8/18/2019 Matemática III - Masa Resorte
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ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL
INGENIERÍA CIVIL
INFORME:
ECUACIONES DIFERENCIALESMASA RESORTE
AUTORES:
ROJAS BORBOR, WILLY
BAQUERIZO TONG, KIAN-DEC
BENDEZÚ RUIZ, MAS
ASENCIOS VILC!EZ, SERGIO
ASESOR:
ASTETE C!UQUIC!AICO, ROLANDO GAND!I
AULA: "#$ % C
TURNO: TARDE
LIMA, JULIO DE &'"(
ALUMNO:
PESANTES GUERRERO, Gerardo
Leonel
PROFESOR
ING. TRUJILLO BARZOLA, Alex
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MATEM)TICA III
“El trabajo del pensamiento se parece a
la perforación de un pozo: es turbia al
principio, más luego se clarifica”.
Proverbio chino.
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nuestros padres ! amigos, por su
apo!o ! motivación en nuestras
labores.
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ÍNDICE
Páginas
INTRODUCCIN !
". OBJETI#OS$. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
%
$.". PRIMERA LE& DE 'OO(ER )
$.$. SEGUNDA LE& DE NE*TON +
$.. ECUACIN DIFERENCIAL DEL MO#IMIENTO LIBRE NO
AMORTIGUADO
-
. EJEMPLOS "
CONCLUSIONES "%
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS "%
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INTRODUCCI*N
"as Ecuaciones #iferenciales tienen una importancia fundamental en la
$atemáticas para la ingenier%a debido a &ue muchos problemas se
representan a trav's de le!es ! relaciones f%sicas matemáticamente por este
tipo de ecuaciones. Es inter's de este trabajo la deducción de las Ecuaciones
#iferenciales a partir de situaciones f%sicas &ue se presentan en determinados
problemas de carácter f%sico. esta transición del problema, al $odelo
$atemático correspondiente se llama $odelado. Este m'todo tiene una gran
importancia práctica para el ingeniero ! se ilustra por medio de ejemplos
t%picos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia
un planteamiento matemático ! su solución, ! la interpretación f%sica del
resultado. (e dedicará en este espacio la modelación de problemas &ue
conduce a Ecuaciones #iferenciales de segundo orden ! esto lo justifica desde
el punto de vista teórico ! práctico pues se verán más fáciles si uno se
concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes
familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultar%a más fácil los
conceptos, m'todos ! resultados hacia las de orden superior.
OBJETIVOS
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$ediante la primera ! segunda le! de )oo*e determinar ecuaciones
diferenciales (olucionar respectivamente los ejercicios usando las fórmulas adecuadas de la
le!es de )oo*e ! ecuación diferencial para hallar la función + t-.
)allar mediante la ecuación principal x ( t )=c1 cosω t +C 2 senωt los valores
c1 !
c2 .
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
$ovimiento rmónico (imple $(-:
L+ L . !//0:
(upongamos &ue un cuerpo de masa M está sujeto al e+tremo de un resorte fle+ible
suspendido de un soporte r%gido por ejemplo un techo-, como se muestra en la figura
./. 0uando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi , el alargamiento del resorte
será, por supuesto, distinto.
Por la "e! de )oo*e, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la
dirección del alargamiento ! proporcional a su magnitud s. #icho en t'rminos
simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. un&ue cuerpos de
distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta
esencialmente caracterizado por 'l numero k . Por ejemplo, si un cuerpo &ue pesa
/1lb. larga el resorte en /23 pie, entonces,
/1 4 k /23- implica &ue k 4 31 lb. 2pie.
"uego, necesariamente una masa &ue pesa 5 lb. larga el mismo resorte en 32 pie.
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S123.+ L . N45/3:
#espu's &ue una masa M se sujeta a un resorte, a&uella lo alargara en una
magnitud s ! alcanzara la posición de e&uilibrio en la cual su peso W es e&uilibrado
por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m. g
En donde la masa puede medirse en 6ilogramos, gramos o geo libras slugs- ! g 4 7.5
mt2s8 o 51 cm2s8 o 93pie2s8, respectivamente. al como se indica la figura .3b, la
condición de e&uilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks 4 1. (i ahora la masa se desplaza
de su posición de e&uilibrio en una magnitud x ! despu's se suelta, la fuerza
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neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la 6123.+ 7 .7
8/9835/ . N45/3, F = ma, en donde a es la aceleración d8;2dt8. (uponiendo
&ue sobre el sistema no act 3/ A8/>512+./:
#ividiendo la 8+5/>/ 3/ +8/>512+./ )a! dos condiciones iniciales
obvias asociadas con dicha ecuación:
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x (0 )=α , dxdt |❑t =0= β (4)
>ue representa la magnitud del desplazamiento inicial ! la velocidad inicial,
respectivamente. Por ejemplo si α ? 1 ! β @ 1, se trata de una masa &ue parte
de un punto abajo de la posición de e&uilibrio ! a la cual se ha comunicado una
velocidad dirigida hacia arriba. (i α @ 1 ! β 4 1, se trata de una masa
en reposo &ue se suelta desde un punto &ue está |α | unidades arriba de la posición
de e&uilibrio. "os demás casos son análogos.
Solci!" # ecaci!" de mo$imie"%o&
Para resolver la ecuación (3) observemos &ue las soluciones de la ecuación au+iliar
M 2−ω2=0 (on los n
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y=C 1
em1 x+C
2e
m2 x
y=C 1 e(α +iβ) x+C 2e
(α −iβ) x
Aormula Euler:
eiα =cosα +senα
y=eαx (C 1 eiβx+C
2e−iβx )
y=eαx ( C 1 (cos β x+s e nβ x )+C 2(cos β y−sen βy))
y=eαx (cos βx (C 1+C 2 )+sen βx (C 1+C 2 ))
y=C 1 eαx
cos βx+C 2 e βx
sen βx
(olución generalB
x ( t )=c1cosω t +C
2senωt (5)
El @>/./ de las vibraciones libres descritas por la ;23;+ es 1/T =2 π
ω . Por ejemplo, para + t- 4 3 cos 9t C D sen 9t el periodo
es2 π
ω 3 ! la frecuencia es 923π . El primer n
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repite2 π
ω unidadesB el ultimo numero indica &ue ha! 9 ciclos de la gráfica 3 π
unidadesB en otras palabras, la masa realiza 923 π oscilaciones completas por
unidad de tiempo. demás, se puede demostrar &ue el periodo2 π
ω es el intervalo
de tiempo entre dos má+imos sucesivos de +t-. Ainalmente, una vez &ue hemos
determinado las constantes 0/ ! 03 en - 03 sen t mediante las condiciones iniciales
D-, decimos &ue la solución particular resultante es la ;2+;
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400
2=k
k =200
ω2=4
ω=2
dx
dt |❑t =0=−10
Ecuación del movimiento
50 x +200 x = 0
x+4x=0
x ( t )=c1cosωt +c
2senωt
x ( t )=c1 cos1
2t +c2 sen2 t
c1=2
x ´ (0 )=[−10=−2 sen2 t +c2 cos2 t ]
x ´ (0 )=[−10=2 c2 ]
c2=−5
x (t )=2cos2 t −5 sen2 t
E8@7/ &:
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Gesolver e interpretar el problema de valor inicial:
d2 x
dt 2 +16 x=0
x (0 )=10 , dx
dt |❑t =0=0
(olución:
na formulación e&uivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo &ue
pende de un resorte hasta &ue est' /1 unidades bajo la posición de e&uilibrio ! luego
se le retiene hasta t 4 1B se le suelta a continuación de manera &ue parta de un estado
de reposo. plicando las condiciones iniciales a la solución:
x ( t )=c1cos4 t +C
2sen4 t
Gesulta x (0 )=10=C 11+C 2 0
#e modo &ueC
1=10
! por lo tanto
x ( t )=c1cos4 t +C
2sen4 t
dx
dt =−30 sen 4 t +c2cos4 t
dx
dt |❑t =0=0=4 c21
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"a ultima ecuación implica &uec2=0
! por lo tanto la ecuación de movimiento es
+t-4/1cos Dt.
"a solución muestra claramente &ue una vez &ue el sistema se pone en movimiento,
permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente /1 unidades
hacia cada lado de la posición de e&uilibrio + 4 1. El periodo de oscilación es 3 π
2D
4 π 23 segundos.
E8@7/ :
n cuerpo &ue pesa 3lb. se estira un resorte Hplg. #icho cuerpo se suelta en t 4 1
desde un punto &ue está 5plg bajo la posición de e&uilibrio, con una velocidad dirigida
hacia arriba de D29 pie2seg. #etermine la función +t- &ue describe el movimiento libre
resultante.
(olución&
Puesto &ue estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las
magnitudes dadas en pulgadas deben e+presarse en pies: Hplg 4 H2/3 4 /23 pie, 5plg
4 52/3 4 329 pie. demás, debemos convertir las unidades de peso en unidades de
masa. $ 4 I2g
enemos
m= 2
32=
1
16slug
demás, por la "e! de )oo*e se tiene:
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2=k ( 12 )lo que implica que k =4 l / pie
Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones /- ! 3- son, respectivamente,
1
16
d2 x
dt 2 =−4 x y
d2 x
dt 2 + 64 x=0
El desplazamiento ! la velocidad iniciales están dados por:
x (0 )=23
, dx
dt |❑t =0=−43
En donde el signo negativo &ue aparece en la
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x ´ ( t )=−23
sen8 t +8C 2cos8 t
x ´ (0
)=
−4
3 =
−16
30+8
C 21,
(c2=
−1
6
)"uego
c2=−1/6.
Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
x ( t )= 23
cos8t −1
6sen8 t (7)
Fota: desafortunadamente, es usual &ue no haga una distinción entre peso ! masa.
s%, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte ! tambi'n, del
movimiento de un peso sujeto a un resorte.
Aorma alternativa de + t-
0uando
c1
! 0 !
c1
! 0, la amplitud real de las oscilaciones libres no se obtiene
en forma inmediata de la ecuación -. Por ejemplo, aun&ue la masa del Ejemplo 3 es
inicialmente desplazada 329 pie fuera de la posición de e&uilibrio, la amplitud de las
oscilaciones es un n
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tan ∅=c
1
c2 { sen∅=
c1
"
¿cos∅=c
2
"
(9)
Para verificar esto, desarrollamos 5- mediante la fórmula del seno de una suma de
ángulos:
∅
cos¿ senωt ¿¿
ωt +¿ωt sen∅= ( " sen∅ ) cos¿
∅+ " cos¿ " sen ωt cos ¿
(e define ∅ como:
∅=¿ c
2
√ c12+c2
2=c
2
"
sen∅= c1
√ c12+c
2
2=
c1
" , cos¿
Entonces /1- se transforma en
ωt + "c2
"
senωt =¿c1cosωt +c
2sen ωt = x (t )
"c1
" cos ¿
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CONCLUSIONES
• eniendo en cuenta la le! de )oo*e ! sus respectivas ecuaciones se puede
determinar valores como constantes, fuerzas, peso ! as% remplazarlas en las
ecuaciones diferenciales de tal forma &ue podamos hallarc
1 !c
2 para
darle una solución principal a la ecuación diferencial.
• (abiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuación
diferencial podemos darle solución a x (t ) siendo el valor final &ue nos piden
en cada ejercicio determinado por la ecuación principal.
REFERENCIAS BIBLIOGR)FICAS
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