REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACION SUPERIORINSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

INTEGRANTES:PEDRO CORTEZ CI: 23572962

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Derivadas:Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores crearon un sistema de cálculo propio. La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. A lo largo de los siglos, otros matemáticos y científicos han aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos los cálculos.Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la computación, etc.Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles.

Aplicaciones de la derivada en la física.

Aplicación física de la derivada        

 La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)= Que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es ,  , calcula la velocidad en el instante t =5.

         Solución

         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

Consideremos la función espacio E= E(t).

El ejemplo más claro para ilustrarlo es el de velocidad instantánea. Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha. Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya queEsto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…

En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado.Se define entonces la velocidad instantánea como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, cuando ambas cantidades se hacen muy pequeñas, reduciéndose a diferencialesla velocidad en    ( intermedio a 0.30 s y 0.40 s) vale aproximadamente

Vemos que aunque los incrementos son diferenciales, muy pequeños, su cociente es una cantidad finita.El concepto de velocidad instantánea se generaliza a toda derivada de una función f respecto a una variable u: El cociente entre el diferencial de la función y el de la variable

Aplicaciones de la derivada en el calculode la velocidad y aceleración

Aplicación de las Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea

RectaUna función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o  (-¥,a),  (-¥,¥)) si es derivable en todo número del intervalo.              

Velocidad     Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t esta dada por:V(t)= ds /dt = f ´(t)     La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7     Donde s se mide en centímetros y t en segundos     Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5

Solución     Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8)     Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)     y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)

Aceleración     Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:a(t)= dv /dt =f"(t)Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1     Donde s se mide en metros y t en segundos.a.  ¿En qué instante la aceleración es cero?b.   Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.

Solución     Tenemos que:  v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6ta.  a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0b.  a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg

Aplicación de la derivada en la Electrónica y Electricidad.

Administración y microeconomía

Las derivadas en  la administración  son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal)en la segunda cantidad o variable.

La microeconomía es una rama de la economía que estudia el comportamiento de unidades económicas individuales, como pueden ser individuos, familias y empresas, y el funcionamiento de los mercados en los cuales ellos operan. La definición más clásica de microeconomía dice que la microeconomía es la parte de la economía que estudia la asignación de los recursos escasos entre finalidades alternativas. La teoría microeconómica utiliza modelos formales que intentan explicar y predecir, utilizando supuestos simplificadores, el comportamiento de los consumidores y productores, y la asignación de los recursos que surge como resultado de su interacción en el mercado. En general el análisis microeconómico se asocia con la teoría de precios y sus derivaciones. Se considera que el mayor contribuyente al análisis microeconómico ha sido Alfred Marshall.

Las derivadas en sus distintas presentaciones (Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de decisiones, optimización de resultados (Máximos y Mínimos).

Ejercicio:Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse. Y = f (x)Donde:, en la practica x se toma siempre positivo. Si: f’ > 0 ; la función es de oferta Si: f < 0; La función es de Demanda.El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente :Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13Y = (208 -8x – x^2)/16 = x=8 ; y = 5Y = (1 + x^2)/13 = -11,5 : y = 10.4Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.La pendiente de la demanda en: P(8,5)Y = (208 -8x – x^2) /16 = Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 y’(s) = -3/2 <0La pendiente de la oferta en: P(8,5)Y= 0 1 + x^2 / 13 = y’(8) = 16/13 > 0

Aplicaciones de la derivada en la mecánica.

Muchas de las ramas de la ingeniería mecánica toca comúnmente temas de algunas otras ingenierías. Un ejemplo serian los motores eléctricos que tocan el campo de los ingenieros eléctricos y también los ingenieros químicos.Al transcurrir de los años la Ingeniería Mecánica se ha ramificado en diferentes áreas como:-Estática: Es el estudio del equilibrio de fuerzas sobre cuerpos en reposo.-Dinámica: Es el estudio de como las fuerzas afectan el movimiento de los cuerpos.-Termodinámica: Es el estudio de los cambios de temperatura y transferencia de calor entre materiales.-Mecánica de fluidos: Es el estudio de como reaccionan los fluidos bajo la acción de las fuerzas.La ingeniería mecánica se extiende de tal forma que es capaz de abordar un problema con la racionalización de varios factores que pueden estar afectando y que son fundamentales para hallar determinada solución.

En mecánica se ocupan para calcular para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo, En la ingeniería también se utilizan para saber como varia la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión

Ejemplo:Calcule el incremento aproximado del volumen de un pistón cilíndrico circular recto si su altura aumenta10 [cm] a 10,5[cm] y su radio aumenta de 5 [cm] a 5,3 [cm].¿Cuánto es el nuevo volumen aproximado?* Respuesta:h:10 cm→10,5 cmr:5 cm→5,3 cm

Sabemos que el volumen del cilindro circular recto viene dado por:V=r2hPor lo tanto:

dV=∂V∂rdr+∂V∂hdhdV=2 hrdr+ r2dhdV= r2hdr+rdhdV= r2h±0,3+r±0,5dV=5210±0,3+5±0,5=42,5 [cm]3Vfinal=V+dV=292,5 [cm]3

Derivadas en la Informática Derivadas en la Informática.

La derivada como bien sabemos es un ponto sobre una curva en el espacio... por lo tanto en la informática esta en todos los cálculos que se hacen en binario para construir un software capaz de diseñar un grafico modelado a escala. También esta en todos los diagramas de circuitos lógicos connacionales para generar funciones complejas y remplazar hardware por software como los son los micro transistores y microprocesadores. En todas las compuertas lógicas que contiene la unidad aritmético- lógica dentro del Microprocesador. 

Informática

Aplicaciones de la derivadas en la medicina.

Existen muchas enfermedades que se caracterizan por la falta de esta variabilidad fisiológica, como por ejemplo en: saturación del O2 en la sangre arterial, ventilación pulmonar, EEG, ECG, respiración, glicemia, concentración de hormonas, recuento globular, etc. En ellas la variabilidad se reemplaza por fenómenos periódicos (estereotipia), por ejemplo: enfermos por insuficiencia cardiaca congestiva, tienen fluctuaciones periódicas de la respiración y de la frecuencia cardiaca. Es posible deducir entonces, que la variabilidad de las funciones biológicas es esencial para la supervivencia ya que permite una mejor adaptación al medio.

Algunas de estas enfermedades son: cardiovasculares (insuficiencia cardíaca, coartación aórtica, rigidez aórtica, infarto al miocardio (con distintas masas comprometidas). Este tipo de estudios es válido y de vital importancia en la medicina clínica.una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de presión arterial (p(t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y existen numerosos publicaciones que correlacionan este parámetro con otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros patológicos [2,3,4,]. Su demostrada utilidad clínica a llevado a la elaboración de software comerciales como Dynapulse ® y Biobench ® entre otros, que permiten un cálculo automático de dicho parámetro a partir de señales de pulso arterial.

 

V= . [R2-r2]

V= PR2/4nL-Pr2/4nL

Derivamos= dv/dr= -2rp/4nL

dv/dv= rp/ 2nL

dr/dv= -2nL/rp

dr/dv= 2(0,087cm2/s) (6,86cm)/

(0,2cm) (205344cm2)= 0,00002906439 seg.

𝑃4𝑛𝐿

Gracias por prestar

atención.