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  • Apendice sobre ecuacionesdiferenciales lineales

    Juan-Miguel Gracia

    10 de febrero de 2008

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Indice 2

    Determinante wronskiano.

    Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.

    Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

    Solucion del problema de condicion inicial (P0).

    Recurrencias lineales.

    Sistemas de recurrencias lineales.

  • Determinante wronskiano 3

    La letra I denotara un intervalo cualquiera de la recta real R. Elintervalo I puede ser de cualquiera de los nueve tipos

    (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) con a < b,

    (a,), [a,), (, b), (, b], (,) = R.

    Si f (t) es una funcion real definida en I y el intervalo I contuvieraa uno de sus extremos finitos a o b, las derivadas f (k)(a) o f (k)(b)deben entenderse como derivadas laterales: f (k)(a) := f (k)(a+)(derivada por la derecha), o f (k)(b) := f (k)(b) (derivada por laizquierda).

  • Determinante wronskiano 3

    La letra I denotara un intervalo cualquiera de la recta real R. Elintervalo I puede ser de cualquiera de los nueve tipos

    (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) con a < b,

    (a,), [a,), (, b), (, b], (,) = R.

    Si f (t) es una funcion real definida en I y el intervalo I contuvieraa uno de sus extremos finitos a o b, las derivadas f (k)(a) o f (k)(b)deben entenderse como derivadas laterales: f (k)(a) := f (k)(a+)(derivada por la derecha), o f (k)(b) := f (k)(b) (derivada por laizquierda).

  • Funciones linealmente independientes 4

    Definicion 1

    Sean f1(t), f2(t), . . . , fn(t) funciones reales definidas en unintervalo I . Diremos que estas funciones son linealmenteindependientes en I si la relacion: Para todo t I

    1f1(t) +2f2(t) + +nfn(t) = 0, 1, 2, . . . , n R, (1)

    solo es posible cuando 1 = 0, 2 = 0, . . . , n = 0. En el caso deque se satisfaga (1) con algun i 6= 0, se dira que las funciones sonlinealmente dependientes en I .

  • Funciones linealmente independientes 4

    Definicion 1

    Sean f1(t), f2(t), . . . , fn(t) funciones reales definidas en unintervalo I . Diremos que estas funciones son linealmenteindependientes en I si la relacion: Para todo t I

    1f1(t) +2f2(t) + +nfn(t) = 0, 1, 2, . . . , n R, (1)

    solo es posible cuando 1 = 0, 2 = 0, . . . , n = 0. En el caso deque se satisfaga (1) con algun i 6= 0, se dira que las funciones sonlinealmente dependientes en I .

  • Ejemplo 5

    Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t 2 son linealmenteindependientes en (,) pues si existiesen unas constantesreales 1, 2 tales que t (,),

    1(t + 2) + 2(t 2) = 0, (2)se seguira

    t, 1t + 2t + 21 22 = 0,t, (1 + 2)t + (21 22) = 0.

    Por tanto, 1 + 2 = 0 y 2(1 2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {

    1 + 2 = 0,

    1 2 = 021 = 0; 1 = 0. De la ecuacion segunda, 2 = 0. lasfunciones t + 2 y t 2 son linealmente independientes en(,).

  • Ejemplo 5

    Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t 2 son linealmenteindependientes en (,) pues si existiesen unas constantesreales 1, 2 tales que t (,),

    1(t + 2) + 2(t 2) = 0, (2)se seguira

    t, 1t + 2t + 21 22 = 0,t, (1 + 2)t + (21 22) = 0.

    Por tanto, 1 + 2 = 0 y 2(1 2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {

    1 + 2 = 0,

    1 2 = 021 = 0; 1 = 0. De la ecuacion segunda, 2 = 0. lasfunciones t + 2 y t 2 son linealmente independientes en(,).

  • Ejemplo 5

    Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t 2 son linealmenteindependientes en (,) pues si existiesen unas constantesreales 1, 2 tales que t (,),

    1(t + 2) + 2(t 2) = 0, (2)se seguira

    t, 1t + 2t + 21 22 = 0,t, (1 + 2)t + (21 22) = 0.

    Por tanto, 1 + 2 = 0 y 2(1 2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {

    1 + 2 = 0,

    1 2 = 021 = 0; 1 = 0. De la ecuacion segunda, 2 = 0. lasfunciones t + 2 y t 2 son linealmente independientes en(,).

  • Ejemplo 5

    Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t 2 son linealmenteindependientes en (,) pues si existiesen unas constantesreales 1, 2 tales que t (,),

    1(t + 2) + 2(t 2) = 0, (2)se seguira

    t, 1t + 2t + 21 22 = 0,t, (1 + 2)t + (21 22) = 0.

    Por tanto, 1 + 2 = 0 y 2(1 2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {

    1 + 2 = 0,

    1 2 = 021 = 0; 1 = 0. De la ecuacion segunda, 2 = 0. lasfunciones t + 2 y t 2 son linealmente independientes en(,).

  • Ejemplo 6

    Estudiar la independencia lineal de las funciones t, e2t , te2t en(,). Supongamos que existan constantes reales 1, 2, 3tales que t R,

    1t + 2e2t + 3te2t = 0. (3)

    Dividiendo por e2t , queda