APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pág. 2 Tema 8 Aplicaciones de...

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8
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    Tema 8

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Aplicaciones de la Derivada Aplicaciones de la Primera DerivadaMonotona (Crecimiento/Decrecimiento)Extremos relativos (Mximos Mnimos) Aplicaciones de la Segunda DerivadaCurvatura (Concavidad/Convexidad)Puntos de inflexin Representacin grfica de funciones Optimizacin

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Una funcin f es creciente en (a, b) si f (x1) < f (x2) cuando x1 < x2.Una funcin f es decreciente en (a, b) si f (x1) > f (x2) cuando x1 < x2.Crecimiento/DecrecimientoDecrecienteCrecienteCreciente

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Si f (a) > 0 f es estrictamente creciente en x = a.Si f (a) < 0 f es estrictamente decreciente en x = a.Derivada y monotona de una funcinFuncin decreciente en x = 1Recta tangente con pendiente negativa, m < 0Funcin creciente en x = 1Recta tangente con pendiente positiva, m > 0No es creciente ni decreciente en x = 0.f (0) = 0m = f (1) < 0m = f (1) > 0

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Intervalos de crecimiento y decrecimientoPendiente positivaf (x) > 0 en a < x < b f(x) es creciente en (a, b)f (x) < 0 en a < x < b f(x) es decreciente en (a, b)Pendiente negativaSi f (x) = 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b)Si f (x) < 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es decreciente en (a, b)Si f (x) > 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es creciente en (a, b)

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    La funcin pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa, en un punto x = a en una de las situaciones siguientes:Por tanto, bastar estudiar los intervalos determinados por estos puntos para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento.MximoMnimoIntervalos de crecimiento y decrecimiento

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Diagrama de signos para determinar los intervalos donde f (x) es Crec./Decr.:b. Si f (x) < 0, f es decreciente en ese intervalo.a. Si f (x) > 0, f es creciente en ese intervalo.2. Prueba un punto c en cada intervalo para obtener el signo de f (c).Intervalos de crecimiento y decrecimiento1. Hallar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0 o f (x) es discontinua e identificar intervalos abiertos con estos puntos.

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    EJEMPLODetermina los intervalos de crecimiento de la funcin f(x) = x3 6x2 + 1Calcula la derivada de la funcin: f (x) = 3x2 12x3x2 12x = 03x(x 4) = 0+ +Intervalos de crecimiento y decrecimientof es creciente en (, 0) (4, +)f es decreciente en (0, 4)Resuelve la ecuacin f (x) = 0 :f (x) es un polinomio, luego no tienepuntos de discontinuidad; as que losintervalos a considerar son:(, 0) (0, 4) (4, +)Prueba un punto c en cadaintervalo para obtener elsigno de f (c).f (1) = 3(1)2 12(1) = 15 > 0f (1) = 312 121 = 9 < 0f (5) = 352 125 = 15 > 0

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    EJEMPLODetermina los intervalos de crecimiento de x2 4 = 0Determinamos los puntos de discontinuidad de f : x = 0Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :(, 2), (2, 0), (0, 2), (2, +)f (3) = 5/9 > 0f (1) = 3 < 0f (1) = 3 < 0f (3) = 5/9 > 0+ +f es creciente en (, 2) (2, +)f es decreciente en (2, 0) (0, 2)Intervalos de crecimiento y decrecimientoResolvemosla ecuacin f (x) = 0

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    Puntos Crticos de f(rectas tangentes horizontales, rectas tangentes verticales y esquinas agudas y puntos de discontinuidad de f)Un punto crtico de una funcin f es un punto en el dominio de f dondef (x) = 0 o f (x) no existe

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    x = c es un punto crtico de f(x) en cada uno de los ejemplos siguientes:f (c) = 0f (c) = 0f (c) no existef (c) no existe

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    Extremos RelativosUna funcin f tiene un mximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x en (a, b). Una funcin f tiene un mnimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x en (a, b).MximoRelativoMnimoRelativo

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Si una funcin f derivable tiene un extremo relativo en x = a, entonces f (a) = 0.El enunciado recproco no es cierto. As, por ejemplo, si f (x) = x3 , se verifica que f (0) = 0 y, sin embargo, x = 0 no es un extremo de f.Extremos relativos (Mximos Mnimos)f (a2) = 0f (a1) = 0f (a3) = 0f (a) = 0

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    Los extremos relativos (Mximos y Mnimos) deberemos buscarlos entre los puntos que son solucin de la ecuacin f (x) = 0. Veamos como distinguir si un punto en el que la primera derivada se hace cero es mximo o mnimo a partir de:- El signo de la primera derivada a ambos lados del punto.- El signo de la segunda derivada en el punto.Extremos relativos (Mximos Mnimos)

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    La prueba de la Primera Derivadaf(c) es un mximo relativof(c) es un mnimo relativof(c) no es extremo relativof(c) no es extremo relativo1. Determina los puntos crticos de f, en los que f (x) = 02. Determina el signo de la derivada de f a la izquierda y a la derecha del punto crtico.Extremos relativos (Mximos Mnimos)

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    a) Mximob) Mnimoc) Sin Mximo ni Mnimod) Sin Mximo ni MnimoExtremos relativos (Mximos Mnimos)

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    EJEMPLOHalla los extremos relativos de f(x) = x3 6x2 + 1 f (x) = 3x2 12x3x2 12x = 03x(x 4) = 0+ +Mximo Relativof (0) = 1(0, 1)Mnimo Relativo f (4) = 31(4, 31)Extremos relativos (Mximos Mnimos)

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    EJEMPLOx2 1 = 0ox3 3x = 0f (x) = 0f (x) no definidaHalla los extremos relativos deMn. relativoMx. relativo+ + + +Signo de f (x)Extremos relativos (Mximos Mnimos)

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    La prueba de la Segunda Derivada1. Calcula f (x) y f (x).2. Halla los puntos crticos, c, en los que f (x) = 0.Si f (a) = 0 y f (a) < 0 f tiene un mximo relativo en x = a.Si f (a) = 0 y f (a) > 0 f tiene un mnimo relativo en x = a.f (a) = 0 recta tangente horizontal en x=af (a) < 0 las pendientes de las rectas tangentes decrecen en un entorno de a.Luego, f tiene un mximo relativo en x = a.f (a) = 0 recta tangente horizontal en x=af (a) > 0 las pendientes de las rectas tangentes crecen en un entorno de a.Luego, f tiene un mnimo relativo en x = a.Extremos relativos (Mximos Mnimos)

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    Clasifica, usando la derivada segunda, los extremos relativos de EJEMPLOf (x) = x 4 4x3 + 4x2 5f (x) = 4x3 12x2 + 8x= 4x(x 2)(x 1)Puntos crticos: x = 0, 1, 2f (x) = 12x2 24x + 8f (0) = 8 > 0f (1) = 4 < 0f (2) = 8 > 0Extremos relativos (Mximos Mnimos)Mximo rel.: (1, 4)Mnimos rel.: (0, 5) (2, 5)

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    Curvatura de una funcin en un puntoEn un entorno de a el valor de la funcin es mayor que el de la recta tangente en x = a (la funcin est por encima de la recta tangente). Diremos que f es convexa en x = a.En un entorno de b el valor de la funcin es menor que el de la recta tangente en x = b (la funcin est por debajo de la recta tangente). Diremos que f es cncava en x = a.Si f es una funcin dos veces derivable en un punto x = a, podemos determinar su curvatura a partir del signo de la derivada segunda.

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    Si f (a) > 0 f es convexa en x = a.Si f (a) < 0 f es cncava en x = a.Derivada y curvatura de una funcinEn el entorno de un punto en el que la funcin es convexa, cuando aumenta el valor de x aumenta tambin el valor de las pendientes de las rectas tangentes.Por el contrario, en el entorno de un punto en el que la funcin es cncava, cuando aumenta el valor de x disminuye el valor de las pendientes de las rectas tangentes.

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    Convexa(hacia arriba)ConvexaConvexaCncavaCncava(hacia abajo)Sea f una funcin derivable en (a, b).1. f es convexa (o cncava hacia arriba) en (a, b) si f es creciente en (a, b). Es decir, f (x) > 0 para cada valor de x en (a, b).2. f es cncava (o cncava hacia abajo) en (a, b) si f es decreciente en (a, b). Es decir, f (x) < 0 para cada valor de x en (a, b).Derivada y curvatura de una funcin

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    La grfica de f (x) = x3 es cncava en (, 0) y convexa en (0, +)Derivada y curvatura de una funcin

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    Intervalos de curvaturaSi f (x) > 0, para todo x del intervalo (a, b) f es convexa en (a, b).Si f (x) < 0, para todo x del intervalo (a, b) f es cncava en (a, b).Una funcin pasar de cncava a convexa, o viceversa, en uno de los puntos siguientes:Punto de inflexin

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    Determinar los Intervalos de Curvaturaf (c) > 0 f es convexa en el intervalo.f (c) < 0 f es cncava en el intervalo.Determina el signo de f en cada intervalo del paso 1 probando un punto, c , de cada intervalo.Determina los valores para los que la segunda derivada de f es cero o no definida. Identifica los intervalos abiertos con estos puntos.Intervalos de curvatura

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    EJEMPLODetermina los intervalos de curvatura de la funcin f(x) = x3 6x2 + 1 f (x) = 3x2 12xf (x) = 6x 12 = 6(x 2)f convexa en (2, )f cncava en (, 2) +f (x) = 0 6(x 2) = 0 x = 2Intervalos de curvatura

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    EJEMPLOHalla los intervalos de curvatura de la funcin f(x) = x4 2x3f (x) = 4x3 6x2f (x) = 12x2 12x12x2 12x = 0 f no tiene puntos de discontinuidad porque es un polinomioConsideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :(, 0), (0, 1), (1, +)f (1) = 24 > 0f (0,5) = 3 < 0f (2) = 24 > 0x = 0 y x = 1+ +f es convexa en (, 0) (1, +)f es cncava en (0, 1)Resolvemos la ecuacin f (x) = 0 Intervalos de curvatura

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    Puntos de InflexinUn punto en la grfica de f en el que la recta tangente existe y cambia la concavidad se llama un punto de inflexin.Para hallar los puntos de inflexin, halla cualquier punto, c, del dominio donde f (x) = 0 o f (x) no est definida.Si f cambia de signo de la izquierda a la derecha de c, entonces (c, f (c)) es un punto de inflexin de f.

    APLICACIONES DE LAS DERIVADASPg. *Tema 8

    Puntos de inflexinUn punto x = a es un punto de inflexin de una funcin f si en l la funcin pasa de ser cncava a convexa, o viceversa.Si una funcin f dos veces derivable tiene un punto de inflexin en x = a, entonces f (a) = 0.El enunciado recproco no es cierto. Para ver si un punto en el que f (a) = 0 es un punto de inflexin podemos utilizar la siguiente prueba:Si f (a) = 0 y f (a) 0 f tiene un punto de inflexin en x = a.

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    EJEMPLODetermina los puntos de inflexin de la funcin f(x) = x3 6x2 + 1 f (x) = 3x2 12xf (x) = 6x 12 = 6(x 2)f convexa en (2, +)f cncava en (, 2) +f (x) = 0 6(x 2) = 0 x = 2Puntos de inflexin

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    Asntotas VerticalesAsntotas HorizontalesLa recta y = b es una asntota horizontal de la grfica de la funcin f siLa recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin f si lm f (x) = b ox lm f (x) = bx +lm f (x) = ox alm f (x) = x a+

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    Asntotas de Funciones RacionalesSea una funcin racionalentonces x = a es una asntota vertical si Q(a) = 0 pero P(a) 0.f tiene una asntota vertical en x = 5. y = 3 es una asntota horizontalx = 5 hace 0 el denominador,pero no el numerador.

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    EJEMPLODivide por la mayor potencia de xAsntotas de Funciones Racionalesx 5x2 = 0

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    1. Dominio de f.2. Puntos de corte con los ejes de f, si es posible.4. Asntotas horizontales y verticales.3. Comportamiento en el infinito de f.5. Intervalos donde f es creciente/decrec.6. Extremos relativos de f. 7. Concavidad de f. 8. Puntos de inflexin de f. 9. Dibuja f, usa puntos adicionales si es necesario.Esquema para trazar curvasRepresentacin grfica de funciones

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    EJEMPLODibuja la grfica de: f (x) = x3 6x2 + 9x +11. Dominio: (, ).2. Puntos de corte con los ejes: (0, 1)3. lm f (x) = + y lm f (x) = x + x 4. No tiene asntotas8. Punto de Inflexin: (2, 3)5. f (x) = 3x2 12x + 9f crec. en (, 1) (3, ), dec. en (1, 3)6. Mximo relativo: (1, 5); mnimo relativo: (3, 1)f cncava en (, 2); convexa en (2, +).7. f (x) = 6x 12

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    Grfica: f (x) = x3 6x2 + 9x +1Corte con eje Y (0, 1)Mx.(1, 5)Mn. (3, 1)P.I.(2, 3)

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    EJEMPLODibuja:1. Dominio: x 32. Puntos de corte con los ejes: (0, 1) y (3/2, 0)4. Asntotas Horizontal: y = 2; Vertical: x = 3f es creciente en (, 3) (3, +).6. No tiene extremos relativos.f es cncava hacia abajo en (3, ) y cncava hacia arriba en (, 3).8. No tiene puntos de inflexin

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    Grfica:A.H.y = 2A.V.x = 3

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    Extremos AbsolutosUna funcin f tiene un mximo absoluto en x = c si f (x) f (c) para todo x en el dominio de f.Una funcin f tiene un mnimo absoluto en x = c si f (x) f (c) para todo x en el dominio de f.Mnimo AbsolutoMximo Absoluto

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    Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un mximo y un mnimo absoluto en [a, b].Alcanza max. y min.Alcanza min. pero no max.No min. y no max.Intervalo abiertoNo continuaExtremos Absolutos

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    Extremos Absolutos en un Intervalo CerradoPara hallar los extremos absolutos de una funcin f en un intervalo cerrado [a, b]1. Halla los puntos crticos de f en (a, b).2. Calcula f en cada punto crtico y en los extremos del intervalo:Mayor valor = Mximo AbsolutoMenor valor = Mnimo Absolutof (x) = 3x2 6x = 3x(x 2)Valores crticos en x = 0, x = 2Evalaf (0) = 0f (2) = 4f (4) = 16

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    EJEMPLOHalla los extremos absolutos de en [3, )Grficamente:Mx. Absoluto(3, 1)Extremos AbsolutosNota que el intervalo no es cerrado.Tiene mximo, pero no tiene mnimo.

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    Asigna una letra a cada variable mencionada en el problema. Un dibujo pude ayudar.Encuentra una expresin para la cantidad a optimizar.Usa las condiciones para escribir la expresin como una funcin en una variable (observa cualquier restriccin del dominio).4. Optimiza la funcin.Problemas de Optimizacin

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    xxx4 2x4 2xxEJEMPLOUna caja abierta por arriba se forma cortando cuadrados idnticos en las esquinas de un cartn cuadrado de 4 dm por 4 dm. Calcula las dimensiones de la caja que hacen que su volumen sea mximo.V = largoanchoalto = (4 2x)(4 2x)x; x en [0, 2]V(x) = 16x 16x2 + 4x3V (x) = 16 32x + 12x216 32x + 12x2 = 0Puntos crticos: x = 2, x = 2/3V(2) = 0V(0) = 0V(2/3) 4,74 dm2Las dimensiones son 8/3 dm por 8/3 dm por 2/3 dm que dan cajas de volumen mximo de 4.74 dm3.Problemas de Optimizacin

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    Una compaa estima que la demanda de un producto flucta con su precio.La funcin de demanda esq = 1800 2 pdonde q es el nmero de unidades demandadas y p el precio de cada unidad. El costo total de producir q unidades esC(q) = 135000 + 6 q + 0,1 q2

    a) Hallar cuntas unidades q deben producirse para maximizar el beneficio.b) Hallar el precio que debe fijarse.c) Hallar el beneficio esperado.SolucinEl beneficio es igual a los ingresos menos los costos. La funcin de costos la tenemos. Debemos expresar la funcin de ingreso I. Sabemos que el ingreso es el producto de las unidades vendidas por el precio de cada una, I = p q. El problema se debe resolver en trminos de las unidades q, as que obtenemos p de la ecuacin de demanda:EJEMPLOProblemas de Optimizacin

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    c) El beneficio esperado es B(745) = 894745 -0,67452 350 = = 666030 333015 135000 = 198015 El Beneficio B es Ingresos menos Costos:a) Para obtener el mximo derivamos e igualamos a cero:Como la segunda derivada B (q) < 0 siempre, estamos en presencia de un mximo.As, el nmero de unidades que proporciona el mximo beneficio es de 745.b) Al reemplazar las unidades en la funcin de demanda tendremos el precio que debe fijarse:745 = 1800 2 p p = 527,5 B (q) = 894 1,2q = 0 q = 745B(q) = I(q) C(q)B(q) = 894q 0,6q2 135000Problemas de OptimizacinReemplazando en la funcin de ingreso:

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    En un da desapacible, la temperatura T en grados centgrados vari con el tiempo t en horas segn la funcinT (t) = t2 9t + 8 para 0 t 12.a) Calcula la temperatura a las dos de la maana.b) Cul fue la temperatura mnima? A qu hora?c) A qu hora hubo 0 grados?d) Halla T (2) y explica su significado.e) Representa grficamente la funcin.Solucina) Como T (t) = t2 9t + 8 , 0 t 12, la temperatura a las dos de la maana, T(2), ser:T (2) = 22 92 + 8 = 6 Cb) Hallamos T (t)T (t) = 2t 9 = 0A las 4,5 horas se alcanz la temperatura mnima de T(4,5) = 12,25 CProblemas de OptimizacinEJEMPLO

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    c) Para obtener la hora en que hubo 0 grados, resolvemos T (t) = 0T (t) = t2 9t + 8 = 0t = 1t = 8d) T (2) = 22 9 = 5Significa que a esa hora la temperatura est bajando a razn de 5C por hora.Hubo 0 C a las 1 horas y a las 8 horas.e)Problemas de Optimizacin