CALCULO DIFERENCIAL

Trabajo Colaborativo No. 3

Presenta

LUIS ALCIDES JARAMILLO

ANA ROSA JOAQUI

NESTOR JESUS BARON DURAN

Tutor

FREDDY VALDERRAMA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

Noviembre de 2013

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INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de este trabajo colaborativo se aplica el concepto DERIVADAS

y sus aplicaciones para una función, estudiando particularmente las

propiedades de las derivadas. Basados en el material de estudio ofrecido en el

curso.

Para calcular la derivada de primer orden y de orden superior se recurre al uso

de diferentes fórmulas las cuales se aplican según sea el caso, como producto,

cociente, funciones simples y compuestas, funciones polinómicas,

trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Una de las aplicaciones prácticas es el cálculo de límites cuando se presenta

indeterminación y para lo cual se utiliza la regla de L’Hopital.

Otra aplicación es en la economía para encontrar los costos mínimos, para lo

cual se hace uso de los conocimientos sobre máximos y mínimos de acuerdo

con los criterios de la primera y segunda derivadas.

3

FASE 1

1.- Halle la recta tangente a la curva:

𝑦 =1

𝑥 − 1; 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (2,1)

Solución.

Lo primero es calcular la derivada.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑 𝑥 − 1 −1

𝑑𝑥= − 𝑥 − 1 −2 = −

1

𝑥 − 1 2

Para el caso la pendiente es el valor de la derivada en el punto x=2.

𝑚 = −1

2 − 1 2= −

1

1= −1

La ecuación de la recta es:

𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑏; 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = −1, 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 1

O sea:

𝑦 = −1 𝑥 − 2 + 1 = −𝑥 + 3

Por lo tanto la ecuación buscada es:

𝑦 = −𝑥 + 3

2.-

𝑆𝑖 𝑕 𝑥 =𝑥

𝑥;𝑕𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑕′′(4)

Solución.

Primero organizamos la función 𝑕 𝑥 =𝑥

𝑥

𝑕 𝑥 =𝑥

𝑥=

𝑥

𝑥12

= 𝑥 ∗ 𝑥−12 = 𝑥1−

12 = 𝑥

12

Derivamos la función a partir de 𝑕 𝑥 = 𝑥1

2

𝑕′(𝑥) =1

2𝑥

12−1 =

1

2𝑥−

12

4

Volvemos a derivar a partir de 𝑕′(𝑥) =1

2𝑥−

1

2

𝑕′′ 𝑥 = −1

2

1

2 𝑥−

12−1 = −

1

4𝑥−

32

𝑕′′(𝑥) = −1

4𝑥32

=1

4 𝑥3

Evaluamos la segunda derivada en x=4

𝑕′′ 4 = −1

4 43=

1

4 64= −

1

4(8)= −

1

32

Así la segunda derivada evaluada en x=4 es:

𝒉′′ 𝟒 = −𝟏

𝟑𝟐

3.- Hallar la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2(2𝑥)

Solución.

Para resolver esta derivada hay que aplicar el concepto de REGLA DE LA

CADENA ya que es una función compuesta, primero derivando respecto de la

potencia, luego derivando la función trigonométrica y derivando internamente

el ángulo doble se tiene:

𝑓′(𝑥) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∗ cos 2𝑥 . 2

Organizando la expresión tenemos que:

𝒇′ 𝒙 = 𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 ∗ 𝐜𝐨 𝐬 𝟐𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙)

5

FASE 2.

4.- Halle la derivada de las siguientes funciones.

𝑓 𝑥 =ln𝑥7

ln𝑥3

Solución.

Antes de derivar, conviene simplificar la función aplicando propiedades de los

logaritmos.

𝑓 𝑥 =ln 𝑥7

ln 𝑥3=

7 ln𝑥

3 ln𝑥=

7

3

Puesto que la función es constante su derivada es cero.

𝑓′ 𝑥 = 0

5.-

𝑓 𝑥 =𝑥

𝑒𝑥

Solución.

Para resolver esta derivada hay que aplicar la definición de la derivada de un

cociente, el cual es:

𝑐′ 𝑥 =𝑔 𝑥 ∗ 𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔′(𝑥)

𝑔2(𝑥)

Donde para este caso

𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥

Aplicando la definición se tiene:

𝑓′(𝑥) =1 𝑒𝑥 − 𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2=

𝑒𝑥 1 − 𝑥

𝑒2𝑥=

1 − 𝑥

𝑒𝑥

Por lo tanto:

𝑓′(𝑥) =1 − 𝑥

𝑒𝑥

6

6.- Hallar la tercera derivada de:

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥

Solución.

La primera derivada corresponde a un producto.

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑒𝑥 .1

𝑥= 𝑒𝑥 ln𝑥 +

𝑒𝑥

𝑥

La segunda derivada corresponde a un producto y a un cociente.

𝑓′′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑒𝑥 .1

𝑥+𝑒𝑥 . 𝑥 − 𝑒𝑥 . 1

𝑥2= 𝑒𝑥 ln𝑥 +

𝑒𝑥

𝑥+𝑒𝑥

𝑥−𝑒𝑥

𝑥2= 𝑒𝑥 ln 𝑥 +

2𝑒𝑥

𝑥−𝑒𝑥

𝑥2

Continuando de la misma forma se encuentra la tercera derivada.

𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑒𝑥 .1

𝑥+

2𝑒𝑥 . 𝑥 − 2𝑒𝑥 . 1

𝑥2−𝑒𝑥 . 𝑥2 − 𝑒𝑥 . 2𝑥

𝑥4

= 𝑒𝑥 ln 𝑥 +𝑒𝑥

𝑥+

2𝑒𝑥 . 𝑥

𝑥2−

2𝑒𝑥

𝑥2−𝑒𝑥 . 𝑥2

𝑥4+

𝑒𝑥 . 2𝑥

𝑥4= 𝑒𝑥 ln𝑥 +

𝑒𝑥

𝑥+

2𝑒𝑥

𝑥−

2𝑒𝑥

𝑥2−𝑒𝑥

𝑥2+

2𝑒𝑥

𝑥3

= 𝑒𝑥 ln 𝑥 +3𝑒𝑥

𝑥−

3𝑒𝑥

𝑥2+

2𝑒𝑥

𝑥3= (ln𝑥 +

3

𝑥−

3

𝑥2+

2

𝑥3). 𝑒𝑥

Por tanto:

𝑓′′′(𝑥) = (ln𝑥 +3

𝑥−

3

𝑥2+

2

𝑥3). 𝑒𝑥

7

FASE 3

7.- Usando la regla de L’Hopital halle el siguiente límite:

𝐿𝑖𝑚𝑥→0

cos 𝑥 − 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Solución.

El teorema de la regla de L’Hopital dice lo siguiente:

Sean Las funciones f(x) y g(x) derivables en el intervalo abierto (a, b). Sea un

valor c que pertenece al intervalo (a, b). Asumiendo que g’(x) ≠ 0 para todo x

en dicho intervalo.

𝑆𝑖 lim𝑥→𝑜 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) =

0

0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, lim𝑥→𝑜

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑜

𝑓´(𝑥)

𝑔´(𝑥)

El reemplazo directo produce indeterminación.

𝐿𝑖𝑚𝑥→0

cos 𝑥 − 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥=

𝑐𝑜𝑠0 − 1

𝑠𝑒𝑛 0=

1 − 1

0=

0

0

Aplicando el teorema de L’Hopital:

𝐿𝑖𝑚𝑥→0

cos 𝑥 − 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥= 𝐿𝑖𝑚𝑥→0

−sen 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥=

−𝑠𝑒𝑛(0)

cos(0)=

0

1= 0

Por tanto

𝐿𝑖𝑚𝑥→0

cos𝑥 − 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥= 0

8

8.- Usando la regla de L’Hopital halle el siguiente límite:

𝐿𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 𝑥 − 2

Solución.

La sustitución directa produce indeterminación:

𝐿𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 𝑥 − 2=

22 + 2(2) − 8

22 − 2 − 2=

0

0

Como en el ejercicio anterior puede aplicarse el teorema de L’Hopital.

𝐿𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 𝑥 − 2= 𝐿𝑖𝑚𝑥→2

2𝑥 + 2

2𝑥 − 1=

2 2 + 2

2 2 − 1=

6

3= 2

Por tanto:

𝐿𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 𝑥 − 2= 2

9

9.- Derivadas implícitas.

Hallar la derivada con respecto a x de:

𝑒𝑥 − 𝑒𝑦 = 𝑥 − 𝑦

Solución.

Aplicando la regla de la cadena para derivar “y” respecto a “x”.

𝑒𝑥 − 𝑒𝑦 .𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 −

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Trasladando términos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑒𝑦 .

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 − 𝑒𝑥

Factorizando:

𝑑𝑦

𝑑𝑥(1 − 𝑒𝑦) = 1 − 𝑒𝑥

Finalmente:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1 − 𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑦

10

10.- . En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento.

¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de

ese pedido sea el mínimo?

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝐶 𝑥

𝐶𝑇 𝑥 =100.000.000

𝑥+ 100𝑥 + 50

Solución.

El problema se resuelve calculando primero el punto crítico, para lo cual se

debe igualar a cero la derivada.

𝐶′𝑇 𝑥 = −100.000.000

𝑥2+ 100 = 0

Trasladando términos:

100𝑥2 = 100.000.000

𝑥2 = 1.000.000

𝑥 = 1.000

Para determinar si se trata del valor mínimo recurro a la segunda derivada.

𝐶′′𝑇 𝑥 =200.000.000

𝑥3

𝐶′′𝑇 1000 =200.000.000

10003=

2

10> 0,𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜.

Finalmente obtenemos el costo de los 1000 bultos de cemento:

𝐶𝑇 1000 =100.000.000

1000+ 100 1000 + 50 = 200.050

Por tanto la cantidad de bultos de cemento que se deben pedir a la fábrica son

1000 y tendrán un costo mínimo de 200050 pesos.

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CONCLUSIONES

Es de vital importancia entender el concepto de derivadas de una

función, ya que este nos permite entender muchos problemas cotidianos

en los se encuentra implicado varias variables con las que hay que

interactuar.

Es importante tener una buenas bases en el área de la algebra y

trigonometría para lograr entender de manera más fácil y rápida todos

con conceptos relacionados con el cálculo diferencial.

Durante el desarrollo de esta actividad se pudo reconocer la importancia

del cálculo diferencial y especialmente de del conocimiento y manejo de

las derivadas para solucionar problemas que se presentan en las

diferentes áreas del conocimiento y de la vida cotidiana misma.

Gracias a los aportes significativos presentados por cada integrante del

grupo colaborativo se puedo concluir con éxito la entrega del mismo.

12

REFERENCIAS

Rondón Duran, Jorge Eliecer. (2011) Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e

Ingeniería. Calculo Diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

Bogotá D.C.

Duran, J. E., & Camacho, F. O. (2006).

http://66.165.175.239/campus09_20132/mod/resource/view.php?inpopup=tru

e&id=47369. Recuperado el 19 de Octubre de 2013, de Universidad Nacional a

Distancia.