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Tema 8

Ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden

8.1 Introduccion

En el tema 2 vimos el estudio y resolucion de las ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenen forma explıcita:

x!(t) = a(t)x(t) + b(t)

sin mas que suponer que las funciones a y b son continuas en un intervalo I.

Definicion 8.1. Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden en forma explıcita es unaecuacion del tipo

(8.1) x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t)

donde las funciones a, b y c son conocidas.

Siempre supondremos que las funciones a, b y c son continuas en un intervalo I.

Generalmente las escribiremos de forma abreviada ası: x!! = a(t)x! + b(t)x+ c(t).

Algunos ejemplos son:

x!! = t2x! ! x+ sen t, x!! = (log t)x+ 1, x!! = x! + 3x! 5, x!! = x! + tx.

Cuando en la ecuacion (8.1) la funcion c es nula en el intervalo I, es decir, es del tipo

(8.2) x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t)

diremos que la ecuacion lineal es homogenea, pero cuando c no es la funcion nula diremos que laecuacion lineal no es homogenea o es completa. Ası de los cuatro ejemplos anteriores unicamenteel cuarto es una ecuacion homogenea. En el tema anterior tratamos dos ecuaciones: x!! = !x! yx!! = !x, que tambien son lineales homogeneas. En general, cuando la ecuacion (8.1) es completadiremos que (8.2) es la ecuacion homogenea asociada a (8.1).

169

170 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Las ecuaciones lineales de segundo orden son, sin lugar a dudas, las mas importantes entre todaslas ecuaciones de segundo orden. Poseen muchısimas aplicaciones; por ejemplo, en Fısica, aparecenen problemas sobre vibraciones en Mecanica y en la teorıa de circuitos electricos. Ademas, muchasbellas y profundas ideas de las Matematicas han surgido del estudio de estas ecuaciones.

Aquı surge un gran problema, que no tenemos con las de primer orden. Las de primer orden,salvo calculos de primitivas, son todas resolubles. Sin embargo, muchas ecuaciones de segundoorden no se saben resolver; mas bien dirıamos que son pocas las que se pueden resolver. Por

ejemplo una ecuacion de aspecto tan simple como x!! = tx , conocida como ecuacion de Airy1, queaparece en el estudio de la difraccion de la luz, no se sabe resolver; es mas esta demostrado que noposee soluciones elementales tal como sucede con muchas ecuaciones de Riccati; este es el caso dex! = t+ x2. Observese ademas que se trata de una ecuacion homogenea. Si le damos esta ecuacional programa Mathematica, introduciendo la ecuacion ası:

DSolve[x!![t] == tx[t], x[t], t]

la respuesta que da esx[t] " AiryAi[t]C[1] + AiryBi[t]C[2].

Como podemos apreciar nos da las expresiones de las soluciones en terminos de dos funcionesAiryAi y AiryBi, que son unas funciones especiales, llamadas precisamente funciones de Airy, quese introdujeron a raız del problema que surge con la ecuacion diferencial de Airy. No se conocenexactamente estas funciones aunque han sido muy estudiadas. Se pueden calcular con bastanteprecision los valores de estas funciones y para ciertos valores del argumento t se conocen los valoresexactos. Como sucede con otros muchos casos, solo se pueden obtener desarrollos en serie de talesfunciones. En este caso, en tales desarrollos en serie aparece la funcion Gamma. Por ejemplo, parat # [0, 4] tenemos el siguiente desarrollo de AiryAi(t):

1

32/3Gamma!23

" ! t

31/3Gamma!13

" + t3

632/3Gamma!23

" ! t4

12#31/3Gamma

!13

"$ +O[t]5

Determinado estudio cualitativo prueba que las soluciones de la ecuacion de Airy tienen uncomportamiento oscilatorio en el intervalo I = (!$, 0) mientras que en el intervalo I = (0,$) unassoluciones crecen exponencialmente y otras decrecen exponencialmente. A continuacion esbozamoslas graficas de las funciones AiryAi y AiryBi en el intervalo I = [!10, 4] para que se pueda apreciareste comportamiento.

!10 !8 !6 !4 !2 2 4

!0.4

!0.2

0.2

0.4

Figura 8.1: Grafica de la funcion AiryAi.

!10 !8 !6 !4 !2 2 4

1

2

3

4

5

Figura 8.2: Grafica de la funcion AiryBi.

De la misma forma que sucede con las ecuaciones lineales de primer orden, veremos que lasexpresiones de las soluciones de una ecuacion lineal de segundo orden resoluble se pueden obtenerde una forma explıcita. Esto es una caracterıstica de las ecuaciones lineales, que, en general, no seda en el resto de las ecuaciones diferenciales.

1Sir George Airy (1801-1892) fue un astronomo y matematico ingles. Hay textos que consideran como ecuacionde Airy la dada por x!! + tx = 0. Esta ecuacion plantea los mismos problemas de reolucion que x!! ! tx = 0.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

8.1. Introduccion 171

El estudio que vamos a ver en este tema se basara esencialmente en el estudio de las ecuacioneshomogeneas, pues la resolucion de una ecuacion no homogenea dependera de si sabemos resolverla ecuacion homogenea asociada.

En este tema solo se resolveran dos tipos de ecuaciones homogeneas:

• Las que tienen las funciones a y b constantes (llamadas ecuaciones de coeficientes constantes)

• Las llamadas ecuaciones de Euler (donde a y b no son constantes).

Sin embargo, muchas ecuaciones homogeneas de importancia primordial en Matematicas y enFısica, como la citada ecuacion de Airy, las ecuaciones de Bessel y las ecuaciones de Legendre,caen fuera del alcance de los metodos que vamos a estudiar aquı y solo pueden tratarse (que noresolverse) por el metodo de las series de potencias2, metodo que en este tema no se va a tratar. Soncasos donde las funciones coeficientes a y b son infinitamente derivables y pueden desarrollarse enserie de potencias (funciones analıticas); generalmente son funciones polinomicas, como sucede enla ecuacion de Airy, y las soluciones de la ecuacion son tambien analıticas (esta ultima afirmacionno resulta trivial y hay que demostrarla). En estos casos se pueden obtener los desarrollos en seriede las soluciones, que pueden servir para dar aproximaciones de las soluciones (a veces se obtienenvalores exactos de una solucion en determinados puntos).

En general probaremos que si somos capaces de encontrar una solucion de (8.2), que no se anule,podremos encontrar las demas soluciones, como sucede con las ecuaciones de Riccati. De hechoexiste una relacion muy estrecha entre las ecuaciones lineales de segundo orden homogeneas y lasecuaciones de Riccati.

Lo dicho anteriormente refuerza la idea de que se necesita dar una teorıa que nos de la mayorinformacion posible sobre las soluciones y ciertos aspectos cualitativos. Por ejemplo, al igual quevimos con las ecuaciones de primer orden, probaremos que todas las soluciones de (8.1) estandefinidas en el intervalo I donde a, b y c son continuas. Esto es algo muy especial que no suelesuceder, en general, con las demas ecuaciones de segundo orden. Como cuestion a destacar, veremosque existe una importante estructura algebraica para el conjunto de soluciones de una ecuacionhomogenea.

Casi todo lo que vamos a ver en este tema es generalizable, con un poco mas de esfuerzo,a ecuaciones lineales de orden n > 2, pero para una mejor comprension, en este primer cursoestudiamos las de de segundo orden. Es mas, en general, dentro de las ecuaciones diferenciales deorden n > 1, las mas importantes, por sus aplicaciones, son las de segundo orden. Mas adelante sedaran algunas referencias sobre el caso n > 2 y en el proximo curso se hara un estudio general queincluye las ecuaciones lineales de cualquier orden y los sistemas lineales de primer orden.

Por lo comentado mas arriba nuestro estudio debe iniciarse con las ecuaciones lineales ho-mogeneas, tal como hicimos en el caso n = 1, pero, en gran medida, la teorıa que veremos sebasara en un teorema de existencia y unicidad global para problemas de valores iniciales, que seobtendra como consecuencia del visto en el tema anterior.

Por tanto, iniciaremos nuestro estudio con el teorema de existencia y unicidad. Posteriormenteestudiaremos el espacio de soluciones de la ecuacion lineal homogenea, viendo que todo dependedel conocimiento de dos soluciones linealmente independientes, para lo cual sera de gran utilidadel concepto de wronskiano. Despues veremos como podemos resolver una ecuacion homogeneacuando solo se conoce una solucion que no se anula. Las dos siguientes secciones estaran dedicadasa las resoluciones de las ecuaciones homogeneas de coeficientes constantes y de Euler. Visto esto,

2Veanse [9, capıtulo 5], [1, pag. 181] y [10, capıtulo 6].


abordaremos el estudio de las ecuaciones lineales no homogeneas, viendo que su resolucion solodepende de la resolucion de la homogenea asociada y del conocimiento de una solucion particular.Despues desarrollaremos dos metodos para determinar una solucion particular de la no homogenea:el metodo de variacion de los parametros, que es un metodo general, y el metodo de los coeficientesindeterminados, que no es general pero presenta mayor simplicidad de calculos.

8.2 Teorema de existencia y unicidad global

En el tema anterior vimos un teorema de existencia y unicidad global para EDOs de 2o orden,concretamente el teorema 7.1, del cual vamos a hacer uso ahora para obtener inmediatamente unteorema de existencia y unicidad global para EDOs lineales de 2o orden.

Observese que la ecuacion lineal (8.1) se puede escribir como x!!(t) = f(t, x(t), x!(t)), donde

D = I % R2(banda vertical) y f : D " R viene definida por f(t, x, y) = a(t)y + b(t)x+ c(t). Al

ser a, b y c continuas en I, la funcion f es continua en D y, por otra parte, f satisface una condicionde Lipschitzs generalizada en D respecto de la segunda y la tercera variable pues

| f(t, x1 , y)! f(t, x2y) | = | b(t) | |x1 ! x2 | para cada (t, x1 , y), (t, x2 , y) # D

| f(t, x, y1)! f(t, x, y2) | = | a(t) | | y1 ! y2 | para cada (t, x, y1), (t, x, y2) # D.

En consecuencia tenemos el siguiente teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales:

Teorema 8.1 (Teorema de existencia y unicidad global). Si las funciones a, b y c son continuasen el intervalo I, t0 # I y !," # R, el problema de valores iniciales

(P ) :

%x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t)

x(t0) = !, x!(t0) = "

posee una unica solucion definida en el intervalo I.

En el tema anterior (ejemplo 7.6) estudiamos un caso particular, concretamente el problema:

(P ) :

%x!! + x = 0

x(t0) = !, x!(t0) = "

y probamos directamente que (P ) tiene una unica solucion definida en R, que es la funcion definidapor x(t) = " sen(t! t0) + ! cos(t! t0).

Se sigue del teorema de existencia y unicidad 8.1 el siguiente importante resultado:

Corolario 8.1.1. Dada la ecuacion diferencial: x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t), donde lasfunciones a, b y c son continuas en el intervalo I, se verifica lo siguiente:

1. La ecuacion posee infinitas soluciones definidas en I.

2. Cualquier solucion x : J " R de la ecuacion diferencial, donde J ! I, se puede extender auna solucion definida en todo I.



8.2. Teorema de existencia y unicidad global 173

Prueba. La comprobacion del primer punto es inmediata pues basta tomar un punto t0 # I yconsiderar, para cada valor de ! # R el problema (P!) correspondiente a los valores iniciales:x(t0) = !, x!(t0) = ! (o x!(t0) = " siendo " cualquier otro valor). Cada uno de estos problemasy, por tanto, la ecuacion, tiene una solucion x! definida en I y para dos valores de ! distintos lascorrespondientes soluciones x! son distintas.

Para la segunda parte basta considerar un punto t0 # J , los valores ! = x(t0)," = x!(t0) y elproblema (P ) correspondiente a los valores iniciales: x(t0) = !, x!(t0) = ". Por construccion x essolucion en J de este problema, el cual solo posee una solucion en J . Pero al ser a, b y c continuasen I, el problema (P ) posee una unica solucion x definida en I; obviamente la restriccion de x a Jes solucion de (P ) en J y, por la unicidad, coincidira con x en J . De esta forma x : J " R tieneuna unica extension x : I " R que es solucion del problema (P ) en I.

Puesto que lo ideal es encontrar los intervalos maximales donde las soluciones puedan estardefinidas, en este sentido (a la vista del resultado anterior) podemos considerar que todas lassoluciones del (8.1) estan definidas en los intervalos maximales donde las funciones a, b y c soncontinuas. Ası podemos afirmar que las soluciones de la ecuacion x!! = x! + tx + log t estandefinidas en el intervalo I = (0,$), las soluciones de x!! = x! + tx ! 1 estan definidas en R y lasde x!! = 1

tx+ sen t estan definidas en I = (!$, 0) e I = (0,$).

Resultan de interes las siguientes observaciones sobre las graficas de las soluciones de unaecuacion lineal de segundo orden. Consideremos el caso de x!!+x = 0. Las funciones x1 , x2 : R " R,definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones de la ecuacion diferencial. Observese quesus graficas se cortan en infinitos puntos, aunque los cortes son tranversales (no tangenciales).

!5 " !4 " !3 " ! 3 "2!" ! "

2

"2"

3 "2

3 " 4 " 5 "

!1

1

Figura 8.3: Graficas de las funciones seno y coseno.

Esta situacion no se da en general para soluciones de una EDO explıcita de primer orden:x! = f(t, x), debido a que, bajo condiciones muy generales sobre f , cada problema de valor inicialasociado posee una unica solucion en un determinado intervalo (recuerdese el teorema de existenciay unicidad local). En los casos donde esto no sucede, como, por ejemplo x! = 3x2/3, los cortes delas graficas son tangenciales (esto se probo en general en el tema 3).

En el caso de una EDO lineal de segundo orden explıcita, y en otras muchas ecuaciones desegundo orden, lo usual es que las graficas de las soluciones se corten, pues esto no contradice alteorema de existencia y unicidad 8.1. Lo que no puede suceder, pues estarıa en contradiccion coneste teorema, es que haya un corte tangencial, es decir, un punto del plano (t0 , x0) y dos solucionesx1 , x2 de (8.1) tales que x1(t0) = x2(t0) = x0 y x!

1(t0) = x!

2(t0).

Por ultimo, advertimos que existen otros tipos de problemas (muy importantes) relacionadoscon las EDOs lineales de segundo orden, que son los llamados problemas de contorno o problemasde valores en la frontera. Un caso particular de un problema de contorno es

%x!!(t) = a(t)x!(t) + b(t)x(t) + c(t)

x(t0) = !, x(t1) = "


donde t0 y t1 son dos puntos del intervalo I. Propiamente el nombre de problema de contornotiene su origen en el caso en que el intervalo es de la forma I = [t0 , t1 ] pues en tal caso el contorno(frontera) del intervalo esta dado por los puntos t0 y t1 , donde se imponen las condiciones. Eneste curso no se van a estudiar este tipo de problemas, pero queremos advertir que un problemade contorno tiene, en general, un comportamiento muy distinto al de un problema de valoresiniciales; puede que no tenga solucion, que tenga solucion unica o que tenga infinitas soluciones.Ya comprobaremos esto (vease ejercicio 10) cuando sepamos resolver algun tipo de ecuacion linealde segundo orden.

8.3 La ecuacion homogenea. El espacio de soluciones

Por diversas razones una ecuacion lineal homogenea (8.2) la escribimos, en forma abreviada, ası:

(8.3) x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

y suponemos, a partir de ahora, que p, q # C(I,R).

Lo primero que hay que destacar es que esta ecuacion tiene siempre una solucion trivial, quees la funcion nula x : I " R, t &" x(t) = 0, lo que no sucede con la no homogenea.

Al considerar una solucion de (8.3) la suponemos definida en el intervalo I ya que cualquierotra solucion x : J " R, donde J ! I, se puede extender a una solucion de la ecuacion definidaen I. Vease que si x es solucion de (8.3), entonces x # C2

(I,R), que es un espacio vectorial realinfinito-dimensional con las operaciones usuales de suma de funciones x+y y producto por escalares!x (! # R). La siguiente propiedad es trivial pero es muy importante.

Proposicion 8.1. Se verifica lo siguiente:

(I) Si x e y son soluciones de la ecuacion homogenea (8.3), la funcion x+y tambien es solucionde (8.3).

(II) Si x es solucion de (8.3) y ! # R, la funcion !x es solucion de (8.3).

Ası pues el conjunto de soluciones de la ecuacion homogenea es un subespacio vectorial del espacioC2

(I,R).

El objetivo principal de esta seccion es probar que tal subespacio vectorial es de dimension finitaigual a dos; de esta forma si x1 y x2 son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacionhomogenea las demas soluciones son de la forma

x = c1x1 + c2x2 donde c1 , c2 # R.

Ası, conociendo dos soluciones linealmente independientes se conocen todas las soluciones. En eltema 2 vimos que el conjunto de soluciones de una ecuacion lineal de primer orden homogenea esun espacio vectorial de dimension igual a 1.

Son bien conocidos los conceptos de independencia y dependencia lineal en un espacio vectorial.Puesto que en cualquiera de los espacios de funciones que trabajemos C(I,R), C1

(I,R), C2(I,R), la

funcion nula es el elemento nulo del espacio, para independizar estos conceptos de estos espaciosoptamos por dar unas definiciones totalmente coherentes con los conceptos conocidos.



8.3. La ecuacion homogenea. El espacio de soluciones 175

Definicion 8.2. Dadas dos funciones x1 , x2 : I " R, diremos que son linealmente independientesen el intervalo I cuando sucede que si c1 y c2 son dos constantes tales que c1x1(t) + c2x2(t) = 0para cada t # I, entonces c1 = c2 = 0. Diremos que son linealmente dependientes en el intervaloI cuando no son linealmente independientes, es decir, cuando existen dos constantes c1 y c2, noambas nulas, tales que c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # I.

Al tratarse de dos funciones es muy facil visualizar si son linealmente independientes o no. Porejemplo, el que sean linealmente dependientes equivale a que las dos funciones sean proporcionales,es decir a que exista una constante k tal que x2 = kx1 o bien x1 = kx2 ; ası pues, informalmentepodemos considerar el cociente entre ambas funciones y ver si sale constante o no. En el primercaso serıan linealmente dependientes y en el segundo independientes.

Hay un concepto muy util, que se usa en diversas cuestiones sobre las ecuaciones diferencialeslineales y que esta muy relacionado con la independencia lineal, que es el concepto de wronskiano.3

Definicion 8.3. Dadas dos funciones x1 , x2 : I " R derivables en el intervalo I, se llama wron-skiano o determinante de Wronski de las funciones x1 y x2 a la funcion W (x1 , x2) : I " R definidapor el siguiente determinante

(8.4) W (x1 , x2)(t) =

&&&&&x1(t) x2(t)

x!1(t) x!

2(t)

&&&&&

Ası pues W (x1 , x2) = x1x!2! x2x

!1.

En el caso de x1(t) = cos t, x2(t) = sen t se verifica que W (x1 , x2)(t) = 1 para cada t # Rmientras que W (x2 , x1)(t) = !1.

Para dos funciones derivables cualesquiera la relacion entre la independencia lineal y el wron-skiano viene dada por el siguiente resultado:

Proposicion 8.2. Si x1 , x2 : I " R son dos funciones derivables en el intervalo I y existe t0 # Ital que W (x1 , x2)(t0) '= 0, entonces x1 y x2 son linealmente independientes en I.

Prueba. La prueba se reduce a algo tan basico como el hecho de que un sistema lineal algebraicohomogeneo cuya matriz de coeficientes tiene un determinante no nulo, solo posee la solucion trivial.

En efecto, sea t0 # I tal que W (x1 , x2)(t0) '= 0. Sean c1 y c2 dos numeros reales tales quec1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cada t # I. Queremos comprobar que c1 = c2 = 0. Derivando en laexpresion anterior y considerando t = t0 tenemos

%c1x1(t0) + c2x2(t0) = 0

c1x!1(t0) + c2x

!2(t0) = 0

lo que se puede considerar como un sistema lineal algebraico homogeneo de dos ecuaciones en lasincognitas c1 y c2 cuya matriz de coeficientes es

3Este concepto fue introducido por el matematico polaco Wronki (1778-1853). Parece ser que esta fue su unicacontribucion importante a las matematicas.


A =

'x1(t0) x2(t0)

x!1(t0) x!

2(t0)

(.

El determinante de esta matriz es W (x1 , x2)(t0) y, al ser no nulo, el sistema solo posee la soluciontrivial c1 = c2 = 0.

El recıproco del resultado anterior no es valido en general, como puede comprobarse con lasfunciones x1 , x2 : R " R definidas por x1(t) = t2 y x1(t) = t| t |, que son linealmente independientesen R pero el wronskiano de ambas funciones se anula en todos los puntos. Observese que sonfunciones de C1

(I,R) y son linealmente dependientes en los intervalos I = (!$, 0] e I = [0,$).

Sin embargo, cuando dos funciones son soluciones de una ecuacion diferencial lineal homogeneacomo (8.3), sı existe una especie de recıproco del resultado anterior.

Proposicion 8.3. Si x1 , x2 : I " R son dos soluciones de la ecuacion (8.3), linealmente inde-pendientes en I, entonces W (x1 , x2)(t) '= 0 para cada t # I.

Prueba. La prueba se hace por reduccion al absurdo, suponiendo que existe un t0 # I tal queW (x1 , x2)(t0) = 0 y llegando a la contradiccion de que x1 y x2 son linealmente dependientesusando el teorema de existencia y unicidad 8.1.

En efecto, la condicion W (x1 , x2)(t0) = 0 implica que el sistema lineal algebraico homogeneode dos ecuaciones en las incognitas c1 y c2 dado por

%c1x1(t0) + c2x2(t0) = 0

c1x!1(t0) + c2x

!2(t0) = 0

posee una matriz de coeficientes con determinante nulo y, por tanto, posee solucion distinta dela trivial. Sea (c1 , c2) '= (0, 0) una solucion del sistema anterior y consideremos la funcion x =c1x1 + c2x2 , la cual es solucion de la ecuacion diferencial lineal homogenea como consecuencia dela proposicion 8.1. Entonces, la funcion x es solucion en I del problema de valores iniciales:

(P ) :

%x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

x(t0) = 0, x!(t0) = 0

pero sabemos, por el teorema 8.1, que tal problema posee una unica solucion en el intervalo I yes obvio que la funcion nula es solucion de (P ). En consecuencia c1x1(t) + c2x2(t) = 0 para cadat # R siendo (c1 , c2) '= (0, 0) y esto contradice que x1 y x2 sean linealmente independientes.

De la proposiciones 8.2 y 8.3 se concluye el siguiente teorema:

Teorema 8.2. Si x1 , x2 : I " R son dos soluciones de la ecuacion lineal homogenea (8.3) las tressiguientes afirmaciones son equivalentes:

(I) x1 y x2 son linealmente independientes en I.

(II) W (x1 , x2)(t) '= 0 para cada t # I.

(III) Existe t0 # I tal que W (x1 , x2)(t0) '= 0.




Como consecuencia inmediata del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado:

Corolario 8.2.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuacion lineal homogenea (8.3) o seanula en todos los puntos del intervalo I o no se anula en ninguno. En el primer caso lassoluciones son linealmente dependientes en I y en el segundo son linealmente independientes.

Hay una formula sobre el wronskiano de dos soluciones de una ecuacion lineal homogenea, muyutil y que, entre otras cosas, confirma la primera parte del resultado del corolario anterior. No hayacuerdo en otorgarle la formula a Abel o a Liouville.

Teorema 8.3 (Formula de Abel-Liouville sobre el wronskiano). Si x1 , x2 : I " R son dos solu-ciones de la ecuacion lineal homogenea x!! + p(t)x! + q(t)x = 0 y t0 # I, el wronskiano de ambassoluciones verifica

(8.5) W (x1 , x2)(t) = W (x1 , x2)(t0)e"

! tt0

p(s) dspara cada t # I.

Prueba. La idea de la prueba es comprobar que la funcion wronskiano y = W (x1 , x2) : I " R es

solucion de la ecuacion diferencial lineal homogenea de primer orden y! = !p(t)y . Sabemos que

fijada una primitiva)!p(t) dt de la funcion !p en el intervalo I, las soluciones de esta ecuacion

son las funciones yC definidas por yC (t) = Ce"!p(t) dt con C # R, pero, si en concreto consideramos

como primitiva la dada por t &" !) tt0p(s) ds, tenemos que existe una constante C tal que y(t) =

C exp(!) tt0p(s) ds) para cada t # I. Pero vease que necesariamente tal constante C es y(t0)

confirmandose ası la formula (8.5).

Confirmemos ahora que y! + py = 0. Tenemos que y = x1x!2! x2x

!1por lo que su derivada es

y! = x1x!!2! x2x

!!1. Por tanto,

y! + py = (x1x!!2! x2x

!!1) + p (x1x

!2! x2x

!1) = x1(x

!!2+ px!

2)! x2(x

!!1+ px!

1)

= x1(!qx2)! x2(!qx1) = 0.

Observacion: Vease que segun (8.5) si el wronskiano se anula en algun punto del intervalo I,entonces se anula en todo punto, mientras que si no se anula en un punto tampoco se anula en losdemas, confirmando ası la primera parte del resultado del corolario 8.2.1.

Por otra parte, es consecuencia inmediata del teorema anterior lo siguiente:

Corolario 8.3.1. El wronskiano de dos soluciones de la ecuacion lineal homogenea x!!+q(t)x = 0es constante en el intervalo I.

De hecho, las ecuaciones del tipo x!! + q(t)x = 0 son las unicas EDOs lineales homogeneas quetienen tal propiedad (ejercicio 5). Vease que las funciones definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen tson soluciones en R de la ecuacion diferencial x!! + x = 0 y hemos comprobado anteriormente queW (x1 , x2)(t) = 1 para cada t # R.


Como consecuencia del teorema 8.2 y del teorema de existencia y unicidad 8.1 obtenemos elresultado principal de esta seccion, que es el siguiente:

Teorema 8.4. Dada la ecuacion lineal homogenea x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, donde p, q # C(I,R),se verifica lo siguiente:

(I) Existen dos soluciones de la ecuacion que son linealmente independientes en I.

(II) Si x1 , x2 : I " R son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion y x : I " Res otra solucion, existen unas unicas constantes c1 , c2 # R tales que x = c1x1 + c2x2 .

Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuacion lineal homogenea es un espacio vectorial real(subespacio vectorial de C2

(I,R)), de dimension igual a 2 .

En distintos textos, a una base {x1 , x2} del espacio de soluciones de la homogenea le llamanconjunto fundamental de soluciones y, por otra parte, dicen que x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) es lasolucion general de la ecuacion diferencial homogenea.

Prueba. (I) Fijemos un punto t0 en el intervalo I y consideremos los siguientes problemas de valoresiniciales:

(P1) :

%x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

x(t0) = 1, x!(t0) = 0(P2) :

%x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

x(t0) = 0, x!(t0) = 1

El teorema de existencia y unicidad 8.1 asegura que cada problema (Pk) tiene una unica solucionxk : I " R, k = 1, 2. Por otra parte, el wronskiano en el punto t0 verifica:

W (x1 , x2)(t0) =

&&&&&1 0

0 1

&&&&& '= 0

y, por tanto, las soluciones x1 y x2 son linealmente independientes en I.

(II) Sean x1 , x2 : I " R dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion (que existenpor el apartado anterior). Sea x : I " R cualquier otra solucion de la ecuacion diferencial. Fijemosun punto t0 en el intervalo I y consideremos los valores ! = x(t0) y " = x!(t0). De esta forma x essolucion en el intervalo I del problema

(P ) :

%x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

x(t0) = !, x!(t0) = "

Una vez mas, aplicando el teorema 8.1, tenemos asegurado que (P ) tiene una unica solucion. Portanto, si probamos que existen dos constantes c1 , c2 tales que y = c1x1 + c2x2 es solucion de (P ),entonces, por la unicidad, debe ser x = c1x1 + c2x2 y ası acabamos la prueba.

Obviamente, cualesquiera que sean las constantes c1 y c2 , la funcion y es solucion de la ecuaciondiferencial por ser combinacion lineal de x1 y x2 . Las dos condiciones iniciales que aparecen en elproblema (P ) exigen que las constantes c1 y c2 deben verificar el sistema de ecuaciones

%c1x1(t0) + c2x2(t0) = !

c1x!1(t0) + c2x

!2(t0) = "

para que la funcion y sea solucion de (P ). Pero observemos que el determinante de la matriz decoeficientes es W (x1 , x2)(t0) y resulta que W (x1 , x2)(t0) '= 0 por ser x1 y x2 soluciones linealmente




independientes. En consecuencia tal sistema posee una unica solucion (c1 , c2) # R2y queda ası

probado el teorema.

A continuacion exponemos tres ejemplos de aplicacion del teorema anterior.

Ejemplo 8.1. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! + x = 0.

Ya hemos visto que las funciones definidas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones enR de tal ecuacion. Por otra parte, W (x1 , x2)(t) = 1 para cada t, por lo que son dos solucioneslinealmente independientes en R y, en consecuencia, las soluciones de la ecuacion diferencial sonlas funciones x : R " R definidas por

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t donde c1 , c2 # R.

La respuesta de Mathematica a esta ecuacion diferencial, dada ası:

DSolve[x!![t] + x[t] == 0, x[t], t]

esx[t] " C[1]Cos[t] + C[2]Sin[t].

Ejemplo 8.2. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! + x! = 0.

Las soluciones estan definidas en R. En el tema anterior resolvimos esta ecuacion reduciendolaa una EDO lineal de primer orden homogenea. No obstante, se ve que cualquier funcion constanteserıa solucion de la ecuacion, por ejemplo, x1(t) = 1. Tambien se ve facilmente que la funcionx2(t) = e"t es tambien solucion y ambas funciones son linealmente independientes pues la funcionx2/x1 no es constante o bien, W (x1 , x2)(t) = !e"t '= 0 para cada t # R. En consecuencia, lassoluciones de la ecuacion diferencial vienen definidas por

x(t) = c1 + c2e"t donde c1 , c2 # R.

Con Mathematica tenemos:

DSolve[x!![t] + x![t] == 0, x[t], t] x[t] " !e"tC[1] + C[2].

Ejemplo 8.3. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!!+ 2tx

!! 2t2x = 0 y solucion del problema:

(P ) :

%x!! + 2

tx! ! 2

t2x = 0

x(1) = 0, x!(1) = 3.

Observese que, a diferencia de los dos casos anteriores, las funciones (coeficientes) que acompanana la funcion incognita x y a su derivada no son constantes, pero son funciones definidas y continuasen los intervalos I = (0,$) e I = (!$, 0), por lo que las soluciones de la ecuacion diferencial estandefinidas en cada uno de estos intervalos y el problema (P ) posee una unica solucion definida enI = (0,$).


Cualquier solucion de la ecuacion diferencial es solucion de la EDO lineal de segundo orden enforma implıcita

t2x!! + 2tx! ! 2x = 0

y cualquier solucion de la implıcita definida en I es solucion de la ecuacion original. En la ecuacionen forma implıcita se visualiza mejor una posible solucion. Dado que a la segunda derivada x!! leacompana el factor (coeficiente) t2, a la primera derivada x! el factor 2t y a la incognita x una

constante, cabe la posibilidad de que exista una solucion del tipo x(t) = t" , con # no necesaria-

mente un numero natural, podrıa ser entero o racional (si # no es natural, para que en generaltenga sentido la expresion t" debe ser t > 0). Para salir de dudas lo unico que tenemos que hacer esderivar dos veces tal funcion y calcular la expresion que sale en el primer miembro de la ecuacion.Resulta

t2x!!(t) + 2tx!(t)! 2x(t) =##(#! 1) + 2#! 2

$t",

por lo que deducimos que x definida por x(t) = t" es solucion en I de la ecuacion diferencial si, ysolo si, se verifica #(#!1)+2#!2 = 0, dando lugar a la ecuacion de segundo grado #2+#!2 = 0,que por suerte tiene dos soluciones reales (en este caso numeros enteros) que son # = 1 y # = !2.Por tanto, hemos determinado dos soluciones de la ecuacion diferencial original que son las definidaspor x1(t) = t y x2(t) = t

"2.

Ambas funciones son linealmente independientes puesx1x2(t) = t

3o bien, W (x1 , x2)(t) = ! 3

t2'= 0

para cada t # I. Por tanto, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones definidas por

x(t) = c1t+c2t2

donde c1 , c2 # R.

Comprobamos el resultado con Mathematica:

DSolve

*x!![t] +

2

tx![t]! 2

t2x[t] == 0, x[t], t

+x[t] " tC[1] +

C[2]

t2.

Observaciones: En general, si se quiere usar el wronskiano para obtener la independencia lineal noes necesario calcular este en cada punto de I, bastarıa con elegir un punto t0 # I donde los calculosresulten faciles y comprobar que W (x1 , x2)(t0) '= 0. No es este el caso, pero esto puede ser deayuda en otros casos con expresiones de x1 y x2 mas complejas. En nuestro caso, en la situacionI = (0,$) podemos comprobar facilmente que W (x1 , x2)(1) = !3. De paso podemos aprovecharpara comprobar la formula de Abel-Liouville sobre el wronskiano, que, en este caso, afirma

W (x1 , x2)(t) = W (x1 , x2)(1)e"

! t1 p(s) ds = !3e"

! t1

2s ds = !3 e"2 log t = ! 3

t2.

Una vez resuelta la ecuacion diferencial, para determinar la solucion del problema (P ) solotenemos que imponer las dos condiciones iniciales a las soluciones que hemos obtenido. Esto nosdebe llevar a un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas: c1 y c2 de solucion unica y bastacon resolver el sistema. En efecto, las condiciones x(1) = 0 y x!(1) = 3 nos conducen al sistema

%c1 + c2 = 0

c1 ! 2c2 = 3

cuya solucion unica es c1 = 1, c2 = !1 (observese que el determinante de la matriz de coeficientesdel sistema anterior es el wronskiano W (x1 , x2)(1), que no es nulo). En definitiva, la solucion del

problema (P ) es la funcion definida por x(t) = t! 1/t2.



8.4. Resolucion de la homogenea cuando se conoce una solucion 181

En el programa Mathematica se introduce el problema de valores iniciales ası:

DSolve

*,x!![t] +

2

tx![t]! 2

t2x[t] == 0, x[1]==0, x![1]==3

-, x[t], t

+

y la respuesta es: x[t] " !1 + t3

t2.

Observacion: En este ejemplo hemos pedido inicialmente las soluciones de la ecuacion y despuesla solucion de un problema de Cauchy. Si directamente nos piden la solucion de un problemade Cauchy, lo recomendable en este caso, salvo en casos excepcionales, es llevar a cabo el mismoprocedimiento; es decir, determinar primero todas las soluciones de la ecuacion (solucion general)y, puesto que en la solucion general aparecen dos constantes, despues se calculan las constantesimponiendo las condiciones iniciales del problema. Un caso excepcional serıa, por ejemplo,

%x!! + 2

tx! ! 2

t2x = 0

x(1) = 0, x!(1) = 0.

En este caso no habrıa que resolver la ecuacion pues obviamente la funcion nula es solucion y, portanto, la solucion unica del problema. Esto se hace aun mas patente en un caso como

%x!! ! tx = 0

x($) = 0, x!($) = 0,

donde la ecuacion es irresoluble (ecuacion de Airy).

8.4 Resolucion de una ecuacion homogenea cuando se conoce unasolucion particular que no se anula

Segun lo visto en la seccion anterior, si conocemos dos soluciones de la ecuacion diferencial

x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, p, q # C(I,R),

que sean linealmente independientes en I (esto descarta a la solucion nula), entonces obtenemosinmediatamente todas las soluciones. En esta seccion vamos a ver que si conocemos una solucionx1 : I " R tal que x1(t) '= 0 para todo t # I, vamos a poder obtener otra solucion x2 linealmenteindependiente de x1 y, por tanto, vamos a conseguir resolver la ecuacion.

Dado que x1 y x2 deben ser linealmente independientes en el intervalo I y en este intervalo lafuncion x1 no se anula, la funcion cociente x2/x1 no puede ser constante en I y ası debe ser existiruna funcion v, no constante y dos veces derivable en I, tal que

x2(t) = v(t)x1(t) para cada t # I.

El objetivo es efectivamente encontrar un metodo para determinar una tal funcion v de formaque x2 = vx1 sea solucion de la ecuacion diferencial. En la mayor parte de los textos aparece unmetodo pero para mi gusto hay otro, que pasa desapercibido en muchos de ellos, que es mas simpley comodo de llevar a la practica. Con ambos metodos se llega al mismo resultado. Damos unaligera idea del primero y vamos a desarrollar con precision el segundo, basado en la formula delwronskiano. Todas estas ideas se deben al matematico frances Joseph Liouville.


Primer metodo:

Esquematicamente, este consiste en suponer que efectivamente existe otra solucion de la ecuaciondiferencial del tipo x2(t) = v(t)x1(t) con v # C2

(I,R). Llevando esta expresion a la ecuacion dife-rencial, haciendo muchos calculos y teniendo en cuenta que x1 no se anula en I se llega a una EDOlineal de segundo orden homogenea en la funcion incognita v, pero con la gran ventaja de que esdel tipo v!! + !(t)v! = 0, la cual se puede resolver facilmente mediante una EDO lineal de primerorden homogenea en la funcion incognita y = v!. Una vez obtenida la expresion de una solucion nonula v se obtiene la solucion x2 = v x1 .

Segundo metodo: Haciendo uso de la formula de Abel-Liouville sobre el wronskiano

Hemos visto en el teorema 8.3 (formula de Abel-Liouville) que si x1 , x2 : I " R son dos solucionesde la ecuacion lineal de segundo orden homogenea y t0 # I, el wronskiano de ambas solucionesverifica:

W (x1 , x2)(t) = W (x1 , x2)(t0)e"

! tt0

p(s) dspara cada t # I.

De hecho, lo que vimos en la prueba es que la funcion wronskiano es solucion de la EDO lineal deprimer orden homogenea y! = !p(t)y y, por tanto, si

)p(t) dt es una primitiva de p en I, entonces

existe una constante K tal que

W (x1 , x2)(t) = Ke"!p(t) dt para cada t # I.

Las dos soluciones son linealmente independientes si, y solo si, K '= 0. Por tanto, fijada unaprimitiva

)p(t) dt, si ya tenemos una solucion x1 de la ecuacion y x2 es otra solucion linealmente

independiente de x1 debe existir una constante K '= 0 tal que

(8.6)

&&&&&x1(t) x2(t)

x!1(t) x!

2(t)

&&&&& = Ke"!p(t) dt para cada t # I.

Por otra parte, siendo x2 linealmente independiente de x1 debe existir v # C2(I,R) (no constante)

tal que x2 = v x1 . Llevando esta expresion a (8.6) se tiene que v debe verificar:

&&&&&x1(t) v(t)x1(t)

x!1(t) v!(t)x1(t) + v(t)x!

1(t)

&&&&& = Ke"!p(t) dt para cada t # I,

donde K '= 0 y, desarrollando el determinante, se obtiene:

v!(t)x21(t) = Ke"

!p(t) dt para cada t # I.

Teniendo en cuenta que x1(t) '= 0 para todo t # I, se obtiene la funcion v ası:

(8.7) v(t) = K

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt,

y, en definitiva, la solucion buscada debe ser x2 : I " R definida por

x2(t) = Kx1(t)

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt.

De la forma que hemos obtenido x2 , esta asegurado que x1 y x2 son linealmente independientes(observese que v no es constante en I pues su derivada no se anula). Puesto que K '= 0 y six2 es solucion de la homogenea tambien lo es 1

kx2 , podemos considerar K = 1 y, de esta forma,obtenemos el siguiente resultado:



8.4. Resolucion de la homogenea cuando se conoce una solucion 183

Teorema 8.5. Si x1 : I " R es una solucion de la ecuacion lineal homogenea de segundo orden

x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, p, q # C(I,R),y x1(t) '= 0 para todo t # I, entonces otra solucion x2, linealmente independiente de x1 en elintervalo I, es la definida por

(8.8) x2(t) = x1(t)

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt.

Observaciones:

1. Para ser mas preciso, en la expresion de v obtenida en (8.7), habrıa que escribir

v(t) = K

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt+ C, siendo C # R,

ya que dada una primitiva de la funcion 1x21e"

!p, al ser tambien v primitiva de esta funcion,

la diferencia entre ambas puede ser una constante. Ası obtendrıamos la siguiente expresionde la solucion x2

x2(t) = Kx1(t)

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt+ Cx1(t),

pero vease que Cx1 es solucion de la homogenea y, puesto que la diferencia de dos solucionesde la homogenea tambien es solucion, se obtendrıa finalmente una expresion como la dadaen (8.8) para obtener otra solucion de la ecuacion.

2. La expresion de x2 depende de las primitivas que se usen en la formula (8.8), que englobaconcretamente dos primitivas. Teniendo en cuenta que en un intervalo dos primitivas de unafuncion se diferencian en una constante, obtenida una solucion x2 mediante (8.8), el cambiode primitivas nos podrıa llevar a otra solucion x#

2tal que x#

2= Kx2 + Cx1 con K '= 0 y

C # R. Teniendo en cuenta que Cx1 es solucion de la homogenea, podemos afirmar que laeleccion de primitivas, aunque puede influir en la expresion de la solucion particular que seobtiene, no afectarıa a la hora de dar la expresion de la solucion general de la ecuacion, quees el objetivo final de todo esto.

Muchas ecuaciones importantes son del tipo

x!! + q(t)x = 0.

En este caso la formula (8.8) queda ası de simple

(8.9) x2(t) = x1(t)

.1

x21(t)

dt.

En la practica podemos hacer uso de la formula (8.8) pero podemos prescindir de ella (y estoes lo mas aconsejable) sin mas que recordar la formula de Liouville sobre el wronskiano y siguiendolos pasos dados en la prueba. Es decir, el procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Escribir la formula del wronskiano (8.6) con constante K = 1 y tomando cualquier primitivade la funcion p, es decir: W (x1 , x2)(t) = e"

!p(t) dt.

2. Tener en cuenta que la solucion buscada es de la forma x2 = v x1 . Llevar esta expresion a laformula del wronskiano y desarrollando el determinante se halla v mediante un calculo deprimitiva.


Ejemplo 8.4. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! ! 1

tx! +

1

t2x = 0.

Las soluciones de la ecuacion son validas en los intervalos I = (!$, 0) e I = (0,$). Observemosque esta ecuacion es muy parecida a la que vimos en el ejemplo (8.3) de la seccion anterior, que alescribirla en forma implıcita nos sugiere la posibilidad de una solucion del tipo x(t) = t".

En este caso, escrita en forma implıcita, la ecuacion queda ası: t2x!! ! tx! + x = 0 y vemos quex definida por x(t) = t" es solucion en I si, y solo si, se verifica #(# ! 1) ! # + 1 = 0, es decir,#2 ! 2# + 1 = 0, cuya unica solucion real es # = 1. De esta forma obtenemos la solucion definida

por x1(t) = t , que no se anula en I. Ahora podemos obtener una segunda solucion linealmente

independiente mediante el metodo anterior.

Usando la formula (8.8) obtenemos:

x2(t) = t

.1

t2e! 1

t dt dt = t

. | t |t2

dt.

En el caso I = (0,$) resulta x2(t) = t log t y en el caso I = (!$, 0) queda x2(t) = !t log(!t). En

cualquier caso podemos elegir como solucion la definida por x2(t) = t log | t |. De esta forma las

soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones de la forma

x(t) = t#c1 + c2 log | t |

$c1 , c2 # R.

Comprobacion con Mathematica:

DSolve

*x!![t]! 1

tx![t] +

1

t2x[t] == 0, x[t], t

+x[t] " tC[1] + tC[2]Log[t].

Veamos ahora la forma de proceder sin usar la formula (8.8). Por comodidad vamos a trabajaren el intervalo I = (0,$) y, de forma analoga se harıa en el caso I = (!$, 0). Usamos la formuladel wronskiano: W (x1 , x2)(t) = e"

!p(t) dt (con K = 1) que en nuestro caso queda ası:

&&&&&x1(t) x2(t)

x!1(t) x!

2(t)

&&&&& = t.

Buscamos una solucion x2 , linealmente independiente de x1 , que es de la forma x2 = vx1 . Llevandoesta expresion al wronskiano obtenemos:

W (x1 , x2)(t) =

&&&&&t tv(t)

1 v(t) + tv!(t)

&&&&& = t2v!(t)

y, ası, la funcion v la obtenemos inmediatamente de la expresion t2v!(t) = t y resulta v(t) = log t.En definitiva, la solucion obtenida es x2(t) = t log t tal como habıamos obtenido directamente conla formula (8.8).

Si nos hubieran pedido desde un principio la solucion x : (0,$) " R del problema

(P ) :

%x!! ! 1

tx! + 1

t2x = 0

x(1) = 1, x!(1) = 3



8.5. Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes constantes 185

hubieramos resuelto la ecuacion diferencial, tal como hemos procedido anteriormente, obteniendola familia de soluciones x(t) = t

#c1 + c2 log t

$y ahora calculamos las constantes c1 y c2 imponiendo

las condiciones iniciales. En esta caso tales condiciones nos llevan a que c1 = 1 y c1 + c2 = 3 y, portanto, c1 = 1 y c2 = 2. Ası la solucion del problema (P ) es la funcion definida por

x(t) = t#1 + 2 log t

$.


DSolve

*,x!![t]! 1

tx![t] +

1

t2x[t] == 0, x[1] == 1, x![1]==3

-, x[t], t

+x[t]! > t+ 2tLog[t].

8.5 Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes constantes

Estas son las ecuaciones lineales homogeneas de segundo orden donde las funciones p y q sonconstantes, es decir ecuaciones del tipo:

(8.10) x!! + p x! + q x = 0 donde p, q # R.

Las soluciones de estas ecuaciones estan definidas en R. Se trata de una importante clase de ecua-ciones, que tienen la gran ventaja de que se saben resolver. Obviamente el objetivo es obtenerdos soluciones linealmente independientes en R. Las ideas que vamos a exponer se deben al granmatematico L. Euler (1707-1783).

En este caso, dada la forma de la ecuacion, donde p y q son constantes, no cabe esperarque existan soluciones del tipo x(t) = t" como ha sucedido con otras ecuaciones de coeficientesno constantes que hemos visto en secciones anteriores. Si ponemos como referencia el caso de laecuacion lineal homogenea de primer orden x!+px = 0, con p constante, sabemos que las solucionesde esta vienen dadas por funciones exponenciales; concretamente son de la forma x(t) = Ce"t conC # R, donde # = !p. Dada la forma de (8.10) cabe la posibilidad de que existan soluciones deltipo x(t) = e"t con # # R.

Comprobamos de una forma inmediata que x(t) = e"t es solucion de (8.10) si, y solo si, # essolucion de la ecuacion de segundo grado

(8.11) #2 + p#+ q = 0

o, dicho de otra forma, si # es raız del polinomio #2 + p#+ q. La ecuacion (8.11) recibe el nombrede ecuacion caracterıstica o auxiliar de la ecuacion diferencial (8.10) (tambien podrıamos decir que#2 + p# + q es el polinomio caracterıstico de la ecuacion diferencial). Sabemos que una ecuacioncomo la anterior no tiene porque tener soluciones reales. De hecho, hay que considerar tres posiblessituaciones: dos soluciones reales distintas, una unica solucion real o dos soluciones complejas, segunsi el discriminante p2 ! 4q es positivo, nulo o negativo. Evidentemente el caso mas satisfactorioes el primero pues vamos a obtener dos soluciones de tipo exponencial linealmente independientes.En el segundo caso solo obtendremos una solucion de tipo exponencial y habra que encontrar otralinealmente independiente con esta haciendo uso de lo visto en la seccion anterior. El caso menossatisfactorio es el tercero, en el que tendremos que trabajar mas para determinar dos solucionesindependientes.


Caso I: La ecuacion caracterıstica (8.11) tiene dos soluciones reales: #1 y #2 .

En este caso las funciones definidas por x1(t) = e"1 t y x2(t) = e"2 t son soluciones de la

ecuacion diferencial (8.10) y obviamente son linealmente independientes en R. Observese que elwonskiano W (x1 , x2)(t) = (#2 !#1)e

("1+"2 )t no se anula en R. Por tanto, el conjunto de solucionesde la ecuacion diferencial (8.10) viene dado por las funciones x : R " R definidas por

(8.12) x(t) = c1 e"1 t + c2 e

"2 t donde c1 , c2 # R.

Ejemplo 8.5. Resolucion de la ecuacion diferencial: x!! ! x = 0.

Ecuacion caracterıstica asociada: #2 ! 1 = 0, cuyas soluciones son #1 = 1 y #2 = !1. Por tantolas soluciones de la ecuacion diferencial estan dadas por las funciones definidas por

x(t) = c1et + c2e

"t, c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + e"tC[2].

Vease la diferencia existente con la ecuacion x!!+x = 0, ya vista en la seccion 8.3, cuyas solucio-nes son de la forma x(t) = c1 cos t+c2 sen t, pero observese que, aunque la diferencia solo esta en unsigno, resulta que la ecuacion caracterıstica de esta ultima, #2 + 1 = 0, no posee soluciones reales.

Ejemplo 8.6. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! ! 3x! + 2x = 0.

Ecuacion caracterıstica asociada: #2 ! 3# + 2 = 0 cuyas soluciones son #1 = 1 y #2 = 2. Portanto la solucion general de la ecuacion diferencial viene dada por

x(t) = c1et + c2e

2t, c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! 3x![t] + 2x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + e2tC[2].

Ejemplo 8.7. Solucion x : R " R del problema de valores iniciales:

(P ) :

%x!! + 4x! ! 2x = 0

x(0) = 1, x!(0) = 2.

Ecuacion caracterıstica asociada: #2 + 4# ! 2 = 0, cuyas soluciones son #1 = !2 +(6 y

#2 = !2!(6. Por tanto las soluciones de la ecuacion diferencial vienen dadas por

x(t) = c1e("2+

$6)t + c2e

"(2+$6)t, c1 , c2 # R.




Ahora determinamos las constantes c1 y c2 (de forma unica) imponiendo las condiciones inicialesx(0) = 1, x!(0) = 2 lo que da lugar a un sistema compatible determinado cuya solucion es c1 =12 +

$63 y c2 = 1

2 !$63 y ası la solucion del problema (P ) es la dada por

x(t) =/12 +

$63

0e("2+

$6)t +

/12 !

$63

0e"(2+

$6)t.


DSolve[{x!![t] + 4x![t]! 2x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 2}, x[t], t]

x[t] " 1

6

/3e("2"

$6)t ! 2

(6e("2"

$6)t + 3e("2+

$6)t + 2

(6e("2+

$6)t .

Caso II: La ecuacion caracterıstica (8.11) tiene una solucion real doble: #.

Esto sucede cuando p2 ! 4q = 0 y, en este caso, # = !p2 . Por tanto solo tenemos una solucion

(salvo constantes) de tipo exponencial, que es la dada por

x1(t) = e"t siendo # = !p

2.

Necesitamos encontrar otra solucion de la ecuacion diferencial (8.10) linealmente independiente dex1 en el intervalo R. Como x1(t) '= 0 para cada t # R, podemos hacer uso del teorema 8.5 y ası laformula (8.8) nos da la expresion de otra solucion linealmente independiente. En este caso, tenemos

x2(t) = x1(t)

.1

x21(t)

e"!p(t) dt dt = e"t

.e"2"te"pt dt = e"t

.e"(2"+p)t dt = te"t.

En definitiva, las funciones

x1(t) = e"t y x2(t) = te"t

son soluciones en R, linealmente independientes, de la ecuacion diferencial. Por tanto, el conjuntode soluciones de la ecuacion diferencial (8.10) viene dado por las funciones definidas por

(8.13) x(t) = (c1 + c2t)e"t donde c1 , c2 # R.

Ejemplo 8.8. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! ! 2x! + x = 0.

Ecuacion caracterıstica asociada: #2 ! 2# + 1 = 0. El discriminante es nulo y solo tenemos lasolucion real doble # = 1. Por tanto las soluciones de la ecuacion diferencial vienen dadas por

x(t) = (c1 + c2t)et donde c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! 2x![t] + x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[1] + ettC[2].

Ejemplo 8.9. Solucion x : R " R del problema de valores iniciales:

(P ) :

%x!! + 4x! + 4x = 0

x(0) = 1, x!(0) = 3.


La ecuacion caracterıstica asociada es #2 + 4#+ 4 = 0 , es decir (#+ 2)2 = 0 y solo tenemos lasolucion real doble # = !2. Por tanto las soluciones de la ecuacion diferencial vienen dadas por

x(t) = (c1 + c2t)e"2t, c1 , c2 # R.

Ahora determinamos las constantes c1 y c2 imponiendo las condiciones iniciales x(0) = 1, x!(0) = 3.La primera condicion da directamente c1 = 1 y de la segunda se obtiene c2 ! 2c1 = 3 y, por tanto,

c2 = 5. Ası la solucion del problema (P ) es la dada por x(t) = (1 + 5t)e"2t.


DSolve[{x!![t] + 4x![t] + 4x[t] == 0, x[0] == 1, x![0] == 3}, x[t], t] x[t] " e"2t(1 + 5t)

Caso III: La ecuacion caracterıstica (8.11) tiene dos soluciones complejas.

Esto sucede cuando p2 ! 4q < 0 y, en este caso, las soluciones complejas vienen dadas por

# ="p±i

(4q"p2

2 , donde i es el numero complejo tal que i2 = !1. Es decir tenemos

#1 = !+ i" y #2 = !! i"

donde ! = !p2 , " = 1

2

14q ! p2. Observese que #1 y #2 son numeros complejos conjugados.

Una pista: En el caso conocido x!! + x = 0 la ecuacion caracterıstica es #2 + 1 = 0 cuyassoluciones son complejas, concretamente, #1 = i y #2 = !i. En este caso ! = 0 y " = 1 yrecuerdese que las funciones dadas por x1(t) = cos t y x2(t) = sen t constituyen una base delespacio de soluciones. Vease que las expresiones de estas dos soluciones podemos escribirlas ası:

x1(t) = e!t cos"t y x2(t) = e!t sen"t.

La idea es generalizar esta situacion, es decir, probar que en el caso establecido vamos a tener dossoluciones linealmente independientes del tipo anterior.

En general, siendo # # C solucion de la ecuacion caracterıstica, estarıamos tentados de afirmarque z(t) = e"t es solucion de la ecuacion diferencial (8.10), pero esto, en principio, no tiene sentidosi antes no definimos ciertos conceptos. Vamos a proceder de la siguiente forma:

1. Vamos a darle sentido a e"t cuando # # C y t # R.

2. Vamos a considerar soluciones con valores complejos z : R " C de la ecuacion diferen-cial (8.10).

3. Vamos a comprobar que cuando # # C es solucion de la ecuacion caracterıstica, la funcionz : R " C definida por z(t) = e"t, es solucion de la ecuacion diferencial.

4. A partir del punto anterior obtendremos dos soluciones x1 : R " R, x2 : R " R de la ecuaciondiferencial que son linealmente independientes (cuyas expresiones van a ser como las del casocitado x!! + x = 0).

1.- Se intenta definir e"t cuando # # C de manera que sea una generalizacion del caso e"t cuando# # R y que posea propiedades analogas. Existe una formula (identidad) fundamental del algebraelemental de los numeros complejos, conocida como formula de Euler, que afirma que cuando % esun numero real, entonces

ei# = cos % + i sen %.




Podemos tomar lo anterior como definicion, pero cabe la posibilidad de justificarla4 si tenemosen cuenta los desarrollos en serie de las funciones coseno y seno e imponemos que en este caso eldesarrollo en serie de la exponencial sea como en el caso ex cuando x es real.5

De esta forma, si aceptamos que la definicion de exponencial ez cuando z = a + ib # C debeobedecer a las mismas reglas que en el caso z # R debera suceder que ez = eaeib = ea(cos b+ i sen b)y ası podemos establecer (como definicion) que

ez = ea(cos b+ i sen b) si z = a+ ib # C,

lo cual generaliza el caso ez cuando z # R pues en tal caso b = 0 (z = a). Por tanto, si # = !+i" # Cy t # R, se tiene z = #t = !t+ i"t # C y ası tenemos una funcion z : R " C, t &" z(t) = e"t definidapor la expresion

e"t = e!t#cos"t+ i sen"t

$donde # = !+ i" # C.

Observese que siendo #1 = !+ i" y #2 = !! i", entonces

e"1 t = e!t cos"t+ ie!t sen"t

e"2 t = e!t cos"t! ie!t sen"t

De esta forma las partes reales de e"1 t y e"2 t coinciden mientras que sus partes imaginarias solo sediferencian en el signo, es decir, e"2 t es el conjugado de e"1 t.

2.- Cuando, en general, se tiene una funcion z : I " C, t &" z(t), siendo I un intervalo en R,podemos escribir z(t) = u(t) + iv(t), donde las funciones u, v : I " R son las llamadas parte reale imaginaria de la funcion z. Lo que hemos visto anteriormente es que en el caso z : R " C, t &"z(t) = e"t, sus partes real e imaginaria son

u(t) = e!t cos"t, v(t) = e!t sen"t.

Dada una funcion z : I " C, t &" z(t) = u(t) + iv(t), diremos que z es derivable en I cuandou y v lo son y, en tal caso, se define la derivada ası: z!(t) = u!(t) + iv!(t). De esta forma si lasfunciones reales u y v son dos veces derivables, z es dos veces derivable y la segunda derivadade z es z!!(t) = u!!(t) + iv!!(t). De esta forma, siendo z dos veces derivable en R, tiene sentidodecir que z : R " C, t &" z(t) = u(t) + iv(t) es solucion de la ecuacion diferencial de coeficientesconstantes x!! + px! + qx = 0 cuando sucede que z!!(t) + pz!(t) + qz(t) = 0 para cada t # R, y,segun las definiciones dadas, obviamente esto equivale a que tanto su parte real u : R " R como suimaginaria v : R " R son soluciones de la ecuacion diferencial.

3.- Sea # = !+ i" # C. La funcion

z : R " C, t &" z(t) = e"t = e!t cos"t+ ie!t sen"t

es dos veces derivable en R ya que sus partes real e imaginaria lo son. Vamos a comprobar que laderivada de z se comporta como en el caso real, es decir,

d

dt(e"t) = #e"t.

4Vease [1, pag. 138].5Observese que ei! + 1 = 0, una bellısima formula (identidad) donde intervienen cinco de los numeros mas

notables de la historia de las Matematicas.


En efecto,d

dt(e"t) =

#!e!t cos"t! "e!t sen"t

$+ i

#!e!t sen"t+ "e!t cos"t

$

= e!t/(! cos"t! " sen"t) + i(! sen"t+ " cos"t)

0.

Por otra parte,

#e"t = (!+ i")e!t#cos"t+ i sen"t

$= e!t

/(! cos"t! " sen"t) + i(! sen"t+ " cos"t)

0,

confirmandose ası que se obtiene el mismo resultado.

De lo anterior y de la definicion de derivada se sigue que

d2

dt2(e"t) =

d

dt(#e"t) = #

d

dt(e"t) = #

2e"t.

De esta forma, procediendo como en el caso real, concluimos que si # # C es solucion de la ecuacionde segundo grado

#2 + p#+ q = 0,

entonces z : R " C, t &" z(t) = e"t es solucion de la ecuacion diferencial (8.10).

4.- Lo anterior nos confirma que si #1 y #2 son soluciones complejas de la ecuacion caracterıstica,entonces las funciones con valores complejos z1(t) = e"1 t y z2(t) = e"2 t son soluciones de la ecuaciondiferencial (8.10). Por tanto, las partes reales e imaginarias de estas funciones son soluciones convalores reales de la ecuacion diferencial. En definitiva, las funciones

x1(t) = e!t cos"t, x2(t) = e!t sen"t

son soluciones en R de la ecuacion diferencial. Estas dos funciones son linealmente independien-tes pues no son proporcionales; de todas formas, vease que W (x1 , x2)(t) = "e2!t '= 0 o, mascomodamente, compruebese que el wronskiano en el punto t = 0 es igual a " '= 0. Por tanto, elconjunto de soluciones de la ecuacion diferencial (8.10) viene dado por las funciones definidas por

(8.14) x(t) = e!t/c1 cos"t+ c2 sen"t

0donde c1 , c2 # R.

Las graficas de las soluciones son ondas con amplitudes que crecen o decrecen exponencialmentesegun si ! > 0 o ! < 0 y en el caso ! = 0 son simplemente ondas.

!15 !10 !5 5 10 15

!1.0

!0.5

0.5

1.0

Figura 8.4: Grafica de x(t) = sen t+ cos t.




!15 !10 !5 5 10 15

!6

!4

!2

2

4

6

Figura 8.5: Grafica de x(t) = et/6(sen t+ cos t).

!5 5 10 15

!3

!2

!1

1

2

3

Figura 8.6: Grafica de x(t) = e"t/6(sen t+ cos t).


La ecuacion caracterıstica asociada: #2 ! 2# + 2 = 0 tiene un discriminante negativo y, portanto, dos soluciones complejas, que son #1 = 1 + i y #2 = 1 ! i. Aquı ! = " = 1. Por tanto, lassoluciones de la ecuacion diferencial son las funciones definidas por

x(t) = et/c1 cos t+ c2 sen t

0donde c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! 2x![t] + 2x[t] == 0, x[t], t] x[t] " etC[2]Cos[t] + etC[1]Sin[t].


La ecuacion caracterıstica asociada: #2 ! 4# + 13 = 0 tiene un discriminante negativo y, portanto, dos soluciones complejas, que son #1 = 2 + 3i y #2 = 2 ! 3i. Aquı ! = 2 y " = 3. Enconsequencia, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones definidas por

x(t) = e2t/c1 cos 3t+ c2 sen 3t

0, c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! 4x![t] + 13x[t] == 0, x[t], t] x[t] " e2tC[2]Cos[3t] + e2tC[1]Sin[3t].


Ejemplo 8.12. Soluciones de la ecuacion x!! + &2x = 0, donde & > 0.

La soluciones de la ecuacion caracterıstica son ±&i. Aquı ! = 0 y " = 1. Por tanto, lassoluciones de la ecuacion diferencial son las funciones de la forma

x(t) = c1 cos&t+ c2 sen&t, c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t] + w2x[t] == 0, x[t], t

"x[t] " C[1]Cos[tw] + C[2]Sin[tw].

Vease la gran diferencia que provoca en las soluciones un cambio de signo en la ecuacion. En elcaso x!! ! &2x = 0 las soluciones vienen dadas por

x(t) = c1e$t + c2e

"$t, c1 , c2 # R.

A la vista de los casos estudiados, queda claro que la naturaleza cualitativa de las soluciones deuna EDO lineal de segundo orden homogenea con coeficientes constantes: x!! + px! + qx = 0 vienecompletamente caracterizado por los signos y magnitudes de los coeficientes p y q y pueden variardrasticamente si se modifican esos valores numericos. Por ejemplo, si p y q son numeros positivos,todas las soluciones de la ecuacion tienden a cero cuando t tiende a infinito, lo cual no es cierto sip = 0 o q = 0 (ejercicio 11). Si p2!4q < 0 las graficas de las soluciones son ondas cuyas amplitudescrecen o decrecen exponencialmente segun que p sea negativo o positivo. Estas afirmaciones y otrasde la misma ındole son consecuencias inmediatas del estudio que hemos realizado en esta secciony reciben un tratamiento exhaustivo en textos que presentan aplicaciones fısicas de las ecuacionesdiferenciales6. Todo esto es muy importante para los fısicos que analizan sistemas mecanicos ocircuitos electricos descritos por ecuaciones diferenciales del tipo anterior.

8.6 Ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de Euler (Cauchy-Euler)

En forma implıcita y abreviada, son las ecuaciones del tipo

(8.15) t2x!! + atx! + bx = 0 donde a, b # R.

Por tanto, en forma explıcita, presentan la forma:

(8.16) x!! +a

tx! +

b

t2x = 0 donde a, b # R.

Los intervalos maximales donde las soluciones de (8.16) estan definidas son I = (!$, 0) e I =(0,$). Sin embargo, la ecuacion implıcita podrıa tener, en principio, soluciones definidas en R,distintas de la solucion nula (veremos algun caso donde esto no sucede). Esta claro que si soloconsideramos soluciones definidas en los dos intervalos I, mencionados anteriormente, las ecua-ciones (8.15) y (8.16) son equivalentes. Todo nuestro estudio sobre ecuaciones lineales de segundoorden se realiza sobre ecuaciones explıcitas, pero el motivo de considerar, en este caso, la formaimplıcita es que resulta mas adecuada para ciertos propositos.

6Veanse, por ejemplo, [10, capıtulo 5] y [3, tomo I, pag. 173].



8.6. Ecuaciones lineales homogeneas de Euler 193

Dos ejemplos de este tipo, que han aparecido en secciones anteriores, son:

1. t2x!! + 2tx! ! 2x = 0. En este caso encontramos dos soluciones independientes del tipox(t) = t", concretamente x1(t) = t y x2(t) = t"2.

2. t2x!! ! tx! + x = 0. En este caso solo encontramos una solucion del tipo x(t) = t", concreta-mente x1(t) = t. Hubo que buscar otra independiente de x1 por el metodo estudiado en laseccion 8.4 y obtuvimos x2(t) = t log | t |.

Los ejemplos anteriores y la forma de la ecuacion implıcita invita a ver si hay soluciones deltipo x(t) = t". ¡Cuidado! Para algunos valores de # es posible que la expresion t" no tenga sentidosi t < 0 (por ejemplo # = 1/2) o si t = 0 (por ejemplo # = !1) y lo mas correcto serıa escribirx(t) = | t |", pero por comodidad vamos a suponer que buscamos soluciones x : (0,$) " R. Deforma casi inmediata, obtenemos que x definida por x(t) = t" es solucion de (8.15) si y solo si # essolucion de la ecuacion de segundo grado

(8.17) #(#! 1) + a#+ b = 0 o equivalentemente #2 + (a! 1)#+ b = 0.

La ecuacion anterior recibe el nombre de ecuacion auxiliar de la ecuacion de Euler y, en principio, talecuacion podrıa realizar la misma funcion que la ecuacion caracterıstica o auxiliar de una ecuaciondiferencial lineal de coeficientes constantes, tal como vimos en la seccion anterior. Es decir, nosllevarıa a estudiar tres situaciones distintas: cuando (8.17) tiene dos soluciones reales distintas, unaunica solucion real o dos soluciones complejas.

Evidentemente el caso mas satisfactorio es el primero pues vamos a obtener dos soluciones detipo x(t) = t" linealmente independientes. En este caso tendrıamos resuelta la ecuacion diferencial.Esto es lo que sucede con el primer ejemplo de los expuestos anteriormente. En el segundo casosolo obtendremos una solucion de este tipo y habrıa que encontrar otra linealmente independientede esta haciendo uso de lo visto en la seccion 8.4. Esto es lo que sucede con el segundo de losejemplos citados. El caso mas complicado es obviamente el tercero. Este procedimiento serıa comouna repeticion del visto en la seccion anterior pero con mayor complejidad de calculos y nos llevarıamucho tiempo (algunos autores lo llevan a cabo7).

Lo mejor es aprovechar el trabajo realizado en la seccion anterior. ¿De que forma?. La ideaes sencillamente realizar un cambio de funcion incognita que transforme la ecuacion de Euler enuna ecuacion de coeficientes constantes, de manera que resolviendo esta ultima, obtengamos lassoluciones de la ecuacion de Euler deshaciendo el cambio. Para llevar a cabo esta idea vamos atrabajar con la ecuacion implıcita (8.15) pero vamos a tener que distinguir los casos I = (0,$)e I = (!$, 0). De cualquier forma, estos son los intervalos maximales donde estan definidas lassoluciones la ecuacion de Euler explıcita.

Estudiamos en primer lugar el caso I = (0,$).

Si tenemos una funcion x : (0,$) " R, t &" x(t), podemos considerar la funcion y : R " R, s &"y(s) = x(es) (esto se puede considerar como un cambio de funcion incognita donde se cambia

la variable independiente). Observese que podemos escribir la funcion x en terminos de y ası:

x(t) = y(log t) . Evidentemente x es derivable (dos veces derivable) en (0,$) si, y solo si, y es

derivable (dos veces derivable) en R y se tiene:

x!(t) = y!(log t)1

t, x!!(t) = y!!(log t)

1

t2! y!(log t)

1

t2.

7Vease [10, pag. 172].


Por tanto, se verifica:

t2x!!(t) + atx!(t) + bx(t) =#y!!(log t)! y!(log t)

$+ ay!(log t) + by(log t)

= y!!(log t) + (a! 1)y!(log t) + by(log t).

Ası x : (0,$) " R es solucion de la ecuacion de Euler si, y solo si, la funcion y verifica

y!!(log t) + (a! 1)y!(log t) + by(log t) = 0 para cada t > 0,

o, equivalentemente,

y!!(s) + (a! 1)y!(s) + by(s) = 0 para cada s # R.

En definitiva, x : (0,$) " R es solucion de la ecuacion de Euler si, y solo si, y : R " R es solucionde la ecuacion con coeficientes constantes

(8.18) y!! + (a! 1)y! + by = 0.

Lo mas significativo de todo esto es que la ecuacion caracterıstica de la ecuacion diferencial (8.18):#2 + (a! 1)#+ b = 0, coincide con la ecuacion auxiliar (8.17) de la ecuacion de Euler.

El estudio del caso I = (!$, 0) es analogo al anterior. En este caso, si tenemos una funcion

x : (!$, 0) " R, t &" x(t), consideramos la funcion y : R " R, s &" y(s) = x(!es) y la funcion x

la recuperamos ası: x(t) = y(log(!t)). De la misma forma, x es derivable (dos veces derivable) en

I = (!$, 0) si, y solo si, y es es derivable (dos veces derivable) en R y se tiene:

x!(t) = y!(log(!t))1

t, x!!(t) = y!!(log(!t))

1

t2! y!(log(!t))

1

t2.

Por tanto, se verifica:

t2x!!(t) + atx!(t) + bx(t) = y!!(log(!t)) + (a! 1)y!(log(!t)) + by(log(!t))

y ası x : (!$, 0) " R es solucion de la ecuacion de Euler si, y solo si, la funcion y verifica

y!!(log(!t)) + (a! 1)y!(log(!t)) + by(log(!t)) = 0 para cada t < 0,

o, equivalentemente,

y!!(s) + (a! 1)y!(s) + by(s) = 0 para cada s # R,

es decir, y verifica la misma ecuacion de coeficientes constantes (8.18) que en el caso anterior.

De esta forma, tanto en un caso como en otro, el cambio de funcion incognita (que, en principio,no es necesario recordar) transforma la ecuacion de Euler en una ecuacion de coficientes constantescuya ecuacion caracterıstica coincide con la ecuacion auxiliar de Euler. Por otra parte tenemos una

expresion para deshacer el cambio que nos sirve en ambos casos; esta es: x(t) = y(log | t |) .

Visto lo anterior, a continuacion exponemos el procedimiento que aconsejamos llevar a lapractica para resolver una ecuacion de Euler homogenea.




1. Escribir la ecuacion de Euler en forma implıcita: t2x!! + atx! + bx = 0.

2. Esta nos da de manera inmediata la ecuacion auxiliar asociada: #(# ! 1) + a# + b = 0, o

equivalentemente, #2 + (a! 1)#+ b = 0. Si se nos olvida, basta con imponer que x(t) = t"

sea solucion de la ecuacion diferencial para obtenerla.

3. Considerar la ecuacion lineal de segundo orden de coeficientes constantes cuya ecuacioncaracterıstica coincide con la ecuacion auxiliar de Euler; es decir: y!! + (a! 1)y! + by = 0.

4. Resolver la ecuacion de coeficientes constantes anterior.

5. Finalmente, obtener las soluciones de la Ecuacion de Euler a partir de las soluciones de la

ecuacion anterior, deshaciendo el cambio ası: x(t) = y(log | t |). Esto nos sirve tanto para

obtener las soluciones definidas en I = (0,$) como las soluciones definidas en I = (!$, 0).

Veamos a continuacion la forma de las soluciones de una ecuacion de Euler homogenea, segunlos tres casos que se nos pueden presentar a la hora de resolver la ecuacion de coeficientes constantesasociadas:

Caso I: La ecuacion auxiliar de Euler tiene dos soluciones reales distintas: #1 y #2 .

En este caso las funciones definidas por y1(s) = e"1s, y2(s) = e"2s son dos soluciones de laecuacion de coeficientes constantes, linealmente independientes y las soluciones de tal ecuacionvienen dadas por y(s) = c1e

"1s + c2e"2s.

Deshaciendo el cambio, a partir de y1 e y2 , obtenemos las dos siguientes soluciones (linealmenteindependientes) de la ecuacion de Euler:

x1(t) = y1(log | t |) = e"1 log | t | = | t |"1 y x2(t) = y2(log | t |) = | t |"2 .

Por tanto, las soluciones de la ecuacion de Euler estan definidas ası:

x(t) = c1 | t |"1 + c2 | t |"2 donde c1 , c2 # R.

Caso II: La ecuacion auxiliar de Euler tiene una solucion real doble: #.

Aquı las funciones definidas por y1(s) = e"s, y2(s) = se"s son dos soluciones de la ecuacion decoeficientes constantes, linealmente independientes y las soluciones de tal ecuacion son de la formay(s) = e"s(c1 + c2s).

Deshaciendo el cambio, obtenemos las dos soluciones de la ecuacion de Euler:

x1(t) = | t |" y x2(t) = | t |" log | t |.

En consecuencia, las soluciones de la ecuacion de Euler vienen dadas por

x(t) = | t |"(c1 + c2 log | t |) donde c1 , c2 # R.

Caso III: La ecuacion auxiliar de Euler tiene dos soluciones complejas:

#1 = !+ i" y #2 = !! i".


En esta situacion las funciones definidas por y1(s) = e!s cos"s, y2(s) = e!s sen"s son dos so-luciones linealmente independientes de la ecuacion de coeficientes constantes y las soluciones de talecuacion vienen dadas por y(s) = e!s(c1 cos"s+ c2 sen"s).

Deshaciendo el cambio, obtenemos, a partir de y1 e y2 , las dos soluciones

x1(t) = | t |! cos(" log | t |) y x2(t) = | t |! sen(" log | t |).

Por tanto, las soluciones de la ecuacion de Euler estan definidas ası:

x(t) = | t |!#c1 cos(" log | t |) + c2 sen(" log | t |)

$donde c1 , c2 # R.

A continuacion exponemos tres ejemplos correspondientes a las tres situaciones establecidasanteriormente. No hay que recordar formulas, unicamente hay que conocer el procedimiento sena-lado, es decir, una repeticion de lo que hemos llevado a cabo en general, anteriormente.

Ejemplo 8.13. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 2

tx! ! 4

t2x = 0.

Escribimos la ecuacion en la forma implıcita: t2x!! ! 2tx! ! 4x = 0. Ası la ecuacion auxiliar es#(#! 1)! 2#! 4 = 0, es decir, #2 ! 3#! 4 = 0.

La ecuacion en # anterior nos sirve para afirmar que la ecuacion de coeficientes constantes

equivalente a la ecuacion de Euler es y!! ! 3y! ! 4y = 0 ya que su ecuacion caracterıstica coincidecon la ecuacion auxiliar de Euler.

Las soluciones de la ecuacion carcaterıstica son #1 = 4 y #2 = !1, por lo que dos solucioneslinealmente independientes de la ecuacion de coeficientes constantes son y1(s) = e4s, y2(s) = e"s.Al deshacer el cambio ası: x(t) = y(log | t |) obtenemos las dos soluciones de la ecuacion de Euler:

x1(t) = y1(log | t |) = e4 log | t | = t4 y x2(t) = y1(log | t |) = e" log | t | =1

| t | .

Observese que cuando I = (0,$) tenemos x2(t) =1t y cuando I = (!$, 0) se tiene x2(t) = !1

t .Ahora bien, si la solucion x2 la multiplicamos por una constante no nula, la funcion resultantesigue siendo solucion de la homogenea y linealmente con x1 . Por tanto, en ambos casos podemoselegir x2(t) =

1t y, por tanto, las soluciones de la ecuacion de Euler, definidas en I = (0,$) o en

I = (!$, 0), podemos expresarlas ası:

x(t) = c1t4 +

c2t

donde c1 , c2 # R.

Comprobacion del resultado con Mathematica:

DSolve

*x!![t]! 2

tx![t]! 4

t2x[t] == 0, x[t], t

+, x[t] " C[1]

t+ t4C[2].

Ejemplo 8.14. Soluciones de la ecuacion: 4t2x!! + 8tx! + x = 0.




Podemos asegurar que esta ecuacion posee soluciones definidas en los intervalos I = (0,$) eI = (!$, 0), ya que esto sucede para la ecuacion explıcita x!! + 2

tx! + 1

4t2x = 0.

Lo primero que debemos hacer es escribir la ecuacion de Euler implıcita ası:

t2x!! + 2tx! + 14x = 0.

Por tanto, la ecuacion auxiliar es #(#!1)+2#+ 14 = 0, es decir, #2+#+ 1

4 = 0, cuya unica solucionreal es # = !1

2 .

La ecuacion de coeficientes constantes equivalente a la ecuacion de Euler es y!! + y! + 14y = 0

y dos soluciones linealmente independientes de esta ecuacion son y1(s) = e"s/2, y2(s) = se"s/2.

Al deshacer el cambio (x(t) = y(log | t |)) obtenemos las dos soluciones de la ecuacion de Euler:

x1(t) = | t |"1/2 y x2(t) = | t |"1/2 log | t |.

Por tanto, las soluciones de la ecuacion de Euler, validas en los intervalos I = (0,$) e I =(!$, 0), son las definidas ası:

x(t) =11| t |

#c1 + c2 log | t |

$donde c1 , c2 # R.

Observese que, al ser la ecuacion dada de tipo implıcita, en principio cabıa la posibilidad de quetuviese soluciones definidas en R, distintas de la solucion nula, pero el resultado anterior niega esaposibilidad pues las soluciones obtenidas en los intervalos I = (0,$) e I = (!$, 0) no se puedenextender, ni siquiera de forma continua, a R.


DSolve!4t2x!![t] + 8tx![t] + x[t] == 0, x[t], t

", x[t] " C[1](

t+

C[2]Log[t]

2(t

.

Ejemplo 8.15. Soluciones de la ecuacion: x!! +3

tx! +

3

t2x = 0.

Escribimos la ecuacion en la forma implıcita:

t2x!! + 3tx! + 3x = 0.

Ası la ecuacion auxiliar es #(# ! 1) + 3# + 3 = 0, es decir, #2 + 2# + 3 = 0. Esta ecuacion poseedos soluciones complejas: !1±

(2i.

La ecuacion de coeficientes constantes equivalente a la ecuacion de Euler es y!! + 2y! + 3y = 0

y dos soluciones linealmente independientes de esta ecuacion son y1(s) = e"s cos((2s), y2(s) =

e"s sen((2s).

Al deshacer el cambio (x(t) = y(log | t |)) obtenemos las dos soluciones de la ecuacion de Euler:

x1(t) =1

| t | cos((2 log | t |) y x2(t) =

1

| t | sen((2 log | t |).


Con un razonamiento analogo al del primer ejemplo, podemos suprimir el valor absoluto en laexpresion 1

| t | y, de esta forma, las soluciones de la ecuacion de Euler podemos expresarlas ası:

x(t) =1

t

/c1 cos(

(2 log | t |) + c2 sen(

(2 log | t |)

0donde c1 , c2 # R.


DSolve

*x!![t] +

3

tx![t] +

3

t2x[t] == 0, x[t], t

+, x[t] "

C[2]Cos!(

2Log[t]"

t+

C[1]Sin!(

2Log[t]"

t.

C1 = C2 = 1

C1 = 1, C2 = -1

2 4 6 8 10

!1.0

!0.5

0.5

1.0

Figura 8.7: Graficas de las dos soluciones en el intervalo I = (0, 10) correspondientes a los casosc1 = c2 = 1 y c1 = 1, c2 = !1.

8.7 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogeneas

Las EDOs lineales de segundo orden no homogeneas podemos notarlas ası:

(8.19) x!! + p(t)x! + q(t)x = f(t)

y siempre supondremos p, q y f son continuas en un intervalo I y f no es identicamente nula en I.De esta forma las soluciones de (8.19) estan definidas en I.

La ecuacion homogenea asociada a (8.19) es

(H) x!! + p(t)x! + q(t)x = 0.

Cualquier solucion de la ecuacion homogenea y cualquiera de la no homogenea es una funcion deC2

(I,R). Aunque no es estrictamente necesario, tal como hicimos con las lineales de primer orden,resulta muy comodo, escribir las ecuaciones anteriores en terminos de un operador (aplicacion entreespacios vectoriales); concretamente,

L : C2(I,R) " C(I,R), x &" Lx = x!! + px! + qx.



8.7. Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas 199

Es trivial comprobar que L es lineal. Con esta notacion x es solucion de la homogenea si, y solo si,Lx = % , donde % representa la funcion nula (elemento nulo del espacio vectorial C(I,R)). Dicho de

otra forma, el conjunto de soluciones de la homogenea, que es un subespacio vectorial de C2(I,R)

de dimension igual a 2, es el nucleo del operador lineal L. Por otra parte, x es solucion de laecuacion completa si, y solo si, Lx = f.

De la misma forma que vimos en el caso de primer orden, se comprueba, sin mas que tener encuenta que L es lineal, el siguiente resultado:

Proposicion 8.4. Si xp es una solucion (particular) de la ecuacion completa (8.19), se verificaque x es solucion de (8.19) si, y solo si, x es de la forma x = xh + xp , donde xh es solucion de

la homogenea (H).

Prueba. En efecto, si x = xh + xp resulta, al ser L lineal, que Lx = Lxh + Lxp = % + f = f y asıx es solucion de la completa. Recıprocamente, si x es solucion de (8.19), escribimos x = xh + xp,donde xh = x! xp y resulta que xh es solucion de (H) pues Lxh = Lx! Lxp = f ! f = %.

Por tanto, si conocemos las soluciones xh de la ecuacion homogenea (H) y una solucion xp de laecuacion completa, conocemos todas las soluciones de la completa. Este conjunto de soluciones es{x = xh+xp, donde xh es solucion de la homogenea}. En el lenguaje del Algebra Lineal podemosdecir que el espacio de soluciones de la ecuacion completa es un espacio afın asociado al espaciovectorial de las soluciones de la homogenea, que, en este caso, es de dimension 2. En definitiva,

Proposicion 8.5. Si x1 y x2 son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion ho-mogenea y xp es una solucion de la completa, el conjunto de soluciones de la completa viene dadopor las funciones x : I " R definidas ası:

(8.20) x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + xp(t) donde c1 , c2 # R.

Una observacion, que es interesante tenerla en cuenta, es que una solucion xp de la ecuacioncompleta (8.19) debe ser linealmente independiente de dos soluciones x1 , x2 de la ecuacion ho-mogenea asociada, ya que, en caso contrario, xp serıa una combinacion lineal de estas y, entonces,tambien serıa solucion de la ecuacion homogenea, lo que resulta absurdo.

Ejemplo 8.16. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! + x = t.

La ecuacion homogenea asociada es x!! + x = 0, ecuacion ya estudiada en secciones anteriores,cuyas soluciones son las funciones definidas por xh(t) = c1 cos t+ c2 sen t, donde c1 , c2 # R. En estecaso, es evidente que la funcion definida por xp(t) = t es solucion de la ecuacion completa. Enconsecuencia, las soluciones de la ecuacion completa son las funciones definidas por

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t+ t, c1 , c2 # R.

Como podemos suponer, pocas veces podremos obtener (¡a ojo!) una solucion de la completa,por lo que se hace necesario dar metodos eficientes para la obtencion de una solucion. En este


curso podemos tratar dos metodos, que generalizan los ya vistos para ecuaciones lineales de primerorden. Cada metodo tiene sus ventajas e inconvenientes. Concretamente:

1. Metodo de variacion de los parametros. Este tiene la ventaja de ser general, es decir,se puede aplicar a cualquier ecuacion diferencial lineal de segundo orden (8.19), con tal deque f sea continua en I, pero tiene el inconveniente de que, generalmente, los calculos queresultan (determinacion de ciertas integrales) son muy complicados.

2. Metodo de los coeficientes indeterminados. La ventaja de este con respecto al metodoanterior es que los calculos resultan mucho mas simples, pero el inconveniente es que no esun metodo general; solo se puede usar en determinados tipos de ecuaciones.

Ası pues, lo que resulta un inconveniente en un metodo es una ventaja en el otro y viceversa.Existen otros metodos muy interesantes y practicos (uno de ellos usa ecuaciones diferenciales linealeshomogeneas de orden superior a dos), como el metodo del anulador8 o un metodo que usa operadoresdiferenciales9, que no se pueden tratar en este tema.

8.8 Metodo de variacion de los parametros

Este metodo, tambien conocido como conjetura de Lagrange, se debe al matematico frances La-grange y es una generalizacion del que se vio para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.Lagrange lo introdujo en conexion con su celebre trabajo sobre Mecanica Analitica. Este siemprese puede llevar a cabo si se sabe resolver la ecuacion homogenea asociada, pero esto no representaproblema alguno pues ya hemos visto que para resolver la ecuacion no homogenea necesitamosconocer las soluciones de la homogenea asociada.

En el caso de una EDO lineal de primer orden x! = a(t)x + b(t), que podemos escribir ası:x! ! a(t)x = b(t), las soluciones de la homogenea asociada son las funciones de la forma xh(t) =ce"

!a(t) dt con c # R y comprobamos (conjetura de Lagrange) que hay soluciones de la completa de

la forma xp(t) = k(t)e"!a(t) dt, donde k # C1(I,R), pero ademas tenemos la suerte de que el calculo

de la funcion k, salvo problemas de primitivas, es muy simple. Por supuesto siempre suponemosque a y b son funciones continuas en un intervalo I.

Supongamos ahora que tenemos una EDO lineal de segundo orden

(8.21) x!! + p(t)x! + q(t)x = f(t), p, q, f # C(I,R),

y conocemos dos soluciones linealmente independientes x1 y x2 de la ecuacion homogenea asociada

(8.22) x!! + p(t)x! + q(t)x = 0.

Sabemos que el conjunto de soluciones de la homogenea viene dado por las funciones x(t) =c1x1(t) + c2x2(t) donde c1 y c2 son constantes. Se trata de probar que existe (y determinar) unasolucion particular de la ecuacion completa de la forma

(8.23) x(t) = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t),

donde v1 y v2 son ahora funciones de cierta clase (conjetura de Lagrange).

La cuestion ahora es mucho mas complicada que en el caso de primer orden y, en principio,nos da la impresion que la forma de proceder que llevamos a cabo en el caso de primer orden para

8Veanse [10, pag. 160] y [2, pag. 90].9Vease [9, pag. 135].



8.8. Metodo de variacion de los parametros 201

determinar k(t), puede que ahora no sea efectiva, pues si imponemos que una tal funcion x seasolucion de la ecuacion completa, con vista a ver como serıan las expresiones de v1 y v2 , ahorapodemos encontrarnos con una expresion que envuelva las primeras y segundas derivadas de dosfunciones desconocidas y parece que esto puede ser mas complicado que el problema de encontraruna sola solucion de la ecuacion completa.

Sin embargo, vamos proceder como en el caso de primer orden de la siguiente forma. Vamos aimponer que x sea solucion de la ecuacion completa, lo que nos va a dar una condicion sobre v1 yv2 , pero previamente impondremos otra condicion sobre v1 y v2 con idea de que los calculos seanlos mas simples posibles y no aparezcan las segundas derivadas de estas funciones. Comprobaremosque las dos condiciones impuestas, para que x = v1x1 + v2x2 sea solucion, son compatibles y deambas podremos deducir las expresiones de v1 y v2 .

Supongamos inicialmente que v1 y v2 son funciones derivables en I. Derivando en la expre-sion (8.23) y agrupando convenientemente, tenemos

x! = (v1x!1+ v2x

!2) + (v!

1x1 + v!

2x2).

Otra derivacion en la expresion anterior introducirıa derivadas de segundo orden de las funcionesv1 y v2 y esto se quiere evitar, lo que nos lleva a suponer que existen (posteriormente lo compro-baremos) funciones v1 y v2 derivables en I que verifican la condicion:

(8.24) v!1x1 + v!

2x2 = 0

y de esta forma las dos primeras derivadas de x quedan ası:

x! = v1x!1+ v2x

!2, x!! = v1x

!!1+ v!

1x!

1+ v2x

!!2+ v!

2x!

2.

Por tanto,

x!! + px! + qx = (v1x!!1+ v!

1x!

1+ v2x

!!2+ v!

2x!

2) + p(v1x

!1+ v2x

!2) + q(v1x1 + v2x2)

= v1(x!!1+ px!

1+ qx1) + v2(x

!!2+ px!

2+ qx2) + v!

1x!

1+ v!

2x!

2

= v!1x!

1+ v!

2x!

2,

ya que x1 y x2 son soluciones de la ecuacion homogenea (8.22).

Consecuentemente, teniendo en cuenta lo anterior y (8.24), concluimos que si existen funcionesv1 , v2 # C1

(I,R) que verifican las dos siguientes condiciones:%

v!1x1 + v!

2x2 = 0

v!1x!

1+ v!

2x!

2= f

entonces la funcion x = v1x1 +v2x2 es solucion de la ecuacion completa (8.21). Las dos condicionesanteriores pueden ser escritas matricialmente ası:

(8.25)

'x1(t) x2(t)

x!1(t) x!

2(t)

(

2 34 5=A(t)

'v!1(t)

v!2(t)

(=

'0

f(t)

(para cada t # I.

Para cada t # I lo anterior se puede interpretar como un sistema lineal de dos ecuaciones con dosincognitas donde la matriz de coeficientes es A(t). Observemos que el determinante de A(t) es elwronskiano W (x1 , x2)(t), que es distinto de 0 para cada t # I, ya que x1 y x2 son dos soluciones


linealmente independientes de la ecuacion homogenea (8.22). En consecuencia, podemos afirmarque para cada t # I existen unos unicos numeros u1(t), u2(t) # R que verifican

'x1(t) x2(t)

x!1(t) x!

2(t)

( 'u1(t)

u2(t)

(=

'0

f(t)

(.

Usando la regla de Cramer podemos calcular u1(t) y u2(t) de la siguiente forma:

u1(t) =1

W (x1 , x2)(t)

&&&&&0 x2(t)

f(t) x!2(t)

&&&&& =!x2(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)

u2(t) =1

W (x1 , x2)(t)

&&&&&x1(t) 0

x!1(t) f(t)

&&&&& =x1(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)

Por tanto, las funciones u1 , u2 : I " R son continuas en I y, consecuentemente, poseen primitivas.De esta forma, si v1 y v2 son primitivas respectivamente de u1 y u2 en el intervalo I entoncesv1 , v2 # C1

(I,R) y verifican la condicion (8.25). En conclusion esto prueba la existencia de solucionesde la ecuacion completa de la forma xp = v1x1 + v2x2 . Concretamente, xp : I " R definida por

(8.26) xp(t) = x1(t)

. !x2(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)dt + x2(t)

.x1(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)dt

es solucion de la ecuacion (8.21).

En la expresion anterior las primitivas pueden ser cualesquieras. Puesto que en un intervalodos primitivas se diferencian en una constante, la diferencia entre elegir dos primitivas u otras dosdistintas serıa una expresion del tipo k1x1(t) + k2x2(t), es decir la expresion de una solucion de laecuacion homogenea asociada, por lo que a la hora de determinar todas las soluciones de (8.21), laeleccion de primitivas no va a afectar en nada. Se advierte que la expresion obtenida en (8.26) poseeciertos inconvenientes; aparte de que no es facil de recordar, las primitivas que aparecen puedenser difıciles o imposibles de determinar. Este es el gran inconveniente del metodo.

No obstante, podemos trabajar un poco mas y llegar a una expresion de una solucion deltipo (8.26) mas facil de recordar y que tiene otras ventajas. Ademas, desde el punto de vista teorico,es mucho mas interesante y generalizable a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Bastacon elegir cualquier punto t0 # I y considerar las siguientes primitivas en la expresion (8.26):

xp(t) = x1(t)

. t

t0

!x2(s)f(s)

W (x1 , x2)(s)ds + x2(t)

. t

t0

x1(s)f(s)

W (x1 , x2)(s)dt =

. t

t0

x1(s)x2(t)! x2(s)x1(t)

W (x1 , x2)(s)f(s) ds.

Observese que x1(s)x2(t)! x2(s)x1(t) =

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&& por lo que la expresion obtenida anterior-

mente se puede escribir ası:

(8.27) xp(t) =

. t

t0

G(s, t)f(s) ds donde G(s, t) =1

W (x1 , x2)(s)

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&&

expresion que es mas facil de recordar aunque plantea los mismos problemas de calculos de primi-tivas que la obtenida en (8.26).

Podemos resumir todo lo visto anteriormente en el siguiente resultado:




Teorema 8.6. Sean p, q, f # C(I,R), donde I es un intervalo en R. Si x1 : I " R y x2 : I " Rson dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion lineal homogenea

x!! + p(t)x! + q(t)x = 0,

existen soluciones de la ecuacion lineal completa

x!! + p(t)x! + q(t)x = f(t)

que son de la forma xp(t) = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t), donde v1 , v2 # C1(I,R); concretamente:

xp(t) = x1(t)

. !x2(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)dt + x2(t)

.x1(t)f(t)

W (x1 , x2)(t)dt.

Ademas, si t0 # I, una solucion xp : I " R de la ecuacion completa viene dada por

xp(t) =

. t

t0

G(s, t)f(s) ds donde G(s, t) =1

W (x1 , x2)(s)

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&&

y, por tanto, las soluciones x : I " R de la ecuacion completa son las definidas por

x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) +

. t

t0

G(s, t)f(s) ds donde c1 , c2 # R.

En algun texto la funcion G recibe el nombre de funcion de Green asociada a la ecuacionlineal homogenea pues se puede probar que su expresion es independiente del par de solucionesindependientes x1 , x2 elegido. Una ventaja de la expresion (8.27) respecto de la obtenida en (8.26)es que la expresion de G(s, t) es independiente del termino f(t) que aparece en el segundo miembrode la ecuacion completa, por lo que nos sirve para todas las ecuaciones completas que posean lamisma ecuacion homogenea asociada.

Muchas importantes EDOs lineales de segundo orden son de la forma

x!! + q(t)x = f(t).

En este caso el wronskiano de dos soluciones de la ecuacion homogenea asociada es constante, porlo que la expresion de la funcion G es ası de simple

G(s, t) = K

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&&

donde K es una constante no nula. En cualquier caso la expresion del wronskiano siempre se puedesupervisar con la formula de Abel-Liouville (8.5) y hay casos, cuando las expresiones de x1 y x2 soncomplicadas, que es mejor calcular el wronskiano en un punto donde los calculos se simplifiquen yhacer uso de (8.5) para calcularlo en cualquier punto del intervalo I.

Si se trata de determinar la solucion del problema de valores iniciales

(P ) :

%x!! + p(t)x! + q(t)x = f(t)

x(t0) = !, x!(t0) = "


es aconsejable usar el punto t0 que aparece en las condiciones iniciales para determinar comosolucion particular de la ecuacion diferencial la dada por xp(t) =

) tt0G(s, t)f(s) ds ya que esta

tiene la ventaja de que verifica: xp(t0) = 0. Pero, ademas, tambien verifica que x!p(t0) = 0 pues lafuncion de Green G es de clase uno y, aplicando la formula de Lebnitz sobre derivacion en integralesparametricas, se tiene

x!p(t) =

. t

t0

'G

't(s, t)f(s) ds+G(t, t)f(t) =

. t

t0

'G

't(s, t)f(s) ds.

Esto facilita los calculos a la hora de determinar la solucion de (P ) pues normalmente se resuelveprimero la ecuacion diferencial, cuyas soluciones son de la forma x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + xp(t), ydespues se calculan las constantes c1 y c2 para que se verifiquen las condiciones iniciales: x(t0) =!, x!(t0) = ". Si observamos, lo que tambien estamos afirmando con esto es que la solucion de (P )viene dada por

x(t) = xh(t) +

. t

t0

G(s, t)f(s) ds, donde xh es la solucion del problema

%x!! + p(t)x! + q(t)x = 0

x(t0) = !, x!(t0) = ".

A continuacion exponemos cuatro ejemplos donde se lleva a cabo el resultado del teorema 8.6.En algunos de ellos pondremos de manifiesto las dificultades de calculos que muchas veces acarreaeste metodo. En los tres primeros no podremos usar el metodo que explicaremos en la proximaseccion (metodo de los coeficientes indeterminados) y el cuarto ejemplo esta elegido para posterior-mente poder comparar la diferencia, en lo relativo a los calculos, entre ambos metodos. En todoslos ejemplos la ecuacion homogenea asociada es de coeficientes constantes, lo que nos permite ladeterminacion de dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion homogenea, tal como seexplico en la seccion 8.5.

Ejemplo 8.17. Soluciones de la ecuacion x!! + x =1

sen tdefinidas en el intervalo I = (0,$).

Vease que la funcion dada por f(t) = 1sen t no esta definida en cada cero de la funcion seno.

Aunque hay infinitos intervalos donde f esta definida y es continua, hemos elegido el intervalo(0,$), donde la funcion seno toma valores positivos.

La ecuacion homogenea asociada es x!! + x = 0, ya resuelta en algunas secciones anteriores,cuyas soluciones, validas en R, estan definidas por xh(t) = c1 cos t+ c2 sen t, ya que dos solucioneslinealmente independientes de esta ecuacion son x1(t) = cos t y x2(t) = sen t.

Segun lo visto anteriormente, hay soluciones particulares de la ecuacion completa de la formax(t) = v1(t) cos t+ v2(t) sen t, donde v1 , v2 # C1

(I,R), siendo I = (0,$).

Como en la ecuacion no aparece el termino en x!, el wronskiano de x1 y x2 debe ser constante;de hecho, ya comprobamos que W (x1 , x2)(t) = 1 para cada t # R. Por tanto, la funcion de Greenes, en este caso, la definida por

G(s, t) =

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&& =

&&&&&cos s sen s

cos t sen t

&&&&& = sen t cos s! cos t sen s = sen(t! s).

Para usar la expresion (8.27) debemos elegir un punto t0 en el intervalo I = (0,$). Uno adecuado




es t0 = $/2. Con esta eleccion de t0 la solucion particular que resulta es

xp(t) =

. t

!2

G(s, t)f(s) ds =

. t

!2

/ cos ssen s

sen t! cos t0ds = sen t

. t

!2

cos s

sen sds+ (%2 ! t) cos t

= sen t log(sen t) + (%2 ! t) cos t.

En definitiva, las soluciones de la ecuacion diferencial completa son las funciones definidas por

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t+ sen t log(sen t) + (%2 ! t) cos t

= (c1 +%2 ) cos t+ c2 sen t+ (sen t) log(sen t)! t cos t,

por lo que podemos escribir la familia de soluciones de la siguiente forma, mas simple:

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t+ (sen t) log(sen t)! t cos t donde c1 , c2 # R.

Podıamos haber usado tambien la expresion (8.26) para obtener una solucion particular. Laventaja de esta es que puede resultar mas comoda, al poder usar primitivas cualesquiera, pero elinconveniente es que es mas difıcil de recordar y, por tanto, mas facil equivocarse. En este caso, ladeterminacion de una solucion particular usando (8.26) es

xp(t) = cos t

.!sen t

sen tdt+ sen t

.cos t

sen tdt = !t cos t+ (sen t) log(sen t).

Observese que coincide, salvo en un sumando, con la obtenida mediante la funcion de Green y conesta solucion particular se obtiene directamente la expresion de la solucion general dada anterior-mente. Es la misma solucion particular que obtiene Mathematica.


DSolve

*x!![t] + x[t] ==

1

Sin[t], x[t], t

+, x[t] " !tCos[t]+C[1]Cos[t]+C[2]Sin[t]+Log[Sin[t]]Sin[t].

Ejemplo 8.18. Soluciones de la ecuacion x!!+x =1

cos tdefinidas en el intervalo I = (!%

2 ,%2 ).

La funcion dada por f(t) = 1cos t no esta definida en cada cero de la funcion coseno. Aunque

hay infinitos intervalos donde f esta definida y es continua, hemos elegido el intervalo (!%2 ,

%2 ),

donde la funcion coseno toma valores positivos.

Vease que la ecuacion homogenea asociada es la misma que la del ejemplo anterior. Como lafuncion de Green solo depende de esta ecuacion, la funcion G que hemos obtenido en el ejemploanterior nos sirve aquı y eligiendo, en este caso, el punto t0 = 0, obtenemos la solucion particular

xp(t) =

. t

0G(s, t)f(s) ds =

. t

0

cos s sen t! cos t sen s

cos sds =

. t

0

/sen t! cos t

sen s

cos s

0ds

= t sen t+ cos t

. t

0

! sen s

cos sds = t sen t+ (cos t) log(cos t).

Por tanto, la solucion general de la ecuacion dada es

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t+ t sen t+ (cos t) log(cos t) donde c1 , c2 # R.



DSolve

*x!![t] + x[t] ==

1

Cos[t], x[t], t

+, x[t] " C[1]Cos[t]+Cos[t]Log[Cos[t]]+tSin[t]+C[2]Sin[t].

Ejemplo 8.19. Soluciones de la ecuacion x!! ! x =1

t.

Esta ecuacion es de un aspecto muy simple y parece mas facil que los dos casos tratadosanteriormente, pero las apariencias enganan. En principio, las soluciones estan definidas en losintervalo I = (0,$) e I = (!$, 0).

La ecuacion homogenea asociada x!!!x = 0 es de coeficientes constantes y tiene como ecuacioncaracterıstica #2 ! 1 = 0, cuyas soluciones son # = 1,!1. Por tanto, dos soluciones linealmenteindependientes de la ecuacion homogenea son x1(t) = et y x2(t) = e"t.

Como en la ecuacion no aparece el termino en x!, el wronskiano de x1 y x2 debe ser constante;concretamente, W (x1 , x2)(t) = !2 para cada t # R. Por tanto, la funcion de Green es, en estecaso, la definida por

G(s, t) =

&&&&&x1(s) x2(s)

x1(t) x2(t)

&&&&& = !1

2

&&&&&es e"s

et e"t

&&&&& = !1

2(es"t ! et"s).

Para determinar una solucion particular definida en I = (0,$) podrıamos tomar t0 = 1 yt0 = !1 en el caso I = (!$, 0). Pero da igual la eleccion pues podemos considerar un t0 cualquierapara darnos cuenta del problema que se nos plantea en las siguientes integrales. La expresion de lasolucion particular es

xp(t) =1

2

. t

t0

(et"s ! es"t)1

sds =

1

2

/et. t

t0

1

sesds! e"t

. t

t0

es

sds0.

El problema es que las primitivas.

1

sesds

.es

sds

no se conocen y, ademas, es conocido que no pueden expresarse en terminos de funciones elemen-tales, de manera que no tenemos mas remedio que dejar la expresion de xp ası. No hace faltadecir que si intentamos determinar una solucion particular mediante la expresion (8.26) aparecenlas mismas primitivas. Para colmo, el segundo metodo que vamos a ver (metodo de los coeficientesindeterminados) no se puede usar en esta ecuacion diferencial, como ya veremos en la proximaseccion.

Ası pues, tenemos que dar la expresion de la solucion general de la ecuacion diferencial ası:

x(t) = c1et + c2e

"t +1

2e"t

/e2t

. t

t0

1

sesds!

. t

t0

es

sds0.


DSolve

*x!![t]! x[t] ==

1

t, x[t], t

+




x[t] " etC[1] + e"tC[2] +1

2e"t

#e2tExpIntegralEi[!t]! ExpIntegralEi[t]

$.

Observese que Mathematica responde dando la expresion de la solucion particular en terminosde una funcion especial: ExpIntegralEi, llamada exponencial integral de la funcion Ei, que se definecomo Ei(z) = !

)%"z e

"t6t dt. Como suele ser usual (veanse las funciones de Airy) la funcion

ExpIntegralEi se puede aproximar con mucha exactitud en cada valor del argumento z, se conocecon exactitud en ciertos valores y se conocen desarrollos en serie, en terminos de otras funcionesespeciales. Ası pues, Mathematica se encuentra con el mismo problema con el que nos hemostopado nosotros.

Ejemplo 8.20. Soluciones de la ecuacion x!! + x! + x = t2.

Tenemos otra ecuacion de apariencia muy simple pero que nos va a dar muchos problemas. Enprincipio, las soluciones estan definidas en R.

La ecuacion homogenea asociada es x!! + x! + x = 0, cuya ecuacion caracterıstica: #2 + #! 1 =

0 posee dos soluciones complejas: ! ± "i = !12 ±

$32 i. Por tanto, dos soluciones, linealmente

independientes de la homogenea, son las funciones, definidas en R, por

x1(t) = e"t2 cos(

$32 t), x2(t) = e"

t2 sen(

$32 t).

Aquı aparece el termino en x! en la ecuacion diferencial y, por tanto, el wronskiano de estasdos soluciones no es constante en R; de hecho, el calculo de este wronskiano es tedioso y, parahacer menos calculos, recordamos que, en esta situacion (dos soluciones complejas de la ecuacion

caracterıstica), se probo en general que W (x1 , x2)(0) = " =$32 . Por tanto, usando la formula de

Liouville sobre el wronskiano, tenemos

W (x1 , x2)(t) = W (x1 , x2)(0)e"

! t0 1 ds =

$32 e"t.

Por tanto, la funcion de Green asociada a la ecuacion homogenea es

G(s, t) = 2$3es

&&&&&e"

s2 cos(

$32 s) e"

s2 sen(

$32 s)

e"t2 cos(

$32 t) e"

t2 sen(

$32 t)

&&&&& =2$3ese"

s2 e"

t2

&&&&&cos(

$32 s) sen(

$32 s)

cos($32 t) sen(

$32 t)

&&&&&

= 2$3e

s2 e"

t2

/sen(

$32 t · cos(

$32 s)! cos(

$32 t) · sen(

$32 s)

0

y, ası, la solucion particular que nos da el metodo (eligiendo t0 = 0) es

xp(t) =

. t

0G(s, t)f(s) ds = 2$

3e"

t2

*sen(

$32 t)

. t

0e

s2 s2 cos(

$32 s) ds! cos(

$32 t)

. t

0e

s2 s2 sen(

$32 s)

+.

Observese la complejidad existente en las integrales que aparecen en la expresion anterior. Sepueden determinar pero son muy complicadas (exigen muchos calculos).

En la proxima seccion abordaremos de nuevo la resolucion de esta ecuacion diferencial y com-probaremos lo facil que resulta obtener una solucion particular de la ecuacion con el metodo delos coeficientes indeterminados; concretamente, obtendremos la simple solucion: xp(t) = t2 ! 2t(compruebese que es solucion).


8.9 Metodo de los coeficientes indeterminados

Hemos visto los problemas de calculos que surgen al aplicar el metodo de variacion de los parametrospara encontrar una solucion particular de una EDO lineal de segundo orden no homogenea. Estollevo a la necesidad de buscar un metodo alternativo que requiera menos calculos, conocido comoel metodo de los coeficientes indeterminados10. Tal como advertimos en la seccion 8.7, el problemade este metodo es que no es general, pues posee dos restricciones:

1. Solo se puede usar cuando la ecuacion homogenea asociada es de coeficientes constantes, esdecir, cuando la ecuacion es del tipo

x!! + px! + qx = f(t) donde p, q # R,

2. La funcion f no puede ser cualquier funcion continua; f debe ser una funcion polinomica, unaexponencial, un seno, un coseno o una funcion cuya expresion envuelva ciertas combinacioneslineales y productos de este tipo de funciones.

La primera restriccion no es tanto como parece, pues en este tema solo hemos resuelto ecuacioneshomogeneas con coeficientes constante y ecuaciones de Euler y veremos que el metodo tambien sepodra usar en ciertas ecuaciones de Euler, ya que probamos en la seccion 8.6 que, mediante uncambio de funcion incognita, una ecuacion de Euler se transforma en una de coeficientes constantes.La segunda restriccion sı es considerable.

Como podemos apreciar, en cualquiera de los casos citados, f es una funcion definida en R yno solamente es continua sino infinitamente derivable en R. La particularidad que tienen este tipode funciones es que las infinitas derivadas de f se reducen finalmente a un numero finita de ellas;mas concretamente, pertenecen a un determinado espacio vectorial de dimension finita; es decir,existe m # N tal que {fn), n # N} )< {f !, f !!, f !!!, . . . fm)} >.

Uno de los casos mas importantes que vamos a tratar ya fue considerado en el tema 2, en elcaso de EDO lineales de primer orden; este es

I) f(t) = Pn(t)e!t, donde Pn es una funcion polinomica de grado n y ! # R. Este posee dos

casos especiales muy significativos:

(a) f(t) = Pn(t)

(b) f(t) = ae!t, donde a # R.

En algunos textos estudian estos casos por separado, pero nuestra forma de proceder va aser la siguiente: En primer lugar vamos a ver el caso f(t) = Pn(t), que es muy intuitivo, ydespues mediante un cambio de funcion incognita reduciremos el mas general f(t) = Pn(t)e!t

al caso de funciones polinomicas y en particular obtendremos el caso de f(t) = ae!t.

II) Despues estudiaremos el caso: f(t) = a sen("t) + b cos("t), donde a, b," # R. Observese que

casos como f(t) = sen t, f(t) = cos(2t) y f(t) = 2 sen(3t)! cos(3t), son casos particulares.

III) Por ultimo, se veran las situaciones: f(t) = Pn(t)e!t cos("t) y f(t) = Pn(t)e

!t sen("t),

donde !," # R y Pn(t) es un polinomio.

10En algunos textos lo denominan como metodo de la conjetura sensata.



8.9. Metodo de los coeficientes indeterminados 209

Una vez vistos estos casos se podran abordar ecuaciones donde f no esta considerada en lassituaciones anteriores pero es una combinacion lineal de funciones fk que sı lo estan, pues de formacasi trivial se tiene el siguiente importante resultado, conocido como principio de superposicion.

Proposicion 8.6 (Principio de superposicion). Si para cada k # {1, 2, . . .m} la funcion xk essolucion de la ecuacion x!!+p(t)x!+ q(t)x = fk(t) y !k # R, entonces x =

7mk=1 !kxk es solucion

de la ecuacion diferencialx!! + p(t)x! + q(t)x =

7mk=1 !kfk.

La prueba es trivial sin mas que tener en cuenta que el operador

L : C2(I,R) " C(I,R), x &" Lx = x!! + px! + qx,

usado en la seccion 8.7, es lineal. Tenemos por hipotesis que Lxk = fk para cada k # {1, 2, . . .m}.Por tanto, siendo !k # R, se verifica

Lx = L/7m

k=1 !kxk0=

7mk=1 !kL(xk) =

7mk=1 !kfk.

Ası por ejemplo, si nos dan la ecuacion diferencial

x!! + 9x = 1 + 27t2 ! 3te"2t + et ! 2 sen(3t) + te3t cos t,

resulta que es de la forma x!! + px! + qx = f(t) con p y q constantes y, si bien la funcion f no esexactamente de ninguno de los tipos citados, f se puede escribir como suma de cinco funciones fkque sı estan recogidas en estos casos. Concretamente,

f =75

k=1 fk donde f1(t) = 1+27t2, f2(t) = !3te"2t, f3(t) = et, f4(t) = !2 sen(3t), f5(t) = te3t cos t.

Por tanto, determinando por el metodo de los coeficientes indeterminados, para cada k # {1, 2, . . . , 5},una solucion xk de x!!+9x = fk(t), resulta que xp = x1+x2+x3+x4+x5 es una solucion particularde la ecuacion diferencial propuesta.

Precisamente, usando el principio de superposicion, de los casos descritos podremos obteneruna solucion particular para una situacion mas general, que incluye todos los vistos anteriormente;se trata del caso

f(t) = e!t/Pn(t) cos("t) +Qm(t) sen("t)

0,

donde !," # R y Pn(t) y Qm(t) son polinomios de grado n y m respectivamente.

Observese que situaciones como las que aparecieron en los tres primeros ejemplos vistos con elmetodo de variacion de los parametros:

f(t) =1

sen t, f(t) =

1

cos t, f(t) =

1

tno estan recogidos por este metodo; lo mismo sucede cuando f(t) = tan t, f(t) = log t, o f(t) =t log t. Sin embargo el caso que surgio en el ejemplo 8.20, donde f(t) = t2, sı se puede abordar poreste metodo y, de hecho, es un caso particular del primero que vamos a estudiar.

La notacion Lx = x!! + px! + qx resulta muy comoda y a veces la usaremos.

8.9.1 Caso en que f es una funcion polinomica

Consideramos la situacion

(8.28) f(t) = Pn(t) = a0 + a1t+ · · · antn donde a0 , a1 , . . . an # R.


Al ser p y q constantes, da la impresion de que siempre que no falte el termino en x en la ecuacionx!!+ px!+ qx = f(t), es decir, siempre que sea q '= 0, cabe la posibilidad de que exista una solucionde la ecuacion que tambien sea una funcion polinomica de grado n, es decir, de la forma:

(8.29) x(t) = Qn(t) = A0 +A1t+ · · ·Antn

pues al llevar esta expresion al miembro izquierdo de la ecuacion diferencial (Lx(t)) nos quedarıa unpolinomio de grado n en t y cabe la posibilidad de que ese polinomio coincida con Pn(t). Por otraparte, si q = 0, no es posible tal situacion pero sı es factible que tengamos una solucion polinomicade grado n + 1 y, si p = q = 0 (caso de la ecuacion trivial x!! = Pn(t)) tendrıamos con seguridaduna solucion polinomica de grado n+ 2.

Supongamos pues q '= 0 . La comprobacion de que existe una solucion del tipo x(t) = Qn(t) nos

lleva a derivar dos veces esta funcion, determinar Lx(t) e igualar a Pn(t). Igualando los coeficientesde las correspondientes potencias identicas de t, esto nos conduce a un sistema de ecuaciones linealesdonde las incognitas son los coeficientes A0 , A1 , . . . An que aparecen en la expresion (8.29), de ahıque el metodo se conozca como metodo de los coeficientes indeterminados.

Vamos a comprobar que, efectivamente, tal sistema lineal, en las incognitas A0 , A1 , . . . An,siempre posee solucion y, ademas, unica; de hecho, aparece un sistema tipo triangular, por lo quesu resolucion es muy facil ya que primeramente vamos a determinar de forma unica el coeficienteAn, una vez obtenido este obtendremos An"1 y ası, sucesivamente, An"2 , An"3 , . . . hasta llegar aA0 . En todo esto resulta fundamental que sea q '= 0. En efecto,

qx(t) = qAntn + qAn"1tn"1

+ qAn"2tn"2

+ · · · qA2t2

+ qA1t + qA0

px!(t) = pnAntn"1

+ pAn"1tn"2

+ · · · 3pA3t2

+ 2pA2t + pA1

x!!(t) = n(n! 1)Antn"2

+ · · · 12A4t2

+ 6A3t + 2A2

En consecuencia,

Lx(t) = qAntn +

#qAn"1 + pnAn

$tn"1

+#qAn"2 + p(n! 1)An"1 + n(n! 1)An

$tn"2

+ · · ·

+(qA2 + 3pA3 + 12A4)t2+ (qA1 + 2pA2 + 6A3)t+ (qA0 + pA1 + 2A2).

Por tanto, x es solucion de la ecuacion diferencial si, y solo si, los coeficientes Ak verifican elsistema:

qAn = an (i)

qAn"1 + pnAn = an"1 (ii)

qAn"2 + p(n! 1)An"1 + n(n! 1)An = an"2 (iii)

· · · · · · = · · · · · ·· · · · · · = · · · · · ·

qA0 + pA1 + 2A2 = a0 (n+1)

89999999999:

9999999999;

Al ser q '= 0 de (i) se obtiene An = anq . Una vez obtenido An se sustituye este valor en (ii) y

se obtiene An"1 = 1q (an"1 ! pnAn). Calculados An y An"1 se sustituyen estos valores en (iii) y

se obtiene de forma unica el valor de An"2 . Ası sucesivamente hasta calcular el valor de A0 de laecuacion (n+1). Vease que en cada ecuacion aparece el coeficiente Ak multiplicado por q, de ahıla importancia de que q '= 0. De hecho, la matriz asociada al sistema de ecuaciones es triangular yen la diagonal principal solo aparece q con lo que su determinante es qn+1 '= 0, que es una formamas de ratificar que el sistema tiene solucion unica. Pero, lo mas importante, es que la resolucion




de tal sistema es muy facil. Por otra parte, se ha probado que existe una unica solucion polinomica

de grado n: xp(t) = Qn(t) , lo que se podra ratificar en los distintos ejemplos que veremos, en los

que vamos a determinar todas las soluciones.

Si q = 0 y p '= 0 , no es posible que exista una solucion del tipo x(t) = Qn(t) pues al no aparecer

el termino en x, Lx(t) serıa un polinomio de grado n! 1. Procediendo de una forma analoga a laanterior, podemos comprobar que en tal caso, existe una solucion de la forma

(8.30) x(t) = tQn(t) = t (A0 +A1t+ · · ·Antn)

donde el calculo de los coeficientes resulta muy simple, sin mas que imponer que tal funcion seasolucion de la ecuacion diferencial. Observese que la expresion anterior es la de un polinomio degrado n + 1, donde solo falta el termino constante. De hecho, tal termino constante, en caso deescribirse, podrıa ser arbitrario ya que desaparece en la expresion de Lx(t) = x!!(t) + px!(t).

Por otra parte, el caso considerado: x!!(t)+ px!(t) = Pn(t), se reduce a una ecuacion diferencial

lineal de primer orden y!(t) + py(t) = Pn(t) , siendo y = x!, y puede resolverse como tal ecuacion

de primer orden para posteriormente obtener las soluciones x como primitivas de las soluciones y.Como nos interesa comprobar lo expresado en (8.30) (pues despues vamos a reducir un caso masgeneral al de funciones polinomicas) observese que y!(t) + py(t) = Pn(t), al ser p '= 0, tiene unasolucion polinomica del tipo y(t) = Qn(t) = B0 +B1t+ · · ·Bntn y, por tanto,

x(t) =)y(t) dt = B0t+

B12 t2 + · · · Bn

n+1 tn+1

es solucion de la ecuacion original. Vease que la solucion obtenida es del tipo x(t) = tQn(t).

En la situacion p = q = 0 tenemos una ecuacion diferencial trivial x!!(t) = Pn(t). Al realizar

los dos calculos de primitivas (triviales) de la funcion polinomica Pn se obtiene una solucionpolinomica de grado n+ 2 del tipo

x(t) = t2Qn(t) = t2(A0 +A1t+ · · ·Antn),

lo que es logico pues si apareciesen en la expresion de la solucion el termino constante y el terminode primer grado, al realizar la segunda derivada ambos desaparecen.

En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado:

Proposicion 8.7. Si p, q # R y Pn es una funcion polinomica de grado n, la ecuacion diferenciallineal

x!! + px! + qx = Pn(t)

posee una solucion de la forma

(8.31) x(t) = tkQn(t) = tk(A0 +A1t+ · · ·Antn)

donde

<9=

9>

k = 0 si q '= 0

k = 1 si q = 0 y p '= 0

k = 2 si p = q = 0.

Los coeficientes A0 , A1 , · · ·An se obtienen facilmente imponiendo que tal funcion sea solucion dela ecuacion diferencial.


Observese que en el resultado anterior k # {0, 1, 2} coincide con la multiplicidad de # = 0 comoraız del polinomio caracterıstico #

2+ p#+ q (entendiendo que k = 0 cuando # = 0 no es raız de tal

polinomio).

Como primer ejemplo de aplicacion de lo visto anteriormente vamos a tratar el caso visto enel ejemplo 8.20, tratado mediante el metodo de variacion de los parametros, en el que surgieronintegrales de una gran dificultad para determinar una solucion particular. Vamos a ver a continua-cion lo facil que resulta la obtencion de una solucion particular con el metodo de los coeficientesindeterminados.

Ejemplo 8.21. Soluciones de la ecuacion x!! + x! + x = t2.

Puesto que aparece el termino en x (q = 1) y f es una funcion polinomica de grado 2 existe una

(unica) solucion polinomica de grado 2, es decir, del tipo x(t) = A+Bt+ Ct2. La determinacion

de los coeficientes A,B y C se lleva a cabo facilmente imponiendo que tal funcion sea solucionde la ecuacion diferencial. Ya sabemos que los coeficientes seran soluciones de un sistema de tresecuaciones lineales de tipo triangular.

En efecto, Lx(t) = 2C +(B+2Ct)+ (A+Bt+Ct2) = (2C +B+A)+ (2C +B)t+Ct2. Comodebe verificarse

(2C +B +A) + (2C +B)t+ Ct2 = t2 para cada t # R,

debe ser <9=

9>

C = 1

2C +B = 0

2C +B +A = 0,

de donde se obtiene trivialmente: C = 1, B = !2 y A = 0. Por tanto, la solucion polinomica es ladefinida por x(t) = t2 ! 2t. En consecuencia, segun lo ya visto en el ejemplo 8.20, las soluciones dela ecuacion diferencial dada son las definidas por

x(t) = e"t2

?c1 cos(

$32 t) + c2 sen(

$32 t)

@+ t2 ! 2t donde c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t] + x![t] + x[t] == t2, x[t], t

"

x[t] " !2t+ t2 + e"t/2C[2]Cos#$

32 t

$+ e"t/2C[1]Sin

#$32 t

$.

Ejemplo 8.22. Soluciones de la ecuacion x!! ! x! = t.

Las soluciones estan definidas en R. Podrıamos resolver la ecuacion reducendola a una ecuacionlineal de primer orden, pero vamos a proceder directamente, para ilustrar el metodo. Puesto queno aparece el termino en x (q = 0) y f es una funcion polinomica de grado 1, existe una solucion

del tipo x(t) = t(A+Bt) = At+Bt2. La determinacion de los coeficientes A,B y C se lleva a

cabo, facilmente, como en el caso anterior. Como x!!(t)! x!(t) = 2B !A! 2Bt, debe suceder que%!2B = 1

2B !A = 0y, por tanto, B = !1

2 y A = !1, obteniendose ası la solucion xp(t) = !(t+ 12 t

2).




La ecuacion caracterıstica de la ecuacion homogenea asociada es #2 ! # = 0, cuyas solucionesson #1 = 0 y #2 = 1. Por tanto, dos soluciones linealmente independientes de la homogenea sonx1(t) = 1 y x2(t) = et. En definitiva, las soluciones de la ecuacion diferencial completa son lasfunciones definidas por

x(t) = c1 + c2et ! (t+ 1

2 t2) donde c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t]! x![t] == t, x[t], t

", x[t] " !t! t2

2+ etC[1] + C[2].

8.9.2 Caso f(t) = Pn(t)e!t, donde Pn es una funcion polinomica de grado n.

Podemos poner como referencia el caso visto para ecuaciones lineales de primer orden:

x! = ax+ b(t), b(t) = Pn(t)e!t.

Vimos que era factible la existencia de una solucion del tipo x(t) = Qn(t)e!t, donde Qn es otrafuncion polinomica de grado n, siempre que ! '= a. Observemos que podemos escribir la ecuacionhomogenea ası: x!! ax = 0 y podrıamos decir que #! a = 0 es la ecuacion caracterıstica asociada.Por tanto, la condicion ! '= a podemos interpretarla como que ! no sea solucion de la ecuacioncaracterıstica o, dicho de otra forma, ! no sea raız del polinomio caracterıstico. Vamos a verque esto se va a generalizar a las ecuaciones de segundo orden y ası la existencia de este tipo desoluciones va a depender de que ! no sea raız del polinomio caracterıstico y, en el caso de que losea, dependiendo de su multiplicidad, vamos a tener soluciones analogas, pero con el polinomio deuno o dos grados superior a n.

Como ya anunciamos, la idea es aprovechar lo realizado en el caso f(t) = Pn(t), para lo quevamos a llevar a cabo un cambio de funcion incognita en la ecuacion diferencial

(8.32) x!! + px! + qx = Pn(t)e!t

que la transforme en otra ecuacion de coeficientes contantes en la que f sea del tipo f(t) = Pn(t),con lo que podremos aplicarle el resultado de la proposicion 8.7 deshaciendo el cambio de funcionincognita.

A la vista de lo que queremos conseguir, parece logico que hagamos el cambio de funcion

incognita y(t) = x(t)e"!t que se puede deshacer inmediatamente como x(t) = y(t)e!t. Vease que

dada una funcion x : R " R esta es derivable (dos veces derivable) en R si, y solo si, la funciony : R " R lo es. Determinamos las dos primeras derivadas de x en terminos de y ası:

x!(t) = e!t#y!(t) + !y(t)

$, x!(t) = e!t

#y!!(t) + 2!y!(t) + !2y(t)

$

y, de esta forma,

Lx(t) = e!t/y!!(t) + (2!+ p)y!(t) + (!2 + p!+ q)y(t)

0.

Por tanto, x es solucion de (8.32) si, y solo si, la funcion y es solucion de la ecuacion

(8.33) y!! + (2!+ p)y! + (!2 + p!+ q)y = Pn(t).

Por tanto, teniendo en cuenta el resultado de la proposicion 8.7 y deshaciendo el cambio, obtenemoslo siguiente:


I) Si !2 + p!+ q '= 0 la ecuacion (8.32) posee una solucion del tipo x(t) = Qn(t)e!t, donde Qn

es otra funcion polinomica de grado n.

II) Si !2+p!+q = 0 y 2!+p '= 0 la ecuacion (8.32) posee una solucion del tipo x(t) = tQn(t)e!t.

III) Si !2+p!+q = 0 y 2!+p = 0 la ecuacion (8.32) posee una solucion del tipo x(t) = t2Qn(t)e!t.

Observemos que #2+ p#+ q es el polinomio caracterıstico de la ecuacion homogenea asociada. Portanto, la condicion establecida en I) equivale a decir que ! no es raız del polinomio caracterıstico(o no es solucion de la ecuacion caracterıstica). En este caso, se dice que su multiplicidad comoraız es 0. Por otra parte, si ! es raız de tal polinomio, sera una raız doble si, y solo si, 2!+ p = 0,ya que al resolver la ecuacion caracterıstica #2 + p# + q = 0 mediante la muy conocida formula

# ="p±

(p2"4q2 , observamos que esta solo posee una solucion real cuando p2 ! 4q = 0, y, en tal

caso, # = !p2 , es decir, 2#+p = 0. Por tanto, la condicion expresada en II) equivale a que ! sea raız

simple del polinomio caracterıstico (multiplicidad igual a 1) y la expresada en III) es equivalente aque ! sea raız doble (multiplicidad igual a 2).

En definitiva, podemos resumir lo obtenido de la siguiente forma:

Teorema 8.7. La ecuacion diferencial lineal de segundo orden

x!! + px! + qx = Pn(t)e!t,

donde Pn es una funcion polinomica de grado n y p, q,! # R, posee una solucion de la forma

(8.34) x(t) = tkQn(t)e!t = tk(A0 +A1t+ · · ·Ant

n)e!t,

donde k # {0, 1, 2} es la multiplicidad de ! como raız del polinomio caracterıstico #2 + p# + q yA0 , A1 , . . . An # R. .

Los coeficientes A0 , A1 , · · ·An se determinan con cierta facilidad (aunque los calculos se com-plican algo mas que en el caso polinomico) imponiendo que tal funcion (8.34) sea solucion de laecuacion diferencial.

Como caso especial tenemos f(t) = ae!t, que corresponde al caso en que Pn(t) es un polinomio

de grado 0 en t, es decir, una constante, obteniendose ası el siguiente resultado, que en algunostextos 11 viene estudiado directamente.

Corolario 8.7.1. La ecuacion diferencial x!! + px! + qx = ae!t, donde p, q, a,! # R, posee una

solucion del tipo x(t) = Atke!t, donde A # R y donde k # {0, 1, 2} es la multiplicidad de ! como

raız del polinomio caracterıstico #2 + p#+ q.

Observacion: Para que se aprecie mejor la coherencia del resultado obtenido, vease que cuando !es raız del polinomio caracterıstico (solucion de la ecuacion caracterıstica) la funcion x1(t) = e!t essolucion de la ecuacion homogenea asociada y, por tanto, x(t) = Ae!t no puede ser solucion de laecuacion completa ya que lo es de la homogenea. Si, ademas, ! es raız doble del polinomio carac-terıstico, las funciones x1(t) = e!t y x2(t) = te!t son dos soluciones (linealmente independientes)

11Vease [9, pag. 103]




de la ecuacion homogenea y, por tanto, no puede haber una solucion de la completa que sea de laforma x(t) = Ae!t o bien x(t) = Ate!t. Por eso, en este caso, aparece una solucion de la completaque es del tipo x(t) = At2e!t. Unicamente en el caso en que ! no sea solucion de la ecuacioncaracterıstica, es cuando sucede que x(t) = e!t no es solucion de la homogenea y, entonces, tienesentido que x(t) = Ae!t sı sea solucion de la completa.

Ejemplo 8.23. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 3x! + 2x = (1 + t)e3t.

Las soluciones estan definidas en R. Tenemos una ecuacion de coeficientes constantes donde fes del tipo f(t) = P1(t)e

!t. Como ! = 3 no es solucion de la ecuacion caracterıstica #2!3#+2 = 0,existe una solucion de la forma x(t) = (A+Bt)e3t, siendo A y B constantes a determinar.

Calculamos los coeficientes A y B imponiendo que x sea solucion de la ecuacion. Se tiene:

x!(t) = e3t!B + 3A+ 3Bt

", x!!(t) = e3t

!6B + 9A+ 9Bt

",

Lx(t) = e3t!6B + 9A+ 9Bt! 3(B + 3A+ 3Bt) + 2(A+Bt)

"= e3t

!3B + 2A+ 2Bt

".

Por tanto, x es solucion de la ecuacion si, y solo si, se verifica 3B + 2A + 2Bt = 1 + t para cadat # R, lo que solo es posible si 2B = 1 y 3B + 2A = 1. Por tanto, B = 1

2 y A = !14 y la solucion

encontrada es la definida por

xp(t) =#! 1

4 + 12 t$e3t.

Puesto que las soluciones de la ecuacion caracterıstica son #1 = 1 y #2 = 2, resulta que lassoluciones de la ecuacion diferencial dada son las funciones definidas por

x(t) = c1et + c2e

2t +#! 1

4 + 12 t$e3t donde c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t]! 3x![t] + 2x[t] == (1 + t)e3t, x[t], t

", x[t] " 1

4e3t(!1 + 2t) + etC[1] + e2tC[2].

Ejemplo 8.24. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 3x! ! 4x = 2e"t.

Las soluciones estan definidas en R. Tenemos una ecuacion de coeficientes constantes donde fes de la forma f(t) = ae!t, siendo ! = !1.

Las soluciones de la ecuacion caracterıstica #2 ! 3# ! 4 = 0 son #1 = !1 y #2 = 4, por lo quelas soluciones de la homogenea son las funciones dadas por xh(t) = c1e

"t + c2e4t.

Vease que serıa absurdo que existiese una solucion de la ecuacion completa de la forma x(t) =Ae"t ya que esta es solucion de la homogenea. Precisamente, al ser ! = !1 raız simple del polinomiocaracterıstico #2 ! 3# ! 4, existe una solucion de la completa de la forma x(t) = Ate"t. Vamos adeterminar el coeficiente A imponiendo que tal funcion sea solucion de la ecuacion.

x!(t) = Ae"t(1! t), x!!(t) = Ae"t(!2 + t) =* Lx(t) = !5Ae"t =* A = !25 .


Por tanto, la solucion particular obtenida es xp(t) = !25 te

"t y las soluciones de la ecuacion diferen-

cial son las funciones definidas por

x(t) =#c1 ! 2

5

$e"t + c2e

4t donde c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t]! 3x![t]! 4x[t] == 2e"t, x[t], t

", x[t] " ! 2

25e"t(1 + 5t) + e"tC[1] + e4tC[2].

Puede parecer que el resultado que da Mathematica no es el mismo, ya que obtiene como solucionparticular la definida por xp(t) = ! 2

25e"t(1 + 5t), pero vease que se obtiene la misma familia de

soluciones, ya que la particular obtenida por Mathematica es la suma de la que hemos obtenidonosotros y una solucion de la homogenea.

Ejemplo 8.25. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 2x! + x = et.

Las soluciones estan definidas en R. Tenemos una ecuacion del mismo tipo que la del ejemploanterior.

La unica solucion de la ecuacion caracterıstica #2 ! 2#+ 1 = 0 es #1 = 1 ya que #2 ! 2#+ 1 =(#!1)2, por lo que las soluciones de la homogenea son las funciones dadas por xh(t) = c1e

t+ c2tet.

Serıa absurdo que existiese una solucion de la ecuacion completa de la forma x(t) = Aet obien del tipo x(t) = Atet ya que estas son soluciones de la homogenea. Al ser ! = 1 raız dobledel polinomio caracterıstico, existe una solucion de la completa de la forma x(t) = At2et y, comosiempre, determinamos el coeficiente A imponiendo que tal funcion sea solucion de la ecuacion.

x!(t) = Aet(2t+ t2), x!!(t) = Aet(2 + 4t+ t2) =* Lx(t) = 2Aet =* A = 12 .

Por tanto, la solucion particular obtenida es xp(t) =12 t

2et y las soluciones de la ecuacion diferencial

son las funciones definidas por

x(t) = et#c1 + c2t+

12 t

2$

donde c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t]! 2x![t] + x[t] == et, x[t], t

", x[t] " ett2

2+ etC[1] + ettC[2].

En el siguiente ejemplo, muy curioso, vamos a proceder de una forma distinta a la hora dedeterminar las soluciones de la ecuacion completa pues en lugar de usar el resultado del teorema 8.7para obtener una solucion particular, vamos a ver la necesidad de recordar el procedimiento queseguimos (cambio de funcion incognita) para concluir ese resultado.

En general, si en la expresion f(t) = Pn(t)e!t el polinomio Pn(t) es de grado muy alto y,ademas, ! es una raız doble del polinomio caracterıstico, los calculos para determinar la solucionde la forma x(t) = t2Qn(t)e!t se complican pues aparecen potencias muy altas de t y muchoscoeficientes a determinar. En un caso como este, es mas rentable recordar el cambio de funcionincognita y(t) = x(t)e"!t que transforma la ecuacion diferencial en otra ecuacion con terminoindependiente Pn(t), concretamente (8.33):

y!!(t) + (2!+ p)y!(t) + (!2 + p!+ q)y(t) = Pn(t)




ya que, en este caso, esta ultima ecuacion se convierte en la ecuacion trivial y!!(t) = Pn(t), cuyas

soluciones se obtienen sin mas que realizar dos calculos de primitivas de una funcion polinomica. Deesta forma, las soluciones de ecuacion original se obtienen a partir de estas deshaciendo el cambio(x(t) = y(t)e!t).

Si ! es raız simple del polinomio caracterıstico, la ecuacion resultante es

y!!(t) + (2!+ p)y!(t) = Pn(t),

que ya no es tan simple como la anterior, pero se reduce a una lineal de primer orden en la funcionincognita z = y! y puede ser mas simple este procedimiento.

Si ! no es raız simple del polinomio caracterıstico y Pn(t) es de grado muy alto, tambien podrıaser mas rentable determinar una solucion particular de (8.33) pues, al no aparecer la exponencial,buscamos una solucion del tipo polinomico yp(t) = Qn(t) y, aunque esto nos lleve a determinarn+ 1 coeficientes, los calculos se simplifican con respecto al caso xp(t) = Qn(t)e!t.

Ejemplo 8.26. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 4x! + 4x = (1 + t+ t2 + · · ·+ t27)e2t.

Las soluciones estan definidas en R. Tenemos una ecuacion de coeficientes constantes donde fes del tipo f(t) = P27(t)e

!t, con ! = 2. El polinomio caracterıstico es #2 ! 4#+ 4 = (#! 2)2 y ası! es raız doble de este polinomio. Por tanto, existe una solucion de la ecuacion del tipo:

xp(t) = t2#A0 +A1t+A2t

2 + · · ·+A27t27$e2t.

Serıa agotador (y un desperdicio terrible de papel) sustituir la expresion anterior en la ecuaciondiferencial para obtener los 28 coeficientes: A0 , A1 , . . . A27 . Sin embargo, con el cambio de funcionincognita y(t) = x(t)e"2t nuestra ecuacion resulta equivalente a

y!! = P27(t) = 1 + t+ t2 + · · ·+ t27.

Las soluciones de esta ultima ecuacion se obtienen con dos calculos de primitivas, triviales, ası:

y!(t) = t+ t2

2 + t3

3 + · · ·+ t28

28 + c2

y(t) = t2

2 + t3

2·3 + t4

3·4 + · · ·+ t29

28·29 + c2t+ c1 .

Deshaciendo el cambio x(t) = y(t)e2t obtenemos que las soluciones de la ecuacion original son lasfunciones definidas por

x(t) = e2t?c1 + c2t+

t2

1·2 + t3

2·3 + t4

3·4 + · · ·+ t29

28·29

@donde c1 , c2 # R.

Segun lo anterior, la solucion particular de la ecuacion completa que hubiesemos obtenido es

xp(t) = t2#

11·2 + 1

2·3 t+13·4 t

2 + · · ·+ 128·29 t

27$e2t.


DSolve

Ax”[t]! 4x![t] + 4x[t] ==

'27B

n=0

tn(e2t, x[t], t

C


x[t] " 1

2329089562800

/1164544781400e2tt2 + 388181593800e2tt3 + 194090796900e2tt4 +

116454478140e2tt5 + 77636318760e2tt6 + 55454513400e2tt7 + 41590885050e2tt8 +

32348466150e2tt9 + 25878772920e2tt10 + 21173541480e2tt11 + 17644617900e2tt12 +

14930061300e2tt13 + 12797195400e2tt14 + 11090902680e2tt15 + 9704539845e2tt16 +

8562829275e2tt17 + 7611403800e2tt18 + 6810203400e2tt19 + 6129183060e2tt20 +

5545451340e2tt21 + 5041319400e2tt22 + 4602943800e2tt23 + 4219365150e2tt24 +

3881815938e2tt25 + 3583214712e2tt26 + 3317791400e2tt27 + 3080806300e2tt28 +

2868336900e2tt290+ e2tC[1] + e2ttC[2].

En el siguiente ejemplo vamos a poner en practica el metodo de los coeficientes indeterminadosen una ecuacion de Euler no homogenea. Esto puede llamar la atencion pues vimos en la seccion 8.6las ecuaciones de Euler homogeneas:

x!! +a

tx! +

b

t2x = 0 donde a, b # R,

en forma implıcita:

(8.35) t2x!! + atx! + bx = 0,

y estas no poseen coeficientes constantes, primer requisito establecido para usar este metodo.

No obstante, nuestro metodo para resolver una ecuacion como (8.35) consistio en realizar elsiguiente cambio de funcion incognita:

(8.36) y(s) = x(es) en el caso I = (0,$), y(s) = x(!es) en el caso I = (!$, 0),

que transforma la ecuacion (8.35) en una de coeficientes constantes: y!!+(a!1)y!+by = 0, donde laecuacion caracterıstica coincide con la ecuacion auxiliar de Euler. A la hora de deshacer el cambiono hay porque distinguir I = (0,$) de I = (!$, 0) ya que la expresion x(t) = y(log | t |) nos sirveen ambos casos.

Una ecuacion de Euler completa, en forma implıcita, es de la forma

(8.37) t2x!! + atx! + bx = g(t) donde a, b # R

Se supone que g esta definida y es continua en un intervalo I tal que I ) (0,$) o bien I ) (!$, 0),de forma que las soluciones de (8.37) estan definidas en I. Al realizar en esta ecuacion el cambio devariable establecido en (8.36), obtendremos la ecuacion de coeficientes constantes, no homogenea:

(8.38) y!! + (a! 1)y! + by = f(s) donde f(s) = g(±es)

y es posible que f sea de uno de los tipos a los que se les puede aplicar el metodo de los coefi-cientes indeterminados, en cuyo caso, resolverıamos la ecuacion (8.38) y, deshaciendo el cambio,obtendrıamos todas las soluciones de (8.37) definidas en I. Esto siempre sera mas simple quedeterminar una solucion particular de (8.37) mediante el metodo de variacion de los parametros.

Hay que advertir que si nos dan una ecuacion de Euler completa en forma explıcita:

x!! +a

tx! +

b

t2x = h(t) donde a, b # R,

resulta imprescindible escribir esta en la forma implıcita (8.37) para llevar a cabo el procedimientosenalado anteriormente.




Ejemplo 8.27. Soluciones de la ecuacion: x!! +3

tx! +

3

t2x =

log t

t.

Las soluciones de la ecuacion estan definidas en el intervalo I = (0,$). Observese que ni laecuacion es de coeficientes constantes ni el termino independiente h(t) = log t

t es de alguno de lostipos a los que se le pueda aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados, pero se trata deuna ecuacion de Euler no homogenea.

Lo primero que hay que hacer es escribir esta ecuacion en forma implıcita ası:

t2x!! + 3tx! + 3x = t log t.

Aquı es g(t) = t log t. La ecuacion auxiliar asociada a la ecuacion homogenea es #(#!1)+3#+3 = 0,es decir, #2 + 2# + 3 = 0. Por tanto, el cambio de funcion incognita y(s) = x(es) transforma laecuacion de Euler implıcita en la ecuacion de coeficientes constantes no homogenea:

(8.39) y!! + 2y! + 3y = ses ,

pues f(s) = g(es) = ses. A la ecuacion anterior le podemos aplicar el metodo de los coeficientesindeterminados para determinar una solucion particular, ya que f es del tipo estudiado en estaseccion.

Como ! = 1 no es solucion de la ecuacion caracterıstica, existe una solucion de (8.39) del tipoy(s) = (A+Bs)es. Determinemos los coeficientes A y B.

y!(s) = (A+B+Bs)es, y!!(s) = (A+2B+Bs)es * Ly(s) = (6A+4B+6Bs)es * B = 16 y A = !1

9 .

Por tanto, la solucion particular obtenida es yp(s) =#! 1

9 + 16s$es.

Las soluciones de la ecuacion caracterıstica son # = !1±(2i y, por tanto, las soluciones de la

ecuacion diferencial (8.39) son las funciones definidas por

y(s) = e"s/c1 cos(

(2s) + c2 sen(

(2s)

0+#! 1

9 + 16s$es donde c1 , c2 # R.

Deshaciendo el cambio ası: x(t) = y(log t) obtenemos todas las soluciones de la ecuacion de Eulerpropuesta. Estas vienen dadas por

(8.40) x(t) =1

t

?c1 cos(

(2 log t) + c2 sen(

(2 log t)

@+ t

#! 1

9 + 16 log t

$donde c1 , c2 # R.

Vease la respuesta de Mathematica:

DSolve

*x”[t] +

3

tx![t] +

3

t2x[t] ==

Log[t]

t, x[t], t

+

x[t] "C[2]Cos

!(2Log[t]

"

t+

C[1]Sin!(

2Log[t]"

t+

+1

18

D!2tCos

?(2Log[t]

@2+ 3tCos

?(2Log[t]

@2Log[t]! 2tSin

?(2Log[t]

@2+ 3tLog[t]Sin

?(2Log[t]

@2E


Observese la complejısima solucion particular que proporciona Mathematica, en comparacion conla que hemos obtenido nosotros

(8.41) xp(t) = t#! 1

9 + 16 log t

$.

La explicacion de esto puede estar en que Mathematica, al no encontrarse con una tıpica ecuaciondonde se aplica el metodo de los coeficientes indeterminados, ha determinado una solucion de laecuacion mediante el metodo de variacion de los parametros, que, en este caso, como en tantosotros, da lugar a unos calculos de primitivas muy complicados, como vamos a ver a continuacion.

Si intentamos determinar una solucion por el metodo de variacion de los parametros, traba-jarıamos con las dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Euler homogenea

x1(t) =1t cos(

(2 log t), x2(t) =

1t sen(

(2 log t).

Calculando el correspondiente wronskiano en el punto t0 = 1 y usando la formula de Liouville,

obtenemos W (x1 , x2)(t) =$2

t3 y la funcion de Green correspondiente resulta:

G(s, t) =$2

ts4

?cos(

(2 log s) sen(

(2 log t)! sen(

(2 log s) cos(

(2 log t)

@.

Tomando el punto t0 = 1, la solucion que nos da este metodo es

xp(t) =$2t

?sen(

(2 log t)

. t

1s"5 cos(

(2 log s) log s ds! cos(

(2 log t)

. t

1s"5 sen(

(2 log s) log s

@.

Para salir de dudas y convencerse de que el metodo que hemos seguido es valido, lo mejor escomprobar que la solucion particular obtenida en (8.41) es, efectivamente, solucion de la ecuaciondiferencial propuesta. Derivando dos veces tal expresion, tenemos:

x!(t) = 16 log t+

118 , x!!(t) = 1

6t

y, ası, obtenemos

Lx(t) = 16t +

3t

/16 log t+

118

0+ 3

t2

/t#! 1

9 + 16 log t

$0= log t

t .

Para terminar de ratificar que la familia de soluciones que proporciona Mathematica coincidecon la que hemos obtenido aquı, basta con darle la siguiente instruccion, para que simplifique, todolo posible, la expresion que nos ha dado,

FullSimplify?C[2]Cos

!(2Log[t]

"

t+

C[1]Sin!(

2Log[t]"

t+

+1

18

D!2tCos

?(2Log[t]

@2+ 3tCos

?(2Log[t]

@2Log[t]! 2tSin

?(2Log[t]

@2+ 3tLog[t]Sin

?(2Log[t]

@2E@

La respuesta es exactamente la expresion que obtuvimos en (8.40):

C[2]Cos!(

2Log[t]"

t+

1

18t(!2 + 3Log[t]) +

C[1]Sin!(

2Log[t]"

t.




8.9.3 Caso f(t) = a sen(!t) + b cos(!t), donde a, b,! ! R.

Para entender mejor lo que sucede en este caso, vamos a empezar con un par de ejemplos.

Ejemplo 8.28. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 3x! ! 4x = 2 sen t.

Las soluciones de la ecuacion estan definidas en R. La derivada de la funcion sen es la funcioncos y la de esta es la funcion ! sen. Como en la ecuacion diferencial aparece el termino en x!

no puede existir una solucion del tipo x(t) = A sen t, siendo A una constante, ya que Lxp(t) =!5A sen t ! 3A cos t. El mismo problema tenemos con x(t) = A cos t. Veamos que, sin embargo, sıtenemos una solucion del tipo

(8.42) x(t) = A sen t+B cos t donde A,B # R.

En efecto,

x!(t) = A cos t!B sen t, x!!(t) = !A sen t!B cos t * Lx(t) = (3B ! 5A) sen t! (3A+5B) cos t.

Por tanto, x, dada por (8.42), es solucion de la ecuacion si y solo si, se verifica

%3B ! 5A = 2

3A+ 5B = 0,

sistema que tiene una unica solucion: A = ! 517 , B = 3

17 . Por tanto, efectivamente existe una unicasolucion del tipo (8.42), que es

xp(t) = ! 517 sen t+

317 cos t.

Observese que la ecuacion caracterıstica #2 ! 3# ! 4 = 0 tiene dos soluciones reales: #1 = 4 y#2 = !1 y, ası, la solucion general de la ecuacion viene dada por

x(t) = c1e4t + c2e

"t + 117(3 cos t! 5 sen t) donde c1 , c2 # R.


DSolve[x!![t]! 3x![t]! 4x[t] == 2Sin[t], x[t], t], x[t] " e"tC[1] + e4tC[2] + 117(3Cos[t]! 5Sin[t]).

Ejemplo 8.29. Soluciones de la ecuacion: x!! + x = cos t.

Aquı, al no aparecer el termino en x!, da la impresion de que podrıa existir una solucion deltipo x(t) = A cos t, pero resulta que, para esta funcion se tiene x!!(t) + x(t) = 0, es decir que xes solucion de la ecuacion homogenea. Esto ya lo sabıamos, pues la ecuacion x!! + x = 0 (que haaparecido en varios ejemplos) tiene a # = ±i como soluciones de su ecuacion caracterıstica y, ası,sus soluciones son las funciones dadas por xh(t) = c1 sen t+ c2 cos t.

Por otra parte, a la vista de lo obtenido en el ejemplo anterior, hubieramos estado tentados debuscar una solucion de la ecuacion completa de la forma x(t) = A sen t + B cos t, pero esta claroque esto no funciona en este caso, ya que tal funcion es solucion de la ecuacion homogenea.

¿Cual es la diferencia esencial entre un caso y otro?. En ambos ejemplos, f es de la formaf(t) = a sen("t) + b cos("t) y " = 1. La diferencia entre estos dos casos es que en el primero, "i no


es solucion de la ecuacion caracterıstica, pero, en el segundo, sı lo es. En general, la multiplicidadde "i como raız del polinomio caracterıstico es 0 o 1; no es posible que su multiplicidad sea 2.

Por analogıa con el caso f(t) = Pn(t)e!t, donde resulta fundamental, a la hora de determinaruna solucion, conocer la multiplicidad de ! como raız del polinomio caracterıstico, podrıamosprobar en este caso con una funcion del tipo:

(8.43) x(t) = t#A sen t+B cos t

$donde A,B # R.

Las derivadas de una funcion de este tipo verifican:

x!(t) = (A!Bt) sen t+ (B +At) cos t, x!!(t) = !(2B +At) sen t+ (2A!Bt) cos t

y por tanto x!!(t) + x(t) = cos t si, y solo si, !2B sen t + 2A cos t = cos t, lo que se verifica paracada t # R unicamente si B = 0 y A = 1

2 . De esta forma, la funcion definida por

(8.44) xp(t) =12 t sen t

es una solucion de la ecuacion no homogenea. Finalmente, podemos afirmar que las soluciones dela ecuacion son las dadas por

x(t) = c1 cos t+#c2 +

12 t$sen t donde c1 , c2 # R.

En este caso, sorprende mucho la respuesta que da Mathematica.

DSolve[x!![t] + x[t]==Cos[t], x[t], t]

x[t] " C[1]Cos[t] + C[2]Sin[t] +1

4

#2Cos[t]3 + 2tSin[t] + Sin[t]Sin[2t]

$.

Observese la solucion particular que da, de expresion mucho mas complicada que la nuestra, y,aparentemente, la familia de soluciones de la ecuacion no parece la misma que hemos obtenidonosotros. No obstante, si se le da la instruccion de que simplifique todo lo posible la expresion dela solucion particular:

FullSimplify

*1

4

#2Cos[t]3 + 2tSin[t] + Sin[t]Sin[2t]

$+

la respuesta que da es 12(Cos[t]+tSin[t]), que es la suma de la solucion que hemos obtenido en (8.44)

mas una solucion de la homogenea, por lo que la familia de soluciones es la misma.

En general, el resultado que se puede probar, y que viene reflejado en los dos ejemplos anteriores,es el siguiente:

Proposicion 8.8. Dadas la ecuacion diferencial

x!! + px! + qx = a sen("t) + b cos("t),

donde p, q, a, b," # R, y la ecuacion caracterıstica #2 + p#+ q = 0, se verifica lo siguiente:

I) Si "i no es solucion de la ecuacion caracterıstica, existe una solucion de la forma

x(t) = A sen("t) +B cos("t) donde A,B # R.

II) Si "i es solucion de la ecuacion caracterıstica, existe una solucion del tipo

x(t) = t#A sen("t) +B cos("t)

$donde A,B # R.




Tanto en un caso como en otro, los coeficientes A y B se determinan imponiendo que tal funcionsea solucion de la ecuacion diferencial.

Podemos abreviar el enunciado del resultado anterior afirmando que la ecuacion posee unasolucion del tipo

x(t) = tk#A sen("t) +B cos("t)

$

donde A,B # R y k # {0, 1} indica la multiplicidad de # = "i como raız del polinomio caracterıstico.

Podrıamos dar una prueba directa de este resultado, pero vamos a obtenerlo como caso particu-lar de uno que veremos en la proxima seccion (vease el corolario 8.8.1).

Ejemplo 8.30. Soluciones de la ecuacion: x!! ! 2x! + x = 16 sen(3t) + 12 cos(3t).

La funcion f(t) = 16 sen(3t) + 12 cos(3t) es de la forma establecida en el resultado anterior,siendo " = 3. La ecuacion caracterıstica #2 ! 2#+1 = 0 solo posee una solucion real # = 1. Como3i no es solucion de esta ecuacion, hay una solucion de la ecuacion diferencial de la forma x(t) =A sen(3t)+B cos(3t). Llevando esta expresion a la ecuacion diferencial y agrupando adecuadamenteobtenemos: Lx(t) = (!8A + 6B) sen(3t) ! (8B + 6A) cos(3t) = 16 sen(3t) + 12 cos(3t), por lo queA y B verifican: !4A+ 3B = 8, 3A+ 4B = !6, de donde se obtiene B = 0 y A = !2. Por tantola solucion particular obtenida es

xp(t) = !2 sen(3t)

y la solucion general de la ecuacion viene dada por

x(t) = et(c1 + c2t)! 2 sen(3t) con c1 , c2 # R.


DSolve[x”[t]! 2x![t] + x[t] == 16Sin[3t] + 12Cos[3t], x[t], t], x[t] " etC[1] + ettC[2]! 2Sin[3t].

8.9.4 Casos f(t) = Pn(t)e!t cos(!t) y f(t) = Pn(t)e!t sen(!t) donde ",! ! R yPn(t) es un polinomio.

En estos casos la clave esta en ver si el numero complejo # = !+"i es solucion o no de la ecuacioncaracterıstica. La idea para obtener el resultado deseado es reducir estos casos a otros ya vistosanteriormente usando soluciones con valores complejos. Ya vimos en la seccion 8.5, en el caso deecuaciones homogeneas con coeficientes constantes

(8.45) x!! + px! + qx = 0,

(en la situacion en que la ecuacion caracterıstica tiene dos soluciones complejas) que se puedeextender la nocion de solucion a funciones con valores complejos z : R " C, t &" z(t) = x(t)+ iy(t).Concretamente, vimos que, siendo x e y dos veces derivables en R, el que z sea solucion de (8.45)equivale a que tanto su parte real x : R " R como su imaginaria y : R " R sean soluciones de (8.45).

De forma analoga, podemos permitir incluso en una ecuacion completa

(8.46) x!! + px! + qx = f(t),


que el segundo miembro f sea tambien una funcion con valores complejos f : I " C, t &" f(t) =g(t) + ih(t), siendo I un intervalo en R y, en este caso, supuesto que x e y son dos veces derivablesen I, resulta que z : I " C, t &" z(t) = x(t) + iy(t) es solucion de (8.46) si, y solo si,

#x!!(t) + iy!!(t)

$+ p

#x!(t) + iy!(t)

$+ q

#x(t) + iy(t)

$= g(t) + ih(t) para cada t # I,

lo que es equivalente a que

(8.47)

%x!!(t) + px!(t) + qx(t) = g(t)

y!!(t) + py!(t) + qy(t) = h(t)

teniendo en cuenta que dos numeros complejos son iguales si, y solo si, coinciden sus partes reales ysus partes imaginarias. Ası pues, (8.47) nos dice que x e y son soluciones de ecuaciones diferenciales,con la misma ecuacion homogenea asociada (8.45), donde aparecen como terminos independientesla parte real y la parte imaginaria de f , respectivamente.

Sean # = !+ i" # C con " '= 0 (para que # sea un complejo no real) y Pn : R " R una funcionpolinomica de grado n. Consideremos el caso especial de la funcion

f : R " C, t &" f(t) = Pn(t)e"t = Pn(t)e

!t cos"t+ iPn(t)e!t sen"t

(recuerdese que e"t = e!t(cos"t+ i sen"t)). Segun lo visto anteriormente, si z = x+ iy es solucionde la ecuacion

(8.48) x!! + px! + qx = Pn(t)e"t

su parte real x sera solucion de la ecuacion diferencial

(8.49) x!! + px! + qx = Pn(t)e!t cos"t

y su parte imaginaria y sera solucion de

(8.50) x!! + px! + qx = Pn(t)e!t sen"t.

La ecuacion (8.48) es como la estudiada en la seccion 8.9.2, con la unica diferencia de que ahora# es un numero complejo. Si razonamos igual que en el caso citado, es decir, haciendo el cambiode funcion incognita v(t) = z(t)e""t y teniendo en cuenta que las dos primeras derivadas de lafuncion t &" e"t se comportan como en el caso # # R, reducimos el problema al caso f(t) = Pn(t),es decir, llegamos a que z es solucion de (8.48) si, y solo si, la funcion v es solucion de una ecuacioncomo (8.33):

(8.51) v!!(t) + (2#+ p)v!(t) + (#2 + p#+ q)v(t) = Pn(t)

con la unica salvedad de que ahora los coeficientes de la ecuacion homogenea son numeros complejos.

Podemos ahora tratar la ecuacion (8.51) como en el caso real visto en la seccion 8.9.1, pues enesto no influye el hecho de que # sea real o complejo; lo que sı esta excluıdo en el caso # complejoes que sea 2#+ p = 0. De esta forma (8.51) posee una solucion del tipo

v(t) = tk FPn(t)

donde k = 0 o k = 1 (no puede ser k = 2) y donde FPn(t) es un polinomio en t de grado n pero concoeficientes complejos. De esta forma, al deshacer el cambio, se obtiene para (8.48) una solucionde la forma

(8.52) z(t) = tk FPn(t)e"t




donde k # {0, 1} es la multiplicidad de # como raız del polinomio caracterıstico (es imposible que# tenga multiplicidad dos, a diferencia del caso real) y donde FPn(t) es un polinomio en t de gradon con coeficientes complejos.

Ahora solo tenemos que ver como es la parte real y la parte imaginaria de la solucion (8.52) puesestas seran, respectivamente, soluciones de las dos ecuaciones que nos interesan: (8.49) y (8.50).

Es evidente que la parte real y la parte imaginaria de una funcion polinomica con coeficientescomplejos son funciones polinomicas con coeficientes reales; por tanto podemos escribir:

FPn(t) = Qn(t) + iRn(t), donde Qn : R " R y Rn : R " R son funciones polinomicas de grado n.

En consecuencia,

z(t) = tk FPn(t)e"t = tk

#Qn(t) + iRn(t)

$#e!t cos"t+ ie!t sen"t

$

= tke!t#Qn(t) cos"t!Rn(t) sen"t

$+ itke!t

#Rn(t) cos"t+Qn(t) sen"t

$

y, de esta forma, concluimos el siguiente resultado:

Teorema 8.8. Sea la ecuacion diferencial lineal

x!! + px! + qx = f(t),

donde p, q # R y donde f es de la forma

f(t) = Pn(t)e!t cos"t o bien f(t) = Pn(t)e

!t sen"t,

siendo !," # R, " '= 0 y Pn una funcion polinomica de grado n. La ecuacion diferencial poseeuna solucion de la forma

(8.53) x(t) = tke!t#Qn(t) cos"t+Rn(t) sen"t

$

donde Qn y Rn son funciones polinomicas de grado n y donde k # {0, 1} es la multiplicidad delnumero complejo # = !+ "i como raız del polinomio caracterıstico: #2 + p#+ q.

Ejemplo 8.31. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! ! 2x! + x = 10 e"2t cos t.

Observese que la ecuacion es de la forma establecida en el resultado anterior, donde ! = !2," = 1 y Pn es constante (n = 0). El polinomio caracterıstico #2 ! 2#+1 = (#! 1)2 solo posee unaraız real: # = 1. Por tanto, # = !2+ i no es raız de tal polinomio y, consecuentemente, la ecuaciondiferencial posee una solucion del tipo

xp(t) = e"2t (A cos t+B sen t) donde A,B # R.Los coeficientes A y B se determinan, como siempre, imponiendo que esta funcion sea solucion dela ecuacion. Esto lleva a realizar ciertos calculos, algo pesados, y resulta

xp(t) =15e

"2t(4 cos t! 3 sen t).

Las soluciones de la ecuacion diferencial son, por tanto, las funciones definidas por

x(t) = et(c1 + c2t) +15e

"2t(4 cos t! 3 sen t) con c1 , c2 # R.



DSolve!x!![t]! 2x![t] + x[t] == 10e"2tCos[t], x[t], t

", x[t] " etC[1]+ettC[2]+

1

5e"2t(4Cos[t]!3Sin[t]).

Ejemplo 8.32. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! ! 2x! + 2x = et sen t.

En este caso, el polinomio caracterıstico: #2! 2#+2 posee dos raıces complejas: # = 1± i. Portanto, la ecuacion diferencial posee una solucion particular de la forma

xp(t) = tet (A cos t+B sen t) donde A,B # R.

Los calculos para determinar A y B se complican ahora algo mas y resulta A = !12 y B = 0. Ası

la solucion obtenida esxp(t) = !1

2 tet cos t.

Las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones definidas por

x(t) = et/(c1 ! 1

2 t) cos t+ c2 sin t0

con c1 , c2 # R.


DSolve!x!![t]! 2x![t] + 2x[t] == etSin[t], x[t], t

"

x[t] " etC[2]Cos[t] + etC[1]Sin[t]! 1

4etCos[t](2t+ 2Cos[t]Sin[t]! Sin[2t]).

Como ha sucedido en otras ocasiones da la impresion inicial de que Mathematica proporcionaotra familia de soluciones, pero si le pedimos que simplifique la expresion obtenida:

FullSimplify

*etC[2]Cos[t] + etC[1]Sin[t]! 1

4etCos[t](2t+ 2Cos[t]Sin[t]! Sin[2t])

+

nos da la misma solucion general que hemos obtenido nosotros:

!1

2et((t! 2C[2])Cos[t]! 2C[1]Sin[t]).

Ejemplo 8.33. Soluciones de la ecuacion diferencial: x!! + x = t cos t! cos t.

Observese que el termino independiente f(t) = (t ! 1) cos t es de la forma establecida en elteorema 8.8, donde ! = 0," = 1 y P1(t) = t ! 1. Como # = ! + "i = i es raız del polinomiocarcaterıstico #2 + 1 hay una solucion de la forma xp(t) = t

#Q1(t) cos t+R1(t) sen t

$, es decir,

xp(t) = t#(A+Bt) cos t+ (C +Dt) sen t

$= At cos t+ Ct sen t+Bt2 cos t+Dt2 sen t.

Sustituyendo la expresion de xp en la ecuacion diferencial y simplificando se obtiene:

x!!p(t) + xp(t) = 4Dt cos t! 4Bt sen t+ (2C + 2B) cos t+ (!2A+ 2D) sen t = t cos t! cos t.

Igualando coeficientes resultan las ecuaciones en A,B,C y D:

4D = 1, !4B = 0, (2C + 2B) = !1, (!2A+ 2D) = 0,




de donde se obtiene D = 14 , B = 0, C = !1

2 y A = 14 . Por tanto, la solucion particular obtenida es

xp(t) =14 t cos t!

12 t sen t+

14 t

2 sen t.

En definitiva, las soluciones de la ecuacion diferencial son las funciones dadas por

x(t) = c1 cos t+ c2 sen t+14 t cos t!

12 t sen t+

14 t

2 sen t con c1 , c2 # R.

Comprobacion con Mathematica: DSolve[x!![t] + x[t] == tCos[t]! Cos[t], x[t], t]

x[t] " C[1]Cos[t] + C[2]Sin[t] + 18

/! 4Cos[t]3 + 2tCos[t]Cos[2t]! 4tSin[t] + 2t2Sin[t]

+Cos[2t]Sin[t]! Cos[t]Sin[2t]! 2Sin[t]Sin[2t] + 2tSin[t]Sin[2t]0

Una vez mas, Mathematica da una expresion muy complicada de la solucion particular. Leindicamos que simplifique la expresion obtenida para tal solucion:

FullSimplify?18

/! 4Cos[t]3 + 2tCos[t]Cos[2t]! 4tSin[t] + 2t2Sin[t]

+ Cos[2t]Sin[t]! Cos[t]Sin[2t]! 2Sin[t]Sin[2t] + 2tSin[t]Sin[2t]0@

y nos da 18(!Sin[t] + 2(!2 + t)(Cos[t] + tSin[t])).

Si desarrollamos la expresion anterior observamos que esta es la suma de la expresion xp(t), quehemos obtenido nosotros, mas una solucion de la homogenea:

18

#! sen t+ 2(!2 + t)(cos t+ t sen t)

$= 1

4 t cos t!12 t sen t+

14 t

2 sen t! 18 sen t!

12 cos t.

Por tanto, la familia de soluciones proporcionada es la misma.

Vamos a terminar con un caso que engloba varios de los casos vistos. Esta claro que podemosusar el resultado del teorema anterior y el principio de superposicion para obtener una solucionparticular de x!! + px! + qx = f(t) cuando f es de la forma

f(t) = e!t#Pm(t) cos"t+Qn(t) sen"t

$,

donde ahora Pm y Qn son funciones polinomicas de grados m y n respectivamente. Podemosescribir f = f1 + f2 donde

f1(t) = Pm(t)e!t cos"t y f2(t) = Qn(t)e!t sen"t.

La ecuacion Lx = f1(t) admite una solucion del tipo

x1(t) = tke!t#Rm(t) cos"t+ Sm(t) sen"t

$

y la ecuacion Lx = f2(t) una de la forma

x2(t) = tke!t#Rn(t) cos"t+ Sn(t) sen"t

$,

donde Rm, Sm, Rn y Sn son funciones polinomicas. En consecuencia x = x1 + x2 sera solucion deLx = f(t). Pero observese que x tiene la siguiente forma:

x(t) = tke!t#Rr(t) cos"t+ Sr(t) sen"t

$,

donde Rr y Sr son funciones polinomicas de grado r = max{m,n}. De esta forma obtenemos elsiguiente resultado:


Corolario 8.8.1. Sea la ecuacion diferencial lineal

x!! + px! + qx = f(t),



$,

siendo !," # R, " '= 0 y Pm y Qn funciones polinomicas de grados m y n respectivamente. Sea# = !+ "i. Entonces, la ecuacion diferencial posee una solucion de la forma

(8.54) x(t) = tke!t#Rr(t) cos"t+ Sr(t) sen"t

$,

donde Rr y Sr son funciones polinomicas de grado r = max{m,n} y donde k # {0, 1} es lamultiplicidad de # como raız del polinomio caracterıstico.

Como casos particulares de lo anterior tenemos:

1. La situacion en que ! = 0, Pm(t) = b # R y Qn(t) = a # R, es decir el caso:

f(t) = a sen"t+ b cos"t,

que se estudio en la seccion anterior, y, de esta forma, el resultado de la proposicion 8.8 sesigue inmediatamente del corolario anterior.

2. f(t) = e!t#a sen"t+ b cos"t

$.

3. f(t) = Pn(t)#a sen"t+ b cos"t

$.

4. f(t) = Pn(t)e!t#a sen"t+ b cos"t

$.

Observese que si permitieramos en el corolario 8.8.1 que " = 0 (ası # serıa real) tendrıamos elresultado del teorema 8.7 visto en la seccion 8.9.2, solo que, en este caso, k puede tomar el valor 2.Por tanto, del corolario 8.8.1 y del teorema 8.7 se obtiene el siguiente resultado, que engloba todoslos casos vistos.

Teorema 8.9. Sea la ecuacion diferencial lineal

x!! + px! + qx = f(t),



$,

siendo !," # R y Pm y Qn funciones polinomicas de grados m y n respectivamente. Sea # = !+"i(# puede ser real). La ecuacion diferencial posee una solucion de la forma

(8.55) x(t) = tke!t#Rr(t) cos"t+ Sr(t) sen"t

$,

donde Rr y Sr son funciones polinomicas de grado r = max{m,n} y donde k es la multiplicidadde # como raız del polinomio caracterıstico.




La situacion establecida en el teorema 8.9 es la mas general y conocida para la utilizacion delmetodo de los coeficientes indeterminados, salvo todo lo que resulte de aplicar el caso anterior yel principio de superposicion. Acabamos este tema, precisamente, con un ejemplo de aplicacion deeste principio y de varios casos tratados.

Ejemplo 8.34. Determinemos la forma de una solucion particular de la ecuacion diferencial:

x!! + 9x = 1 + 27t2 ! 3te"2t + 2 sen(3t)! 4 cos t+ t(3t! 1)et sen(2t).

Se trata de dar una expresion de una solucion particular sin necesidad de calcular los coeficientesque aparezcan en tal expresion. En este ejemplo se intenta ilustrar como llevar a la practica elprincipio de superposicion 8.6, una vez que hemos estudiado todos los casos especiales de aplicaciondel metodo de los coeficientes indeterminados. La idea de esto fue expuesta en la introduccion dela seccion 8.9 y se ha repetido en esta seccion.

En este caso la ecuacion x!! +9x = f(t) es de coeficientes constantes, pero f no es exactamentede ninguno de los tipos estudiados anteriormente. Sin embargo f =

75k=1 fk donde

f1(t) = 1 + 27t2, f2(t) = !3te"2t, f3(t) = 2 sen(3t), f4(t) = !4 cos t y f5(t) = t(3t! 1)et sen(2t)

y cada una de las funciones fk, k # {1, . . . 5}, es un caso particular de los que hemos estudiados.Por tanto, determinando por el metodo de los coeficientes indeterminados, para cada k # {1, . . . 5},una solucion xk de x!! + 9x = fk(t), resulta que xp =

75k=1 xk es una solucion particular de la

ecuacion diferencial propuesta.

La ecuacion caracterıstica asociada es #2 + 9 = 0, cuyas soluciones son complejas: # = ±3i.

Puesto que aparece el termino en x en la ecuacion diferencial homogenea, la ecuacion x!!+9x =1 + 27t2 posee una solucion del tipo x1(t) = A1 +A2t+A3t

2.

Como ! = !2 no es solucion de la ecuacion caracterıstica, la ecuacion x!!+9x = !3te"2t poseeuna solucion de la forma x2(t) = (A4 +A5t)e

"2t.

Al ser 3i solucion la ecuacion caracterıstica, la ecuacion x!! + 9x = 2 sen(3t) posee una soluciondel tipo x3(t) = t

#A6 sen(3t) +A7 cos(3t)

$.

Como i no es solucion la ecuacion caracterıstica, la ecuacion x!! + 9x = !4 cos t posee unasolucion del tipo x4(t) = A8 sen(t) +A9 cos(t).

Como 1+2i no es solucion de la ecuacion caracterıstica, la ecuacion x!!+9x = t(3t!1)et sen(2t)

posee una solucion del tipo x5(t) = et/(A10 +A11t+A12t

2) cos(2t) + (A13 +A14t+A15t2) sen(2t)

0.

En definitiva, la ecuacion diferencial propuesta posee una solucion del tipo:

xp(t) = A1 +A2t+A3t2 + (A4 +A5t)e

"2t + t#A6 sen(3t) +A7 cos(3t)

$+A8 sen(t) +A9 cos(t)

+et/(A10 +A11t+A12t

2) cos(2t) + (A13 +A14t+A15t2) sen(2t)

0,

donde los coeficientes A1 , . . . A15 habrıa que determinarlos en caso de querer dar con exactitudtodas las soluciones de la ecuacion. Pero, sin necesidad de calcularlos, podemos hacernos una idea


de como son todas las soluciones, ya que las soluciones de la homogena asociada son las definidaspor: xh(t) = c1 cos(3t) + c2 sen(3t).

Le indicamos aMathematica que resuelva la ecuacion diferencial (da una expresion “monstruo-sa”) y que simplifique todo lo posible ası:

FullSimplify!DSolve

!x!![t] + 9x[t] == 1 + 27t2 ! 3te"2t + 2Sin[3t]! 4Cos[t] + t(t! 1)etSin[2t], x[t], t

""

y la respuesta es:

x[t] " 1

39546e"2t

/! 702(4 + 13t)! 9e3t

#(!334 + 26t(!15 + 13t))Cos[2t] + (!734 + 13(97! 39t)t)

Sin[2t]$+ 2197e2t

#! 10 + 54t2 ! 9Cos[t]! 6(t! 3C[1])Cos[3t] + (1 + 18C[2])Sin[3t]

$0.

8.10 Resolucion de sistemas diferenciales lineales de primer ordencon dos funciones incognitas y coeficientes constantes

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son objetos de estudio en otrotema, pero aquı, independientemente de una teorıa general para ellos, queremos aprovechar parahacer ver que la resolucion de estos, en el caso de dos funciones incognitas, se reduce, de una formamuy simple, a resolver ecuaciones como las que hemos tratado en este tema. Esto es muy intere-sante porque, en general, resolver sistemas diferenciales es mas complicado que resolver ecuacionesdiferenciales.

La expresion de un sistema diferencial lineal de primer orden, en forma explıcita, con dosfunciones incognitas: t &" x(t), t &" y(t) es

(8.56)

%x!(t) = a(t)x(t) + b(t)y(t) + f(t)

y!(t) = c(t)x(t) + d(t)y(t) + g(t)

donde las funciones a, b, c, d, f y g son conocidas y se suponen continuas en un intervalo I de R. Enel caso de que las funciones a, b, c y d sean constantes en I, se dice que el sistema es de coeficientesconstantes y cuando las funciones f y g son nulas en I, se dice que el sistema es homogeneo.

La idea es que, en condiciones muy generales (con ciertas restricciones sobre alguna de las dosfunciones b, c y suponiendo cierta regularidad sobre f o g), la resolucion de un sistema como (8.56)se puede llevar a cabo mediante la resolucion de una ecuacion diferencial lineal de segundo orden.Puesto que las ecuaciones de segundo orden que sabemos resolver se reducen practicamente a las decoeficientes constantes, vamos a considerar el caso de un sistema lineal de coeficientes constantes(que es el caso donde el procedimiento a seguir es mas claro y menos restrictivo):

(8.57)

%x!(t) = ax(t) + by(t) + f(t) (i)

y!(t) = cx(t) + dy(t) + g(t) (ii)

donde suponemos a, b, c, d # R y f y g derivables en un intervalo I (mas adelante veremos que essuficiente con que sea derivable una de las dos funciones). Este sistema se puede escribir de unaforma vectorial-matricial como

(8.58)

'x!(t)

y!(t)

(=

'a b

c d

(

2 34 5=A

'x(t)

y(t)

(+

'f(t)

g(t)

(.



8.10. Resolucion de sistemas lineales de primer orden con dos incognitas 231

Usualmente el sistema se escribe de una forma abreviada ası:

%x! = ax+ by + f(t)

y! = cx+ dy + g(t)

Si b = 0 la ecuacion (i), que aparece en (8.57), es una ecuacion lineal de primer orden en lafuncion incognita x; resuelta esta, se lleva la expresion de las soluciones x a la ecuacion (ii) yresulta otra ecuacion lineal de primer orden en la funcion incognita y. Determinando las solucionesesta ultima tendrıamos resuelto el sistema (8.57). Por tanto, podemos suponer, sin perdida degeneralidad, que b '= 0. Razonando de una forma analoga podemos suponer tambien que c '= 0.

Una forma de proceder es la siguiente. Si b '= 0 despejamos la incognita y de la ecuacion (i):

(8.59) y(t) =1

b

#x!(t)! ax(t)! f(t)

$.

Si suponemos f derivable en I, se sigue de (i) que la funcion x es dos veces derivable en I y, portanto, derivando en la expresion (8.59), se obtiene

y!(t) =1

b

#x!!(t)! ax!(t)! f !(t)

$

y llevando estas expresiones a la ecuacion (ii) del sistema obtenemos que x verifica

(8.60)1

b

#x!!(t)! ax!(t)! f !(t)

$= cx(t) +

d

b

#x!(t)! ax(t)! f(t)

$+ g(t)

y, por tanto,

x!!(t)! (a+ d)x!(t) + (ad! cb)x(t) = f !(t)! df(t) + bg(t).

Es decir, x es solucion de la ecuacion diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes:

(8.61) x!! ! (a+ d)x! + (ad! cb)x = h(t),

donde h = f !!df + bg. Observese que si el sistema (8.57) es homogeneo la ecuacion (8.61) tambienlo es.

Recıprocamente, si x : I " R es solucion de la ecuacion (8.61), definimos la funcion y : I " Rmediante la expresion (8.59) y ası el par de funciones (x, y) verifica la condicion (i) del sistema. Porotra parte, (8.61) se puede escribir de forma equivalente como (8.60) y esta implica la condicion(ii) y, en definitiva, (x, y) serıa solucion del sistema.

Resumiendo, si el par de funciones (x, y) es solucion del sistema (8.57), x es solucion de laecuacion (8.61) y si x es solucion de (8.61), el par de funciones (x, y) donde y es la definidapor (8.59), es solucion del sistema. De esta forma, resolviendo la ecuacion (8.61) se determinantodas las soluciones del sistema.

En la practica no es necesario recordar la expresion de la ecuacion (8.61); basta con seguir elprocedimiento natural que hemos llevado a cabo para obtener (8.61).

Procediendo de una forma analoga, si c '= 0 y g es derivable en I podemos empezar despejandola funcion incognita x de la ecuacion (ii), derivar y llevando las expresiones de x y x! a la ecuacion (i)del sistema, se obtiene una ecuacion diferencial lineal de segundo orden, con coeficientes constantes,en la funcion incognita y y bastarıa con resolver esta ecuacion.


Antes de ilustrar con un ejemplo el procedimiento descrito, merece la pena reflexionar sobrela siguiente observacion. Vease que la ecuacion caracterıstica de la ecuacion lineal de coeficientesconstantes (8.61) es

(8.62) #2 ! (a+ d)#+ (ad! cb) = 0.

Esta ecuacion es clave para resolver la ecuacion diferencial (8.61) y, por tanto el sistema, ya que lassoluciones (reales o complejas) de (8.62) determinan dos soluciones linealmente independientes dela ecuacion homogenea asociada, lo que tambien incide en la busqueda de una solucion particularde la completa, supuesto que la ecuacion no sea homogenea (ademas, si el sistema es homogeneola ecuacion tambien lo es).

Observese que la ecuacion caracterıstica (8.62) coincide con la ecuacion caracterıstica de lamatriz A que aparece en la expresion matricial (8.58) del sistema pues

|A! #I | =

&&&&&a! # b

c d! #

&&&&& = #2 ! (a+ d)#+ (ad! cb)

y, por tanto, las soluciones de (8.62) son los autovalores de la matriz A. Esto nos da una ideade que, en general, los autovalores de la matriz de coeficientes asociada a un sistema diferencial(con varias funciones incognitas) de primer orden, lineal y con coeficientes constantes, pueden seresenciales para determinar las soluciones del sistema, hecho que se confirmara en el siguiente cursode EDOs.

Ejemplo 8.35. Soluciones del sistema diferencial

%x! = !2x! 4y + 1

y! = 2x+ 2y ! t

Se trata de un sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes y no homogeneo.Vamos a sguir el procedimiento descrito anteriormente usando una notacion abreviada.

Al despejar la funcion incognita y de la primera ecuacion del sistema tenemos

(8.63) y = !1

4(x! + 2x! 1).

Derivamos la funcion y dada anteriormente

y! = !1

4(x!! + 2x!)

y llevamos estas expresiones a la segunda ecuacion del sistema, para obtener

!1

4(x!! + 2x!) = 2x! 1

2(x! + 2x! 1)! t,

de donde surge la ecuacion lineal de segundo orden con coeficientes constantes

(8.64) x!! + 4x = 4t! 2.

La ecuacion caracterıstica #2 + 4 = 0 posee dos soluciones complejas # = ±2i y, por tanto, lassoluciones de la ecuacion homogenea asociada a (8.64) son las dadas por

xh(t) = c1 cos 2t+ c2 sen 2t, con c1 , c2 # R.



Ejercicios 233

Al aparecer el termino en x en la ecuacion (8.64), existe una solucion de esta que es polinomica degrado 1, es decir, del tipo xp(t) = At + B. Imponiendo que sea solucion de la ecuacion se obtieneinmediatamente A = 1 y B = !1/2 y, por tanto, las soluciones de x!!+4x = 4t!2 son las funcionesx : R " R definidas por

(8.65) x(t) = c1 cos 2t+ c2 sen 2t+ t! 1

2, con c1 , c2 # R.

Ahora solo tenemos que derivar las soluciones x obtenidas anteriormente y llevar las expresionesde x y x! a (8.63) para obtener, despues de algunos calculos, la expresiones de las incognitas y ası:

(8.66) y(t) = !1

2(c1 + c2) cos 2t+

1

2(c1 ! c2) sen 2t!

t

2+

1

4, con c1 , c2 # R.

De esta forma las soluciones del sistema son los pares de funciones (x, y) donde x e y vienen dadospor (8.65) y (8.66) respectivamente.

Como podemos apreciar, en la expresion de la solucion general del sistema aparecen dosparametros reales c1 y c2 . En general, en la expresion de la solucion general de un sistema diferenciallineal de primer orden con n funciones incognitas, aparecen n parametros ck # R. .

Ejercicios propuestos :

1. Comprueba que las funciones definidas por x1(t) = t2 y x2(t) = t3 son dos soluciones en R delproblema de valores iniciales %

t2x!! ! 4tx! + 6x = 0

x(0) = 0, x!(0) = 0

¿Porque no contradice esto al teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales linealesde segundo orden?

2. Prueba que la ecuacion diferencial x!! = t2x! ! (log t)x+ sen t posee infinitas soluciones definidas enI = (0,$), que verifican x(1) = 13$.

3. Sea la ecuacion diferencial x!! + p(t)x! + q(t)x = 0, donde p, q : I " R son funciones continuas en unintervalo I. Se pide lo siguiente:

(a) Si la grafica de una solucion x : I " R de la ecuacion tiene como tangente al eje de abscisas,¿quien es x?. En el caso I = R, ¿puede ser la funcion definida por x(t) = t4 solucion en R de laecuacion diferencial?

(b) Prueba que si las graficas de dos soluciones de la ecuacion diferencial se cortan en un punto deleje de abscisas, entonces las soluciones son linealmente dependientes en I.

(c) Prueba que si dos soluciones de la ecuacion alcanzan un extremo local en un mismo punto(interior a I), entonces son linealmente dependientes en I.

(d) Sea x1 una solucion de la ecuacion diferencial tal que x1(t0) '= 0 en un punto t0 # I. Prueba queexiste otra solucion x2 , linealmente independiente de x1 , tal que el wronskiano W (x1 , x2) en elpunto t0 es igual a uno.

4. Comprueba que las funciones x1 , x2 : R " R dadas por x1(t) = t3, x2(t) = t2| t | son de clase C2

(R,R)y linealmente independientes en R y, sin embargo, su wronskiano se anula en todo punto de R. ¿Comose explica esto? ¿Son x1 y x2 linealmente independientes en el intervalo (!$, 0)?

5. Pruebese que el wronskiano de cualquier par de soluciones de una ecuacion lineal de segundo ordenhomogenea es constante si, y solo si, la ecuacion es de la forma x!! + q(t)x = 0.


6. En cada uno de los siguientes apartados se dan una ecuacion diferencial y una funcion. Compruebaen cada caso que la funcion verifica la ecuacion diferencial y halla todas las soluciones de la ecuacionen el intervalo I = (0,$).

(a) t2x!! ! 6x = 0, x1(t) = t3 (b) t2x!! ! 3tx! + 4x = 0, x1(t) = t2

(c) tx!! ! (t+ 1)x! + x = 0, x1(t) = et

7. Se sabe que q es una funcion continua en el intervalo I = (!1,$). Determina la solucion x : I " R,

del problema de valores iniciales

%x!! + q(t)x = 0

x(0) = 1, x!(0) = 5sabiendo que x1(t) = (1+ t)2 es una solucion

de la ecuacion diferencial.

8. Halla todas las soluciones de la ecuacion diferencial (1 + t2)x!! ! 2tx! + 2x = 0.

9. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales y problemas de Cauchy.

(a) x!! + x! + x = 0 (b)

%x!! + 5x! + 4x = 0

x(0) = 2, x!(0) = !17(c) x!! ! 10x! + 25x = 0

(d)

%x!! + 13x = 0

x(0) = !3, x!(0) =(13

(e) x!! + 2x! + x = 0 (f) 2x!! ! 5x! ! 3x = 0

10. Comprueba que, de los dos siguientes problemas de contorno lineales, el primero tiene infinitas solu-ciones mientras que el segundo no tiene solucion.

(a)

%x!! + 16x = 0

x(0) = 0, x(!2 ) = 0(b)

%x!! + 16x = 0

x(0) = 0, x(!2 ) = 1

11. Sean p y q numeros positivos. Prueba que cualquier solucion de la ecuacion diferencial x!!+px!+qx = 0tiende a cero cuando t tiende a infinito. Comprueba este resultado con las ecuaciones vistas en elejercicio 9 y prueba que el resultado no es valido si p = 0 o q = 0.

12. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales o problemas de Cauchy en el intervaloI = (0,$).

(a) t2x!! ! 3tx! + 3x = 0 (b) tx!! ! x! +2

tx = 0 (c) x!! +

5

tx! +

4

t2x = 0

(d)

%t2x!! + tx! + x = 0

x(1) = 1, x!(1) = 2(e)

%t2x!! + tx! ! x = 0

x(1) = 1, x!(1) = 2(f) x!! =

3x

4t2

13. Tres soluciones, definidas en R, de cierta ecuacion diferencial lineal de segundo orden explıcita nohomogenea estan definidas ası: x1(t) = t, x2(t) = t + et, x3(t) = 1 + t + et. Determina todas lassoluciones de la ecuacion.

14. Sea & un numero real positivo y f : R " R una funcion continua. La ecuacion diferencial x!! +&2x =f(t) describe una vibracion armonica no amortiguada sobre la que actua una fuerza externa, que vienerepresentada por la funcion f. Prueba que las soluciones de la ecuacion diferencial son las funcionesx : R " R definidas por

x(t) = a cos(&t) + b sen(&t) +1

&

. t

0f(s) sen&(t! s) ds, (a, b # R).

15. Determina las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales en los intervalos indi-cados:

(a) x!! ! 2x! + x =et

1 + t2, t # R (b) x!! + x = sec3 t, !!

2 < t < !2

16. (a) Comprueba que el metodo de los coeficientes indeterminados no se puede llevar a cabo en lasecuaciones que aparecen en el ejercicio 15.

(b) Determina una solucion de la ecuacion x!!!4x!+4x = (t+1)e2t por el metodo de los coeficientesindeterminados y tambien por el metodo de variacion de los parametros y compara los resultadosobtenidos.

17. Sea q una funcion continua en el intervalo I = (!1,$). Determina todas las soluciones de la ecuaciondiferencial: x!! + q(t)x = 1 sabiendo que x1(t) = 1

1+t es solucion en I de la ecuacion homogeneaasociada. ¿En que intervalo maximal estan definidas las soluciones?.



Ejercicios 235

18. Prueba de una forma directa el resultado del corolario 8.7.1.

19. Determina la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x!! ! x! ! 2x = 4t2 (b) x!! ! x! ! 6x = 20e"2t (c) x!! + 4x! + 4x = tet

(d) x!! + x = sen t (e) x!! + 8x = 5t+ 2e"t (f) x!! ! x! + x = 2 sen 3t(g) x!! ! x = et cos t (h) x!! + x! + x = t sen t (i) x!! + 2x! + x = tet cos t(j) x!! + 8x = t(5 + et) (k) x!! ! 3x! + 2x = 14 sen 2t !

18 cos 2t

20. Halla las soluciones definidas en I = (0,$) de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x!! +1

4t2x = t3/2 (b) x!! ! 2

t2x = 1

(c) t2x!! ! 2x = 3t2 ! 1 (d) x!! ! 1

tx! +

1

t2x = 1 +

log t

t2

21. Dada la ecuacion diferencial: (1 + t)2x!! + a(1 + t)x! + bx = g(t), donde a, b # R, seguid un metodo

analogo al visto para las ecuaciones de Euler, para transformar esta ecuacion en una de coeficientesde constantes. Aplıquese este metodo para determinar las soluciones x : (!1,$) " R de la ecuacionhomogenea: x!!! 2

(1+t)2x = 0 y , tambien, las soluciones x : (!1,$) " R de la ecuacion no homogenea:

x!! ! 2

(1 + t)2x = 1.

22. Determina la solucion del problema de valores iniciales:

%x!! + x = 4t+ 10 sen t

x($) = 0, x!($) = 2

23. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales determina la forma de una solucion particular(no es necesario calcular los coeficientes que aparezcan en la expresion de tal solucion).

(a) x!! + 2x! + x = 1 + t2e"t ! sen t (b) x!! + 4x = 8t2 ! 4t+ 6 cos t+ 4 cos 2t+ t cos t(c) x!! + 9x = 27t3 ! 26e"2t + 2 sen 3t+ 4 sen t (d) x!! ! 9x! +14x = 3t2 ! 5 sen 2t+7te6t + et cos t

24. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas diferenciales lineales de primer orden .

(a)

%x! = y + 1

y! = x+ 1(b)

%x! = 3x! 4y

y! = x! y(c)

%x! = x+ y + 3t

y! = !2x! y + t(d)

%x! = x+ y + 1

y! = !10x! y + cos t

(e)

%x! = x+ y + t

y! = !2x! y + cos t(f)

%x! = x+ y + t

y! = y ! 9x+ et(g)

%x! = x+ y ! t

y! = y ! 9x+ 1 + cos t

25. Una relacion entre dos especies en competencia por el mismo alimento viene modelada por el sistema de

ecuaciones diferenciales:

%x! = 3x! 2y

y! = !2x+ 3y. Los tamanos iniciales de las dos poblaciones en el instante

inicial t = 0 son x = 2000 e y = 1600. Determina los tamanos de las poblaciones en cualquier instantet y comprueba si alguna de las especies se extingue.

26. Una relacion depredador-presa entre dos especies esta modelada por el sistema de ecuaciones:

%x! = x+ y

y! = y ! 9x

siendo x(t) la poblacion de la especie depredadora e y(t) la de la especie presa. Si los tamanos de laspoblaciones iniciales son x = 100 y e y = 1000, determina x(t) e y(t). Comprueba que la presa seextingue despues de cierto tiempo.

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