Ecuaciones algebraicas lineales

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Ecuaciones algebraicas lineales Captulo 9 Eliminacin de gauss9.1 Solucin de sistemas pequeos segn CHAPRAPara dos ecuaciones se puede obtener una solucin al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2. Debido a que en estos sistemas lineales, cada ecuacin se relaciona con una lnea recta, lo cual se ilustra fcilmente mediante las ecuaciones generales

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2En ambas ecuaciones se puede despejar x2:X2=-(a11/a12)x1+b1/b12X=-(a21/a22(x1+b2/b22De esta manera, las ecuaciones ahora estn en la forma de lneas rectas; es decir, x2 = (pendiente) x1 + interseccin. Tales lneas se grafican en coordenadas cartesianas con x2 como la ordenada y x1 como la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la interseccin de las lneas representa la solucin.EjemploEl mtodo grfico para dos ecuacionesPlanteamiento del problema. Con el mtodo grfico resuelva3x1 + 2x2 = 18 (E9.1.1)x1 + 2x2 = 2 (E9.1.2)Solucin. Sea x1 la abscisa. Despejando x2 de la ecuacin (E9.1.1)x x 2 1329la cual, cuando se grafica como en la figura 9.1, es una lnea recta con una interseccinen 9 y una pendiente de 3/2.

9.1 Solucion de sistemas pequeos segn garett willias Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan a diario en las ramas de la ingeniera, en aplicaciones matemticas de economa, administracin y hasta en las ciencias sociales.Una ecuacin lineal es aquella que puede escribirse de la forma:a1x1+a2x2++anxn=b donde el coeficiente ai y b, son nmeros reales o complejos, que son conocidos.Considere la ecuacin: X+3y=-4Denominada ecuacin lineal, que en el plano xy, representa una lnea. Sobre el mismo plano considere la siguiente ecuacin lineal: -2x+y=4Se requiere una solucin para estas dos ecuaciones, al escribirlas de la forma: x+3y=9 -2x+y=-4 Tenemos lo que se denomina sistema de ecuaciones. Para determinar la solucin del sistema de ecuaciones, es importante considerar que tiene tres posibilidades, ya sea que haya una solucin, que no haya ninguna o que exista un nmero indeterminado de soluciones.

Una solucin de un sistema de ecuaciones es aquella que al sustituir los valores en la ecuacin lineal, da afirmacin de que es verdadera, por ejemplo, al anterior sistema de ecuaciones una solucin es que x=3 y y=2. Al sustituir los valores en cada ecuacin, se tiene que: 3+3(2)=9 9=9 -2(3)+2=-4 -4=-4 donde se afirma que x=3 y y=2, son la solucin del sistema de ecuaciones.La relacin que tienen los sistemas de ecuaciones con las matrices es que se pueden representar en notacin matricial, retomando el ejemplo de nuestro sistema de ecuaciones que se denota como: x+3y=9 -2x+y=-4Al Tomar los coeficientes de cada variable y alinearlos en columnas, la matriz resultante se denomina matriz coeficiente y se escribe de la forma:

Note que se obtuvo una matriz de tipo cuadrada de n*n.Hay que considerar tambin los nmeros constantes, que son el resultado de cada ecuacin del sistema de ecuaciones y dan paso a la matriz aumentada, quedando denotada como:

Solucin de sistemas de ecuaciones pequeosSegn Howard Anton Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacin de la forma:

Una ecuacin de este tipo se denomina ecuacin lineal en las variables x y y. De manera ms general, una ecuacin lineal en la n variable se define como una ecuacin que se puede expresar en la forma:

Donde y b son constantes reales. Las variables en una ecuacin lineal algunas veces se denominan incgnitas.Ejemplo: las siguientes ecuaciones son lineales:

Una solucin de una ecuacin lineal es una sucesin de n nmeros de modo que la ecuacin se cumple cuando se sustituye . El conjunto de todas las soluciones de la ecuacin se denomina conjunto solucin o algunas veces, solucin general de la ecuacin.Ejemplo: encontrar el conjunto solucin de:(a) 4x-2y=1(b) X1-4x2+7x3=5Solucin a): para encontrar las soluciones, se asignan un valor cualquiera a x y se despeja y, o bien se elige un valor arbitrario para y y se despeja x. si se sigue el primer mtodo y a x se asigna un valor arbitrario t, se obtiene:x=t, y=2t-1/2Nota: estas expresiones describen el conjunto solucin en trminos de un parmetro t. las soluciones numricas particulares se pueden obtener al sustituir valores especficos de t. Por ejemplo: t=3 conduce a la solucin x=3, y=11/2, si t=-1/2 entonces: x=-1/2, y=-3/2. Si se sigue el segundo mtodo y a y se asigna el valor arbitrario t se obtiene:X=1/2t+1/4 y=tAunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto de solucin cuando t asume todos los nmeros reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anteriores se obtuvo la solucin x=3, y=11/2 cuando t=3.Solucin b): para encontrar el conjunto de solucin es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualquiera y despejar la tercera variable. En particular, si a x2 y x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene:X1=5+4s-7t x2=s x3=t

9.2 Eliminacion de gauss simple segn chapra

En la seccin anterior se utiliz la eliminacin de incgnitas para resolver un par de ecuaciones simultneas. El procedimiento consisti de dos pasos:1. Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las incgnitas de las ecuaciones.El resultado de este paso de eliminacin fue el de una sola ecuacin con una incgnita.2. En consecuencia, esta ecuacin se pudo resolver directamente y el resultado sustituirse atrs en una de las ecuaciones originales para encontrar la incgnita restante.Esta tcnica bsica puede extenderse a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un esquema sistemtico o algortmico para eliminar incgnitas y sustituir hacia atrs.La eliminacin de Gauss es el ms bsico de dichos esquemas.Esta seccin presenta las tcnicas sistemticas para la eliminacin hacia adelante y la sustitucin hacia atrs que la eliminacin gaussiana comprende. Aunque tales tcnicas son muy adecuadas para utilizarlas en computadoras, se requiere de algunas modificaciones para obtener un algoritmo confiable. En particular, el programa debe evitar la divisin entre cero. Al mtodo siguiente se le llama eliminacin gaussiana simple, ya que no evita este problema. En las siguientes secciones se vern algunas caractersticas adicionales necesarias para obtener un programa de cmputo efectivo.El mtodo est ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 (9.12a)a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 (9.12b) an1x1 + an2x2 + an3x3 + + annxn = bn (9.12c)Como en el caso de dos ecuaciones, la tcnica para resolver n ecuaciones consiste en dosfases: la eliminacin de las incgnitas y su solucin mediante sustitucin hacia atrs.Eliminacin hacia adelante de incgnitas. La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior (figura 9.3). El paso inicial ser eliminar la primera incgnita, x1, desde la segunda hasta la n-sima ecuacin. Para ello, se multiplica la ecuacin (9.12a) por a21/a11 para obtener

A21x1+(a21/a11)a12x2++(a21/x11)a1nxn=(a21/x11)b1

Ahora esta ecuacin se resta (9.12b)para dar

(A22-(a21/a11)a12)x2++(a2n-(a21/a11)xn)xn=b2-(a21/a11)b1

EJEMPLO Eliminacin de Gauss simplePlanteamiento del problema. Emplee la eliminacin de Gauss para resolver3x1 0.1x2 0.2x3 = 7.85 (E9.5.1)0.1x1 + 7x2 0.3x3 = 19.3 (E9.5.2)0.3x1 0.2x2 + 10x3 = 71.4 (E9.5.3)Efecte los clculos con seis cifras significativas.Solucin. La primera parte del procedimiento es la eliminacin hacia adelante. Se multiplica la ecuacin (E9.5.1) por (0.1)/3 y se resta el resultado de la ecuacin (E9.5.2) para obtener7.00333x2 0.293333x3 = 19.5617Despus, se multiplica la ecuacin (E9.5.1) por (0.3)/3 y se resta de la ecuacin (E9.5.3) para eliminar x1. Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de ecuaciones es3x1 0.1x2 0.2x3 = 7.85 (E9.5.4)7.00333x2 0.293333x3 = 19.5617 (E9.5.5)0.190000x2 + 10.0200x3 = 70.6150 (E9.5.6)Para completar la eliminacin hacia adelante, x2 debe eliminarse de la ecuacin(E9.5.6). Para llevar a cabo esto, se multiplica la ecuacin (E9.5.5) por 0.190000/7.00333 y se resta el resultado de la ecuacin (E9.5.6). Esto elimina x2 de la tercera ecuacin y reduce el sistema a una forma triangular superior:3x1 0.1x2 0.2x3 = 7.85 (E9.5.7)7.00333x2 0.293333x3 = 19.5617 (E9.5.8)10.0200x3 = 70.0843 (E9.5.9)Ahora se pueden resolver estas ecuaciones por sustitucin hacia atrs. En primer lugar, de la ecuacin (E9.5.9) se despeja x3

x3=70 0843/10 02007 00003 . (E9.5.10)

Este resultado se sustituye en la ecuacin (E9.5.8):7.00333x2 0.293333(7.00003) = 19.5617de la que se despeja

x2=19 5617 +0 293333 (7 00003)/7 003332 50000 (E9.5.11)

Por ltimo, las ecuaciones (E9.5.10) y (E9.5.11) se sustituyen en la (E9.5.4):3x1 0.1(2.50000) 0.2(7.00003) = 7.85de la que se despeja x1,

x1=7. 85 +0.1( 2 50000)+ .2(7 00003)/33 00000 Aunque hay un pequeo error de redondeo en la ecuacin (E9.5.10), los resultados son muy cercanos a la solucin exacta, x1 = 3, x2 = 2.5 y x3 = 7. Esto se verifica al sustituir los resultados en el sistema de ecuaciones orig