10412-265 Trabajo Colaborativo2 ecuaciones diferenciales
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FASE 2 – UNIDAD 2 PRESENTADO POR: ELVA MILENA ROBAYO CÓDIGO: 46455007 OLGA LUCIA SOSA PRESENTADO A: ADRIANA GRANADOS COMBA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD 2015
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Colaborativo2 ecuaciones diferenciales
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FASE 2 – UNIDAD 2
PRESENTADO POR:
ELVA MILENA ROBAYO
CÓDIGO: 46455007
OLGA LUCIA SOSA
PRESENTADO A:
ADRIANA GRANADOS COMBA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD 2015
1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas. a. Homogénea coeficientes constantes
Las raíces
Se tienen 2 soluciones distintas m1 y m2 entonces: Solución general
Queda
b. Homogénea coeficientes constantes
Las raíces
Discriminante =0
Solución general
Queda
Ecuación Lineal Homogénea
Ecuación lineal homogénea
(Ecuación auxiliar)
=
Ecuación solución
1
1
1
4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes
indeterminados:
SOLUCION:
La solución de esta ecuación diferencial ests dada por:
Primero hallemos
La ecuación característica es:
Las soluciones son:
La solución es:
Entonces:
Ahora hallemos
Como
Sea:
Entonces:
Reemplazando:
Se tiene que:
Y que:
Reemplazando A:
Entonces:
La solución es:
5. Determine un operador diferencial que anule a:
a)
b)
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
x2y’’+ xy’+y=0
Tomando inicialmente
Reemplazando en la ecuación
Por propiedades de la potenciación simplificamos
Con factor común
Resolvemos:
La solución general queda
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica
una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de
amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la
masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo
transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?
SOLUCION
Como es un caso de movimiento sin amortiguación, la ecuación diferencial es:
La ecuación característica es:
De modo que:
Entonces:
La ecuación de movimiento es de la forma:
Sabemos que
Empleando la ley de Hooke:
Entonces:
Por lo tanto:
Por otra parte, como:
y
Se tiene que:
Por lo tanto:
Luego la ecuación de movimiento es:
y
Como las condiciones iniciales son:
Se tiene:
Y:
Entonces la ecuación de movimiento es:
Para expresar la solución en forma senoidal, hacemos:
Entonces:
Con
Por lo tanto:
La amplitud es
El periodo es:
Y la frecuencia natural:
Finalmente, el tiempo que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa
por la posición de equilibrio es:
