Aplicaciones de Las Derivadas 10

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: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3. 1 RECTATANGENTE Si f(x) es derivable en x O ' la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = X o tiene como ecua- " ción: EJERCICIO RESUELTO Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = XX en elpunto de abscisa x = 1. RESOLUCiÓN • Hallamos la ordenada del punto: j(l) = 1 • Obtenemos la derivada de la función: y = XX -+ In y = In XX y' 1 - = 1. In x + x.- -+ y x -+ In y = x In x, Derivamos: y' = In x +1 -+ y' = x" [ln x + 1) y l I • Cal~ulamos la pendiente de la recta tangente: f'(1) = 1 • Escribimos la ecuación de la recta: y = 1 + 1' (x - 1) -+ y = x Halla la ecuación de la tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos que se indican: , 2x a) y = ex _ 1)2 en x = 2 b)y=~2+\Íx enx = 4 e) y = In (cos x) '7"-d) x 2 + 2y2 - 3x + y- 4 = O .2 __ O - -.J ~. J ~j~/ +jl = 3- LX ~I(l¡~+ i)-=- 3-Z.x v ,----- 3-2->( --- l1j +{ e-45° con Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 .yx + 4 que forma un ángu a el eje Ox. ,•.. La pendiente de la recta tangente ha de ser igual a tg 45°,

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cuadernillo anaya bachilerato

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:

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

3. 1 RECTATANGENTE

Si f(x) es derivable en xO' la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = Xo tiene como ecua-" ción:

EJERCICIO RESUELTO

Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = XX en elpunto de abscisa x = 1.

RESOLUCiÓN

• Hallamos la ordenada del punto: j(l) = 1

• Obtenemos la derivada de la función:

y = XX -+ In y = In XX

y' 1- = 1 . In x + x . - -+y x

-+ In y = x In x, Derivamos:

y' = In x + 1 -+ y' = x" [ln x + 1)y

lI

• Cal~ulamos la pendiente de la recta tangente: f'(1) = 1

• Escribimos la ecuación de la recta: y = 1 + 1 ' (x - 1) -+ y = x

• Halla la ecuación de la tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos que se indican:

, 2xa) y = ex _ 1)2 en x = 2

b)y=~2+\Íx enx = 4

e) y = In (cos x)

'7"-d) x2 + 2y2 - 3x + y - 4 = O

.2 __ O- -.J ~. J ~j~/+jl = 3- LX

~I(l¡~+ i)-=- 3-Z.xv

,-----3-2->(---l1j + {

e-45° con•Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 .yx + 4 que forma un ángu ael eje Ox.

,•.. La pendiente de la recta tangente ha de ser igual a tg 45°,

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6 = (6a - 2) . 2 + (-3a2 + 1) ~ 3a2 - 12a + 9 = O ~-:" = 1

a2- 4a + 3 = O '"

a=3

• Obténla ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 - 3x que es paralela a la recta 3x + 2y + 1 = O.

• 2Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x + 1 que son paralelas al segmento queune los puntos O, -1) y (3, -5).

• Halla la ecuación de las rectas tangentes a y = x3 - 3x2 - 9x que son paralelas al eje ox.

EJERCICIO RESUElTO

Halla los puntos de la curva f(x) = 3x2 -2x + 1 en los que la recta tangente a ella pasa porel punto (2, 6) (exterior a la curva).

RESOLUCiÓN

• La ecuación de la recta tangente a ¡(x) en x = a es y = f(a) + j'(a) . (x - a), donde:

f(a) = 3a2 - 2a + 1 Y j'(a) = 6a - 2

• Sustituyendo, obtenemos la recta:

y = 3a2 - 2a + 1 + (6a - 2) . ex - a) = (6a - 2) x + (-3a2 + 1)

• Queremos que la recta pase por el punto (2, 6):

• Los puntos que buscamos son (1, 2) Y e3, 22).

Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de ¡ex) = .x:2 - 4x. + 2 que pasan por elpunto o, -5).

• 9a) Halla los puntos de la curva ¡(x) = x + 2 en los que la recta tangente a ella pasa por el puntoO, 1) (exterior a la curva).

b) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a ¡ex) en los puntos que has hallado en a).

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3.2 INFORMACiÓN EXTRAíDA DE LAS DERIVADAS 1a Y 2a

f!J Puntos singulares o puntos críticos

Son los puntos de tangente horizontal, es decir, aquellos en los que j'(x) = o. Un punto singularpuede ser un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión.

Crecimiento y decrecimiento de una función f(x)

f'(xo) > O ~ f es creciente en Xo

b) f(x) = 2x2

+ X - 1x-l

c)f(x) = ...Jx2- 3x + 2

f'(xo) i$: O ~ f es decreciente en Xo

EJERCICIO RESUELTOx2

Estudia los intervalos de crecimiento f( x) = 1_ x y di cuáles son sus máximos y sus míni-mos relativos.

RESOLUCIÓN

• Dominio = IR- {l}

• Hallamos la derivada y la igualamos a cero:

2x-x2j'(x) = . f'(x) = O ~ 2x - x2 = O0- x)2 '

x=O/'"'x=2

• Estudiamos el signo de la derivada:

X (-00, O) (O, 1) O, 2) (2, +(0)

f'(x) - + + -

f(x) ~ ~ .»: ~

f(x) es creciente en (O, 1)UO, 2), esdecreciente en (-(X), 0)U(2 +(0). Tie-ne un mínimo relativo en (O, O)Yunmáximo relativo en (2, -4).

• Estudia el crecimiento de las siguientes funciones y di cuáles son sus máximos y sus mínimos:

•Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos relativos de cada una de las siguientesfunciones:

a) f(x) = 13x - 21 b)f(x) = Ix2 + 21 c)f(x) I Ix2 + 4x - 51

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Curvatura y puntos de inflexión

f"Cxo) > O ---+ f es cóncava en Xo

f"CXO) < O ---+ f es convexa en Xo

f"CXO) = O~y .(I/,Cxo) 7= ~_ ~_f tiene_,!_nP!:!:YJ!ocjeinflexónen Xo

Aplicación de la segunda derivada a la identificación de máximos y mínimos

Sij'Cxo) = O Y existe f"CX~, entonces:

f"CX~ > O ~ f tiene un mínimo relativo en Xo

f"CXO) < O ~ f tiene un máximo relativo en Xo

EJERCICIO RESUelTOEstudia la curvatura de f( x) = 3x5 - 5x 4 + 2 Y di cuáles son sus puntos de inflexión.

RESOLUCIÓN

• Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero:x=O

j'(x) = 20x4 - 15x3 ---+ f"Cx) = 60x3 - 60.x;2 = 0<. x=l

• Estudiamos el signo de la segunda derivada:

x C-w, O) (O, 1) (1, +w)

f'(x) - - +

fCx) r>. r>. '<::.

f(x) es convenxa en (-w, 1) y cóncava en O +w).Tiene un solo punto de inflexión en O, O).

•Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y = x4 + 4x3 + 2x + 3 b) y = (x + 1)ex

• Di si las siguientes funciones tienen un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en x = 2:

a) y = 2 - Cx- 2)4 b) Y = -2 + Cx- 2)6

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3.3 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIO RESUELTO~~-------------------------------------------------------------------------------------De entre todos los triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia de radio 1 m,halla el que tiene área máxima. ¿Cuál es esa área?

RESOLUCIÓN

~2m

• Llamamos x e y a las longitudes de los catetos.

• El área del triángulo es: A = ~; queremos maximizar2

esta función, con x,y E (O, 2).

• Buscamos una relación entre x e y para conseguir que la función área tenga una sola incógnita.

Teorema de Pitágoras ~ x2 + y2 = 4 ~ Y = "4 - x2 (raíz positiva, pues es una longitud).

• Por tanto, la función área es:

ACx) = x .~ con O< x < 22

• Buscamos el máximo de A(x) , con O< x < 2:

2 _x2 .A'(x) = ----;==~

.y4-x2 '

/ x = {2 E (O, 2) ~ Y = {2A'(x) = 0\

x = - {2 (no vale, pues x es un longitud)

• Comprobamos que en x = {2 hay un máximo, pues A'(x) > O a su izquierda y A'(x) < O a suderecha.

• Por tanto, el área máxima se alcanza cuando x = y = {2. En este caso, el área es de 1 m2

•Un número más el cuadrado de otro número suman 48. Halla ambos números para que su produc-to sea máximo.

•Expresa el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea doble delprimero y su producto sea máximo.

•Halla los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 metros.

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•Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 4 m2 de superficie. El metro lineal detramo horizontal cuesta 16 € Y el tramo vertical, 25 €.

a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo.

b) Calcula el coste de este marco.

•Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 81n: m3 de volumen. La superficie lateral ha deser construida con un material que cuesta 30 €/m2, y las dos bases con un material que cuesta45 €/m2 ---

a) Determina la relación que hay entre elradio, r, de las bases circulares y la altura, h, del cilin-dro, y da el coste, C(r), del material necesario para construir este depósito-en función de r.

b) ¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los materiales ne-cesarios para construirlo sea el mínimo posible?

e) ¿Cuál será, en este caso, el coste del material?

•El precio de coste de una máquina es de 80 €. Vendida a 130 € la compran 1000 personas. Por ca-da euro que aumente o disminuya este precio, el número de compradores disminuye o aumenta,respectivamente, en 60.

a) Llama x al número de euros que aumenta o disminuye el precio y obtén la expresión del bene-ficio, E, en función de x.

'j,

b) Dando por válida la expresión anterior para valores no enteros de x, ¿a qué precio se ha devender la máquina para obtener un beneficio máximo?

c) Calcula el beneficio máximo y el número de compradores correspondiente.

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Calcula estos límites, aplicando la regla de L'Hopital:

2x2 + 2x - 4 e" -1a) lím b) límx ~ 1 x3 - 4x2 +3x x ~ o sen x

3.4 REGLA DE L'HÓPITAL

REGLA DE L'HÓPITAL

Sean f y g funciones derivables en un entorno (a - 1;. a + r) del punto a.

Si lím f(x) = 0, lim g(x) = 0, y existe lím f'~~, entonces también existe lirnx~a x~a x~a g' X x~a

f(x)g(x)

y es: límx~a

f(x)g(x)

límx~a

f'(x)g'(x)

EJERCICIO RESUELTO- ...•

RESOLUCIÓN

b) límx~O

_e_x_-_1_ (_0_) _ lim _ex_ = 1.- = 1

sen x ° x ~ O cos x 1

c) límX~o

= (~) = lím° x~O

(2x + x2) é"3x2 - 6x

= (~) = lim° x~o(2 + 4x+ X2) eX

6x-6-1

3

• Calcula los siguientes límites, aplicando la regla de L'Hópital:

a) límx~o

x5- 3x4 + 2xx2-3x

b) límx~o

c) limx~o

In (x + 1)x

d) limx~o

x + senxx e) lím

x~lf) lim

x~o

x + tgxg) lirnx~o x +sen x

are tg x - x + x3/3h) lim

x~O x3

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(~O ) o ( ±±: ),minación del tipo ~ pueden obtenerse derivando numerador y denominador y

r-------~=---__~e) lim: (1 +.--senx)l/:," = lím (In (1 + senx)l/X) =

X-7Q. /1 ~ X-70

COSX

lím (xl ,. 1~(1_+ ~e.nx)) =X-70 .

~~,

o

AMPLIACIÓN DE lA REGIA DE L'HÓPITAL

d 1 lím ((x) d d d 1 d• Los límites e tipo () , on e a es -00, +00 o un número, si an ugar a una in eter-X-7a gx

calculando (si existe) el límite del cociente de sus derivadas.

• Hay expresiones del tipo (00 - co), (100) u otras--s~e, con un poco de habilidad, se pueden poneren forma de cociente para que se pueda aplicar la relga de L'Hópital. ~

EJERCICIO RESUELTOCalcula los siguientes límites, aplicando la regla de L'Hopital:

a) límx -7 +00

In (x +1)x+3 b) lím x (el/X -1)

X---7 +00c) lím

X-70(I + sen xv=

RESOLUCiÓN

a) límX---7 +00

In (x + 1)x+3

1

(00) X+T= 00 = lím ----- = O

X-7 +00 1

_ _ é/x - i _(O ) _b) lim ~(e10' - 1) = (+00 . O) - lim i'Í7 - -- -X -7 +00 ~~ -;1:;. - .•. x -7 +00 1/ 9 lím

X-7oo

=(t)= 1 + senx ;lím = 1 ~ lím (1 + senx)l/x = el = e.X-70 1 X-70

• xCalcula estos límites:

a) lim C3x)-l. sen xX-70

b) lím x2(1_el/x2)x -7 +00

c) límX-7 +00

e) límX-70

(2 2)x senx D lím (1 - sen x)l/x

X-70

g)= lím (In J....)XX-70+ x

h) lím (x + l)X+ 1x-7-1

í) lím (sen X)fgxx-71(/2

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•Comprueba que la función fex) = x3 + x2 cumple las hipótesis del teorema de Ralle en el interva-lo [-1, O]. ¿Dónde cumple la tesis?

3.5 TEOREMA DE ROllE y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE ROllE

f es una función continua en [a, bl y derivable en ea, b).

Si fea) = feb),. existe algún punto e E ea, b) tal que f'ee) = o.

EJERCICIO RESUELTO

Comprueba que f(x) = x -x3 cumple las hipóteis del teorema de Rolle en el intervalo [O, I].¿Enqué punto cumple la tesis?

RESOLUCIÓN

• Comprobamos que cumple las hipótesis:

fex) es una función continua y derivable en IR (pues es polinómica), en particular, lo será en el in-tervalo [O, 1]. Además, feO) = f(1) = O. Luego cumple las hipótesis del teorema de Ralle y, por tan-to, cumplirá la tesis; es decir, habrá un punto e E (O, 1) tal que j'ee) = o.

• Veamos en qué punto se cumple la tesis:

f'ex) = 1 - 3x2 = O --? X = ± -{+ = ± ~

--!3 .El valor buscado es e = 3 ECO, 1), tal que j'Ce) = O.

•Calcula a para que la función fex) = x2 - 2x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Ralle en elintervalo [a, 3l ¿Dónde cumple la tesis?

•La función j(x) = ~Cx - 1)2 toma valores iguales en los extremos del intervalo [O, 2], es decir, cum-ple que feO) = f(2) = 1. ¿Es válido el teorema de Ralle para esta función en el intervalo [O, 2]?

•Calcula a, b y k para que la siguiente función cumpla las hipótesis del teorema de Ralle en el in-tervalo [O, 2l ¿En qué punto se cumple la tesis?

fCx) = ¡ax2 + bx si x:S; 1x + k SI x> 1

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Si f es continua en [a, h] y derivable en Ca, b), entonces existe algún punto c e Gz, h) tal que

f'Ce) = fCh) -fCa)h-a

EJERCICIO RESUelTO~~---------------------------------------------------------------------------------Comprueba que la función f( x) = x - x3 cumple las hipóteis del teorema del valor medio .en .el intervalo [-2,1]. ¿Enqué punto cumple la tesis?

RESOLUCIÓN

• Comprobamos que cumple las hipótesis:

fCx) es continua y derivable en IR (pues es polinómica), en particular, lo será en el intervalo [-2, I].

Luego cumple las hipótesis del teorema del valor medio y, por tanto, cumplirá la tesis; es decir, ha-brá un punto e E C-2, 1) tal que:

f'Ce) = f(1) -f(-2) =1 - C-2)

0-61 + 2

-6=-=-?3 _.

• Veamos en qué punto se cumple la tesis:

f'Cx) = 1- 3x2 = -2 =? -3x2 = -3 =? x2 = 1 =? X = ± 1

El valor buscado es e = -1 E (-2, 1)

• 3Comprueba que f(x) = VX4 verifica las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 1l.¿Dónde se cumple la tesis?

• Ix 2 - 3x + 6 si x:::; 2Demuestra que la función fCx) = ?x + _ si x> 2medio en el intervalo [0, 31.¿Dónde cumple la tesis?

cumple las hipótesis del teorema del valor

'. • x2-2x+2Dada la función f(",) = 4 - , ¿existe algún punto e E [-2, 2] tal que la recta tangente a la grá-

x-fica de f en (e, fCe)) es paralela a la secante que une los puntos C-2,jC-2)) y (2,jC2))? Razona turespuesta; y, en caso afirmativo, halla el valor de c.

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a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de fex) , así como sus máximos y míni-mos relativos.

3.6 EJERCICIOS DE RECAPITULACiÓN (APLICACIONES DE LAS DERIVADAS)

• ?

Dada la función fex) = x-1

:x-

b) Estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

c) Halla la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de fex) .en x = -1 Y en x = 2.

,I

b) Determina la naturaleza del extremo que f tiene en x = 1.

•Se sabe que la función [Cx) = x3 + ax + b corta a su función derivada en x = 1 Yque, además, endicho punto, f tiene un' extremo.

a) Determina los valores de a y b.

e) ¿Tiene f algún otro extremo?

• Sean las funciones fCx) = ln ex) - b, g ex) = a {;; + b.

a) Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí en el punto de abscisax = 1. (Ten en cuenta que, para que sean tangentes, deben coincidir las funciones y las deriva-das en ese punto).

b) Determina en qué puntos se anulan cada una de estas funciones.

• Halla los extremos y los puntos de inflexión de fex) = x 1x - 112.

• a) Estudia los extremos de la función fex) = eX - (1 + x).

b) Utilizando el apartado anterior, demuestra que eX> 1 + x para todo x > O

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La producción de x unidades de un artículo en una empresa tiene un coste que se puede expresarmediante la función CCx) = 1500x + 1000000, Ycada unidad producida se venderá a un precio da-do por P(x) = 4000 - x.

a) Calcula la función que exprese el beneficio obtenido por la venta de x unidades.

b) ¿Cuántas unidades hay que producir para no tener pérdidas?

c) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo' ¿Acuánto asciende dichobeneficio máximo?

•Se desea dividir un alambre de 5 m de largo en dos partes, de manera que la suma del cuadrado deuna de ellas con el cuádruplo del cuadrado de la otra sea la mínima posible. ¿Dónde hay que dar elcorte?

•Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por lafunción ¡Cx) = 2x3 - 15x2 + 24x + 26, donde x indica el número de años desde la última remo-delación.

a) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.

b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica si esta remodelación tuvo éxito o no.

• Calcula estos límites, aplicando la regla de L'Hópital:

x2 + senxa) lím 7x .....•O (1 - cos x)-

b) lím Cx2ln x)x .....•0+

.• La ecuación eX = 1 + x, tiene como raíz x = O. Demuestra que no puede tener otra raíz real.

•.. Hazlo por reduccion al absurdo: si x ~ a fuera otra raíz positiva, entonces lafunción f(x) ~ eX- 1- x cumpliría las hi-pótesis del teorema de Ralle en [0, a],yexistiría c CE(0, a) tal quef''(c) ~ 0, pero f''(x) ~0, solo en x ~ 0, entonces ... Haz lomismo para el caso en el que x ~ a < O.