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La Transformada Hilbert-Huang en el estudio de comportamientos sísmicos The Hilbert-Huang Transform for studying seismic behaviors

José Luis GUTIERREZ1 y Silvia GARCIA2

1 Asistente de investigador, instituto de ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

2 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN: En este trabajo se presentan los criterios y resultados más relevantes de una investigación que fundamenta las ventajas de la Transformada Hilbert-Huang THH en el estudio y evaluación del fenómeno sísmico. El sujeto de estudio en esta disertación es un edificio instrumentado, en la ciudad de México, con historia sísmica suficiente y pertinente. La novedosa técnica de análisis de señales, la THH, conceptual y prácticamente, permite abundar sobre aspectos confusos derivados de analizar, de manera simplista, series de tiempo. Por su capacidad de mostrar la variación de la intensidad (amplitud, ordenadas de la serie) en el espacio temporo-frecuencial esta transformación ofrece transparentar los conceptos que tradicionalmente se infieren y articulan desde formulaciones lejanas a la naturaleza de las observaciones.

ABSTRACT: In this paper the most relevant criteria and results of a research that bases the advantages of Hilbert-Huang Transform HHT in the study and evaluation of the seismic phenomena, are presented. The subject of study in this dissertation is an instrumented building, in Mexico City, with sufficient and relevant seismic records. The novel technique of signal analysis, the HHT, permits to explain, conceptually and practically, confusing aspects derived from simplistic analyses of time series. Because of its ability to show the variation of the intensity (amplitude, ordinates of the series) in the time- frequency space, this transformation clarifies the concepts that traditionally are inferred and articulated from formulations very distant from the nature observations.

1 INTRODUCCIÓN

Un adecuado diseño sismo-resistente es el primer elemento para asegurar un buen desempeño estructural y una reducción sustancial de las pérdidas debidas a la acción de los terremotos.

Los ingenieros geotécnicos y estructurales deben tener en cuenta dos aspectos sísmicos fundamentales: 1) la propagación del movimiento a través de la tierra, especialmente por las capas más cercanas a la superficie y 2) la manera en que las construcciones responden a estos movimientos del terreno. Ambas características son comprendidas a través de registros de sensores por lo que resulta incuestionable que el adecuado tratamiento de los datos de campo es la piedra angular de cualquier desarrollo teórico/práctico a este respecto.

A este respecto, el desarrollo de la Transformada Hilbert-Huang (Huang et al., 1999) fue motivado por la necesidad de describir en detalle las distorsiones no lineales de las ondas y las variaciones de las

señales que ocurren de forma natural en procesos no estacionarios. Los análisis tradicionales que imponen estructuras lineales al estudio de sistemas no lineales, como los naturales (llámese suelo, roca eo el conjunto), interactuando bajo la acción de fuerzas parcialmente conocidas, son obviamente inadecuados.

El caso de la respuesta sísmica (proceso no lineal) donde una de sus características típicas es la modulación frecuencial intra-onda, exige la cuantificación de los cambios de frecuencia instantáneos dentro de un ciclo de oscilación, tarea que la THH resuelve de manera directa y transparente. Con este trabajo se espera llamar la atención de las sociedades geotécnica y sísmica hacia esta interesante y desafiante herramienta que se postula como alternativa para resolver controversias en todos los niveles de nuestra investigación científica.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Efraín Ovando Shelley, 24/09/14,

El artículo debe volverse a escribir planteando explícitamente los aspectos relacionados con la geotecnia. En su forma actual contiene únicamente referencias marginales al tema de interés en esta mesa. Se sugiere fuertemente volverlo a reformular y volverlo a presentar para que sea revisado nuevamente. Alternativamente se sugiere enviarlo a otras instancias, como se menciona en el el Comentario [2].


El articulo no cumple con el formato. Debe reescribirse con el formato indicado


El artículo es interesante pero deben resumirse sus aspectos teóricos. En ninguna parte del trabajo aparece algo relacionado con el suelo o la geotecnia. La palabra suelo solo aparece en tres ocasiones pero no se aborda ningún tema geotécnico. El artículo debe mandarse a un congreso de estructuras o de ingeniería sísmica. Con un poco de esfuerzo adicional sería publicable en una revista arbitrada de los mismos temas.

2 Título del trabajo

2 ASPECTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS DE SE-RIES DE TIEMPO

La dinámica de un sistema (de origen natural oartificial) puede estudiarse con series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de datos obtenidos a partir de una observación experimental del sistema, o mediante el cálculo numérico de las ecuaciones de movimiento (en el caso particular que sea posible calcular su solución). Las series de tiempo contienen información sobre las variables independientes de un sistema (grados de libertad) que determinan su dinámica, la extracción de esta información es un problema que se estudia mediante el análisis (caracterización), predicción y modelado de las series de tiempo. La caracterización de las series de tiempo tiene como objetivo la extracción de la mayor cantidad de información sobre el comportamiento de la serie es decir, sobre la dinámica del sistema representado, y así la identificación o construcción de mejores técnicas que puedan predecir o en su caso modelar la dinámica del sistema expresada por la serie de tiempo.

Las técnicas de predicción y modelado buscan extraer la mayor cantidad de información (proceso de aprendizaje) sobre la dinámica de la serie de tiempo, para construir modelos que reproduzcan (modelado) o extrapolen (predicción) el comportamiento de la serie. Al estudiar la dinámica de un sistema mediante un experimento se seleccionan un subconjunto de variables del sistema las cuales son observadas y dichas observaciones se representan por conjuntos de datos en el tiempo (Series de Tiempo). Una serie de tiempo es una proyección en R1 de la trayectoria de la dinámica del sistema en el espacio fase de m dimensiones Rm

(grados de libertad del sistema).El análisis inteligente de sistemas (extracción de

información valiosa acerca de su comportamiento) requiere del uso de series de tiempo de datos medidos con sensores. Si el sistema es lineal, una gran cantidad de técnicas bien establecidas están a disposición del analista. En el caso de los fenómenos no lineales, el análisis resulta más complejo e involucra otros campos del conocimiento. El problema se complica aún más debido a la condición simultánea de abundancia y escasez de datos: megabytes de información que describen un parámetro y la imposibilidad de medir otras variables importantes en la descripción e interpretación del fenómeno.

Para aclarar lo anterior, revisemos el ejemplo de la Figura. 1 que muestra un sistema mecánico masa-resorte y dos conjuntos de series de tiempo obtenidos de sensores que miden la posición y la velocidad de la masa. Un sistema como este puede considerarse lineal (responde en proporción a los cambios) pero el sistema puede reaccionar de manera no lineal (movimiento forzado del péndulo) y con tan diversos comportamientos que las

operaciones de procesamiento tradicionales resultan inútiles. Este fenómeno no se pueden descomponer de la manera estándar (entrada + función de transferencia → salida) ni se puede simplemente

pasar un filtro para


k

xm

x

x

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 3

Figura 1 Sistema masa-resorte (desplazamiento y velocidad de la masa)

limpiar la señal de ruido y manipularla como proveniente de un sistema de comportamiento más simple. Además, el concepto de conjunto discreto de componentes espectrales no tiene sentido en muchos problemas no lineales por lo que usar transformadas para llevarlos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia no produce el efecto deseado.

Otra complicación en el análisis no lineal es el acceso a suficiente información para describir completamente el sistema. En la mayoría de esta clase de sistemas en la naturaleza, las variables de estado son inaccesibles físicamente, no existen sensores adecuados para medirlas, o peor aún, las verdaderas variables de estado no se conocen.

2.1 El dominio de la frecuencia: Fourier El análisis de Fourier fue la primera metodología

utilizada en el análisis de series de tiempo. Aun cuando la fuerza del mismo radica en el estudio del comportamiento de señales de tipo periódico, es interesante explorar la capacidad de algunos de los parámetros derivados de este análisis para evaluar su utilidad en la caracterización de series que poseen comportamientos no periódicos.

El análisis de Fourier trata con el estudio de las series de tiempo en el dominio de las frecuencias, basados en la idea de que sobre un intervalo finito, cualquier función analítica puede ser aproximada con el grado de exactitud deseado, por medio de una suma pesada de funciones seno o coseno de frecuencias crecientes armónicamente.

Del conjunto de métodos del análisis de Fourier se seleccionó la búsqueda de frecuencias dominantes, ya que proporciona a partir del análisis del espectro de potencia, no sólo información de tipo gráfico sobre el espectro de las frecuencias de la serie de tiempo sino además, un parámetro que corresponde a la frecuencia máxima (que llamamos frecuencia dominante) la cual es una medida escalar útil junto con otros parámetros para la búsqueda de un conjunto o conjuntos de parámetros que permitan caracterizar la predictibilidad en las series de tiempo.

3 TRANSFORMADA HILBERT-HUANG

Para introducir al lector ingeniero a una técnica como la THH, los autores consideran apropiado no profundizar en los detalles matemáticos de la formulación y han elegido la descripción del método cuando se aplica a sistemas más cercanos a nuestra profesión. Para hacer de éste un documento auto-

contenido, a continuación se enlistan los aspectos básicos de la THH y se recomienda Huang et al. (1999) para descripciones más agudas sobre el tema.

El ejemplo básico es un sistema no lineal muy simple cuyo comportamiento puede expresarse con la ecuación no-disipativa de Duffing:

d2 xdt2

+x+ɛ x3=γ cos (ωt )

(1)

Donde ɛ es un parámetro no necesariamente pequeño, y γ es la amplitud de una función periódica con una frecuencia ω. En la ecuación 1, si el parámetroε fuera cero, el sistema tendría un comportamiento lineal y la solución sería fácilmente encontrada, por otro lado si ɛ > 0, el sistema tendrá un comportamiento no lineal. En el pasado cualquier sistema con un parámetro de este tipo podía resolverse usando métodos de perturbación, siempre y cuando se aceptara la hipótesis de que ɛ <<< 1. Sin embargo, si el valor de ɛ no es pequeño comparado con la unidad, entonces el sistema es altamente no lineal y nuevos fenómenos, como bifurcaciones y caos, podrían presentarse. En este caso los métodos de perturbación no son una opción y deben buscarse soluciones numéricas. Entonces, la ecuación 1 representa uno de los sistemas lineales más simples pero también contiene todas las complicaciones de la no linealidad. Escribiendo la ecuación 1 de una manera ligeramente distinta se tiene

d2xdt2

+x (1+ɛ x2 )=γ cos (ωt )

(2)

Expresión que permite el estudio de algunos otros aspectos. La cantidad dentro del paréntesis se puede considerar como la constante de un resorte o la longitud de un péndulo.

Ya que la frecuencia (o periodo) de un péndulo simple depende de la longitud, es obvio que el sistema, expresado con la ecuación 2, debería cambiar en frecuencia de una posición a otra y de un instante a otro, aún entre un mismo ciclo de oscilación.

Como Huang et al. (1998) señalaron, esta variación interna de frecuencia es el sello característico de los sistemas no lineales. En el pasado cuando los análisis se basaban en las transformaciones de Fourier, esta variación de frecuencia intra-onda no podía mostrarse efectivamente, excepto por el recurso de los armónicos. Esto es, cualquier onda distorsionada no



lineal fue referida como una “distorsión armónica”. Las distorsiones armónicas son un artificio matemático que resulta de imponer una estructura lineal a un sistema no lineal, pueden tener significado matemático pero no tienen uno físico (Huang et al. 1999). Por ejemplo, en el caso de las ondas sísmicas estas componentes armónicas no poseen ninguna característica física de lo que se concibe como una onda real. La manera en la que un sistema de este tipo se expresa por medio de funciones con significado físico es en términos de frecuencia instantánea la cual revela las modulaciones de frecuencia intra-onda. La forma más sencilla para calcular la frecuencia instantánea es la que se usa en la transformada de Hilbert, donde el conjugado complejo y(t) de cualquier función real x (t) de clase LP puede obtenerse con

H [ x( t)]= 1πPV∫

−∞

∞ x (τ)t−τ

dτ

(3)

donde PV indica el valor principal de la integral singular (Titchmarsh 1950). Con la transformada de Hilbert, podemos obtener la señal analítica z(t) de x (t) como:

z (t )=x ( t )+iy (t )=a(t)e iθ ( t ) (4)

donde:

a ( t )=√ x2+ y2 , θ (t )=arctan √ yx (5)aquí, a(t) es la amplitud instantánea, y θ es la función de fase, entonces la frecuencia instantánea es simplemente

ω=dθdt

(6)

De acuerdo con lo anterior, la THH se compone entonces de i) un procedimiento para descomponer a la señal original en armónicos que conserven características físicas de la señal original y ii) la transformación de Hilbert.

3.1 El Método de Descomposición Empírica en Mo-dos DEM (el proceso de filtrado)

Como fue discutido por Huang et al. (1996, 1998, 1999) el método de descomposición empírica en modos se liga necesariamente con datos provenientes de procesos no lineales y no

estacionarios. En contraste con casi todos los procedimientos de análisis convencionales, este nuevo método es intuitivo, directo, adaptativo y con una base definida a posteriori derivada de los datos. El DEM está basado en la hipótesis de que cualquier conjunto de datos contiene distintos, simples e intrínsecos modos de oscilación.

Cada modo intrínseco, lineal o no lineal, representa una oscilación simple, con el mismo número de extremos y cruces en cero. Además, la oscilación también es simétrica con respecto a la media local. En cualquier instante, los datos pueden contener varios modos distintos coexistiendo y su superposición resulta en los datos originales estudiados.

Cada uno de estos modos oscilatorios se representa como una función de modo intrínseca FMI y sigue esta definición: 1) en todo el conjunto de datos el número de extremos y de cruces en cero debe ser igual o diferir por lo menos en uno, y 2) en cualquier punto el valor promedio de la envolvente definida por el máximo local y la envolvente definida por el mínimo local es cero.

Una FMI representa un modo de oscilación simple como la contraparte a la función armónica simple pero es mucho más general: en lugar de amplitud y frecuencia constantes como en un componente armónico simple, el FMI puede tener una amplitud y frecuencia variable en función del tiempo. Con la definición de una FMI, se concluye que cualquier función se puede descomponer como sigue: i) se toman los datos de prueba como se muestra en la Figura 1a; ii) se identifican todos los extremos locales y después se conectan todos los máximos locales con una línea (spline cúbica) y iii) se repite el procedimiento en ii para los mínimos locales y se genera la envolvente más baja. Las envolventes más altas y más bajas deberán cubrir todos los datos, como se muestra en la Figura 2b.

Su promedio designado como m1 y la diferencia entre los datos y m1, es la primer componente h1 (Figura 2c) es decir;

h1= x ( t )−m1 (7)

Idealmente, h1 debe satisfacer la definición de un FMI, descrita anteriormente. Sin embargo, aún si el ajuste es perfecto, un ligero “salto” en una pendiente puede ser amplificado y convertirse en un extremo local cuando el cero cambia de un sistema coordinado rectangular a un sistema coordinado curvilineal.

Después de una primera ronda de filtrado el “salto” podría convertirse en un máximo local. Los nuevos extremos generados de esta forma revelan los modos correctos no obtenidos en un análisis inicial. De hecho, con el filtrado consecutivo, el



¿qué es LP?


proceso puede recuperar señales que representan ondas de baja amplitud. El proceso de filtrado tiene 2 propósitos: eliminar “picos” y hacer los perfiles de onda más simétricos. Mientras que el primer propósito debería alcanzarse para que la transformada de Hilbert genere frecuencias instantáneas con significado, el segundo propósito debe ser alcanzado necesariamente cuando las amplitudes de las ondas vecinas tienen una gran disparidad. Para alcanzar estas tareas el proceso de filtrado tiene que repetirse tantas veces se requiera hasta que se reduzca la señal a un FMI.

Figura 2. Descomposición Empírica en Modos: los primeros pasos para generar un FMI

En los procesos de filtrado subsecuentes, h1 puede estar tratado sólo como un proto-FMI. En el siguiente paso, es tratado como datos, entonces,

h11=h1−m11 (8)

después de varios filtrados, un cierto número de k veces,h1k se convierte en un FMI,

h1k=h1(k−1)−m1k (9)

entonces, el modo se designa como:

c1=h1k (10)el cual es el primer FMI de los datos originales. En esta etapa, debe tomarse una decisión crucial: el criterio de terminación. Huang et al. (1999, 2003) propusieron un criterio basado en la congruencia del número de cruces en cero y los extremos. Se recomienda la pre-selección de un número S de iteraciones en el que el proceso de filtrado se detendrá, es decir, el proceso de filtrado se detendrá sólo después de S consecutivas ocasiones cuando el número de cruces en cero y extremos permanezcan idénticos o difieran por lo menos en 1.

Obviamente no cualquier selección de S es adecuada por lo que se necesita una rigurosa justificación en este paso. En un estudio reciente sobre los valores de filtrado con el término S abierto, Huang et al. (2003) probaron una gran cantidad de posibles valores de S para formar ensambles de FMI de las que se obtuvieron sus niveles de confiabilidad. A través de comparaciones entre los

conjuntos de individuos (FMIs) contra el promedio, Huang et al. (2003) establecieron una guía empírica para el número óptimo de operaciones de filtrado concluyendo que el rango en el que el número S se mueve exitosamente está entre 4 y 8.

Finalmente el proceso de filtrado puede detenerse con cualquiera de los siguientes criterios (predeterminados): i) cuando el componente cn o el residuo rn se hacen tan pequeños que son menores que el valor predeterminado de un resultado significativo, o ii) cuando el resultado rn se convierte en una función monotónica a partir de la cual no

pueden extraerse más FMIs, con lo que una descomposición de datos en n-modos empíricos se alcanza y un residuo rn es obtenido, (rn puede ser tanto la tendencia promedio como una constante).

3.2 El análisis espectral de Hilbert


10

-10

0

Ampl

itud

200 300 400 500 600

a)

Tiempo

Tiempo

10

-10

0

datosenvolventepromedio

b)200 300 400 500 600

Ampl

itud

10

-10

0

200 300 400 500 600

datosh1

c)

Tiempo

Ampl

itud


Una vez que los modos intrínsecos son obtenidos no habrá dificultad en aplicar la transformada de Hilbert a cada FMI y en calcular la frecuencia instantánea de acuerdo con las ecuaciones 3 a la 6.Después de aplicar la transformación de Hilbert a cada FMI, los datos originales pueden ser expresados como la parte real R en la forma siguiente:

x (t )= R {∑j=1

n

a j ( t ) exp [i∫ω j (t )dt ]}

(11)

aquí, el residuo rn ha sido eliminado porque es una función monotónica o una constante. A pesar de que la transformada de Hilbert puede manejar la tendencia monotónica como parte de una oscilación larga, la energía involucrada en el residuo representa un promedio que podría ser sobrevaluado.

Considerando la incertidumbre en las tendencias más largas, y en el interés de obtener la información contenida en los componentes oscilatorios de baja energía, la componente final no-FMI debería ser eliminada. Sin embargo, éste no-FMI podría ser incluido si las razones físicas justifican su inclusión. La ecuación 11 permite calcular ambos, la amplitud y la frecuencia de cada componente como función del tiempo. Los mismos datos expandidos en una representación de Fourier serían:

x ( t )=R [∑j=1

n

a j ei ω j (t ) t]

(12)

con ambos aj y wj como constantes. La diferencia entre la ecuación 11 y la 12 es clara: el FMI representa una expansión de Fourier generalizada. La amplitud variable y la frecuencia instantánea no han sólo notoriamente mejorado la eficacia de la expansión, sino que también han permitido que la propia expansión sea capaz de manejar datos no lineales y no estacionarios.

Con la expansión FMI, las modulaciones de amplitud y frecuencia son también separadas muy claramente. Esto es, la restricción de la amplitud constante y frecuencia fija de la expansión de Fourier ha sido superada con una representación variable de amplitud y frecuencia.

Esta distribución tiempo-frecuencia de la amplitud se conoce como Espectro de Hilbert EH. Con el EH definido, el espectro marginal h (ω) se expresa con:

h (ω )=∫0

T

H (ω, t )dt

(13)

El espectro marginal otorga una medida de la contribución de la amplitud total (o energía) a partir de cada frecuencia. Este espectro representa la amplitud acumulada sobre el rango total de los datos en un sentido probabilista, y permite obtener una medida de la contribución total de la energía para cada frecuencia.

Los formalismos matemáticos de la Transformada de Hilbert se encuentran detallados en Hahn (1996).

4 THH EN ACELEROGRAMAS

4.1 Descripción del sujeto de estudioEl edificio PC fue diseñado con las normas

vigentes en 1977, se comenzó a construir en 1980, inició su funcionamiento a partir de 1983 y está ubicado en zona de Lago (arcillas compresibles, clasificada como zona IIIb en las NTCDS-RCDF 2004).

Con los sismos ocurridos en septiembre de 1985 y en abril de 1989, el edificio PC sufrió daños estructurales que motivaron estudios profundos sobre su competencia. Fue instrumentado en 1990 y de acuerdo con los análisis realizados se encontró que la estructura incursionó en el rango no lineal de comportamiento, presentando un evidente acoplamiento entre las componentes de movimiento horizontal con la de torsión (Murià et al., 2000).

Después de ser

instrumentado el edificio, los primeros registros obtenidos fueron analizados por Rodríguez-Cuevas y Quass (1990) y Rodríguez-Cuevas (1992) en trabajos dirigidos a determinar la respuesta dinámica del edificio teniendo en cuenta la influencia de los efectos de interacción suelo estructura ISE.

Hasta 1999 en el estudio del edificio PC estuvo limitado dado que no se contaba con un aparato que registrara la aceleración en campo libre; gracias a la posterior implementación de dicho acelerómetro se lograron completar los estudios sobre las diferencias


Azotea

AE

N6

E8-OE8-C

E8-EE7-E

SESC

SS

SECL

3m

N6

E8E7

PB

Sótano

16.10 m

18.75 m

20.58 m

N vLT

25�

AC


entre la respuesta del sistema y la estructura (en términos de aceleración y desplazamiento máximos).

La estructura está conformada por 16 niveles completos (entre éstos un mezanine), dos niveles de área parcial sobre la azotea que funcionan como cuartos de máquinas del sistema de elevadores, un sótano de 54 por 38 m y un sistema de cimentación compuesto por un cajón al que están unidos 266 pilotes de fricción. Los subniveles inferiores (E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7 y E8), destinados a estacionamiento, están dispuestos de forma escalonada y se unen por medio de rampas. Los restantes 11 niveles de oficinas, se agrupan en una torre de 39 por 24 m. La altura total del edificio es de aproximadamente 55.4 m (Figura 3).

En 1990 se instaló en el edificio una red acelerográfica compuesta por 11 acelerógrafos digitales triaxiales distribuidos en la estructura y el sótano. En 1999 se instalaron dos acelerógrafos más, uno de ellos en la parte sur del sótano y el otro en el jardín, con fin de estudiar los efectos ISE y su influencia en la respuesta dinámica del edificio. En la Fig. 3 se presenta la distribución de los 13 instrumentos instalados en el edificio.

4.2 Registros de respuestas En esta investigación se usó únicamente la componente de los movimientos que reportó las máximas aceleraciones, para los sismos estudiados es la dirección NS. Los acelerógrafos seleccionados del PC corresponden a 6 estratégicos que se plantea representan cabalmente el comportamiento del edificio. Las estaciones son: AC, N6, E8, E7, CL y SC.

Desde la colocación de los instrumentos en el edificio y en el depósito de suelo se han registrado un gran número de sismos, entre los cuales uno de los más intensos es el del 30 de septiembre de 1999 (M7.6, epicentro ≈445 km) y junto con el del 3 de septiembre de 1993 (M6.8, epicentro lejano ≈920 km) se discuten particularmente en este trabajo.

En la Tabla 1 se resumen las características de los eventos usados para identificar las ventajas del uso de la THH.

Figura 3.- Esquema de ubicación de los acelerógrafos en el edificio (AC, N6, E8, E7, CL y SC).

Es importante señalar que en este artículo se presenta sólo una parte de un estudio general. Esta disertación está orientada a explicar las peculiaridades que muestran los movimientos registrados en el terreno aledaño a la estructura, la propia estructura y las distintas maneras de interpretar la interacción entre ambos, con técnicas convencionales y con la THH.

4.3 Interpretación con THH de los movimientos, de-bidos a sismos, del sujeto de estudio

Por restricciones de espacio sólo los registros en el sitio PC durante el evento del 30/09/1999 y el del 03/09/1993 son usados para ejemplificar la DEM y el análisis de Hilbert, pero se plantean como ejemplos de las peligrosas diferencias encontradas en la reinterpretación de todos los eventos contenidos en la Tabla 1.

Sismo del 30 de septiembre de 1999 (M7.6)a. Señales. En la Figura 4 se muestran las series

de tiempo registradas durante el movimiento con epicentro frente a la costa de Oaxaca (Pacífico mexicano) en las estaciones seleccionadas. La diferencia más notable en el espacio aceleraciones-tiempo son las amplitudes de aceleración (valor absoluto) y las duraciones. La interpretación de la duración de la fase intensa o el total del movimiento requieren procesamiento numérico y no se obtiene desde una somera inspección visual de la serie.



Figura 4. Acelerogramas seleccionados evento: 30-09-99. (AC, N6, E8, E7, CL y SC).


100

50

0

-50

-100

-1500 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

AZFecha: 30-09-99Componente: NS

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

60

40

20

0

-20

-40

-600 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

N6Fecha: 30-09-99Componente: NS

40

30

20

-10

-20

-30

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

10

0

-400 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

E7Fecha: 30-09-99Componente: NS

0 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

30

20

-10

-20

-30

10

0

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )


30

20

-10

-20

-30

10

0

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

CLFecha: 30-09-99Componente: NS

30

20

-10

-20

10

0

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

-300 50 100 150 200 250 300

Tiempo , s

SCFecha: 30-09-99Componente: NS


De forma inmediata sólo el valor máximo de aceleración puede ser obtenido, sin embargo es importante señalar que algunos “picos” en la serie pueden deberse a contaminación por fuentes ajenas al evento y que se realizan algunos reconocimientos de control para verificar la congruencia de estos valores.

Tabla 1. Eventos usados en el análisis de respuesta sísmica del edificio PC

Evento Magni-tud

Profundi-dad Focal

(km)

Distancia Epicentral

(km)03/09/199

3 6.8 69 920.6

30/09/1999 7.6 16 447.3

09/10/1995 7.5 5 611.8

20/04/1998 5.7 66 254.3

14/09/1995 7.3 22 343.4

15/06/1999 7 69 226.2

29/12/1999 6.1 82 318.1

10/12/1994 6.3 20 306.6

03/02/1998 6.4 33 511.7

10/09/1993 7.3 14 906.7

Desde este espacio se desprende que, de acuerdo con lo mostrado en la Figura 4, las máximas amplitudes (aceleraciones) son mayores conforme se avanza en la altura –sobre el edificio, respecto a la superficie (campo libre).

b. Espectros de respuesta de aceleraciones ERA. En la Figura 5 se muestran los espectros de respuesta de aceleraciones de las componentes NS de los registros en las elevaciones seleccionadas. Las respuestas en este espacio muestran claramente que las ordenadas espectrales, a partir de 0.0 m (campo libre CL), tienden a ser mayores conforme la elevación a la que está situada la estación de registro aumenta. Se aprecia amplificación entre campo libre-sótano y el resto del edificio (entre el CL y la azotea hasta de 20 veces) y una peculiaridad interesante es que entre el N6 y la AC se tienen amplitudes de casi el doble. El periodo fundamental de vibrar Tn de los espectros -edificio- oscila entre 2s y 3s con un segundo modo cercano a 1s. CL por otro lado es un espectro con máxima amplitud en el

periodo cercano a los 3.7 s y está de acuerdo con las curvas de isoperiodo de las NTC del RCDF.

Entre el estacionamiento N8 y el sótano centro se observa una ligera deamplificación en el periodo fundamental (2.2 s) pero es éste, el piso N8, el que presenta un Tn más largo entre este conjunto de respuestas.

c. Transformada de Fourier. Las señales transformadas en el dominio de la frecuencia (amplitudes de Fourier) se muestran en la Figura 6. El análisis basado exclusivamente en la expresión de Fourier dirige conclusiones hacia los hallazgos provenientes de los espectros de respuesta. En el espacio logarítmico, lucen como movimientos de respuesta muy similares en intensidad y contenido frecuencial. Ligeras diferencias se aprecian en las amplitudes espectrales de los pisos superiores. No hay cambios sustanciales en frecuencias fundamentales.

Dependiendo del profesional que esté usando esta información se verifican ciertos aspectos que podrían estar expresados en estos espectros pero eso está fuera del alcance de este artículo. Aquí se abordan, desde un punto de vista básico, algunos ejemplos de lectura preliminar de las transformaciones más comunes para evidenciar las ventajas de la THH.

d. Transformada Hilbert-Huang. La primera parte de la transformación HH, la descomposición empírica en modos, ha sido objeto de discusiones e interesantes estudios sobre su significado y relación con aspectos fenomenológicos.

Por motivos de espacio no se discuten aquí las características de los modos de los que parten los espectros de Hilbert; para el lector interesado se recomienda Garcia y Romo (2012).

En la Figura 7 se muestran los espectros de Hilbert EH de las señales registradas en las estaciones en estudio. Se destaca el despliegue cuantitativo de la distribución temporo-frecuencial de las aceleraciones: en un mismo espacio se observan las amplitudes de la señal, en los tiempos que ocurren y los niveles de frecuencias instantáneas activadas.

Usaremos la respuesta en azotea (evento 30/09/99) para mostrar cómo se lee la información –básica- de un EH: i) amplitud de la señal: el máximo valor de aceleración es 110 cm/s2 -se alcanza en una ocasión (único pico)- y se da en t=70s; a los 80s se registra otra respuesta considerable alrededor de los 100 cm/s2, ii) en los instantes en los que se graban las aceleraciones máximas se activan frecuencias instantáneas entre 0.35 y 0.65 Hz; también se observan manchas de respuestas con intensidad media que activan frecuencias entre 0.3 y poco más de 1.0 Hz y iii) el lapso en el que se presentan las respuestas más severas abarca 20 s; la presencia de aceleraciones considerables (por



encima de la media en registro) arranca en t=50s y se desvanece en t=120s.

Si hacemos una lectura de este tipo para el campo libre: i) amplitud de la señal: el máximo valor de aceleración es 22 cm/s2 -se alcanza en tres ocasiones (t1=80s, t2=109s, y t3=119s)-; existen manchas de respuestas por encima de la mitad de la escala (amarillos 12-14 cm/s2) desde los 80 y hasta los 130 s, ii) las aceleraciones máximas activan frecuencias instantáneas entre 0.12 y 0.28 Hz; también se


XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Cancún, Qr., 14 a 16 de noviembre de 2012

Figura 5. Variación de los movimientos del edificio PC-ERA del evento 30-09-99

Figura 6.- Espectros de Fourier del edificio PC del evento 30-09-99.


0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Periodo, s

0.0020.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

Ace

lera

ción

esp

ectra

l en

g

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

320.00

340.00

360.00

380.00

400.00

420.00

440.00Campo libre Sótano - centroEstacionamiento N8Estacionamiento N7Nivel 6 - centroAzotea centro

Sismo 30/09/99Componente NS

Frecuencia, Hz

0.01 0.10 1.0 10.00

1.0

10.0

100.0

1000.0

0.10

Am

plitu

d, c

m/s

Campo libre Sótano - centroEstacionamiento N8Estacionamiento N7Nivel 6 - centroAzotea centro


12 La Transformada Hilbert-Huang en el estudio de comportamientos sísmicos

Figura 7.- Esquematización del espectro marginal en un instante de tiempo del edificio PC del evento 30-09-99.


Tiempo , s0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

100908070

6050403020100

IntensidadAceleración

(cm/s2)110


Frec

uenc

ia ,H

z0

0.5

1

0.90.80.7

0.6

0.4

0.3

0.20.1

Tiempo , s

020 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20181614121086420


(cm/s2)22


Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

0

Tiempo , s20 40 60 80 100 120 140 160 200180

353025

20151050


(cm/s2)40


Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

0

Tiempo , s20 40 60 80 100 120 140 160 200180

2520151050


(cm/s2)30


Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

0

Tiempo , s20 40 60 80 100 120 140 160 200180

5045403530252015105


(cm/s2)55

0


Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

0

Tiempo , s20 40 60 80 100 120 140 160 200180

20181614121086420


(cm/s2)22



observan manchas de respuestas con intensidad media que activan frecuencias nuevamente entre 0.10 y hasta 0.3 Hz y iii) el lapso en el que se presentan las respuestas más severas se presenta en 3 paquetes de ondas en los tiempos t1=70s, t2=90s, y t3=115s respectivamente, la forma de los paquetes y su distribución en el tiempo permite calificar la respuesta como uniforme (no picos).

Como se puede observar las diferencias entre los EH en ambas situaciones en el edificio es notable, no sólo en el tipo de respuestas (de picos a uniforme) sino en los tiempos de duración de fase intensa, las frecuencias activadas y cómo y cuándo se desvanece el movimiento.

Es interesante hacer notar que los movimientos registrados en estaciones sobre la estructura del edificio son similares: muestran claramente spikes (picos) con activaciones hacia 1Hz, en casi todos los pisos el movimiento importante arranca a los 60s y se termina antes de los 130s.

Es interesante recalcar que las respuestas en CL y sótano centro son similares si se comparan las aceleraciones máximas pero distintas si se toma en cuenta el tipo de movimiento y las frecuencias instantáneas activadas.

Desde el sótano y hasta la azotea se amplifican las máximas aceleraciones del orden de 5 veces conservando en todos los pisos el tipo de respuesta (picos) y los rangos de frecuencia activados (en el lapso de máxima respuesta). El nivel de amplificación entre los niveles elegidos y la azotea va de 3.5, 3 y 2 veces para los niveles E8, E7 y 6C respectivamente.

Sismo del 3 de septiembre de 1993 (M6.8)a. Señales. En la Figura 8 se muestran las series

de tiempo registradas durante el movimiento con epicentro frente a las costas de Guerrero (sobre el Pacifico mexicano) en las estaciones seleccionadas. Este movimiento puede ser etiquetado como débil.

La diferencia más notable en el espacio aceleraciones-tiempo son las amplitudes de aceleración (valor absoluto) y las duraciones. El valor máximo de aceleración es mayor conforme se avanza en la altura –sobre el edificio, con respecto a la superficie (campo libre). Las aceleraciones en CL son despreciables y la firma del acelerograma dista de ser “normal”. En los registros de los pisos intermedios se observa un corte en el inicio del movimiento: no hay etapa inicial con aceleraciones mínimas que van creciendo hasta llegar a la zona intensa, sólo el sótano y la azotea presentan una definición correcta. Entre el CL y la azotea se amplifica 13 veces el valor de la aceleración máxima. Los tiempos no pueden definirse adecuadamente debido a lo señalado sobre las firmas.

b. Espectros de respuesta de aceleraciones ERA. En la Figura 9 se muestran los espectros de respuesta de aceleraciones de las componentes NS de los registros en las elevaciones seleccionadas. Las respuestas en este espacio muestran claramente que las ordenadas espectrales, a partir de 0.0 m (campo libre CL), tienden a ser mayores conforme la elevación a la que está situada la estación de registro aumenta. Se aprecia amplificación entre campo libre-sótano y el resto del edificio (entre el CL y la azotea es casi 20 veces, del orden de la señalada en el sismo del 30/09/99 -un sismo más severo). Las amplificaciones siguen un patrón similar al descrito para el sismo de Oaxaca con diferencia en el segundo modo de vibrar, el cual en este evento se desvanece. El periodo fundamental de vibrar Tn de los espectros -edificio- es 2.5s, CL por otro lado es un espectro con máxima amplitud en el periodo cercano a los 3.7 s.

c. Transformada de Fourier. Las señales transformadas en el dominio de la frecuencia (amplitudes de Fourier) se muestran en la Figura 10. En el espacio logarítmico, ya no lucen como movimientos de respuesta muy similares, ni en intensidad ni contenido frecuencial. Es interesante notar que una de las señales (N8) aunque incluida en la Figura, no debe ser tomada como válida. Las amplitudes espectrales del nivel 6 y la azotea son prácticamente las mismas. Los espectros del sótano y el nivel 7 comparten la misma amplitud en el periodo fundamental. Si se comparan las amplitudes en CL contra la azotea, en el rango de Tn del edificio, se nota un nivel altísimo de amplificación.

d. Transformada Hilbert-Huang. En la Figura 11 se muestran los espectros de

Hilbert EH de las señales registradas en las estaciones en estudio.

Respuesta en azotea, i) amplitud de la señal: el máximo valor de aceleración es 18 cm/s2 -se alcanza en una ocasión (único pico)- y se da en t=38s; a los 95s se registra otra respuesta considerable alrededor de los 12 cm/s2, ii) en los instantes en los que se graban las aceleraciones máximas se activan frecuencias instantáneas entre 0.45 y 0.5 Hz; también se observan manchas de respuestas con intensidad media que activan frecuencias entre 0.3 y poco más de 1.0 Hz y iii) el lapso en el que se presentan las respuestas más severas abarca 9 s; la presencia de aceleraciones considerables (por encima de la media en registro) arranca en t=20s y se desvanece en t=85s. Campo libre, i) amplitud de la señal: el máximo valor de aceleración es 1.8 cm/s2

-se alcanza en tres ocasiones (t1=20s, t2=40s, y t3=80s)-; existen manchas de respuestas por encima de la mitad de la escala (amarillos 1.2-1.4 cm/s2)



desde los 10 y hasta los 90s, ii) las aceleraciones máximas activan frecuencias instantáneas entre 0.4 y 0.9Hz; también



Figura 8. Acelerogramas seleccionados evento: 03-09-93 (AC, N6, E8, E7, CL y SC).


0 20 40 60 80 100 120

Tiempo , s140

20

15

-15

-20

10

5

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-10

-5


0 20 40 60 80 100 120

Tiempo , s140

15

-15

10

5

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-10

-5


0 20 40 60 80 100 120

Tiempo , s140

3

-3

2

1

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-2

-1


0 20 40 60 80 100 120

Tiempo , s140

5

-3

2

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-2

-1

4

3

1

-4


0 20 40 60 80 100 120

Tiempo , s140

1.5

-1.5

1

0.5

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-1

-0.5

-2.0


0 50 100

Tiempo , s140

2.5

-1.5

1

Acel

erac

ión

(cm

/s2 )

0

-1.0

-0.5

2.0

1.5

0.5

-2.0



Figura 9. Variación de los movimientos del edificio PC-ERA del evento 03-09-93

Figura 10.- Espectros de Fourier del edificio PC del evento 03-09-93.


Ace

lera

ción

esp

ectra

l en

g

110

100

90

80

70

60

50

30

20

10

40

5Periodo, s

0 1 2 3 4



Frecuencia, Hz

1.0

10.0

100.0

1000.0

0.01

Am

plitu

d, c

m/s

0.10

0.01 0.10 1.0 10.0 100.0



GUTIERREZ J y GARCIA S 17

Figura 11.- Esquematización del espectro marginal en un instante de tiempo del edificio PC del evento 03-09-93


Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

020 40 60 80 120100

Tiempo , s

181614121086420


(cm/s2)AZ

Fecha: 03-09-93Componente: NS

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

020 40 60 80 100

Tiempo , s120

1.81.61.41.21.00.80.60.40.20


(cm/s2)CL

Fecha: 03-09-93Componente: NS

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

020 40 60 80 120100

Tiempo , s


5.04.54.03.53.02.52.01.51.00.5


(cm/s2)5.5

0

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

020 40 60 80 120100

Tiempo , s

E8Fecha: 03-09-93Componente: NS 4.5

4.03.53.02.52.01.51.00.5


(cm/s2)

0

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 120100Tiempo , s

N6Fecha: 03-09-93Componente: NS 12

1086420


(cm/s2)

Frec

uenc

ia ,H

z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 120100Tiempo , s

140


1.81.61.41.21.00.80.60.40.20


(cm/s2)


Se observan manchas de respuestas con intensidad media que activan frecuencias entre 0.3 y hasta 1.0Hz y iii) el lapso en el que se presentan las respuestas más severas se presenta en 2 paquetes de ondas entre los tiempos 5s a 50s y de 60s a 90s, la respuesta es uniforme (no picos).

Como se puede observar las diferencias entre los EH son mínimas, las respuestas son despreciables llegando a nulificarse para los pisos N6 y N7. No hay comportamiento en picos como lo que se registró para el sismo más severo presentado anteriormente. Es interesante observar que en este ambiente se pueden decidir sobre los tiempos de registro, si hay posibles cortes de señal o si los trenes fueron plasmados adecuadamente en el tiempo reportado en el acelerograma. El CL es la señal más rica en frecuencias y pareciera que el edificio en este nivel de entrada sísmica “filtra” el movimiento. Desde el sótano y hasta la azotea se amplifican las máximas aceleraciones del orden de 10 veces conservando en todos los pisos el tipo de respuesta (uniforme) y los rangos de frecuencia activados (en el lapso de máxima respuesta).

5 CONCLUSIONES

Este estudio introduce a la THH como una atractiva alternativa en el análisis de series de tiempo y presenta una metodología para su uso en estudios de ingeniería sísmica y geotécnica. Los resultados presentados revelan las capacidades de la THH para analizar registros no estacionarios no lineales de los movimientos. La posibilidad de visualizar comportamientos en el espacio intensidad-frecuencia-tiempo sustenta el argumento de que las conclusiones derivadas de estos análisis son más detalladas y no ocultan características importantes de los movimientos.

6 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA

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