Matemática III - Masa Resorte

8/18/2019 Matemática III - Masa Resorte

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ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL

INGENIERÍA CIVIL

INFORME:

ECUACIONES DIFERENCIALESMASA RESORTE

AUTORES:

ROJAS BORBOR, WILLY

BAQUERIZO TONG, KIAN-DEC

BENDEZÚ RUIZ, MAS

ASENCIOS VILC!EZ, SERGIO

ASESOR:

ASTETE C!UQUIC!AICO, ROLANDO GAND!I

AULA: "#$ % C

TURNO: TARDE

LIMA, JULIO DE &'"(

ALUMNO:

PESANTES GUERRERO, Gerardo

Leonel

PROFESOR

ING. TRUJILLO BARZOLA, Alex


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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

MATEM)TICA III

“El trabajo del pensamiento se parece a

la perforación de un pozo: es turbia al

principio, más luego se clarifica”.

Proverbio chino.

ECUACIONES DIFERENCIALES Página 1


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MATEM)TICA III

nuestros padres ! amigos, por su

apo!o ! motivación en nuestras

labores.



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MATEM)TICA III

ÍNDICE

Páginas

INTRODUCCIN !

". OBJETI#OS$. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE

SEGUNDO ORDEN

%

$.". PRIMERA LE& DE 'OO(ER )

$.$. SEGUNDA LE& DE NE*TON +

$.. ECUACIN DIFERENCIAL DEL MO#IMIENTO LIBRE NO

AMORTIGUADO

-

. EJEMPLOS "

CONCLUSIONES "%

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS "%



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MATEM)TICA III

INTRODUCCI*N

"as Ecuaciones #iferenciales tienen una importancia fundamental en la

$atemáticas para la ingenier%a debido a &ue muchos problemas se

representan a trav's de le!es ! relaciones f%sicas matemáticamente por este

tipo de ecuaciones. Es inter's de este trabajo la deducción de las Ecuaciones

#iferenciales a partir de situaciones f%sicas &ue se presentan en determinados

problemas de carácter f%sico. esta transición del problema, al $odelo

$atemático correspondiente se llama $odelado. Este m'todo tiene una gran

importancia práctica para el ingeniero ! se ilustra por medio de ejemplos

t%picos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia

un planteamiento matemático ! su solución, ! la interpretación f%sica del

resultado. (e dedicará en este espacio la modelación de problemas &ue

conduce a Ecuaciones #iferenciales de segundo orden ! esto lo justifica desde

el punto de vista teórico ! práctico pues se verán más fáciles si uno se

concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes

familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultar%a más fácil los

conceptos, m'todos ! resultados hacia las de orden superior.

OBJETIVOS



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MATEM)TICA III

$ediante la primera ! segunda le! de )oo*e determinar ecuaciones

diferenciales (olucionar respectivamente los ejercicios usando las fórmulas adecuadas de la

le!es de )oo*e ! ecuación diferencial para hallar la función + t-.

)allar mediante la ecuación principal x ( t )=c1 cosω t +C 2 senωt los valores

c1 !

c2 .



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MATEM)TICA III

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO

ORDEN

$ovimiento rmónico (imple $(-:

L+ L . !//0:

(upongamos &ue un cuerpo de masa M está sujeto al e+tremo de un resorte fle+ible

suspendido de un soporte r%gido por ejemplo un techo-, como se muestra en la figura

./. 0uando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi , el alargamiento del resorte

será, por supuesto, distinto.

Por la "e! de )oo*e, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la

dirección del alargamiento ! proporcional a su magnitud s. #icho en t'rminos

simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. un&ue cuerpos de

distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta

esencialmente caracterizado por 'l numero k . Por ejemplo, si un cuerpo &ue pesa

/1lb. larga el resorte en /23 pie, entonces,

/1 4 k /23- implica &ue k 4 31 lb. 2pie.

"uego, necesariamente una masa &ue pesa 5 lb. larga el mismo resorte en 32 pie.



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MATEM)TICA III

S123.+ L . N45/3:

#espu's &ue una masa M se sujeta a un resorte, a&uella lo alargara en una

magnitud s ! alcanzara la posición de e&uilibrio en la cual su peso W es e&uilibrado

por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:

W = m. g

En donde la masa puede medirse en 6ilogramos, gramos o geo libras slugs- ! g 4 7.5

mt2s8 o 51 cm2s8 o 93pie2s8, respectivamente. al como se indica la figura .3b, la

condición de e&uilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks 4 1. (i ahora la masa se desplaza

de su posición de e&uilibrio en una magnitud x ! despu's se suelta, la fuerza



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MATEM)TICA III

neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la 6123.+ 7 .7

8/9835/ . N45/3, F = ma, en donde a es la aceleración d8;2dt8. (uponiendo

&ue sobre el sistema no act 3/ A8/>512+./:

#ividiendo la 8+5/>/ 3/ +8/>512+./ )a! dos condiciones iniciales

obvias asociadas con dicha ecuación:



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MATEM)TICA III

x (0 )=α , dxdt |❑t =0= β (4)

>ue representa la magnitud del desplazamiento inicial ! la velocidad inicial,

respectivamente. Por ejemplo si α ? 1 ! β @ 1, se trata de una masa &ue parte

de un punto abajo de la posición de e&uilibrio ! a la cual se ha comunicado una

velocidad dirigida hacia arriba. (i α @ 1 ! β 4 1, se trata de una masa

en reposo &ue se suelta desde un punto &ue está |α | unidades arriba de la posición

de e&uilibrio. "os demás casos son análogos.

Solci!" # ecaci!" de mo$imie"%o&

Para resolver la ecuación (3) observemos &ue las soluciones de la ecuación au+iliar

M 2−ω2=0 (on los n


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MATEM)TICA III

y=C 1

em1 x+C

2e

m2 x

y=C 1 e(α +iβ) x+C 2e

(α −iβ) x

Aormula Euler:

eiα =cosα +senα

y=eαx (C 1 eiβx+C

2e−iβx )

y=eαx ( C 1 (cos β x+s e nβ x )+C 2(cos β y−sen βy))

y=eαx (cos βx (C 1+C 2 )+sen βx (C 1+C 2 ))

y=C 1 eαx

cos βx+C 2 e βx

sen βx

(olución generalB

x ( t )=c1cosω t +C

2senωt (5)

El @>/./ de las vibraciones libres descritas por la ;23;+ es 1/T =2 π

ω . Por ejemplo, para + t- 4 3 cos 9t C D sen 9t el periodo

es2 π

ω 3 ! la frecuencia es 923π . El primer n


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MATEM)TICA III

repite2 π

ω unidadesB el ultimo numero indica &ue ha! 9 ciclos de la gráfica 3 π

unidadesB en otras palabras, la masa realiza 923 π oscilaciones completas por

unidad de tiempo. demás, se puede demostrar &ue el periodo2 π

ω es el intervalo

de tiempo entre dos má+imos sucesivos de +t-. Ainalmente, una vez &ue hemos

determinado las constantes 0/ ! 03 en - 03 sen t mediante las condiciones iniciales

D-, decimos &ue la solución particular resultante es la ;2+;


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MATEM)TICA III

400

2=k

k =200

ω2=4

ω=2

dx

dt |❑t =0=−10

Ecuación del movimiento

50 x +200 x = 0

x+4x=0

x ( t )=c1cosωt +c

2senωt

x ( t )=c1 cos1

2t +c2 sen2 t

c1=2

x ´ (0 )=[−10=−2 sen2 t +c2 cos2 t ]

x ´ (0 )=[−10=2 c2 ]

c2=−5

x (t )=2cos2 t −5 sen2 t

E8@7/ &:



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MATEM)TICA III

Gesolver e interpretar el problema de valor inicial:

d2 x

dt 2 +16 x=0

x (0 )=10 , dx

dt |❑t =0=0

(olución:

na formulación e&uivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo &ue

pende de un resorte hasta &ue est' /1 unidades bajo la posición de e&uilibrio ! luego

se le retiene hasta t 4 1B se le suelta a continuación de manera &ue parta de un estado

de reposo. plicando las condiciones iniciales a la solución:

x ( t )=c1cos4 t +C

2sen4 t

Gesulta x (0 )=10=C 11+C 2 0

#e modo &ueC

1=10

! por lo tanto

x ( t )=c1cos4 t +C

2sen4 t

dx

dt =−30 sen 4 t +c2cos4 t

dx

dt |❑t =0=0=4 c21



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MATEM)TICA III

"a ultima ecuación implica &uec2=0

! por lo tanto la ecuación de movimiento es

+t-4/1cos Dt.

"a solución muestra claramente &ue una vez &ue el sistema se pone en movimiento,

permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente /1 unidades

hacia cada lado de la posición de e&uilibrio + 4 1. El periodo de oscilación es 3 π

2D

4 π 23 segundos.

E8@7/ :

n cuerpo &ue pesa 3lb. se estira un resorte Hplg. #icho cuerpo se suelta en t 4 1

desde un punto &ue está 5plg bajo la posición de e&uilibrio, con una velocidad dirigida

hacia arriba de D29 pie2seg. #etermine la función +t- &ue describe el movimiento libre

resultante.

(olución&

Puesto &ue estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las

magnitudes dadas en pulgadas deben e+presarse en pies: Hplg 4 H2/3 4 /23 pie, 5plg

4 52/3 4 329 pie. demás, debemos convertir las unidades de peso en unidades de

masa. $ 4 I2g

enemos

m= 2

32=

1

16slug

demás, por la "e! de )oo*e se tiene:



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MATEM)TICA III

2=k ( 12 )lo que implica que k =4 l / pie

Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones /- ! 3- son, respectivamente,

1

16

d2 x

dt 2 =−4 x y

d2 x

dt 2 + 64 x=0

El desplazamiento ! la velocidad iniciales están dados por:

x (0 )=23

, dx

dt |❑t =0=−43

En donde el signo negativo &ue aparece en la


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MATEM)TICA III

x ´ ( t )=−23

sen8 t +8C 2cos8 t

x ´ (0

)=

−4

3 =

−16

30+8

C 21,

(c2=

−1

6

)"uego

c2=−1/6.

Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:

x ( t )= 23

cos8t −1

6sen8 t (7)

Fota: desafortunadamente, es usual &ue no haga una distinción entre peso ! masa.

s%, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte ! tambi'n, del

movimiento de un peso sujeto a un resorte.

Aorma alternativa de + t-

0uando

c1

! 0 !

c1

! 0, la amplitud real de las oscilaciones libres no se obtiene

en forma inmediata de la ecuación -. Por ejemplo, aun&ue la masa del Ejemplo 3 es

inicialmente desplazada 329 pie fuera de la posición de e&uilibrio, la amplitud de las

oscilaciones es un n


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MATEM)TICA III

tan ∅=c

1

c2 { sen∅=

c1

"

¿cos∅=c

2

"

(9)

Para verificar esto, desarrollamos 5- mediante la fórmula del seno de una suma de

ángulos:

∅

cos¿ senωt ¿¿

ωt +¿ωt sen∅= ( " sen∅ ) cos¿

∅+ " cos¿ " sen ωt cos ¿

(e define ∅ como:

∅=¿ c

2

√ c12+c2

2=c

2

"

sen∅= c1

√ c12+c

2

2=

c1

" , cos¿

Entonces /1- se transforma en

ωt + "c2

"

senωt =¿c1cosωt +c

2sen ωt = x (t )

"c1

" cos ¿



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MATEM)TICA III

CONCLUSIONES

• eniendo en cuenta la le! de )oo*e ! sus respectivas ecuaciones se puede

determinar valores como constantes, fuerzas, peso ! as% remplazarlas en las

ecuaciones diferenciales de tal forma &ue podamos hallarc

1 !c

2 para

darle una solución principal a la ecuación diferencial.

• (abiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuación

diferencial podemos darle solución a x (t ) siendo el valor final &ue nos piden

en cada ejercicio determinado por la ecuación principal.

REFERENCIAS BIBLIOGR)FICAS



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Mono!" C# 2003 $%%&'(()*#*+i,)*$a)#n)%(-io.i%$a,i%%)(a&+i/a/ion)*

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o,)n 2012#

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