Ecuaciones Diferenciales Lineales

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Ecuaciones diferenciales de primer orden, resolución de este tipo de ecuaciones a través del factor integrante

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  • 1. UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de LojaEcuaciones DiferencialesTEMA: Ecuaciones LinealesIntegrantes:Christopher Ortega Alex GonzagaDaniel ScolaJorge Naranjo Jos Miguel Maldonado

2. Ecuacin Diferencial Lineal de Primer Orden Definicin de ecuacin diferencial:Una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma: dy a0 ( x ) y g ( x )a1 ( x)dx es una ecuacin linealCuando g(x)=0, la ecuacin lineal es homognea, en cualquier otro caso, es no homognea. 3. Forma Estndar: dy P ( x) y f ( x)dx (a) Propiedad: y yc y p y c es una solucin de la ecuacin homognea asociada dy(b) P( x) y 0 dx ypes una solucin particular de (a) no homognea 4. Procedimiento Definir una solucin particular para la ecuacin siguiendo el procedimiento llamado variacin de parmetrosdy P( x) y f ( x) Ecuacin dxEncontrar una funcin (u) tal que yp=u(x)y1(x) Nuestra hiptesis de yp equivale a yc=cy1(x) 5. dy P ( x) y f ( x) Al sustituir yp=uy1 en la ecuacin: dxobtenemos: d uy1 P ( x)uy1 f ( x)dxdy1 du y1 P ( x )uy1 f ( x )u dx dx dy1 du P ( x ) y1 y1 f ( x)u dx dxduy1f ( x)dx 6. Separamos variables, integramos y llegamos a: f ( x) du dxy1 ( x ) f ( x) u dxy1 xDe acuerdo con la definicin de y1 tenemos: p ( x )dx e P ( x ) dx f ( x)dx yp uy1 ey yc y p ce e P ( x ) dx f ( x)dx P ( x ) dx P ( x ) dx e 7. Mtodo de Solucin Pasos para la solucin de una ecuacin lineal de primer orden: 1.-Se convierte a la forma Estndar de una ecuacin lineal dy P( x) y f ( x) dx2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante P ( x ) dxe 3.-La ecuacin obtenida se multiplica por el factor integrante4.-Se integran ambos lados de la ecuacin obtenida 8. Solucin de una Ecuacin Diferencial Linealdy 4 y x 6e x xdx dy4y x 5e x dxx 4 P( x) x P ( x ) dx Entonces el factor integrante es e4 dx / xln x 4 e e x 4 4 ln| x|e dy4 4 x 5 y xe xx dx dx 4 y xe xdxx 4 y xe x e x c 9. Factor Integrante El factor integrante es una funcin de una ecuacin diferencial dada, al cual se lo utiliza para hallar una solucin exacta de una ecuacin diferencial lineal y esta dado por la formula: P ( x ) dxe Donde a P(x) se la obtiene de la forma estndar de una ecuacin lineal. 10. EJEMPLO dyye 3xdx La ecuacin es claramente lineal. Podemos transformarla en una ecuacin exacta utilizando el siguiente factor integrante: ex dx ue 11. Constante de Integracin Podemos mencionar que tanto en la descripcin general como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una constante de integracin para evaluar la integral indefinida en el exponente: P ( x ) dxe En este caso la constante de integracin estara dada por la constante (c), utilizando esta constante en el factor integrante quedara: P ( x ) dxe Es muy importante mencionar que no es necesario escribir el factor integrante con la constante de integracin ya que el factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuacin diferencial y el utilizar una constante de integracin no cambia en nada la solucin de la ecuacin. 12. Solucin de una ecuacin lineal deprimer orden Convertir una ecuacin lineal de la forma (1) a la forma i. estndar de la ecuacin (2). A partir de la forma estndar, identificar a P(x) y a ii. continuacin determinar el factor integrante Multiplicar la forma estndar de la ecuacin por el factor iii. integrante. El lado izquierdo de la ecuacin resultante es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es,d P ( x ) dx P ( x ) dx f ( x)y e edx Se integran ambos lados de esta ecuacin vii. 13. Solucin GeneralEs aquella solucin de la ecuacin que est en la forma estndar; la cual, est definida en un intervalo I llegando a ser de esta manera miembro de la familia de soluciones.La solucin general est conformada por las constantes paramtricas, dependiendo del orden de la ecuacin el nmero de stas.