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Matemáticas 5 . Ecuaciones diferenciale lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Instituto Tecnológico de Tláhuac. Page1 Matemáticas 5. Cálculo Diferencial. * * * * Prof. Roberto Dominguez Hernandez. * * * * Unidad 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales. 4.1. Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace. 4.3 Problemas de aplicación. * * * * Felipe Navarrete. * * * * Institut Institut Institut Instituto Tecnológico de Tláhuac. o Tecnológico de Tláhuac. o Tecnológico de Tláhuac. o Tecnológico de Tláhuac. Verano, 2010.

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Matemáticas 5. Cálculo Diferencial.

* * * *

Prof. Roberto Dominguez Hernandez.

* * * *

Unidad 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales.

4.1. Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la

trasformada de Laplace.

4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace.

4.3 Problemas de aplicación.

* * * *

Felipe Navarrete.

* * * *

InstitutInstitutInstitutInstituto Tecnológico de Tláhuac.o Tecnológico de Tláhuac.o Tecnológico de Tláhuac.o Tecnológico de Tláhuac.

Verano, 2010.

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Índice.

Índice. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 Introducción. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

Parte Uno_Saberes requeridos. Ecuaciones Diferenciales Lineales. -------------------------------------------------------------------------------------- 4 Teoría básica de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales. ----------------------------------------------- 6 Transformada de Laplace. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 11 La transformada inverza de Laplace. ------------------------------------------------------------------------------------- 13

Parte Dos_Unidad 4. Solución de una ecuación diferencial lineal por medio de la transformada de Laplace. ----------------- 15 Solución de un sistema de ecuaciones por medio de la transformada de Laplace. -------------------------- 18 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales por medio de la transformada de Laplace. -- 20 Problemas de aplicación. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 22 Mecánica. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 Electrónica. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 Conclusión. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 26

Anexos. Tabla de transformadas de Laplace. ----------------------------------------------------------------------------------- 27 Transformadas inversas comunes. ----------------------------------------------------------------------------------- 27

Fuentes Consultadas Electrónicas. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 Bibliografía. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 Comentario. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 30

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Introducción.

Es difícl escribir una introducción a un texto referente a matemáticas, porque las matemáticas son ideas puras, en su identidad son vírgenes, es por ello que para mostrar teoremas se utiliza el álgebra., entonces no puedo venir aquí y escribir parrafos incendiarios que motiven al lector leer esto, si puedo decirles las aplicaciones y ventajas de las ecuaciones diferenciales, pero eso de ningún modo es una introducción. porque la introducción itroduce al leector en el texto, entonces una introducción adecuada sería algo del tenor sigueinte?: a/b= a* 1/b . no, yo creo que no., lo cierto es que estoy confundido. Entonces esta introducción la voy a hacer mas como un 'discurso preeliminar'. El precente texto es un trabajo solicitado por el matesro de matemáticas 5, ecuaciones diferenciales. Es un trabajo que pretende resumir la unidad 4: Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales, y sus tres subtemas., pero para poder entender esa unidad es necesario tener un conocimiento previo de la unidad 3: Transformadas de Laplace, es por eso que algo así como un 42% del total de hojas de este trabajo esta dedicado a dar una idea previa. Así que decidí dibidir el trabajo en dos partes, la primera 'saberes requeridos' prepara al lector para enfrentar a la segunda parte 'unidad 4´. Por lo que si se quiere solo se puede leer la sagunda parte. Si bien este texto aparentemente tiene muchas hojas, lo cierto es que son es su malloría ecuaciónes que son voluminosas, de echo puedo decir que este texto es un tanto.. precario. Yo complile la información de este texto, eso implica ordenarla y darle sentido lógico y puedo decir que este texto solo es la pauta, la punta del hiceverg de lo que son ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales. Hace tiempo leí un libro y llegue a un texto [el algebrista. Enzo E. Gentile], creo que ahora es el momento justo para citar una parte de el.. ..Y añores tal vez el día que sin álgebras abstractas y con dos cifras exactas te sentías tan feliz.

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Ecuaciones Diferenciales lineales.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.

Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n

(1)

puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

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...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:

...

Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:

Teorema.

Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las funciones

y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un intervalo en el que hay solución única de la forma:

...

del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.

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Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones tienen la forma

el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.

Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto

a < t < b

que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

...

que satisface las condiciones de valor inicial

...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones pij(t) y qi(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.

Teoria Basica De Los Sistemas Lineales De Ecuaciones De Primer Orden....

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden

...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

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donde

y su derivada

y

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Se dice que un vector xxxx = {f (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Supóngase que PPPP y qqqq son continuos en un intervalo a < t < b . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

(1)

Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.

Sean

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soluciones específicas de la ecuación homogénea.

Teorema 1.

Si y son soluciones del sistema (1), entonces

es solución también, donde y son constantes arbitrarias.

Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.

Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean , , ......, . Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo a < t < b si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de XXXX se le llama wronskiano de las n soluciones.

Teorema 2.

Si las funciones vectoriales , , ......, son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto

de a < t < b entonces la solución del sistema {f (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de , ,

......, .

Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la

solución {f (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un punto del intervalo

a < t < b

Sean estas condiciones

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siendo

Si

Sustituyendo el valor se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........, si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervaloa < t < b , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y

Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial.

que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.

Como

Derivando

pero

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o empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

Por tanto

Por consiguiente se llega a que

Integrando se obtiene que

siendo K una constante de integración.

Una vez realizada este cálculo se puede estudiar otro teorema.

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Teorema 3.

Si , , ......, son soluciones de

en el intervalo a < t < b entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.

La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones son continuas en (a ,b ) la traza de la matriz PPPP(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo (a ,b ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.

Teorema 4.

Si se llama

, , ... ,

y las soluciones , , ......, son tales que

donde t es cualquier punto en a < t < b , entonces , , ......, son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.

La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.

Transformada de Laplace. En el modelo matemático de un sistema físico, como el de una masa sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

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es una función que representa una fuerza externa o un voltaje . No es raro encontrarse con funciones continuas a trozos; por ejemplo, en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la transformada de Laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo. Usaremos la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones integrales, de sistemas de ecuaciones diferenciales y también la aplicaremos al cálculo de integrales. Ya hemos trabajado con el operador derivación , el cual es un caso particular de funciones más generales llamadas transformaciones lineales. Ahora estudiaremos una nueva transformación lineal que es un caso especial de una clase de transformaciones lineales de especial interés, llamadas transformaciones integrales. Para

comprender en qué consisten, consideremos funciones definidas en un intervalo finito o infinito y

tomemos una función fija de variable y parámetro . Entonces, en general una transformación integral tiene la forma

La función se llama núcleo de la transformación . Claramente es lineal, sin importar la naturaleza de

la función . El estudio de estas transformaciones integrales generalizadas a conducido al análisis de ciertas transformaciones específicas que han resultado de mucha utilidad al abordar ciertos problemas. Una de estas

transformaciones especiales se obtiene haciendo , y , como vemos en la siguiente definición. Definición.

Suponga que la función está definida para y la integral impropia

converge para . Entonces la transformada de Laplace de existe

para y está dada por

Antes de dar alguna teoría que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada de Laplace de algunas funciones, usando esta definición. Ejemplos.

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Ejemplo 1.

Calcule . Solución . Por definición

para . Ejemplo 2.

Calcule . Solución. Usando la definición

La transformada inverza de Laplace.

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual

podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos

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obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para

hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

Definición.

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la

transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir, .

Ejemplo.

Ejemplo 1.

Calcule

Solución.

Puesto que

tenemos que

ObservaciónObservaciónObservaciónObservación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es

posible que , siendo . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece,

pues, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces ;

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pero, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede

demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Solución de una ecuación diferencial lineal por medio de la trasformada de Laplace.

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplos.

Ejemplo 1.

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que:

Y al aplicar la transformada inversa

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La gráfica de la solución se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo 2.

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

donde está dada por

Solución .

La función puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir :

Aplicando transformada tenemos que

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Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La gráfica de se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo 3.

Resolver el siguiente problema de valor inicial

Solución .

En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil.

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Integrando obtenemos que

De donde obtenemos que

Para determinar el valor de obsérvese que . Con lo cual la solución al problema está

dada por .

Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales por medio de la trasformada de Laplace.

El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos.

Ejemplo 1.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

con las condiciones , .

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Solución

Si y , entonces

o agrupando

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De donde obtenemos que

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Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace.

Cuando se especifican condiciones iniciales, la transformada de Laplace reproduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un sistema de ecuaciones algebraicas.

Ejemplo.

Ejemplo 1.

Resolver:

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Problemas de aplicación.

Mecánica.

Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces

1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento. 2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante . 3. ¿Cuál es la posición del peso en ?

Solución. Para hallar la constante del resorte

Con lo cual el modelo matemático es

Aplicando transformada

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El que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades,

además recuerde que , pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales

De donde obtenemos que

Y así . La gráfica de se muestra en la siguiente figura.

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Electrónica.

Dada la malla eléctrica de la figura, determine el valor de las corrientes y , si inicialmente valen cero.

Solución . Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:

• Para la malla KLMNKKLMNKKLMNKKLMNK

• Y para la malla JKNPJJKNPJJKNPJJKNPJ:

De donde obtenemos el siguiente sistema:

0

Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales, , obtenemos que

0

Observe que de la primera ecuación , de modo que la segunda ecuación se transforma en

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Entonces

y

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Conclusión.

Una vez fui al CENAT a una conferencia, el ponente diseño un robot que daba vueltas, era una silla de

ruedas con rutas prefijadas, el que la diseño dijo que era para gente con huesos débiles. El ingeniero dijo que había ocupado ecuaciones diferenciales y algebra lineal para predecir el comportammiento de dicha máquina, y dijo algo que, si bien ya olbide las palabras exáctas nunca olbidare lo que dio a entender, a riesgo de embellecer la frace voy a enunciarla con mis palabras. ''-Ese movimiento que hace es sumamente complejo**, para mi fue difícil el análicis porque hice huso de muchas matemáticas, aunque tuve una ventaja: no las hice a mano., porque en una ecuación diferencial uno se lleva como 3 hojas de la libreta y puede que este mal, mientras que un programa de computadora hace las operaciones en menos de 1 segundo y a la perfección- '' Ahora 1+1/2 años después yo intento hacer ecuaciones diferenciales a mano, es difícl, muy, muy difícl, sin un maestro, solo con libros creo que yo me tardaría mucho tiempo en aprender siquiera un poco. Aunque lo hacepto, es muy entretenido estar buscando el modo de resolver una ecuación, y también es interesante aplicarlas. Sin embargo creo firmemente que el plan de estudios debería dictar que además de enseñar a hacer las cosas manualmente, se debe enseñar a resolver las cuestiones con herramientas del siglo XXI: computadoras. ** Nadamás estaba dando una vuelta.. xD

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Anexos.

Tabla de transformadas de Laplace.

Otras transformadas inversas comunes.

Transformada de Laplace Función en el tiempo

1 δ(t) (delta de Dirac)

u(t) (función escalón unitario)

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Fuentes consultadas.

Fuentes electrónicas.

Ecuaciones diferenciales. Transormada de Laplace. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/index.html

• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node2.html

• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node3.html

• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node4.html

• Sistemas de ecuaciones diferenciales Lineales. http://www.tecnun.es/asignaturas/metmat/Texto/En_web/Sistemas_lineales/Sistemas_lineales.htm Transformada de Laplace. http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace. Aplicaciones y transformada de laplace. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node11.html Bibliografía.

Ecuaciones Diferenciales, aplicadas. Murray R. Spiegel. Prentice – Hall Hispanoamericana. 1983. Ecuaciones Diferenciale. Teoría y Práctica. Miguél A. Perselló. 2000 – 2002. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones en Maple. Jaime Escobar A.

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Este texto puede ser descargado de:

http://www.scribd.com/felipe%20d'sT%204

Y algunos libros de la bibliografía pueden descargarse de:

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

y de:

http://www.4shared.com/dir/DyiMMzGz/tecnolgico.html