situado en el cohete.

En esta pgina, vamos a estudiar una situacin en el que la velocidad desalida no es constante y por tanto, el empuje es variable.

Sea un depsito cilndrico de radio R, situado sobre una plataforma quepuede moverse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. La masadel depsito vaco y la plataforma es M. Se llena el depsito con aguahasta una altura H. Se abre un orificio de radio r en un lado deldepsito. Se tratar de determinar la posicin y velocidad del depsitoen funcin del tiempo.

Vaciado del depsito

En el captulo Fluidos, se estudia el vaciado de un depsito de seccin S1=R2 que se ha llenado de agua hastauna altura H. Si se abre un orificio de rea S2= r2 en el fondo. La velocidad u de salida del agua cuando susuperficie libre est a una altura h sobre el fondo, de acuerdo al teorema de Torricelli es

Un anlisis ms detallado que tenga en cuenta las dimensiones del depsito (de seccin S1) y del orificio (seccinS2) con conduce a la expresin

Podemos considerar a g como una aceleracin de la gravedad efectiva, que coincide con g si el radio del orificior es mucho menor que el radio R del depsito.

A medida que el agua, de densidad , sale por el orificio, la altura h o la masa m=R2h de agua en el depsitova disminuyendo con el tiempo. Como el gasto o volumen del fluido que sale por el orificio en la unidad detiempo es r2u, La masa m de agua disminuye de acuerdo con la ecuacin

Integramos esta ecuacin diferencial entre el instante t=0, en el que la masa de agua es m0= R2H, y el instante ten el que la masa de agua es m.

Finalmente, nos queda

El depsito se vaca completamente en el instante tmx, en el que la altura h, o la masa m de agua es cero

Movimiento del depsito

u = 2gh

u = = =R2 2ghR4 r4

2gh1 /r4 R4

2g'h

= u = dmdt r2 dm

dtr2

R 2g' m

= kt k =m m0 r2

R g'

2

m = ( kt)m0 2

= =tmaxm0 k ( 1)R

4

r42Hg

La definicin de fuerza es

El sistema formado por el depsito y el agua es aislado, por lo que la fuerza F=0.

Al estudiar el movimiento de un cohete de empuje constante, deducimos la ecuacin del movimiento

donde u era la velocidad de salida de los gases respecto de cohete, y m la masa total del cohete (recipiente vaco ycombustible).

En este caso, separamos la masa total en dos partes: la masa m de agua que va disminuyendo y la masa constanteM del depsito vaco y la plataforma sobre la que descansa el depsito.

En funcin del tiempo t, la ecuacin del movimiento se escribe

Integramos esta ecuacin entre el instante t=0, en el que la velocidad del depsito es v=0, y el instante t, en el quela velocidad es v. Haciendo el cambio de variable

tenemos que integrar

Deshaciendo el cambio, obtenemos la expresin de la velocidad v en funcin del tiempo t.

Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posicin x de la plataforma en funcin del tiempo t. Para ellonecesitamos la integral del arco tangente.

Se ha agotado el agua almacenada en el depsito en el instante tmax tal que

La velocidad mxima es

y se produce cuando el depsito se encuentra en la posicin x.

En un cohete, la velocidad final no depende de la cantidad de combustible D que se quema por segundo, sino dela masa inicial, de la masa final, y de la velocidad constante u de salida de los gases respecto del cohete.

La velocidad final de este cohete peculiar que estudiamos en esta pgina, depende a travs de g' del radio r delorificio de salida del agua, es decir, de la cantidad de agua expulsada en la unidad de tiempo. Ahora bien, si elradio del orifico r de salida del agua es mucho ms pequeo que el radio del depsito R, entonces g'g. La

= Fdpdt

m + u = 0dvdtdmdt

(M + m) = udvdtdmdt

= 2g'dvdtr2

R2( kt)m0 2

M + ( kt)m0 2

z = ktm0

dz2R2g'

z

z0

z2

M + z2

dz = (1 ) dz = z arctan + arctanz

z0

z2

M + z2 z

z0

MM + z2

M zM z0 Mz0M

v = (kt + arctan arctan )2R 2g'

M ktm0 M

Mm0M

arctan z dz = z arctan z ln(1 + )12 z2

x = 2R2g'

k ( arctan ) t 12 t2 M m0M Mk

arctan ln(1 + )ktm0 M ktm0 M 12 ( kt)m0

2

M

arctan + ln(1 + )m0M m0M 12 m0M

kt = 0m0

= ( arctan ) = 2 (1 arctan )vmax 2R 2g'

m0 M m0M 2g'H Mm0 m0M

x = ( M ln(1 + )) = 2 H (1 ln(1 + ))1kR 2g'

m0 m0M R2

r2Mm0

m0M

velocidad final vmx depende solamente, de la masa M de la plataforma y depsito vaco y de la masa inicial delagua en el depsito m0= R2H.

A partir de este instante tmx, el conjunto formado por la plataforma y depsito vaco se mueven con velocidadconstante.

Ejemplo

El radio del depsito R=10 cm=0.1 m

El radio del orificio r=1 cm=0.01 m

El peso en vaco (sin agua) M=20 kg

La altura inicial del agua en el depsito H=45 cm=0.45 m

La masa inicial de agua en el depsito es

m0=R2H, m0=10000.120.45=14.14 kg

Calculamos la aceleracin de la gravedad efectiva g'

La velocidad inicial de salida del agua medida por un observador situado en la plataforma es

El tiempo que tarda en salir el agua del depsito es

La velocidad mxima que adquiere la plataforma es

La plataforma se encuentra en la posicin

Actividades

Se introduce:

El radio del depsito, en el control de edicin titulado Radio depsito

El radio del orificio situado en la parte lateral izquierda, en el control de edicin titulado Radio orificio

El peso en vaco del depsito y de la plataforma, actuando en la barra de desplazamiento titulada Peso en vaco.

Se pulsa en el botn titulado Nuevo

Se establece la altura inicial de agua en el depsito, arrastrando la flecha de color rojo con el puntero del ratn.

Una vez que se define el estado inicial. Se pulsa el botn titulado Empieza.

Observamos la salida del agua por la parte inferior izquierda del depsito. Una flecha de color azul nos indica lamagnitud de la velocidad de salida del agua medida por un observador situado en la plataforma. Una flecha decolor rojo, nos indica la velocidad de la plataforma. La diferencia entre los dos vectores es igual a la velocidad desalida del agua medida por un observador situado en Tierra.

La velocidad de salida del agua medida por el observador situado en Tierra, primero es negativa, cuando eldepsito comienza a vaciarse y luego es positiva, cuando el depsito est casi vaco. En un instante dado, lavelocidad de salida del agua, coincide con la velocidad de la plataforma, la velocidad de salida del agua respectodel observador situado en Tierra es cero.

En la parte superior derecha del applet, el programa interactivo nos proporciona los datos del tiempo (en s), laposicin del depsito (su lado izquierdo, donde se encuentra el orificio), y la velocidad de la plataforma. Cuando,el agua ha salido del depsito, la plataforma se mueve con velocidad constante.

g' = g' = = 9.8g1 /r4 R4

9.81 /0.014 0.14

m/s2

u = u = = 2.97 m/s2g'H 2 9.8 0.45

= = = 30.3 stmax ( 1)R4

r42Hg

tmax ( 1)0.1

4

0.0142 0.45

9.8

= 2 (1 arctan ) vmax 2g'H Mm0 m0M = 2 (1 arctan ) = 1.0 m/svmax 2 9.8 0.45 2014.14 14.1420

x = 2 H (1 ln(1 + )) R2r2 Mm0 m0Mx = 2 0.45 (1 ln(1 + )) = 21.93 m0.120.012

2014.14

14.1420

El flujo de arena

Un depsito de arenaempujado por unafuerza constante.

Un depsito de arenaempujado por un pesoque cae.

El reloj de arena.

Inicio Dinmica Sistemas de masa variable

El flujo de arenaLos materiales granulares como la arena estn formados por un conglomerado de partculasmacroscpicas. Su comportamiento es diferente de los slidos y de los fluidos.

Descripcin

El flujo (masa por unidad de tiempo) de un material granular de densidad a travs de unaabertura de rea A bajo la accin del campo gravitatorio terrestre g, es

donde k es una constante.

Como se estudiar en el captulo Fluidos, el flujo de un lquido a travs de una abertura depende de la altura dellquido y por tanto, depende del tiempo.

Vamos a disear una experiencia con el objetivo de:

1. comprobar que el flujo de arena es constante en el tiempo y no depende de la altura hde la columna de arena.

2. determinar la dependencia del flujo con el rea A del orificio de salida.

Dispondremos de una botella de plstico invertida, en la que podemos cambiar elradio del orificio de salida e incluso la forma del orificio (circular, rectangular,triangular, etc.).

La botella se cuelga de una balanza o de un dispositivo de medicin de fuerzasconectado a un sistema de adquisicin de datos. De este modo, se mide la masa enfuncin del tiempo.

Representando grficamente, en el eje vertical la masa m de arena contenida en labotella, y en el eje horizontal el tiempo t obtenemos una lnea recta cuya pendiente es-dm/dt. De este modo, comprobamos que el flujo es constante

Para determinar la dependencia del flujo f =dm/dt con el rea A del orificio de salida,escribimos

donde c es una constante. Cambiamos el radio del orificio y repetimos el experimento, midiendo una nuevapendiente -f y as, sucesivamente.

Si representamos logf en el eje vertical y logA en el eje horizontal obtenemos una lnea recta cuya pendiente es5/4 tal como se muestra en la parte derecha de la figura.

Actividades

= kdmdt g A54

f = c log f = log c + log AA54

54

Se pulsa el botn titulado Inicio

Se arrastra la flecha de color rojo con el puntero del ratn, para establecer la altura inicial de la arena en labotella invertida.

Se introduce el dimetro d del orificio de salida en mm, actuando en la barra de desplazamiento tituladaDimetro.


Una balanza electrnica situada en la parte superior del applet mide solamente el peso de arena, se ha descontadoel peso de las partes que no cambian (botella, abertura, etc.).

Se observa la salida de la arena a travs del orificio, comprobamos que el flujo es constante e independiente de laaltura inicial de la arena en el recipiente.

En la parte derecha, observamos la representacin grfica de la masa m de la arena en funcin del tiempo t.Medimos la pendiente de la recta f en g/s. Calculamos el rea de la abertura circular A=d2/4, siendo d eldimetro en mm. Los pares de datos: rea A y flujo f se guardan el control rea de texto situado a la izquierda delapplet.

Pulsamos el botn titulado Inicio, cambiamos el dimetro del orificio y pulsamos el botn Empieza y as,sucesivamente

Cuando tenemos suficientes datos, se pulsa el botn titulado Grfica, para representar

en el eje horizontal log A (el rea en mm2)

en el eje vertical log f (el flujo en g/s)

Si medimos la pendiente de la recta, obtendremos un valor prximo a 5/4=1.25

Para eliminar los datos guardados en el control rea de texto, y para realizar una nueva experiencia, se pulsa elbotn titulado Borrar.

El lector puede repetir con la calculadora los clculos que realiza el programa interactivo, pare ello precisa de lossiguientes datos adicionales:

densidad de la arena =2.5 g/cm3

a la constante k en la frmula del flujo, se le ha asignado arbitrariamente, el valor k=0.533

la botella tiene forma cilndrica, el radio de la base es R=2.5 cm

Ejemplo:

Si la altura de la arena es de h=20 cm, la masa de la arena contenida en la botella es

m=hR2=2.5202.52=981.7 g

El tiempo que tarda en vaciarse un depsito de altura inicial h=20 cm, cuando la arena sale por un orificio dedimetro d=12 mm=1.2 cm es

t=m/f=981.7/48.6=20.2 s

Cuando la arena sale por una orificio de d=10 mm de dimetro

t=m/f=981.7/30.8=31.8 s

Para determinar la dependencia del flujo f con el rea A, trazamos la recta

logf=b+alogA

Para trazar la recta o bien, para calcular la pendiente a y la ordenada b en el origen necesitamos dos puntos:

El primer punto tiene

abscisa x=log(62)=2.053

ordenada y=log 48.6=1.687

El segundo punto,

abscisa x=log(52)=1.895

ordenada y=log 30.8=1.489

Se resuelve el sistema

f = 0.533 2.5 = 48.6 g/s980 ( )0.6254

f = 0.533 2.5 = 30.8 g/s980 ( )0.5254

1.687=b+a2.0531.489=b+a1.695

Despejamos la pendiente a de la recta que vale 1.25

En la prctica real, a partir de una tabla de valores (logA, logf), se aplica el procedimiento de regresin lineal paracalcular la pendiente de la recta a que mejor ajusta a los datos experimentales.

Arrastre con el puntero del ratn la flecha de color rojo

Referencias

Flores J., Solovey G., Gil S., Flow of sand and a variable mass Atwood machine. Am. J. Phys. 71 (7) July 2003,pp. 715-720.

Fotografa de la tolva. Laboratorio de Fsica. E.U. Ingeniera Tcnica de Minas y Obras Pblicas (Barakaldo)


El flujo de arena



El reloj de arena.


Un depsito de arena que se mueve sobre unapista horizontal

En esta pgina, se estudia el movimiento de un depsito inicialmente lleno de arena, cuando se abre un orificio enel fondo del depsito

En el primer caso, el depsito se mueve sobre una pista horizontal sin rozamiento, bajo la accin de unfuerza constante.

En el segundo caso, se mueve por una pista horizontal con rozamiento, bajo la accin de la fuerza variable.

En la pgina anterior "Flujo de arena" se ha estudiado el flujo de arena a travs de un orificio practicado en laparte inferior de un depsito estacionario. Supondremos que el flujo vertical de arena no se modifica cuando eldepsito se mueve en la direccin horizontal.

Movimiento de un depsito bajo la accin de una fuerza constante

En la figura, se muestra un depsito cilndrico de radio R, que tiene un orificio en su base inferior de radio r.

La masa del depsito en funcin del tiempo

La masa del depsito vaco es M, se llena con arena hasta una altura h0. La masa inicial del depsito es

m0=M+R2h0

donde es la densidad de la arena

En la pgina titulada "El flujo de arena" mostramos que el flujo f=dm/dt de arena a travs del orificio es constantee independiente de su altura h en el depsito. La masa del depsito disminuye linealmente con el tiempo. En elinstante t vale

m=m0-ft

o bien,

m=M+R2h

donde

El depsito se vaca cuando h=0, es decir, en el instante tm

h = h0f tR2

=tmR2h0

f

Movimiento del depsito

La segunda ley de Newton para el movimiento en una dimensin se escribe

donde p es el momento total del sistema y F la fuerza neta que acta sobre el mismo. Como la masa del sistemavara con el tiempo, hemos de ser muy cuidadosos cuando nos referimos al momento p, ya que incluye elmomento de la masa expulsada, tal como vimos en la formulacin de las ecuaciones del movimiento de uncohete, que volvemos a reproducir en esta pgina.

En el instante t el depsito de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es

p(t)=mv

En el instante t+t

El depsito tiene una masa m-, su velocidad es v+v.

La masa de arena descargada lleva una velocidad u respecto del depsito o una velocidad u+ v, respectode Tierra

El momento lineal del sistema en este instante es

p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)

La variacin del momento lineal entre el instante t y el instante t+t es

p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v


La masa M del sistema formado por el depsito m y la arena descargada es constante M=+m, por lo que d+dm=0. La masa del depsito disminuye en dm y aumenta la masa de la arena descargada en la misma cantidad.

Si la velocidad u de salida de la arena respecto del depsito es cero, la ecuacin del movimiento se escribe

que es similar a la expresin para el caso de una masa constante, pero con la importante diferencia de que la masaes variable con el tiempo.

Tambin, es similar a la ecuacin del movimiento de un cohete de empuje constante, donde F=uD es la fuerza deempuje que proporcionan los gases al quemarse.

Supondremos que el depsito se mueve con velocidad inicial v0, en el instante inicial t=0, en el que se abre elorificio de salida de la arena.

Integrando de nuevo, obtenemos la expresin de la posicin del mvil en funcin del tiempo. Recordando que

obtenemos

F = dpdt

= m udpdtdvdt

ddt

= m + udpdtdvdt

dmdt

m = Fdvdt

( f t) = Fm0dvdt

v = dt v = + lnv0 0

tF f tm0

v0Ff

m0 f tm0

ln z dz = z ln z z

x = t + t ln + (( f t) ln( f t) + f t ln )oF

0F

0 0 0 0

Cuando se agota la arena del depsito, la masa del depsito vaco m=m0-ftm es constante, y la aceleracin esconstante

Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son.

Donde x1 y v1 es la posicin del depsito en el instante tm en el que se vaca el depsito de arena

Cuando no se aplica fuerza alguna

Cuando no se aplican fuerzas, podamos pensar errneamente que al disminuir el depsito su masa, su velocidadse iba a incrementar. Pero nos olvidamos del momento lineal de la arena expulsada. De acuerdo a la ecuacin delmovimiento, si F=0, la velocidad del depsito es constante e igual a la velocidad inicial v0.

Energas

La energa cintica inicial del depsito es

La energa cintica del depsito en el instante t es

La energa cintica de la arena descargada hasta el instante t es.

Recurdese que la velocidad de la porcin dm de arena descargada es cero respecto del depsito y v respecto deTierra.

El trabajo realizado por la fuerza constante F es

Fx

Podemos comprobar, que el trabajo de la fuerza F se invierte en incrementar la energa cintica del depsito y dela arena descargada.

Para comprobarlo, nos podemos ayudar de las integrales

Ejemplo

Masa del depsito vaco M=50 kg

Altura inicial de la arena en el depsito h0=45 cm

Flujo f=0.76 kg/s.

Fuerza F=0.7 N

Radio de la base del depsito cilndrico R=10 cm

Densidad de la arena =2500 kg/m3

Velocidad inicial del depsito v0=0.1 m/s

x = t + t ln + (( f t) ln( f t) + f t ln )voFf m0

Ff 2

m0 m0 m0 m0

a = F fm0 tm

v = + a(t )v1 tmx = + (t ) + ax1 v1 tm 12 (t )tm

2

12m0v

20

12 ( f t)m0

2v2

dm = f dt0

t12 v

2 12

0

t

v2

F x = ( f t) + f dt 12 m0 v2 1

2 0

t

v2 12m0v20

ln z dz = z ln z z

z dz = z z 2z ln z + 2zln2 ln2

La masa inicial del depsito lleno de arena es

m0=M+R2h0

m0=50+25000.120.45=85.3 kg

El tiempo que tarda en vaciarse el depsito

En el instante tm el depsito se ha vaciado, su masa es M=50 kg. La velocidad final que alcanza el depsito vacoen este instante es

La posicin x del depsito en el instante tm=46.5 s es

A partir de este instante, el depsito se mueve con aceleracin constante

v=0.59+0.014(t-46.5)x=15.08+0.59(t-46.5)+0.014(t-46.5)2/2

Actividades

Se pulsa el botn titulado Inicio

Se arrastra la flecha de color rojo con el puntero del ratn, para establecer la altura inicial de la arena en eldepsito.

Se introduce, el flujo f=dm/dt en (kg/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada Flujo.

Se introduce, el peso del depsito vaco M (en kg) en el control de edicin titulado Peso en vaco.

Se introduce, el valor de la fuerza F en N, en el control de edicin titulado Fuerza.

Datos que se han fijado en el programa interactivo

Radio de la base del depsito cilndrico R=10 cm


Velocidad inicial del depsito v0=0.1 m/s


El orificio situado en el fondo del depsito se abre y comienza a caer un flujo f constante de arena. El depsitodisminuye su masa e incrementa la velocidad.

Cuando el depsito se vaca, su masa no cambia y por tanto, se mueve con aceleracin constante.

Para realizar otra experiencia se pulsa el botn titulado Inicio, se cambia, la masa del depsito vaco, la alturainicial de la arena en el depsito, la fuerza con la que se tira del depsito y se pulsa el botn titulado Empieza.

= = = 46.5 stmR2h0

f tm2500 0.450.12

0.76

v = + ln v = 0.1 + ln = 0.59 m/sv0Ff

m0 f m0 tm

0.70.76

85.350

x = + ln + (( f ) ln( f ) + f ln )votm Ff tm m0Ff 2

m0 tm m0 tm tm m0 m0

x = 0.1 46.5 + 46.5 ln 85.3 + (50 ln 50 + 0.76 46.5 85.3 ln 85.3) = 15.08 m0.70.760.7

0.762

a = a = = 0.014F f m0 tm0.750 m/s

2

El flujo de arena



El reloj de arena.


Movimiento de un depsito de arena bajo laaccin de un peso que cae.

En este apartado, se estudia un sistema en el que la masa y la fuerza aplicada cambian. Consiste en un depsito dearena que pierde masa por su parte inferior, y que se desplaza sobre dos vas paralelas, que ejercen una fuerza derozamiento cuando el depsito se desplaza. Este depsito est unido mediante una cuerda que pasa por una poleaa un cuerpo cuya masa M es constante, tal como se muestra en la figura

Ecuaciones del movimiento

Dibujamos las fuerzas sobre el bloque y sobre el depsito. Supondremos que la polea tiene un momento deinercia despreciable.

La ecuacin del movimiento del depsito es

T-N=maN=mg

La ecuacin del movimiento del cuerpo que cuelga es

Mg-T=Ma

Primer etapa. La masa del depsito disminuye

La masa del depsito vara con el tiempo de la forma

m=m0-ft

Siendo m0 la masa inicial (depsito vaco ms la arena que contiene), y f el flujo constante de arena que sale porel orificio situado en su parte inferior.

Eliminando T del sistema de ecuaciones

Integrando

= gdvdtM + f tm0M + f tm0

dv = g dtv t

La fraccin es fcilmente integrable si se transforma en esta otra expresin equivalente

Despus de hacer algunas operaciones se obtiene

Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento x en funcin del tiempo t. Recordando que

obtenemos

Segunda etapa: la masa del depsito es constante

La arena se agota en el instante tm. A partir de este instante, la masa del depsito es constante

m=m0-ftm

La aceleracin del depsito y del bloque es constante, el movimiento es uniformemente acelerado

La posicin y velocidad es

donde x0 y v0 es la posicin y velocidad del depsito en el instante tm en el que se quedado vaco.

Ejemplo

Masa inicial de arena 1 kg

Flujo de arena f=0.8 kg/s

Coeficiente de rozamiento =0.5

Masa del bloque M=1 kg.

La masa inicial del depsito de arena es igual a la masa de la arena ms la masa del recipiente que lo contiene. Seha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.

masa inicial del depsito (m0) =1.1 masa inicial de arena

La masa inicial del depsito es m0=1.11=1.1 kg

El depsito de arena se vaca en el instante tm=1.0/0.8=1.25 s.

En dicho instante la velocidad del depsito es

La posicin del depsito es

A partir de este instante, el depsito se mueve con aceleracin constante

dv = g dt0

v

0

tM + f tm0M + f tm0

= +M + f tm0M + f tm0M(1 + )

M + f tm0

v = ln g tgM(1 + )fM + m0

M + f tm0

ln z dz = z ln z z

x = ggM(1 + )f

t(ln(M + ) + 1) ln(M + ) +m0 M+m0f m0

ln(M + f t)M+ f tm0f m0

12 t

2

a = gM ( f )m0 tmM + fm0 tm

v = + a(t )v0 tmx = + (t ) + ax0 v0 tm 12 (t )tm

2

v = ln ggM(1+)fM+m0

M+ fm0 tm tm

v = ln 0.5 9.8 1.25 = 5.76 m/s9.81(1+0.5)0.81+1.1

1+1.10.81.25

x = ( ) 0.5 9.8 = 2.80 m9.8 1(1 + 0.5)0.81.25(ln(1 + 1.1) + 1) ln(1 + 1.1) +1+1.10.8

ln(1 + 1.1 0.8 1.25)1+1.10.81.250.8

12 1.25

2

a = g a = 9.8 = 8.46 m/sM ( f )m0 tmM + fm0 tm1 0.5( 1.1 0.8 1.25)

1 + 1.1 0.8 1.25

Las ecuaciones del movimiento son

v=5.76 +8.46(t-1.25)x=2.80+5.76 (t-1.25)+8.46(t-1.25)2/2

Por ejemplo, en el instante t=1.6 s el depsito se encuentra en la posicin x=5.33 m y lleva una velocidad dev=8.72 m/s

Por ejemplo, el depsito llega a la posicin x=4.0 m en el instante t=1.43 s, con una velocidad de v=7.31 m/s

Actividades

Se introduce

La masa de arena (en kg), en el control de edicin titulado Masa de arena

El flujo f de arena (en kg/s), en el control de edicin titulado Flujo de arena

El coeficiente de rozamiento entre le depsito y el plano horizontal, en el control de edicin titulado Coef.rozamiento

La masa del bloque M, se ha fijado en el valor M=1 kg


La masa inicial del depsito de arena es igual a la masa de la arena ms la masa del recipiente que lo contiene. Seha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.

masa inicial del depsito (m0) =1.1 masa inicial de arena

masa final del depsito =masa del recipiente =0.1 masa inicial de arena

El programa interactivo no comienza si se cumple que m0>M, se aconseja entonces, disminuir el valor delcoeficiente de rozamiento .

Referencias

Sullivan P., Chaplin B, A system to change both mass and applied force. The Physics Teacher, Vol 37, May 1999,pp. 309-311


El flujo de arena



El reloj de arena.


El reloj de arena

El reloj de arena consta de dos recipientes iguales de formaaproximadamente cnica unidos por un cuello cilndrico por dondefluye la arena desde el recipiente superior al inferior. El reloj se colocasobre una balanza electrnica de alta sensibilidad, que mide ladiferencia entre el peso del reloj cuando est en marcha y cuando estparado.

A medida que la arena fluye del recipiente superior al inferior, su centrode masas se mueve hacia abajo, su aceleracin ac es hacia abajo, por loque la resultante de las fuerzas sobre el sistema ser hacia abajo y portanto, la balanza medir una fuerza N que ser menor que el peso mg.

Este razonamiento como vamos a ver es incorrecto, ya que aunque escierto que el centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleracin ac eshacia arriba. La balanza medir una fuerza N que ser mayor que el pesomg.

Descripcin

En la figura, se muestra un reloj de arena en un instante t. Sea y2 la posicin de la superficie libre de la arena en laporcin superior e y1 la posicin en la porcin inferior. La posicin del cuello cilndrico que une ambas porcioneses a. Sea A(y) el rea de la seccin trasversal del reloj de arena en la posicin y, y la densidad de la arena.

La posicin Yc del centro de masas del sistema est dada por

M = yA(y) dy + yA(y) dy + Ccy1 y2

donde M es la masa total del reloj de arena, y C es una constante que tiene en cuenta la arena que est cayendo, lamasa del recipiente de vidrio y otros detalles fijos de la construccin del reloj de arena.

Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas vc

El flujo f se define como la masa que sale del recipiente superior en la unidad de tiempo, o que entra en elrecipiente inferior en la unidad de tiempo.

La velocidad del c.m. vc tiene una expresin muy simple

Mvc=f(y1-y2)

Como y10, la aceleracin del c.m. es siempre positiva, hacia arriba, aunque el centro de masas se mueve hacia abajo.Cuando el reloj est en marcha, la balanza mide una fuerza N mayor que el peso Mg del reloj parado.

En esta deduccin, no se considera el estado transitorio, cuando la arena comienza a caer ni cuando termina defluir la arena, solamente la situacin intermedia.

Reloj de arena de forma cilndrica

Consta de dos cilindros iguales de radio R y longitud L, unidos por un cuello por el que fluye arena a raznconstante de f kg/s.

Posicin del centro de masa

Calculamos el centro de masas de la arena contenida en ambos recipientes, despreciando el cuello que los une.Los centros de masas de la arena de cada una de las porciones se sealan en la figura mediante puntos de colorrojo.

La masa (o volumen para un cuerpo homogneo) de la porcin inferior esR2y1

La posicin de su centro de masas y1/2

El volumen de la porcin superior R2(y2-a)

La posicin de su centro de masas (y2+a)/2

La posicin del centro de masas del sistema es

Velocidad del c.m.

M = yA(y) dy + yA(y) dy + CYc 0

y1

a

y2

M = (A( ) + A( ) )vc y1 y1 dy1dt y2 y2 dy2dt

f = = A( ) = A( )dmdt y1dy1dt y2

dy2dt

M = f ( ) + ( )ac dy1dt dy2dt y1 y2dfdt

F = N Mg = M = ( + )ac f2

1

A( )y11

A( )y2

= =yc( ) /2 + ( ( a))(( + a)/2)R2y1 y1 R2 y2 y2

LR2+ y21 y22 a22L

Derivando con respecto del tiempo

donde se ha definido el flujo f de arena como

Aceleracin del c.m.

Derivando respecto del tiempo

La aceleracin del centro de masas es constante

A partir de la frmula (1) podemos obtener tambin la aceleracin del c.m.

Como A(y1)=A(y2)=R2

y la masa de la arena es M= R2L

Reloj de arena de forma cnica

Consta de dos conos iguales de radio R y altura H, unidos porsus vrtices.

Posicin del centro de masa

En el instante t, la arena est contenida en un cono de radio r yaltura (H-h) y un tronco de cono de radio R de base y altura h.

Centro de masa de un cono macizo o de un tronco de cono

La posicin yc centro de masa de una figura cnica de revolucin alrededor del eje Y se calcula mediante lafrmula

Para integrar se ha de relacionar x e y

= = ( )vc+y1 dy1dt y2

dy2dt

Lf

LR2y1 y2

f = = = dmdt R2 dy1dt R

2 dy2dt

= ( ) = = 2ac f LR2dy1dt

dy2dt

f LR2

2fR2 ( )fR2

2 1L

M = ( + )ac f2

1

A( )y11

A( )y2

( L) = = 2R2 acf 2

2

R2ac ( )fR2

2 1L

=ycy dy

h

0x2

dyh

0x2

= x =R R(H y)

La integral es inmediata

El denominador es el volumen del tronco de altura h.

Cuando h=H tenemos el centro de masas de un cono macizo de radio R y altura H

El denominador de yc es el volumen del cono R2H/3

Calculamos la posicin del centro de masas de cada unas de las dos porciones de arena: un tronco de cono y deun cono invertido, respecto del origen situado en el vrtice comn de ambos conos.

Cono de altura (H-h) situado en la porcin superior del reloj de arena (vase la figura de arriba)

El radio r de la base del cono invertido es

Su volumen es

La posicin del centro de masas se encuentra a (H-h)/4 de la base o a y1=3(H-h)/4 del vrtice dondeest situado el origen.

La posicin del centro de masas del tronco de cono

La hemos calculado anteriormente. Est a yc de la base del tronco de cono o a (H-yc) del origensituado en el vrtice. Su posicin y2=-H+yc es

El volumen del tronco de cono V2 lo hemos calculado ya

El centro de masas del conjunto formado por el cono invertido superior y el tronco de cono inferior es

V=V1+V2 es el volumen total, es decir, del cono de radio R y altura H, V=R2H/3, como puedecomprobarse fcilmente.

Velocidad del c.m.

Derivando con respecto del tiempo obtenemos la velocidad del c.m.

= x =x(H y)RH

R(H y)H

=yc( 2H + )R2H2 H 2 h

2

2h33

h44

( h H + )R2H2 H 2 h2 h3

3

= = =yc( )R2H2 H412( )R2H2 H33

112 R2H 2

H13 R2

H4

= r =r(H h)RH

R(H h)H

= V113

R2

H 2(H h)3

= H +y2( 2H + )H 2 h2 h23 h34( Hh + )H 2 h23

= ( h H + )V2 R2

H 2H 2 h2 h

3

3

=Yc+y1V1 y2V2+V1 V2

=Yc 6 h + 9 6H +34H 4 H 3 H 2h2 h3 32 h4

H 3

= = = vcdYcdt

6 + 18 h 18H + 6H 3 H 2 h2 h3H 3

dhdt

6(H h)3

H 3dhdt

El flujo es

Aceleracin del c.m.

Derivando respecto del tiempo obtenemos la aceleracin del c.m.

La aceleracin del c.m. es positiva y tiende a infinito cuando hH, es decir, cuando se agota la arena de la partesuperior.

Podemos calcular tambin la aceleracin del c.m. mediante la expresin (1) obtenida en el apartado descripcin

Para un reloj de arena formado por dos conos iguales unidos por sus vrtices,

por lo que

La masa total de arena es

La aceleracin del c.m. es

Altura de la arena en el recipiente cnico inferior.

El flujo f de arena es constante, al cabo de un cierto tiempo t, la arena llena el volumen V=ft/ de un tronco decono de altura h. Ya hemos calculado la frmula del volumen de un tronco de cono.

Conocido el radio de la base R del cono y su altura H, tenemos que resolver una ecuacin cbica, para hallar laaltura h del tronco de cono, en el instante t.

Esta ecuacin se resuelve por procedimientos numricos en el programa interactivo

Ejemplo

Radio de la base del cono, R=0.5 m

Altura del cono H=0.5 m


f = = = dmdt r2 dhdt

R2(Hh)2

H2dhdt

= fvc 6(Hh) HR2

= = f = 6acdvcdt

8 HR2

dhdt ( )fR2

2 H(H h)2

M = ( + )ac f2

1

A( )y11

A( )y2

A( ) = A( ) = A(H h) =y1 y2R2(H h)2

H 2

M =ac2f 2

R2H 2

(H h)2

M = HR2

3

= 6ac ( )fR22 H(H h)2

= ( h H + )f t R2

H 2H 2 h2 h

3

3

H + h = 0h3

3 h2 H 2

f tH 2

R2

Flujo de arena f=0.13 kg/s

En un instante dado t la altura h del tronco de cono es de 0.20 m. Calcular el instante t, la posicin del c.m. y ladiferencia de fuerzas F=Mac que seala la balanza.

Instante t

Calculamos el volumen del tronco de cono de altura h=0.2 m

La masa de arena contenida en este volumen es m=V=25000.103=256.6 kg

Como el flujo constante de arena es f=dm/dt=0.13 kg/s,

m=ft, t=1974 s.

Posicin del c.m.

La fuerza que mide la balanza es

Como vemos el efecto es muy pequeo, y para medirlo experimentalmente (vase el artculo citadoen las referencias) es preciso emplear una balanza que mida una masa elevada con una granprecisin.

Actividades

Se introduce

El radio R de la base del cono (en cm), actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio cono.

El flujo f (en kg/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada Flujo.

La altura H del cono se ha fijado en el valor H=0.5 m

La densidad de la arena se ha fijado en el valor =2500 kg/m3.


Cuando el reloj est parado, su peso es Mg

Cuando est en marcha, su peso es algo mayor N

La diferencia es F=N-Mg=Mac

La balanza mide esta diferencia. Al principio cuando el reloj est parado F=0, pero luego, se incrementa hastaque tiende (tericamente) a infinito cuando deja de fluir la arena procedente del recipiente cnico superior.

Vemos como el c.m. del sistema, sealado por un punto de color rojo, desciende a medida que cae la arena delrecipiente cnico superior.

V = ( h H + )R2H2 H 2 h2 h3

3

V = ( 0.2 0.5 + ) = 0.1030.520.52 0.52 0.22 0.23

3 m3

=Yc6 h+9 6H +34 H4 H3 H2h2 h3 32 h

4

H3

= = 0.278 m = 27.8 cmYc6 0.2+9 60.5 +34 0.5

4 0.53 0.52 0.22 0.23 32 0.24

0.53

F = M =ac 2f2

R2H2

(Hh)2

F = = 4.78 kg20.13225000.520.52

(0.50.2)2 105


La fuerza que ejerce la presin atmosfricaEn esta pgina, se estudia un sistema de masa variable, y se comprueba los efectos de la fuerza que ejerce lapresin atmosfrica.

Disponemos de un tubo de PVC de longitud L y seccin A, sellado por ambos extremos, que tiene en su interioruna pelota de ping-pong. El dimetro del tubo es un poco mayor que el dimetro de la pelota, de modo que stapueda moverse a lo largo del tubo.

Se retira el aire en el interior del tubo, conectndolo auna bomba de vaco. Se rompe con un objetopunzante la lmina que sella el extremo izquierdo, elaire penetra en el interior del tubo y empuja a lapelota, que se mueve a lo largo del tubo, hasta quellega al otro extremo, rompe la tapa derecha y sale agran velocidad.

Tenemos de este modo, un can cuyo proyectil esimpulsado por la fuerza que ejerce la presinatmosfrica. La sucesin de imgenes de la figuranos permite entender como opera este dispositivo.

Movimiento del proyectil en el tubo de lanzamiento

Supongamos que el proyectil tiene seccin A y masa m. La fuerza que ejerce la presin atmosfrica p0 sobre elproyectil es p0A. Pero esta fuerza ha de acelerar el proyectil de masa m y la columna de aire de masa Ax pordetrs del proyectil (en color amarillo en la figura).

La ecuacin del movimiento es

Si el proyectil parte del reposo v=0 en el instante t=0, la expresin de la velocidad v en funcin del tiempo t es

Para obtener la posicin x del proyectil en funcin del tiempo t tenemos que integrar

con la condicin inicial de que en el instante t=0, el proyectil parte del origen x=0.

A = ((m + Ax)v)p0ddt

At = (m + Ax)v p0

At = (m + Ax) p0dxdt

mx + A = A x =2 0 2 m+ 2 2 0 2

La velocidad v del proyectil en funcin del tiempo es

Para un can infinitamente largo, cuando t, la velocidad final tiende hacia

Esta velocidad puede comparase con la velocidad del sonido en el aire

Donde =1.4 es el ndice adiabtico del aire

Ejemplo:

Una pelota de ping-pong tiene una masa m=2.5 g y un dimetro de 3.8 cm, o una seccin trasversal de A=1.1310-3 m2, la densidad del aire es =1.29 kg/m3 y la presin atmosfrica es de p0=1.013105 Pa

Calculamos la velocidad final del proyectil en un tubo de longitud L=1.5 m

Movimiento del proyectil fuera del tubo.

Para simular el movimiento de la pelota de ping-pong fuera del tubo de lanzamiento, suponemos que sobre elproyectil acta una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Integramos esta ecuacin sabiendo que en el instante t=t0, el mvil lleva una velocidad v0, es decir, la velocidadfinal al salir del tubo de lanzamiento.

Integramos de nuevo, para obtener la posicin x en funcin del tiempo, sabiendo que en el instante t0 parte de laposicin x0=L.

Actividades

Se introduce

La masa en gramos de la pelota de ping-pong, actuando en la barra de desplazamiento titulada Masa pelota

La longitud del tubo, en metros, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud tubo

La densidad del aire vale =1.29 kg/m3

La el rea de la seccin trasversal de la pelota de ping-pong se ha fijado en A=1.1310-3 m2

La presin atmosfrica vale p0=1.013105 Pa


Primero, se conecta el tubo a una bomba de vaco, y un manmetro nos seala la disminucin de la presin en eltubo sellado por ambos extremos.

mx + A = A x =12

x2 12p0 t2

m+ m2 A2p0t2 A

v = = =dxdtA tp0+ m2 A2p0t2 ( + )

m2

p20A2t2p0

1/2

=vp0

=vs p0

mL + A = A 12 L2 12 p0 t2

0.0025 1.5 + 1.29 1.13 = 1.013 1.13 t = 0.0097 s12 103 1.52 12 10

5 103 t2

v = = = 237.0 m/sA tp0+m2 A2p0t2

1.13 1.013 0.0097103 105

+1.29 1.013 0.00252 (1.13 )103 2 105 0.00972

m = kdvdt v2

= dt = + (t )v0

vdvv2

km

t0

t1v

1v0

km t0

dx = x = L + ln(1 + (t ))L

x

t0

tdt

+ (t )1v0km t0

mk

km v0 t0

A continuacin, se observa el movimiento del proyectil (en color rojo) a lo largo del tubo, y la columna de aire(en color amarillo) detrs.

En la parte superior del applet, se representa, la velocidad v del proyectil en funcin de la posicin x, medidadesde la parte izquierda del tubo que se toma como origen.

El proyectil alcanza una velocidad mxima al final del tubo y luego, disminuye debido al rozamiento con el aire.En esta experiencia anotaremos la velocidad final v0 y la relacionaremos con la masa m del proyectil y con lalongitud L del tubo.

Referencias

Ayars E., Buchholtz L. Analysis of the vacuum cannon. Am. J. Phys. 72 (7) July 2004, pp. 961-963.


Cuando no se aplicanfuerzas al vagn

Cuando se aplica unafuerza al vagn

La gota de lluvia quecae a travs de unanube


La lluvia que cae en un vagn de f

Sistema Variables de Masa

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