APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Lic. MAURICIO OLAYA

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADASea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADA

En la representación gráfica anterior puede observarse la función f es:

1. Creciente en los intervalos ]a, x3[ , ]x5, x6[

2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[ , ]x6, b[

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADATambién se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos (x3, f(x3)) , (x5, f (x5)) y (x6, f (x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que supendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADA

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[.

1. Si f’ (x) > 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es creciente en [a, b].

2. Si f’ (x) < 0 para toda x en ]a, b[, entonces la función f es decreciente en [a, b].

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADAEJERCICIO

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA

DERIVADAEJERCICIO

2. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación con .

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VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN REAL

Si es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de , si existe un intervalo abierto tal que y para , siendo un valor del dominio de la función.

Si para toda en el dominio de , entonces es el valor máximo de o máximo absoluto.

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VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN REAL

Si es una función dada, entonces es un valor mínimo relativo de , si existe un intervalo abierto tal que y para , siendo un valor del dominio de la función.

Si para toda en el dominio de , entonces es el valor mínimo de o mínimo absoluto.

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VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN REAL

Considere una función definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida. Similarmente, es un valor mínimo relativo y es el mínimo absoluto de la función en .

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VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN REAL

Sea un punto interior del dominio de una función . Si es un valor máximo relativo de y si existe entonces .

Sea un punto interior del dominio de una función . Si es un valor mínimo relativo de y si existe, entonces .

Observación: El recíproco de los teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que , no implica que en exista un máximo o un mínimo.

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VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN REAL

Sea una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de , aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe.

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VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN REAL

EJERCICIO

Determinemos los puntos críticos de las funciones con ecuaciones:

1.

2.

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CRÍTERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Sea una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto . Sea en ]a, b[ tal que o no existe.

a) Si es positiva para todo , y negativa para todo , entonces es un valor máximo relativo de .

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CRÍTERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Sea una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto . Sea en ]a, b[ tal que o no existe.

b) Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces es un mínimo relativo de .

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CRÍTERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Sea una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto . Sea en ]a, b[ tal que o no existe.

c) Si es positiva para todo y también lo es para todo ; o si es negativa para todo y a su vez para todo , entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .

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CRÍTERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

En los siguientes ejercicios determinar los valores extremos de la función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos, a continuación se hallan los intervalos donde la función crece o decrece y por último se realiza una bosquejo de la gráfica.1.

2.

3.

4.

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CÓNCAVIDAD HACIA ARRIBA Y CÓNCAVIDAD HACIA ABAJO

Sea derivable en un intervalo abierto . La gráfica de es cóncava hacia arriba sobre si es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en si es decreciente en el intervalo.

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CÓNCAVIDAD HACIA ARRIBA Y CÓNCAVIDAD HACIA ABAJO

Si es una función tal que cuando , entonces la gráfica de es cóncava hacia arriba sobre .

Si es una función tal que cuando , entonces la gráfica de es cóncava hacia abajo sobre .

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PUNTOS DE INFLEXIÓN

Se dice que (, )) es un punto de inflexión de la gráfica de una función , si existe un intervalo tal que , y la gráfica de es cóncava hacia arriba sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Si (, ) es un punto de inflexión de la gráfica de y si existe, entonces .

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PUNTOS DE INFLEXIÓN

Si:i. es una función continua sobre un intervalo ,ii. es un punto interior de I tal que , ó existe, yiii. Si existe un intervalo con , () tal que: cuando y cuando , entonces ) es un punto de inflexión de

la gráfica de .

cuando y cuando , entonces ) es un punto de inflexión de la gráfica de .

cuando y cuando , o bien, cuando y cuando entonces ) no es un punto de inflexión de la gráfica de .

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CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

Analizar la función

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CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

Analizar la función

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BIBLIOGRAFÍA

Cálculo diferencial e integral, con aplicaciones.. Elsie Hernández S, primera edición, Revista digital Matemática-Educación e Internet.

Cálculo 1 de una variable, novena edición, Ron Larson, Bruce H. Edwards, Ed. Mc Graw Hill