Sistema Masa-Resorte

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Figura 1

Ley de Hooke

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Figura 2

En 2.b) tenemos que:

De la 2da Ley de Newton

Se obtiene la ED del movimiento libre no amortiguado:

• Resolviendo

• Ecuación auxiliar

• Solución:

• Periodo y frecuencia que describe la solución:

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ejemplo de Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado• Resuelve e interprete el problema de valor inicial:

• Solución: el problema es equivalente a tirar hacia abajo una masa de unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que t=0 y soltarla desde el reposo en ese instante . La solución general es:

• La solución para el problema de valores iníciales es:

• Es claro que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición una vez puesto en movimiento.

Ejemplo de Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Figura 3

Sistemas de resorte y masa: Movimiento amortiguado libreEl concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación

supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento.A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

Se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. Supondremos que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de . Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

Al dividir la ecuación anterior por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre es

Donde

El símbolo sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda y las raíces correspondientes son

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del sino algebraico de Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO 1: Aquí, se dice que el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, , es grande comparado con la constante de resorte, k. La solución correspondiente de es o bien

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos gráficas posibles de

CASO 2: Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación es es decir,

En la figura 5.8 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado. También se aprecia, según la ecuación anterior, que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.

CASO 3: Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces son complejas:

Entonces, la solución general de la ecuación es

Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe la ecuación anterior es oscilatorio pero, a causa del coeficiente , las amplitudes de vibración tienden a cero cuando .

EjemploUna masa de de peso estira un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado.• Teniendo en cuenta una fuerza externa f(t), que actúa sobre

una masa oscilatoria en un resorte. La inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación del movimiento forzado:

• De tal forma que si dividimos toda la expresión por m obtenemos lo siguiente:

• Donde F(t)= f(t)/m y, al igual que en el caso anterior vamos a considerar, para resolver esta ecuación no homogénea tenemos el método de coeficientes indeterminados o el variación de parámetros.

Ejemplo• Interprete y resuelva el problema de valor inicial:

Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento • Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de

amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución de un problema.

• Si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual ala de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema e un sistema mecánico oscilatorio.

Hallemos la fórmula para movimiento forzado no amortiguado

• Sea En donde es constante y

La función complementaria es Para obtener una solución particular supondremos que de modo que…

• De tal forma que después de igualas los coeficientes y aplicar las condiciones iniciales y así obtener los valores de c1 y c2 obtenemos la siguiente expresión:

Resonancia Pura• La ecuación anterior no está definida para gama igual a w pero

podemos obtener su limite aplicando L’Hôpital el cual este proceso se le conoce como una «Sintonización» de la frecuencia de la fuerza impulsora con la de las vibraciones libre, de tal forma que nos queda:

La figura representa un movimiento característico de la resonancia pura.

• Si una fuerza como la de la ecuación anterior representa en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. En último término, las oscilaciones grandes de la masa forzarían al resorte a rebasar su límite elástico.

• También se podría decir que el modelo resonante de la figura 5.14 es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos re tardantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. Si bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, también es cierto que se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración.