Aplicaciones de Las Derivadas 10

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: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3. 1 RECTATANGENTE Si f(x) es derivable en x O ' la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = X o tiene como ecua- " ción: EJERCICIO RESUELTO Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = XX en elpunto de abscisa x = 1. RESOLUCiÓN • Hallamos la ordenada del punto: j(l) = 1 • Obtenemos la derivada de la función: y = XX -+ In y = In XX y' 1 - = 1. In x + x.- -+ y x -+ In y = x In x, Derivamos: y' = In x +1 -+ y' = x" [ln x + 1) y l I • Cal~ulamos la pendiente de la recta tangente: f'(1) = 1 • Escribimos la ecuación de la recta: y = 1 + 1' (x - 1) -+ y = x Halla la ecuación de la tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos que se indican: , 2x a) y = ex _ 1)2 en x = 2 b)y=~2+\Íx enx = 4 e) y = In (cos x) '7"-d) x 2 + 2y2 - 3x + y- 4 = O .2 __ O - -.J ~. J ~j~/ +jl = 3- LX ~I(l¡~+ i)-=- 3-Z.x v ,----- 3-2->( --- l1j +{ e-45° con Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 .yx + 4 que forma un ángu a el eje Ox. ,•.. La pendiente de la recta tangente ha de ser igual a tg 45°,
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cuadernillo anaya bachilerato

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  • :APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

    3. 1 RECTATANGENTE

    Si f(x) es derivable en xO' la recta tangente a la grfica de y = f(x) en x = Xo tiene como ecua-" cin:

    EJERCICIO RESUELTO

    Escribe la ecuacin de la recta tangente a f(x) = XX en elpunto de abscisa x = 1.

    RESOLUCiN

    Hallamos la ordenada del punto: j(l) = 1

    Obtenemos la derivada de la funcin:

    y = XX -+ In y = In XXy' 1- = 1 . In x + x . - -+y x

    -+ In y = x In x, Derivamos:

    y' = In x + 1 -+ y' = x" [ln x + 1)y

    lI

    Cal~ulamos la pendiente de la recta tangente: f'(1) = 1

    Escribimos la ecuacin de la recta: y = 1 + 1 ' (x - 1) -+ y = x

    Halla la ecuacin de la tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos que se indican:

    , 2xa) y = ex _ 1)2 en x = 2

    b)y=~2+\x enx = 4

    e) y = In (cos x)

    '7"-d) x2 + 2y2 - 3x + y - 4 = O

    .2 __ O- -.J ~. J ~j~/+jl = 3- LX

    ~I(l~+ i)-=- 3-Z.xv

    ,-----3-2->(---l1j + {

    e-45 conEscribe la ecuacin de la recta tangente a la curva y = 2 .yx + 4 que forma un ngu ael eje Ox.,.. La pendiente de la recta tangente ha de ser igual a tg 45,

  • 6 = (6a - 2) . 2 + (-3a2 + 1) ~ 3a2 - 12a + 9 = O ~-:" = 1

    a2 - 4a + 3 = O '"a=3

    Obtnla ecuacin de la recta tangente a la curva y = x2 - 3x que es paralela a la recta 3x + 2y + 1 = O.

    2Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x + 1 que son paralelas al segmento queune los puntos O, -1) y (3, -5). Halla la ecuacin de las rectas tangentes a y = x3 - 3x2 - 9x que son paralelas al eje ox.

    EJERCICIO RESUElTO

    Halla los puntos de la curva f(x) = 3x2 -2x + 1 en los que la recta tangente a ella pasa porel punto (2, 6) (exterior a la curva).

    RESOLUCiN

    La ecuacin de la recta tangente a (x) en x = a es y = f(a) + j'(a) . (x - a), donde:

    f(a) = 3a2 - 2a + 1 Y j'(a) = 6a - 2

    Sustituyendo, obtenemos la recta:

    y = 3a2 - 2a + 1 + (6a - 2) . ex - a) = (6a - 2) x + (-3a2 + 1)

    Queremos que la recta pase por el punto (2, 6):

    Los puntos que buscamos son (1, 2) Y e3, 22).

    Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grfica de ex) = .x:2 - 4x. + 2 que pasan por elpunto o, -5).

    9a) Halla los puntos de la curva (x) = x + 2 en los que la recta tangente a ella pasa por el puntoO, 1) (exterior a la curva).b) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a ex) en los puntos que has hallado en a).

  • 3.2 INFORMACiN EXTRADA DE LAS DERIVADAS 1a Y 2a

    f!J Puntos singulares o puntos crticos

    Son los puntos de tangente horizontal, es decir, aquellos en los que j'(x) = o. Un punto singularpuede ser un mximo o mnimo relativo o un punto de inflexin.

    Crecimiento y decrecimiento de una funcin f(x)

    f'(xo) > O ~ f es creciente en Xo

    b) f(x) = 2x2

    + X - 1x-l

    c)f(x) = ...Jx2- 3x + 2

    f'(xo) i$: O ~ f es decreciente en Xo

    EJERCICIO RESUELTOx2Estudia los intervalos de crecimiento f( x) = 1_ x y di cules son sus mximos y sus mni-

    mos relativos.

    RESOLUCIN

    Dominio = IR- {l}

    Hallamos la derivada y la igualamos a cero:

    2x-x2j'(x) = . f'(x) = O ~ 2x - x2 = O0- x)2 'x=O

    /'"'x=2

    Estudiamos el signo de la derivada:

    X (-00, O) (O, 1) O, 2) (2, +(0)

    f'(x) - + + -

    f(x) ~ ~ .: ~

    f(x) es creciente en (O, 1)UO, 2), esdecreciente en (-(X), 0)U(2 +(0). Tie-ne un mnimo relativo en (O, O)Yunmximo relativo en (2, -4).

    Estudia el crecimiento de las siguientes funciones y di cules son sus mximos y sus mnimos:

    Halla los intervalos de crecimiento y los mximos y mnimos relativos de cada una de las siguientesfunciones:a) f(x) = 13x - 21 b)f(x) = Ix2 + 21 c)f(x) I Ix2 + 4x - 51

  • Curvatura y puntos de inflexin

    f"Cxo) > O ---+ f es cncava en Xo

    f"CXO) < O ---+ f es convexa en Xo

    f"CXO) = O~y .(I/,Cxo) 7= ~_ ~_f tiene_,!_nP!:!:YJ!ocjeinflexnen Xo

    Aplicacin de la segunda derivada a la identificacin de mximos y mnimos

    Sij'Cxo) = O Y existe f"CX~, entonces:

    f"CX~ > O ~ f tiene un mnimo relativo en Xo

    f"CXO) < O ~ f tiene un mximo relativo en Xo

    EJERCICIO RESUelTOEstudia la curvatura de f( x) = 3x5 - 5x 4 + 2 Y di cules son sus puntos de inflexin.

    RESOLUCIN

    Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero:x=O

    j'(x) = 20x4 - 15x3 ---+ f"Cx) = 60x3 - 60.x;2= 0 2medio en el intervalo [0, 31.Dnde cumple la tesis? cumple las hiptesis del teorema del valor

    '. x2-2x+2Dada la funcin f(",) = 4 - , existe algn punto e E [-2, 2] tal que la recta tangente a la gr-x-fica de f en (e, fCe)) es paralela a la secante que une los puntos C-2,jC-2)) y (2,jC2))? Razona turespuesta; y, en caso afirmativo, halla el valor de c.

  • a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de fex) , as como sus mximos y mni-mos relativos.

    3.6 EJERCICIOS DE RECAPITULACiN (APLICACIONES DE LAS DERIVADAS)

    ?Dada la funcin fex) = x-1 :x-b) Estudia la curvatura y los puntos de inflexin.

    c) Halla la ecuacin de las rectas tangentes a la grfica de fex) .en x = -1 Y en x = 2.

    ,I

    b) Determina la naturaleza del extremo que f tiene en x = 1.

    Se sabe que la funcin [Cx) = x3 + ax + b corta a su funcin derivada en x = 1 Yque, adems, endicho punto, f tiene un' extremo.a) Determina los valores de a y b.e) Tiene f algn otro extremo?

    Sean las funciones fCx) = ln ex) - b, g ex) = a {;; + b.

    a) Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre s en el punto de abscisax = 1. (Ten en cuenta que, para que sean tangentes, deben coincidir las funciones y las deriva-das en ese punto).

    b) Determina en qu puntos se anulan cada una de estas funciones.

    Halla los extremos y los puntos de inflexin de fex) = x 1x - 112.

    a) Estudia los extremos de la funcin fex) = eX - (1 + x).

    b) Utilizando el apartado anterior, demuestra que eX> 1 + x para todo x > O

  • La produccin de x unidades de un artculo en una empresa tiene un coste que se puede expresarmediante la funcin CCx) = 1500x + 1000000, Ycada unidad producida se vender a un precio da-do por P(x) = 4000 - x.

    a) Calcula la funcin que exprese el beneficio obtenido por la venta de x unidades.

    b) Cuntas unidades hay que producir para no tener prdidas?

    c) Cuntas unidades hay que producir para que el beneficio sea mximo' Acunto asciende dichobeneficio mximo?

    Se desea dividir un alambre de 5 m de largo en dos partes, de manera que la suma del cuadrado deuna de ellas con el cudruplo del cuadrado de la otra sea la mnima posible. Dnde hay que dar elcorte?Un club deportivo cuenta con un nmero de socios que viene dado (en miles de personas) por lafuncin Cx) = 2x3 - 15x2 + 24x + 26, donde x indica el nmero de aos desde la ltima remo-delacin.

    a) Halla el ao en el que el club ha tenido el mayor nmero de socios.

    b) El cuarto ao se remodel de nuevo. Indica si esta remodelacin tuvo xito o no.

    Calcula estos lmites, aplicando la regla de L'Hpital:

    x2 + senxa) lm 7x .....O (1 - cos x)- b) lm Cx2ln x)x .....0+

    . La ecuacin eX = 1 + x, tiene como raz x = O. Demuestra que no puede tener otra raz real.

    .. Hazlo por reduccion al absurdo: si x ~ a fuera otra raz positiva, entonces lafuncin f(x) ~ eX- 1- x cumplira las hi-ptesis del teorema de Ralle en [0, a],yexistira c CE(0, a) tal quef''(c) ~ 0, pero f''(x) ~0, solo en x ~ 0, entonces ... Haz lomismo para el caso en el que x ~ a < O.