Ecuaciones Lineales

1Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Instituto Tecnológico de Cd. Madero.

ALUMNOS:

Saldaña Reyes Francisco Javier

09071310Chong Díaz Carlos Eduardo

09071157

MATERIA:

Ecuaciones Diferenciales

Hora:

7:00-11:00 am

Índice


4.1 Teoría preliminar……………………………………………………………..3

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales……………………..3

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos…...6

4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L……………………8

4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL……………………………9

4.2.1 Método de los operadores………………………………………………10

4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace………………………………….12

4.3 Aplicaciones………………………………………………………………….14

4.1 Teoría preliminar


Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O como su forma implícita:

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales linealesUn sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

REPASO DE MATERIAL

En esta unidad se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase un texto de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos

Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

http://3.bp.blogspot.com/-SLSMHD-L1ck/T-sIzHU1wRI/AAAAAAAAAC8/UJ1xuI39dis/s1600/11.png

http://1.bp.blogspot.com/-ivG9_Lhuo3k/T-sI1aXbcLI/AAAAAAAAADE/Nyb8UBwecCM/s1600/12.png


Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal

Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden

SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones en (2)

es lineal en las variables dependientes se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden.

Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un

sistema lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son

continuas en un intervalo común I. Cuando se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si denotan matrices respectivas


Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se pueden escribir como

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces

EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo


Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos

Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura que toda combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogéneo es también solución del mismo:

Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es un subespacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se define, en la forma habitual, como la imposibilidad de hallar más combinación lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene

coeficientes nulos. Si el sistema es linealmente dependiente, existe solución no trivial del sistema lineal homogéneo

Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el determinante del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,


se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es cierto, pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo, W (t 0)=0, el sistema lineal homogéneo

tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para

todo el vector Por el principio de superposición este vector es solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones

iniciales nulas en t=t 0 por la forma en que se han elegido los El teorema de existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo, que satisface las mismas ecuaciones y condiciones, por lo que

y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal, anulación del wronskiano en un punto y anulación del mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes, como ya sucediera con la ecuación lineal homogénea de orden n.


Sol. Gral. Y sol. Particular de Sistemas de E.D.LQue el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales

O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en t 0 no sea nulo. Existen, por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por definición por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema

fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensión n, se sigue del hecho de que toda solución x de la homogénea, Lx = 0, puede expresarse como combinación lineal de las del

sistema fundamental con coeficientes constantes que pueden calcularse resolviendo en un punto t 0 el sistema.

Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del sistema fundamental en t 0 es distinto de cero. La unicidad de la solución correspondiente a condiciones iniciales ent 0 garantiza que

Con los coeficientes elegidos en t 0 Por tanto, la solución general del sistema homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=


Métodos de solución para sistemas de EDLUn sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será,


Método de los operadoresLas ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas.

ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA

La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial.

Donde las son constantes, puede escribirse como

Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema

En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente derivables etcétera, que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I.


MÉTODO DE SOLUCIÓN

Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por – 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene

raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son se obtiene

Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para

Inmediatamente se tiene que:

Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene

Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos

tener Estas dos ecuaciones nos permiten escribirc3 como un múltiplo de c1 y c4 como un múltiplo de c2:

Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser

Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.


Utilizando Transformada de LaplaceSupongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes

reales donde son funciones dadas e es la función vectorial incógnita. Supongamos

Además las condiciones iniciales

Donde números reales para sea

Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16) obtenemos que

De donde, si denota la matriz identidad,

Y de aquí

Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada inversa. Por ejemplo consideremos el sistema


Junto con las condiciones iniciales

Entonces la solución del problema viene dada por


Aplicaciones

Circuitos eléctricos con varias ramas

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando consideramos circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura:

En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificación del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos proporciona la ecuación

En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura


Tomamos el primer subcircuito por separado, que es

Para este subcircuito tenemos la ecuación

Donde

Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,

Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación

Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura


Cuya ecuación será

Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuación

y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones

e introduciendo la variable , el sistema queda

Despejamos y tenemos el sistema en la forma


que en forma matricial es

Donde

Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.

Otro ejemplo es: Un problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte. Este resorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse como,

Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera de los cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Un ejemplo de esto es,


En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son:

La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1.

La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. Esta fuerza es igual a k2(x2 – x1).

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