PRÁCTICA DE LABORATORIO NO. 1

Análisis de un movimiento armónico simple a partir de un sistema

masa-resorte

Alvaro Andrés Velasco Marulanda, Carlos Andres Tellez, Ricardo Bejarano Garcia

Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Occidente.

Febrero 16 de 2012.

RESUMEN

En el laboratorio realizado se trabajó el sistema masa-resorte, la cual consiste en un resorte de masa despreciable con un porta-pesas cuya función era portar masas distintas (generalmente una mayor que la otra), suponiendo un ambiente donde no actúan fuerzas disipativas. En ella se logró que, con el programa que tiene disponible el laboratorio (DataStudio), se realizaran distintas pruebas con diferentes masas haciendo que el sistema esté en movimiento (oscilando), la cual se permitió el estudio de la dinámica de dicho sistema, encontrando así su periodo. Debíamos hallar la constante de elongación del resorte en cada una de los ensayos realizados. El objetivo se cumplió, analizando la dinámica del movimiento oscilatorio del sistema masa-resorte, cuyo movimiento describe un MAS.

INTRODUCCION

Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cristal de

un cuarzo en un reloj de pulso, la péndola oscilante de un reloj con pedestal, las

vibraciones sonoras producidas por un clarinete o un tubo de órgano y el

movimiento periódico de los pistones de un motor de combustión. A esta clase de

movimiento le llamamos movimiento periódico u oscilación, y será el tema del

presente laboratorio.

Se denomina un movimiento armónico simple (M.A.S) a un movimiento oscilatorio

cuya función del tiempo queda descrita por funciones armónicas (seno o coseno).

Hay que recordar que el movimiento de una partícula en oscilación depende de la

fuerza de restauración producida. Dicha fuerza es la de un resorte, descrita por la

ley de Hooke.

(Ecuación 1)

En el experimento a realizar, podremos hacer uso de las leyes estudiadas,

debido a que en este sistema existe una dinámica superpuesta por el fenómeno

de la oscilación, la cual al soltar el resorte desde su punto de desplazamiento se

pone a oscilar; en ello vemos que no solamente describe una función de posición

con respecto al tiempo, sino que también durante esta, se realiza una función

armónica describiendo la amplitud y el periodo además de que realiza una función

de velocidad y aceleración respecto al tiempo, la cual cumple con las leyes del

M.A.S.

Las ecuaciones del M.A.S respectivas para el estudio de este fenómeno físico son:

Periodo: es el tiempo que tarda la partícula en realizar un ciclo completo.

(Ecuación 2)

Frecuencia de oscilación: es una magnitud que mide el número de repeticiones

por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.

(Ecuación 3)

Frecuencia angular: Esta fórmula nos permite calcular la Frecuencia angular del

sistema, donde este depende de la constante de fuerza k y la masa m del cuerpo

oscilante.

(Ecuación 4)

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple

en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que

actúa sobre ella (resorte)

√

(Ecuación 5)

Elongación: La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el

coseno del ángulo que nos da la posición de la partícula. Como puede verse, la

elongación es una función periódica en función del tiempo y el máximo valor que

puede tomar la A (la amplitud) son +1 y -1., ya que coseno oscila entre dichos

valores

( ) ( ) (Ecuación 6)

Velocidad: Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una

partícula sometida a un M.A.S vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo

de la función x, donde observamos que la velocidad es también función periódica

armónica en función del tiempo y que alcanza su máxima velocidad cuando el

seno del ángulo es igual a 1.

( ) (Ecuación 7)

Aceleración: Derivando en la expresión de la velocidad, obtenemos el valor de la

aceleración.

( ) (Ecuación 8)

Teniendo en cuenta el valor de la elongación se convierte en

(Ecuación 9)

En la que observamos que la aceleración en un M.A.S es directamente

proporcional a la elongación cambiada de signo. Lo que nos lleva a que la

aceleración de la partícula sometida a un M.A.S es, también, función periódica del

tiempo, resultando máxima cuando se encuentra en la posición más alejada del

punto de equilibrio, mientras que en este la aceleración es nula.

METODOLOGIA

En primera instancia la práctica se inicia midiendo el porta pesas y la masa del resorte después se unen las varillas a los soportes se arma la estructura y se suspende el resorte verticalmente, dejándolo totalmente en reposo y tomando su medida (figura 1). Una vez concluido, se pone el porta pesas en la parte inferior del resorte y teniendo cuidado de que no oscile, se toma la medida de su elongación producida. Después se procede a repetir el mismo procedimiento colocando masas de 20 en 20 gramos hasta llegar a 200 gramos, utilizando el programa DataStudio se saca la respectiva grafica de peso vs elongación y haciendo un ajuste lineal se toma el valor de pendiente K. En la segunda parte de laboratorio procede a instalar el sensor de movimiento debajo del resorte a una distancia aproximadamente 20 cm para su correcto funcionamiento, se cuelga una masa de 100 gr y se pone a oscilar en una pequeña medida durante 4.5 segundos y se obtiene configurando en DataStudio la grafica de posición vs tiempo, velocidad vs tiempo, aceleración vs tiempo y periodo vs tiempo…….luego se repite este mismo paso poniendo masas de 20 en 20 gramos hasta llegar a los 200. Concluido la parte experimental se procede a realizar las tablas en el DataStudio

de luego se hace una línealizacion de la parábola y se obtiene

, se comparan sus valores de K obtenidos de la forma estática y de la forma oscilatoria donde aproximadamente deberían de ser iguales.

Imagen1. Muestra los elementos usados en la práctica. RESULTADOS A continuación se encontraran las gráficas correspondientes para el análisis y la

interpretación de datos del sistema masa-resorte, el cual nos ayudaran a

identificar la constante de elasticidad (K) y si efectivamente corresponde a un

M.A.S, de acuerdo a la metodología en primera instancia se encontraran con la

grafica Nº1.

Determinación del coeficiente de elasticidad del resorte (teorico)

Gráfica Nº1.Peso vs Elongación, Tomada por data-studio.

En este grafico se observa el peso de cada una de las masas colgantes del resorte respecto a la elongación correspondiente, se puede ultimar que de acuerdo a la trayectoria que siguen los puntos, corresponde a una grafica con línea recta (pendiente positiva) dándonos a entender que efectivamente si se cumple la ley de hooke, ecuación (1) donde la fuerza, en este caso el peso, si es proporcional al desplazamiento y que su constante de elasticidad es igual a la pendiente del grafico 7,12N.

De esta grafica también se puede obtener las incertidumbres tanto absoluta como la relativa el cual se encuentran en el ajuste lineal; y son respectivamente

Δk = (7,12±0,13) N y

=

*100=1,8%

Estudio de las oscilaciones del sistema masa resorte

Gráfica Nº2. Posición vs Tiempo, Tomada por data-studio.

Como se puede observar en la grafica efectivamente podemos afirmar que

corresponde a la ecuación 7 donde su comportamiento corresponde a un M.A.S, y

para este caso con una masa de 0,2kg el cual obtuvo una amplitud de 0,0413m

gracias al ajuste sinusoidal, el cual ayudara a encontrar el valor de la Frecuencia

de oscilación:

Conociendo el periodo acudimos a la ecuación 3, lo cual es igual a:

Valor el cual se utilizara en la siguiente grafica.

Gráfica Nº3.Velocidad vs Tiempo, Tomada por data-studio.

En esta grafica se ve la velocidad en función del tiempo de la masa colgante de 0,2kg, el cual describe un movimiento oscilatorio armónico, e igualmente posee el mismo periodo ya que es la misma partícula la que está en análisis.

De esta grafica es posible hallar v(t) máxima haciendo ( ) , entonces la ecuación 4 quedaría expresada de la forma , en donde ya se tiene la amplitud, y solo seria hallar la frecuencia angular con la ecuación 7………entonces

( )

( )

⁄

Efectivamente se observa en la grafica que el valor, corresponde al valor máximo de la velocidad al cual llega el movimiento

Gráfica Nº4. Aceleración vs Tiempo, Tomada por data-studio.

En esta se puede observar la aceleración de la masa colgante de 0,2kg respecto al tiempo, también se puede ver que la aceleración máxima de la masa es de

aproximadamente 1.04 ⁄ …..Ahora usando la ecuación 9 y haciendo ( ) , obtendremos

exprecion para la aceleración máxima en un M.A.S.

(( ) ))

⁄ Efectivamente si coincide con lo nombrado anteriormente.

Gráfica Nº7.Periodo vs masa, Tomada por data-studio.

En esta grafica se puede observar el periodo en función de la masa, y sus puntos describen una trayectoria parabólica el cual nos indica la ecuación 5. Dicha grafica será de guía para ver el cambio en la siguiente grafica

Gráfica Nº8.Periodo^2 vs masa (linealizada), Tomada por data-studio.

Una vez linealizada la grafica N°8 se podrá obtener la pendiente y así poder hallar k de la siguiente ecuación….

Siendo p la pendiente de la grafica, y con la siguiente ecuación se calculara la

constante del resorte:

Como se conoce que b es el intercepto con el eje Y este corresponde a la masa

no tenida en cuenta del resorte y se procedería de igual manera como se hallo la

constante junto con el termino que incluye la masa del resorte dentro de la formula

linealizada del periodo.

Una vez hallada la constante de elasticidad se observa que depende de (p) la

pendiente lo cual indica que para encontrar las incertidumbres debemos de derivar

.

Al derivar

se logra obtener

, en este caso es perteneciente a

la incertidumbre absoluta:

( )

La incertidumbre relativa seria:

|

|

|

|

|

|

Gráfica Nº9.Energia potencial del resorte, Tomada por data-studio.

Cuando el resorte se estira o se contrae va acumulando una energía que

llamamos energía potencial elástica..

Esta energía potencial elástica depende de la elongación: cuanto más lejos esté la

masa del punto de equilibrio, más energía acumula

La energía potencial es máxima cuando el resorte se estira al máximo

(A mayor peso, mayor elongación por ende mayor energía potencial), la

energía potencial elástica es mínima cuando el resorte esta compreso totalmente.

(A menor peso, menor elongación o si no hay peso en este presenta un estado de

equilibrio o reposo el cual nos indica que hay minima o nula energía potencial).

Gráfica Nº10.Energia cinética, Tomada por data-studio.

La masa que oscila posee una energía cinética que es función de su masa y de su

velocidad. Al variar la velocidad entre un valor máximo y cero, la energía cinética

alcanza su valor máximo en el centro de la oscilación y será nula en los extremos,

ya que en ellos la velocidad se hace cero (el cuerpo se detiene un instante cuando

invierte el sentido de la oscilación). En ese instante en el cual se vuelve cero toda

su energía cinetica se convierte en energía potencial. Se puede decir que en este

laboratorio la energía cinetica es inversamente proporcional a la energía potencial.

Gráfica Nº11 .Energía mecánica total, Tomada por data-studio.

La energía mecánica total es constante. Se parte de energía totalmente potencial

para pasar a toda cinética en el punto de equilibrio. De nuevo tenemos toda la

energía como potencial en el punto de máxima compresión. Como la energía total

es la suma de la cinética y de la potencial, tenemos que:

La suma de la energía cinética y potencial de un sistema permanecen constantes si y solo si no actúan en el sistema fuerzas no conservativas como lo son la fuerza de rozamiento, la fuerza de resistencia del aire, etc.

ANALISIS

Dentro de la investigación realizada, podemos decir que se logro los objetivos

primordiales de la investigación, el estudio del movimiento oscilatorio del sistema

masa – resorte por el cual determinamos la relación existente entre el periodo y la

masa del cuerpo cuando se realiza un Movimiento Armónico Simple, teniendo en

cuenta que las deformaciones del resorte y el periodo de oscilación son

proporcionales a la masa.

Comprobando que la masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varía en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Además se pudo determinar el valor de k a partir del periodo de oscilación del sistema, pudimos identificar claramente la ecuación de la recta en términos de periodo y la masa del resorte la cual se encuentra en la grafica T^2 vs. Masa.

CONCLUSIONES

Pudimos estudiar varios temas al mismo tiempo, el estudio del movimiento

armónico simple y las interpretaciones del movimiento periódico. Pudimos

determinar EL PERIODO EN FUNCION DEL TIEMPO, dentro de la gráfica de la

linealización T2 vs m, y que en comparación con la gráfica de estática de F vs x, k

se acerca a valores relativamente cercanos a pesar del error.

En fin, durante este experimento, se aprendió que variables que también son parte

de este sistema como la velocidad y la aceleración (que imparten mucho de este

sistema dinámico), así como la distancia de elongación establecida al momento de

soltar y dejar que este fenómeno físico ocurra. También se apreciaba en el MAS

que la amplitud siempre nos dio el mismo valor recordando que es tratando de

modelar un medio ideal y este nunca parara.

Además se pudo determinar en este sistema (masa-resorte) que efectivamente

corresponde a un M.A.S, gracias a las graficas armonicas y a la principal

característica…la aceleración es proporcional al desplazamiento pero en sentido

opuesto

.

REFERENCIAS

1 SEARS, ZEMANSKY, YOUNG Y FREEDMAN, FÍSICA UNIVERSITARIA. Volumen 1. Ed Pearson.

Undécima Edición.

2 Oscilación. Versión digital disponible en:

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/ondas/ap02_ondas_electromagneticas.php (Febrero 2011)

3. Periodo de Oscilación. Versión digital disponible en:

http://www.babylon.com/definition/periodo_(fisica)/Spanish (Febrero 2011)