Derivadas. Aplicaciones

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Analysis Aplicaciones de las Derivadas OpenUepc.com 1.1.4.6.2 Ver 01:08/02/2010
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Aplicaciones de la derivada Optimizacion Representacion de funciones

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  • Analysis Aplicaciones de las Derivadas

    OpenUepc.com 1.1.4.6.2 Ver 01:08/02/2010

  • NOTA

    La clasificacin decimal de todos los temas de este manual tienen implcito el comienzo 1.1.4.6.2 correspondiente a

    1 SCIENCE

    1.1 MATHEMATICS

    1.1.4 ANALYSIS

    1.1.4.6.2 APLICACIONES DERIVADA

    COPYRIGHT

    Este material as como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los trminos y condiciones definidos en Open Publication License versin 1.0 o posterior (La versin ms reciente est disponible en http://www.opencontent.org/openpub/).

    El contenido est sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didctico y solo pretende la universalizacin de la cultura. Est escrito en base a la colaboracin de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribucin del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente.

    Miguel Prez Fontenla [email protected]

    INDICE AUTORES

    Iniciado por: Miguel Prez Fontenla

    26/01/2010

  • +

    | 1

    TABLA DE CONTENIDO

    INTRODUCCIN ................................................................................................................ 2

    Aplicaciones ...................................................................................................................... 2 Objetivos Mnimos ............................................................................................................ 2

    CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN .............................................. 4 Definicin: Funcin creciente ............................................................................................ 4 Definicin: Funcin decreciente ........................................................................................ 4 Mximos y mnimos de una funcin .................................................................................. 6

    CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD ..................................................................................... 8 Teorema de Rolle ............................................................................................................ 11 Teorema del Valor Medio ................................................................................................ 12 Teorema del valor medio generalizado............................................................................. 12 Regla de L'Hopital ........................................................................................................... 13

    Resolucin de indeterminaciones ................................................................................. 16 REPRESENTACIN DE FUNCIONES ............................................................................. 21 OPTIMIZACION ................................................................................................................ 21 APROXIMACIN LINEAL Y NOTACIN DIFERENCIAL ............................................ 26

  • +

    | INTRODUCCIN 2

    INTRODUCCIN

    Aplicaciones

    Objetivos Mnimos

  • +

    | INTRODUCCIN 3

  • +

    | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN 4

    CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN

    Definicin: Funcin creciente

    Acabamos de estudiar el concepto de derivada 0 000

    ( ) ( )' limh

    f x h f xf xh

    Por otro lado, cuando estudiamos el concepto de funcin real y sus caractersticas definimos funciones montonas, tanto crecientes como decrecientes y tanto en forma local como global. Recordamos aqu ambas definiciones.

    Una funcin : , / ( )f a b y f x es montona creciente en un intervalo (a,b) si y solo si para cualquier par de valores x1 y x2 se tiene que 1 2 1 2, ( ) ( )x x a b f x f x

    Una funcin : , / ( )f a b y f x es creciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la funcin es creciente lo que equivale a decir que

    f creciente en x0 0 0 0 0 0 0x h x x h f x h f x f x h 0 00 00 0 0

    f x h f xh f x h f x

    h

    , tanto por la izquierda como por la

    derecha.

    Definicin: Funcin decreciente

    Una funcin : , / ( )f a b y f x es decreciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la funcin es creciente lo que equivale a decir que

    f decreciente en x0 0 0 0 0 0 0x h x x h f x h f x f x h 0 00 00 0 0

    f x h f xh f x h f x

    h

    , tanto por la izquierda como por la

    derecha.

    Otra definicin rpida de definir rigurosamente una funcin f decreciente, sin haber repetido todo el razonamiento, sera haber dicho simplemente:

    f decreciente en x0 -f es creciente en x0

  • +

    | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN 5

    Vamos a concluir con una proposicin que resuma lo expuesto

    Proposicin 1: Monotona

    Sea : , / ( )f a b y f x una funcin derivable y sea x0(a, b), entonces :

    f '(x0) > 0 f es creciente en x0.

    f '(x0) < 0 es decreciente en x0.

    Crecimiento Convexo

    Crecimiento Cncavo

    Decrecimiento convexo

    Decrecimiento Cncavo

    f(x) = x2 ( )f x x ( )f x x f(x) = - x2

    f (x) > 0 f (x) > 0

    f (x) > 0 f (x) < 0

    f (x) < 0 f (x) > 0

    f (x) < 0 f (x) < 0

    Proposicin 2

    Sea : , / ( )f a b y f x una funcin derivable en x0(a,b) y creciente (decreciente). Entonces f '(x0) 0 ( f'(x0) 0 ).

    Los resultados anteriores llevan el signo no el de equivalencia ; lo que equivale a decir que la condicin no es suficiente, es decir puede ocurrir que una derivada valga 0 y la funcin f no sea creciente o decreciente.

    Ejemplo

    La derivada de la funcin f(x) = x3 es f (x) = 3x2 y en el punto x0 = 0 vale 0, y sin embargo la funcin f es creciente en 0.

    Si en las anteriores frmulas cambiamos el signo ( ) por el signo > ( < ) obtenemos la definicin de estrctamente creciente y decreciente.

    f estrictamente creciente en x0 f(x0) > 0 f estrictamente decreciente en x0 f(x0) < 0

    En este caso s se verifica la suficiencia, es decir, si la derivada es positiva ( o negativa) seguro que f es estrctamente creciente (decreciente).

  • +

    | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN 6

    En resumen :

    f creciente en x0 f(x0) 0 f decreciente en x0 f(x0) 0 f(x0) > 0 f estrctamente creciente f(x0) < 0 f estrctamente decreciente f(x0) = 0 No se sabe

    En el caso que la derivada sea cero el proceso que seguiremos ser dar valores prximos al punto x0 y observar el comportamiento de la funcin.

    Mximos y mnimos de una funcin

    Definicin: Mximo relativo

    Se dice que una funcin : , / ( )f a b y f x tiene un mximo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x) f(x0). Dicho en lenguaje matemtico:

    f tiene un mximo en x0 [ h>0/xE(x0, h) f(x) f(x0) ] Definicin: Mnimo relativo

    Anlogamente, se dice que una funcin : , / ( )f a b y f x tiene un mnimo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x) f(x0). Dicho en lenguaje matemtico:

    f tiene un mnimo en x0 [ h>0/xE(x0, h) f(x) f(x0) ] Proposicin 1

    Sea : , / ( )f a b y f x una funcin continua y sea x0(a,b) de forma que f es derivable en un entorno de x0 (x0-,x0+) contenido en I salvo quizs x0

    Si f presenta un mximo (o un mnimo) en x0 entonces f '(x0) = 0.

    Demostracin

    Es inmediata, pues si f (x0) 0 entonces la funcin sera estrictamente creciente o decreciente en ese punto.

    Proposicin 2

    Sea : , / ( )f a b y f x una funcin continua y sea x0(a,b) de forma que f es derivable en un entorno de x0 tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0) 0. Entonce si:

    f ''(x0)>0 x0 es mnimo relativo. f ''(x0)

  • +

    | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN 7

    Proposicin 3

    Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0). En estas condiciones :

    "La condicin necesaria y suficiente para que f presente en x0 un mximo o mnimo relativo es que "n" sea par. Adems si f n) (x0) < 0 ( > 0 ) ser un mximo (mnimo) relativo."

    Adems si "n" es impar existe un punto de inflexin de tangente horizontal.

    En el caso del mximo si a la izquierda es creciente ( derivada primera positiva ) y a la derecha decreciente ( derivada primera negativa ) entonces :

    0 0 0 00 0 0 0

    '( ) '( ) '( ) 0 '( )''( ) lim lim limh h h

    f x h f x f x h f x hf xh h h

    Por la izquierda h

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 8

    CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

    Definicin: Concavidad

    Primera forma

    Una funcin se dice cncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la grfica queda por encima de la grfica.

    Segunda forma

    Una funcin f es cncava en el punto x0 cuando la tangente a la grfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la grfica de la funcin.

    Tercera forma

    Se dice que una funcin ese cncava en un punto cuando la funcin derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

    f cncava en x0 [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) f '(x0) f '(x0+h) ] Definicin: Convexidad

    Primera forma

    Una funcin se dice cncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la grfica queda por debajo de la grfica.

    Segunda forma

    Una funcin f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la grfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la grfica de la funcin.

    Tercera forma

    Se dice que una funcin es convexa en un punto cuando la funcin derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

    f convexa en x0 [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) f '(x0) f '(x0+h) ]

    Proposicin 1

    a) Si una funcin f es tal que x (a,b) f''(x) >0 entonces f es cncava hacia arriba en (a,b)

    b) Si una funcin f es tal que x (a,b) f''(x)

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 9

    f cncava en x0 [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) f '(x0) f '(x0+h) ]

    Si sustituimos en la definicin de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda

    que 0 0'( ) '( ) 0f x h f x

    h

    Por lo tanto si la funcin es cncava la derivada segunda es mayor o igual que cero .

    Lo contrario no tiene por qu ser cierto .

    b)

    f convexa en x0 [ x0-h < x0 < x0+h f '(x0-h) f '(x0) f '(x0+h) ]

    Si sustituimos en la definicin de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda

    que 0 0'( ) '( ) 0f x h f x

    h

    Por lo tanto si la funcin es convexa la derivada segunda es menor o igual que cero

    Lo contrario no tiene por qu ser cierto .

    En resumen:

    f (x0) > 0 f cncava en x0 f (x0) < 0 f convexa en x0 f (x0) = 0 No se sabe

    Si la derivada segunda es 0 debemos de estudiar en los alrededores del punto a ver que es lo que hace la derivada primera .

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 10

    Definicin: Punto de inflexin

    Se dice que una funcin : , / ( )f a b y f x tiene un punto de inflexin en un punto x0 cuando la funcin pasa de ser cncava hasta ese punto a ser convexa a partir de l o al revs.

    Si (x0, f(x0)) es un punto de inflexin entonces la recta tangente en ese punto atraviesa la grfica.

    Proposicin 1

    Si x0 es punto de inflexin entonces f''(x0)=0

    Demostracin

    Es inmediato, porque en otro caso la funcin sera cncava o convexa

    Proposicin 2

    Sea x0 / f ''(x0) = 0, entonces si adems f '''(x0) 0 x0 es punto de inflexin.

    Demostracin

    Supongamos que por la izquierda es cncava y por la derecha es convexa , entonces :

    0 0 0 00 0 0 0

    ''( ) ''( ) ''( ) 0 ''( )'''( ) lim lim limh h h

    f x h f x f x h f x hf xh h h

    Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) > 0 luego f '''(x0) < 0 Por la derecha h > 0 y f ''(x0+h) < 0 luego f '''(x0) < 0

    Por lo tanto f '''(x0) < 0

    Si por la izquierda es convexa y por la derecha cncava :

    Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) 0

    Por lo tanto f '''(x0) > 0

    En consecuencia si f '''(x0) 0 hay un punto de inflexin ya que pasar de cncava a convexa o al revs .

    En resumen :

    f (x0) 0 f tiene punto de inflexin en x0 f (x0) = 0 No se sabe

    Si f '''(x0) = 0 para averiguarlo debemos ver como vara la derivada segunda en los alrededores del punto.

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 11

    Tambin pudiera ocurrir que se anulasen las n primeras derivadas en un punto y nosotros quisiesemos saber si se trata de un mnimo, un mximo un punto de inflexin. Ene ste caso tenemos que seguir derivando hasta encontrar la primera derivada f n)no nula y, si el orden n resultase impar sera punto de inflexin y en caso n par un mximo o un mnimo segn la siguiente tabla resumen:

    f (x0) = 0, f (x0) = 0, f (x0) = 0.... No se sabe f n) (x0) 0 , n par f n) (x0) < 0 x0 Mximo f n) (x0) > 0 x0 Mnimo f n) (x0) 0 , n impar x0 Punto de Inflexin

    Teorema de Rolle

    Sea la funcin continua : , / ( )f a b y f x y derivable en (a,b), con f(a) = f(b).

    Entonces c(a,b) / f (c) = 0.

    Demostracin

    Si f es continua en [a,b] por el teorema de Weirerstrass alcanza su mximo y su mnimo en el intervalo [a,b]

    Se pueden distinguir tres casos

    Caso 1

    El mximo y el mnimo se alcanzan en los extremos del intervalo f(a) y f(b) f es constante en [a,b] f (c) = 0 c[a,b]

    Caso 2

    La funcin alcanza un mximo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la funcin es derivable entonces f (c) = 0

    Caso 3

    La funcin alcanza un mnimo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la funcin es derivable entonces f (c) = 0

    Caso 1 Caso 2 Caso 3

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 12

    Teorema del Valor Medio

    Sea la funcin continua : , / ( )f a b y f x y derivable en (a,b).

    Entonces c(a,b) / ( ) ( )'( ) f b f af c

    b a

    Demostracin

    Consideramos los puntos de la funcin que pasan por los extremos del intervalo (a,f(a)) y (b,f(b)). La ecuacin punto-pendiente de la recta que une estos dos puntos es

    ( ) ( ) ( ) ( ): ( ) ( )f b f a f b f ar y f a x a y x a f ab a b a

    Consideramos la funcin ( ) ( ): , / ( ) ( ) ( )f b f ag a b g x f x x a f ab a

    que

    mide la distancia entre la grfica de la funcin f y la recta r que acabamos de definir.

    Esta funcin g resulta continua en [a,b] y derivable en (a,b) verificndose, adems, que g(a) = g(b) = 0 por lo que, aplicando el teorema de Rolle , obtenemos que c(a,b) / g (c) = 0

    Pero la derivada de g(x) es ( ) ( ) ( ) ( )'( ) '( ) 0 '( )f b f a f b f ag x f x f cb a b a

    c.q.d.

    Teorema del valor medio generalizado (Teorema de Cauchy)

    Vamos a generalizar el resultado anterior de forma que podramos considerarlo un corolario de ste que vamos a demostrar ahora en el caso que g sea la funcin identidad g(x) = x.

    Sean dos funciones continuas , : ,f g a b verificando que:

    i. f, g son derivables en (a,b) ii. g(a) g(b)

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 13

    Entonces existe algn punto c(a,b) /

    '( ) ( ) ( ), /'( ) ( ) ( )

    f c f b f ac a bg c g b g a

    Demostracin

    Definimos la funcin

    : ,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    h a b

    x h x f x g b g a g x f b f a

    Veamos que esta funcin verifica las condiciones del teorema de Rolle

    h es una funcin continua en [a,b] ya que lo son f y g. h es una funcin derivable en (a,b) ya que lo son f y g. h(a) = h(b) pues:

    h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) f(b)g(a) h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] g(b)[f(b) - f(a)] = - f(b)g(a) + f(a)g(b)

    Por tanto, aplicando el Teorema de Rolle, c(a,b) / h (c) = 0.

    Pero

    '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ...'( ) ( ) ( )... '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0'( ) ( ) ( )

    h x f x g b g a g x f b f af c f b f ah c f c g b g a g c f b f ag c g b g a

    c.q.d.

    Regla de L'Hopital

    Sean dos funciones , : ,f g a b verificando que:

    i. f, g son derivables en (x0-h, x0+h)

    ii. 0 0lim ( ) lim ( ) 0x x x x

    f x g x

    iii. g'(x) 0 x(a,b)

    iv. Existe 0

    '( )lim'( )x x

    f xg x

    Entonces existe 0 0

    ( ) '( )lim lim( ) '( )x x x x

    f x f xg x g x

    Demostracin

    Primera demostracin L'Hopital 1661-1704

    Agustn Cauchy 1789-1857

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 14

    El siguiente argumento se puede tomar como una demostracin de la regla de L'Hpital, aunque en realidad, una demostracin rigurosa de la misma requiere de argumentos e hiptesis ms fuertes.

    Dado que 0 0

    0 0lim ( ) lim ( ) 0 ( ) ( ) 0x x x xf x g x f x g x entonces para a < x < b se puede

    escribir:

    0

    0 0

    00

    0

    ( ) ( )( ) ( )( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    f x f xf x f x x xf x

    g x g xg x g x g xx x

    . Y como f y g son derivables en el entorno de

    x0 se tiene que

    0

    0 0

    0

    0

    0 0

    0 0

    0

    ( ) ( )lim'( )( ) '( )lim lim( ) ( )( ) '( ) '( )lim

    x x

    x x x x

    x x

    f x f xx x f xf x f x

    g x g xg x g x g xx x

    Segunda demostracin

    Por hiptesis existe f '(x) y g '(x) en un E(x0,h)

    A f(x0) y g(x0) les adjudicamos el valor 0 en x0 porque si fuesen discontinuas en x0 sera una discontinuidad evitable, luego f(x0) = g(x0) = 0

    Supongo 0

    0 0'( ) '( )lim ( , ) ( , ) / ( , ) ( , )'( ) '( )x x

    f x f xb E b E x x E x E bg x g x

    Sea 0( , )x E x

    f y g son continuas en [x,x0] y derivables en (x,x0) => por el teorema del valor medio

    generalizado existe c(x,x0) /

    0

    0

    ( ) ( ) '( )( ) ( ) '( )

    f x f x f cg x g x g c

    0 0

    0'( ) ( ) ( ) '( )( , ) , , lim lim'( ) ( ) ( ) '( )x x x x

    f c f c f x f xc E x E b E b bg c g c g x g x

    c.q.d

    Demostracin Rigurosa (REVISARLA. No est bien. Fuente : Funciones de variable real. USC Pag 120. Problemas con las notaciones)

    Consideremos los nmeros reales m,n,p,q y sea 0

    '( )lim'( )x x

    f xLg x

    entonces.....

    0 0 0'( )( , ) / ( , )'( )

    f xc x x h p x x cg x

    Si x < y < c, aplicando el Teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 15

    ( ) ( ) '( ')' ( , ) /( ) ( ) '( ')

    f x f y f xx x y pg x g y g x

    (1)

    Como adems

    0 00

    ( )lim ( ) lim ( ) 0 ( , )( )x x x x

    f yf x g x p q y x cg y

    (2)

    Por un razonamiento anlogo obtenemos que

    0 1( ) ( , )( )

    f y n m y x cg y

    (3)

    De (2) y (3) se tiene que

    0 0( ) , ( , )( )

    f xm q p q p L q x x x hg x

    Con lo cual 0

    ( )lim( )x x

    f x Lg x

    Consideremos ahora el caso cuando 0 0

    lim ( ) lim ( )x x x x

    f x g x

    Tomamos y tal que 0 1( ) ( , )( )

    f y n m y x cg y

    entonces

    ( ) ( ) ( )' ( , ) / 0 ( ) ( ) ( ) ( , ')( ) ( ) ( )

    f x f y g yc a y g x g x g y p p si x a cg x g x g x

    Calculando en (1) 0

    ( ) ( )lim '' ( , ') / ( , '')( ) ( )x x

    f x f xc a c x a c qg x g x

    De modo anlogo demostramos que 2( ) ( , )( )

    f xm x a cg x

    y de ambas deducimos que

    0

    '( )lim'( )x x

    f x Lg x

    Corolario

    La regla de LHopital es vlida para x0 un nmero real pero tambin para x0 = + y para x0 = -.

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 16

    Resolucin de indeterminaciones

    Con el Regla de LHopital se resuelven los siete casos de inderteminacin del calculo de limites: 0/0 , / , - , 0 * , 1 , 0 y 00. El proceso consiste en transformar cualquier indeterminacin a una de la forma 0/0. Veamos un ejemplo de cada caso:

    Ejemplo 1

    0

    sin 0lim0x

    xx

    Solucin

    Este lmite ya ha sido comentado en lmites de funciones y all se resolvi citando la regla de LHopital, sin haberla demostrado. Ahora el resultado es inmediato:

    0 0

    '

    0sin cos 1lim lim 10 1 1x x

    L Hopital

    x xx

    Ejemplo 2

    2

    31

    2 1 0lim1 0x

    x xx

    Solucin

    Hasta ahora, este lmite lo resolvimos mediante la descomposicin factorial de ambos polinomios y simplificando despus de la siguiente forma

    22

    3 2 2 21 1 1

    1 1 1 12 1 0lim lim lim 01 31 1 1 1 1 1x x x

    x xx xx x x x x x

    Mediante la Regla de LHopital podemos hacerlo ms cmodamente:

    '22

    '3 2 21 1 13

    '

    2 102 1 2 2 2 1 2 0lim lim lim 001 3 3 1 31x x x

    L Hopital

    x xx x xx xx

    Ejemplo 3

    0

    2 0limsin 0

    x x

    x

    e e xx x

    Solucin

    La regla de lhopital la podemos aplicar sucesivamente mientras las funciones sean continuas y derivables, as

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 17

    0 0 0 0

    ' ' '

    0 0 02 2 2lim lim lim lim 20 0 0sin 1 cos sin cos 1

    x x x x x x x x

    x x x x

    L Hopital L Hopital L Hopital

    e e x e e e e e ex x x x x

    Ejemplo 4

    3

    lnlimx

    xx x

    Solucin

    3 2 3

    '

    ln 1/ 1lim lim lim 03 1 3x x x

    L Hopital

    x xx x x x x

    Ejemplo 5

    1

    lim 1 ln 1 0x

    x x

    Solucin

    1 1 1 1

    2'

    1ln 1 1lim 1 ln 1 lim lim lim 1 01 1

    1 1x x x x

    L Hopital

    x xx x x

    x x

    Ejemplo 6

    0

    1 1limsinx x x

    Solucin

    0 0 0 0

    ' '

    0 01 1 sin cos 1 sin 0lim lim lim lim 00 0sin sin sin cos 2cos sin 2x x x x

    L Hopital L Hopital

    x x x xx x x x x x x x x x

    Ejemplo 7

    2limx x x x Solucin

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 18

    2 2 2

    2

    2lim lim limx x x

    x x x x x x xx x x

    x x x

    2x 2

    2

    2 2

    2'

    ...

    1 2 2 1... lim lim lim2 2 22 1 2 2 11

    2

    x x x

    L Hopital

    x

    x x x

    x x xxx x x x x xx x

    Ejemplo 8

    sin0

    lim 0xx

    x

    Solucin

    2

    sin

    0 0 0 0 0

    2' '

    0

    10ln sinln lim limsin ln lim lim lim ...1 cos 0cos

    sin sin2sin cos 0... lim 0

    cos sin 1 0

    x

    x x x x x

    L Hopital L Hopital

    x

    x xxx x x x x xx x

    x xx x x

    Y ahora, por las propiedades de los logaritmos, calculamos el lmite inicial:

    sin sin 00 0ln lim 0 lim 1x xx xx x e Ejemplo 9

    0

    lim cos 1xx

    x

    Solucin

    En lugar de calcular el lmite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese lmite

    0 0 0 0'

    sin0ln cos sin 0cosln lim cos lim lim lim 00 1 cos 1

    x

    x x x x

    L Hopital

    xx xxx

    x x

    Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el lmite inicial: 0

    0 0ln lim cos 0 lim cos 1x x

    x xx x e

    Ejemplo 10

    2 0lim 1xx

    x

    Solucin

    En lugar de calcular el lmite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese lmite

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 19

    2

    22

    '

    ln 1 2ln lim 1 lim lim 01

    x

    x x x

    L Hopital

    x xxx x

    Y aplicando las propiedades de los logaritmos calculamos el lmite inicial: 2 2 0

    0 0ln lim 1 0 lim 1 1x x

    x xx x e

    Ejemplo 11

    2

    20

    sin 3 0lim3 0x

    xx

    Solucin

    Tambin se puede aplicar sucesivamente la regla de LHopital si se vuelven a dar las hiptesis

    2

    20 0'

    sin 3 2lim lim3x x

    L Hopital

    xx

    sin 3 cos3 3x x

    6 2 2

    0'

    3cos 3 3sin 3 3 0lim 31 1x

    L Hopital

    x xx

    Ejemplo 12

    0

    lim sin cos 1xx

    x x

    Solucin

    En lugar de calcular el lmite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese lmite

    0 0 0 0'

    cos sin0ln sin cos cos sin 1sin cosln lim sin cos lim lim lim 10 1 sin cos 1

    x

    x x x x

    L Hopital

    x xx x x xx xx xx x x

    Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el lmite inicial:

    1

    0 0ln lim sin cos 0 lim sin cosx x

    x xx x x x e e

    Ejemplo 13

    2 13lim 1 1

    x

    x x

    Solucin

    Este lmite hemos aprendido a hacerlo sin LHopital cuando estudiamos el nmero e mediante una laboriosa serie de artificios. Veamos ahora otra forma de hacerlo aplicando la regla de LHopital. Calculamos el neperiano del lmite pedido:

  • +

    | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 20

    2 1

    '

    2 22

    2

    2

    3ln 03 3ln lim 1 lim 2 1 ln 1 lim ...1 02 1

    ( 3)3 2 1 12 12 33... lim lim lim 121 3 3

    2 1

    x

    x x x

    L Hopital

    x x x

    xxx

    x xx

    x x xx x xx x

    x x x xx

    Y calculamos ahora el lmite original: 2 1 2 1

    123 3ln lim 1 12 lim 1x x

    x xe

    x x

  • +

    | REPRESENTACIN DE FUNCIONES 21

    REPRESENTACIN DE FUNCIONES

    Con los resultados en esta unidad temtica, obtenemos un conjunto de herramientas de grandsima utilidad para representar funciones y obtener puntos y comportamientos de los que no disponamos cuando contemplamos la misma materia al estudiar funciones elementales.

    Ramas infinitas y Asntotas

    En el caso de que la funcin se comporte de forma indeterminada algunos puntos, podemos aplicar la regla de LHopital para resolver las indeterminaciones

    Monotona:

    f creciente en x0 f(x0) 0 f decreciente en x0 f(x0) 0 f(x0) > 0 f estrctamente creciente f(x0) < 0 f estrctamente decreciente f(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

    Extremos relativos

    f extremo en x0 f(x0) = 0 f (x0) > 0 f mnimo en x0 f (x0) < 0 f mximo en x0 f (x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

    Curvatura: Concavidad y convexidad

    f (x0) > 0 f cncava en x0 f (x0) < 0 f convexa en x0 f (x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

    Puntos de inflexin

    f (x0) 0 f tiene punto de inflexin en x0 f (x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

    Casos dudosos de primeras derivadas nulas

    f (x0) = 0, f (x0) = 0, f (x0) = 0.... No se sabe f n) (x0) 0 , n par f n) (x0) < 0 x0 Mximo f n) (x0) > 0 x0 Mnimo f n) (x0) 0 , n impar x0 Punto de Inflexin

  • +

    | OPTIMIZACION 22

    OPTIMIZACION

    Optimizar una funcin equivale a conseguir que una de las magnitudes que estn involucradas en ella se haga lo ms grande o lo ms pequea posible sujeta a unas determinadas condiciones prefijadas.

    Segn sea un problema de optimizar la cantidad ms grande ser un problema de encontrar el mximo de la funcin y si se trata de optimizar mediante la cantidad ms pequea ser un problema de encontrar el mnimo de la funcin.

    Vamos a exponer una coleccin de problemas de optimizacin que nos den una visin general.

    Ejemplo 1

    Se han adquirido 1200 metros de valla compuesta de alambre de espino para cercar un terreno rectangular donde queremos que paste el ganado. Si por uno de sus lados el terreno tiene un rio que no es necesario vallar, qu dimensiones debe tener el rectngulo para que el rea de pasto sea mxima?

    Solucin

    Se trata de encontrar un mximo para la funcin rea del rectngulo en funcin de su base x y su altura y. Dicha funcin rea es f (x,y)= xy , pero sabemos que el permetro, sin uno de sus lados, 2x + y, totalizar 1200 metros que es el total de valla que disponemos. Sustituyendo en la funcin rea resulta f(x) = x (1200 - 2x).

    Calculamos la derivada y comprobamos donde se anula:

    2 1200( ) 1200 2 '( ) 1200 4 1200 4 0 cuando 3004

    f x x x f x x x x

    Como la derivada segunda es f (x) = -4 < 0 el valor x = 300 es un mximo

    Entonces las dimensiones del rectngulo de rea mxima resultan las de un cuadrado de 300 metros de la lado.

    Ejemplo 2

    Supongamos que el consumo de cafs en la cafetera de un museo viene dado, en

    funcin del tiempo x transcurrido desde la apertura, por la funcin 3300( )

    2xf x

    x

    Podras calcular la hora de mayor consumo?

    Solucin

    Se trata de encontrar un mximo para la funcin f(x), por lo que calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

  • +

    | OPTIMIZACION 23

    3 2

    3 2 3 323

    3

    300 2 300 3'( ) 0 300 2 300 3 0 2 3 ...

    2

    ... 1 1

    x x xf x x x x x x

    x

    x x

    Por otra parte, la segunda derivada es

    ' '3 2 3

    2 23 3

    22 3 3 2 3

    43

    300 2 300 3 600 600''( ) ...2 2

    1800 2 2 2 3 600 600...

    2

    x x x xf xx x

    x x x x x

    x

    Y para el punto x = 1 se tiene que

    2 2

    4 4

    1800 3 2 3 3 600 600 1800 3''(1) 0

    3 3f

    Es decir, x = 1 es un mximo por lo que al cabo de una hora de su apertura.

    Ejemplo 3

    El consumo de gasleo en litros de un barco que navega a una velocidad de x nudos

    viene dado por la funcin 2 400( )

    40xf x

    x . Calcula la velocidad idnea para

    minimizar el consumo.

    Solucin

    Se trata ahora de encontrar el mnimo de la funcin f(x), por lo que: '2

    3 32 2

    400 400 400'( ) 0 8000 8000 2040 20 20x x xf x x x

    x x x

    Veamos si x = 20 corresponde a un mnimo, para ello calculamos la 2 derivada y miramos si su valor en x = 20 es mayor que 0.

    '

    2 3 3

    400 1 400 1 400''( ) ''(20) 020 20 20 20xf x f

    x x

    Por lo que podemos concluir que a una velocidad de 20 nudos el consumo del barco se har mnimo y valdr concretamente f(20) = 30 litros

    Ejemplo 4

    Se desean fabricar latas de tomate frito en conserva de forma cilndricas con una capacidad de 300 cm3 de manera que el coste de la chapa empleada sea mnimo. Calcula las dimensiones de la chapa.

    Solucin

    La superficie lateral de un cilindro de radio de base x y altura y viene dada por: 2( , ) 2 2S x y x xy

  • +

    | OPTIMIZACION 24

    Como puedes ver se trata de una funcin con dos variables, pero tenemos un dato adicional que es que la capacidad de la lata debe ser de 300 cm3. El volumen del cilindro viene dado por la funcin

    22

    300( , ) 300V x y x y yx

    Sustituimos en la ecuacin de la superficie y ya tenemos una sola variable: 2 2

    2

    300 600( ) 2 2 2S x x x xx x

    Derivamos esta funcin y buscamos cuando es cero la derivada primera:

    3 32 2

    600 600 150 150'( ) 4 0 4 3.6278S x x x x xx x

    Calculamos la 2 derivada en 3.6278 para comprobar si corresponde o no a un mnimo:

    '

    2 3

    600 600''( ) 4 4 ''(3.6278) 0S x x Sx x

    Luego es un mnimo y por tanto este x = 3.6278 es el radio de la base necesario para minimizar la superficie de lata y con ello el coste de fabricacin de la misma.

    Ejemplo 5

    Como sabes, la relacin 3,4,5 en los lados de un tringulo rectngulo es conocida desde tiempos egipcios muchsimo antes que Pitgoras dedujese su famoso teorema. Podras calcular si ste tringulo es o no es el de rea mxima entre todos los que tienen hipotenusa 5?

    Solucin

    El rea de un tringulo en funcin de su base x y su altura y es

    ( , )2xyS x y

    Pero aunque los egipcios no conociesen el teorema de Pitgoras, nosotros s lo conocemos y gracias a l podemos relacionar x con y de la manera siguiente:

    2 2 25 25x y y x , y sustituyendo, derivando e igualando a 0: 2 2 4 3

    3

    2

    25 25 25 2 5 5 2( ) '( ) 0 25 2 02 2 222 25

    x x x x x xS x S x x x xx

    tenemos dos soluciones, aunque la negativa no tiene sentido en nuestro problema, pues una longitud no puede ser negativa. Vamos a comprobar si la solucin positiva corresponde a mximo o a mnimo con la segunda derivada:

    '

    2 2 3'3 2

    22

    225 6 25 25 2

    25 2 1 2 25''( )2 252 25

    xx x x x

    x x xS xxx

  • +

    | OPTIMIZACION 25

    Se da la circunstancia que para 5 22

    x la funcin 5 2'' 02

    S

    por lo que no

    podramos decidir si es mnimo o mximo su valor. Vamos a estudiar, entonces, el comportamiento de la funcin S(x) en un entorno del

    punto 5 22

    x =3.5355, por ejemplo, tomamos los puntos 3 y 4 resultando que:

    S (3) = 2.625 y S(4) = -4.667 lo que nos confirma que en 3 la funcin es creciente y en 4 decreciente por lo que cabe concluir que en nuestro punto x = 3.5355 la funcin hace un mximo. As pues, el tringulo rectngulo de hipotenusa 5 y rea mxima tiene base x = 3.5355 y altura y = 3.5255.

  • +

    | APROXIMACIN LINEAL Y NOTACIN DIFERENCIAL 26

    APROXIMACIN LINEAL Y NOTACIN DIFERENCIAL

    Consiste en aproximar una funcin en un entorno de un punto x0, mediante la recta tangente a la funcin en ese punto. Es decir, que en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la frmula de la funcin las sustituimos en la ecuacin de la recta tangente, obteniendo una aproximacin del buscado.

    0 0 0

    0 0 00 0

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) '( )

    tan '( ) '( )

    f x f x x f xf x x f x f x xdff x df f x x

    x

    O tambin

    0 0( ) ( ) '( )f x f x f x x

    Teorema de aproximacin lineal

    Si una funcin f es derivable en el punto x0, entonces la diferencial es una buena aproximacin del incremento. Es decir f df

    Demostracin

    0 0 0

    '( )lim lim lim '( ) '( ) '( ) 0x x x

    f df f f x x f f x f x f xx x x

    c.q.d.

    A partir de ahora, podemos denotar por dx en lugar de x, de ah que en la definicin de

    derivada se use ( ) ' '( ) dyy f x y f xdx

    Ejemplo

    Calcular 3 1.02

    Solucin

  • +

    | APROXIMACIN LINEAL Y NOTACIN DIFERENCIAL 27

    Dada 3( )f x x , su derivada es 3 2

    1'( )3

    f xx

    .

    Como 0 0( ) ( ) '( )f x f x f x x , si tomamos como punto de aproximacin x0 = 1, resulta

    33 2

    1 1(1.02) (1) '(1) 1 0.02 1 0.02 1.006633 1

    f f f x

    Ejemplo 2

    Calcular arctan(1.1)

    Solucin

    Dada la funcin f(x) = arctan x, su derivada es 21'( )

    1f x

    x

    y como

    0 0( ) ( ) '( )f x f x f x dx , si tomamos como punto de aproximacin x0 = 1, resulta

    2

    1 1(1.1) (1) '(1) arctan1 0.1 0.1 0.78 0.05 0.831 1 4 2

    f f f dx

  • +

    | INFINITESIMOS EQUIVALENTES 28

    INFINITESIMOS EQUIVALENTES

    Definicin: Infinitsimo

    Una funcin f se dice que es un infinitsimo en un punto x0 si su lmite en dicho punto es cero

    f infinitsimo en x0 0

    lim ( ) 0x x

    f x

    Definicin: Infinitsimos equivalentes

    Dos infinitsimos f y g en un mismo punto x0 se dicen equivalentes, y lo denotaremos por f g, cuando el lmite de su cociente en ese punto es la unidad f g en x0

    0

    ( )lim 1( )x x

    f xg x

    Hay que observar que, en principio, si f y g son dos infinitsimos, 00

    0

    lim ( )( ) 0lim( ) lim ( ) 0

    x x

    x xx x

    f xf xg x g x

    ,

    luego tendremos que resolver esta indeterminacin de alguna manera para concluir que el lmite es 1.

    Teorema

    Cuando en una operacin de lmites encontramos un infinitsimo multiplicando o dividiendo, se puede sustituir por otro equivalente.

    Demostracin

    Si f g 0

    ( )lim 1( )x x

    f xg x

    . Ahora supongamos una expresin de lmites con la funcin f

    multiplicada a otra funcin h. Tendramos

    0 0 0 0 0

    ( ) ( )lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x

    f x f xf x h x g x h x g x h x g x h xg x g x

    Proposicin

    Cuando en una operacin de lmites encontramos un infinitsimo sumando o restando, en general no se puede sustituir por otro equivalente.

    Demostracin

    Buscar contraejemplo

    Proposicin

  • +

    | INFINITESIMOS EQUIVALENTES 29

    La suma de infinitsimos de distinto orden puede reducirse a otro infinitsimo del menor orden de los infinitsimos dados. Por ejemplo:

    2 3 5 7 20 0

    lim limx x

    x x x x x

    Tabla de infinitsimos ms frecuentes

    Se tienen los siguientes infinitsimos en x0 = 0 (hay que aplicar la regla de LHopital en todas las indeterminaciones marcadas):

    sin x x 0 0

    sin 0 coslim lim 10 1x x

    x xx

    tan x x 0 0 0

    tan sin 0 cos 1lim lim lim 1cos 0 cos sin 1 0x x x

    x x xx x x x x x

    arcsin x x 20 0

    arcsin 0 1 1lim lim 10 1 01x x

    xx x

    arctan x x 20 0

    arctan 0 1 1lim lim 10 1 1 0x x

    xx x

    2

    1 cos2xx 20 0

    1 cos 0 sinlim lim 10

    2x x

    x xx x

    ln 1x x 0 0

    ln 1 0 1lim lim 10 1x x

    xx x

    1xe x 0 0

    1 0 1lim lim 10 1 1

    x x

    x x

    e ex

    1 lnxa x a 00 0 0

    1 0 lnlim lim lim 1ln 0 ln

    x xx

    x x x

    a a a a ax a a

    1 1rx rx 0 0

    1 1 0lim lim0

    r

    x x

    x rrx

    11 rxr

    10

    lim 1 1rx

    x

    1 1n xxn

    0 0

    1

    1 1 0lim lim0

    n

    x x

    nxxn

    111

    nn x

    n

    101lim 1

    1 nx n x

  • +

    | PROBLEMAS PROPUESTOS 30

    PROBLEMAS PROPUESTOS

    Problemas de optimizacin

    Fuente IES prncipe de Asturias. [email protected]

    1. Sean a y b nmeros positivos, y f(x) = ax bx

    .

    a) Demostrar que el mnimo valor de f en (0, ) es 2 ab .

    b) Deducir que ab a b 2

    .

    c) Dibujar la grfica de f en el caso a = 2, b = 8, y sus asntotas. 2. Calculad la generatriz y el radio que debe tener un bote cilndrico de leche condensada La Llet cuya

    rea total (incluyendo dos tapas) es de 150 cm2, para que su volumen sea mximo. ( V =

    r g A r r gT2 22 2 ). Sol: r 5

    , g 10

    .

    3. Estudiar el crecimiento de f x e x xx( ) cos sen y determinar los mximos y mnimos para x

    0 2, . Sol: f crece en [ , ) ( ,02

    32

    2 y decrece en 2

    32

    ,

    . Mximo en

    2

    2,e

    y mnimo en

    32

    3 2 ,

    e .

    4. Considrese la funcin f(x)= ae2x + bx2. Determine el valor de las constantes a y b sabiendo que f(x)

    tiene un punto de inflexin en x = 0, que la tangente a la grfica de f(x) en ese punto de inflexin tiene

    pendiente positiva y que el ngulo entre esta tangente y el eje de las x es de 45 grados. Sol: a = 1/2, b = -1.

    5. Diga cul es el rea mxima que puede tener un sector circular de 8 m. de permetro (recuerde que el

    sector circular es la porcin de crculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios que

    pasan por los extremos de dicho arco). Sol: 4 m2.

    6. Determine los mximos y mnimos relativos de la funcin f(x) = 24

    sen x x

    en el intervalo [0, 2

    . Busque los puntos de inflexin de f(x) en este intervalo. Hay algn punto entre 0 y 2 en el que

    la grfica de f(x) corte al eje de las X?. Dibuje la grfica de f(x) en el intervalo [0, 2 . Sol: Mximo

    2 2

    1,

    , mnimo , 1 , puntos de inflexin 34

    34

    74

    74

    , , ,

    .

    7. Calcular el punto de la curva y = (1 + x2)-1 en que la pendiente de la recta tangente es mxima. Sol: x1

    = - 3

    3.

    8. Dada la funcn y = ax4 +3bx3 -3x2 - ax, calcular los valores de a y b sabiendo que la funcin presenta

    dos puntos de inflexin, uno en x = 1 y otro en x = 1/2. Sol: a = -1, b = 1. 9. Dentro del tringulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectngulo de

    vrtices (0, 0), (a, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un rectngulo de rea

  • +

    | PROBLEMAS PROPUESTOS 31

    mxima. Halla los puntos (a, b) para lo que corresponde un rectngulo de rea mnima. Sol: Para rea mxima (a, b) = (2, 4). Para rea mnima (a, b) = (0, 8) (a, b) = (4, 0).

    10. De la funcin f(x) = ax3 + bx sabemos que tiene una grfica que pasa por (1, 1) y en este punto tiene

    tangente paralela a 3x + y = 0. Se pide:

    a) Hallar a y b. Sol: a = -2 y b = 3.

    b) Hallar sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de inflexin. Sol:

    f decrece en

    , ,

    22

    22

    . f crece en

    22

    22

    , . Mximo en 22

    2,

    . Mnimo en

    22

    2, . Punto de inflexin en (0, 3).

    11. Se sabe que la grfica de una funcin f pasa por el punto (1, 1) y que f (1) = 2. Se conoce tambin

    que su derivada segunda es la funcin g(x) = 2. Calcular razonadamente la funcin f. Sol: f(x) = x2.

    12. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin f(x) = 11

    xx

    . Sol: Crece en (0, 1)

    1, . Decrece en , ,1 10 . 13. Estudiar el crecimiento de f(x) = (3x - 2x2)e-x. Obtener los mximos y mnimos relativos. Sol: Crece en

    , ,12 3 . Decrece en (1/2, 3). Mximo en x1 = 1/2, mnimo en x2=3. 14. Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la grfica de la funcin f(x) tenga para x = 1

    una inflexin cuya recta tangente en ese punto forme un ngulo de 45 con el eje OX. Sol: a = -3 y b = 4.

    15. Sea f la funcin definida por f(x) = x4 - 7x3 + 13x2 + x + 1. Calcular razonadamente los puntos de su

    grfica en los que la recta tangente forma un ngulo de 4 con el eje de abscisas. Sol: (0, 1), (2, 15),

    (13/4, 3285/256).

    16. Determinar el polinomio P(x) de grado menor posible que tiene en (-1, 15) un mximo relativo y en (2, -

    12) un mnimo relativo. Sol: P(x) = 2x3 -3x2 - 12x + 8.

    17. Calcular las constantes a y b para que las grficas de las funciones f(x) = ln xx

    y g(x) = alnx + b

    se corten en el punto (e2, 2/e2) y tengan en l la misma recta tangente. Sol: a = -1/e2, b = 4/e2. 18. Siendo f(x) = e-x(x2 + 4x + 3) calcula los intervalos en los que f es cncava y los intervalos en los que f

    es convexa. Sol: Cncava en , ,3 3 . Convexa en 3 3, . 19. La curva y = x3 +ax2 +bx +c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexin en (2/3, 1/9).

    Hallar a, b y c. Sol: a = -2, b = -262/63 y c = 73/21. 20. Halla dos nmeros que sumen 24 y que el producto de uno por el cuadrado del otro se mximo. Sol:

    8, 16.

    21. Entre todos los rectngulos de permetro 36 m, halla el que tenga rea mxima. Sol: Cuadrado de lado 9 m.

  • +

    | PROBLEMAS PROPUESTOS 32

    22. Tenemos un cartn de 16 dm. de lado. Halla el lado del cuadrado que hay que cortar en sus cuatro

    esquinas para poder formar una caja abierta de volumen mximo. Sol: 8/3 dm.

  • +

    | 33

    U AB

    UU|i26