MATEMÁTICA APLICADA A LOS

NEGOCIOS

Unidad 3: La derivada

5.2 Sesión Online

Aplicaciones a la economía.

Logro de la sesión

• Al finalizar la sesión presencial 2, el alumno resuelve situaciones asociadas a razones de cambio, análisis marginal y máximos y mínimos, dentro del contexto de la Economía.

Razón de cambio instantánea

Ejemplo 1

Un comerciante determinó que el ingreso, en miles de soles, por la venta de un producto es donde q es la cantidad producida y vendida en cientos de unidades.

a. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del ingreso si la cantidad cambia de q =5 a q =10 (cientos de unidades)?

b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto a la cantidad vendida para q =5 cientos de unidades.

c. Interprete los resultados obtenidos en los ítems a y b.

210000010)( qqqI

a. Primero calculamos el ingreso para q = 5 cientos y para q = 10 cientos

soles de miles 47500)5(100)5(00010)5( 2 I

soles de miles 90000)10(100)10(00010)10( 2 I

Entonces la razón de cambio promedio cuando la cantidad cambia de 5 cientos a 10 cientos será:

unidadsoles

85000ciento

soles de miles8500

5104750090000

510)5()10(

II

b. Para hallar la razón de cambio instantánea en q = 5 cientos, calculamos la derivada de la función ingreso en q = 5; o sea,

unidadsoles

90000ciento

soles de miles9000)5(20000010)( IqqI

c. Interpretación de la razón de cambio promedio: “Cuando la cantidad cambia de 500 a 1000 unidades, el ingreso aumenta, en promedio, a razón de 85000 soles por unidad”.

Interpretación de la razón de cambio instantánea: “Cuando la cantidad vendida es de 500 unidades, el ingreso aumenta a razón de 90 000 soles por unidad”.

Ejemplo 2

La función de ingreso por la venta de x juguetes esy la función de costo total es , donde I y C están en dólares.

a. ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de la utilidad, cuando se producen y venden 10 unidades?

b. Interprete el resultado.

xxI 2)( xxxC 22,0100)(

a. Primero, obtenemos la función utilidad:

Luego, derivamos la función utilidad y la evaluamos en x = 10:

22 2,01002,01002)()()( xxxxxxCxIxU

unidaddólares

3)10( 4,01)( UxxU

b. Interpretación:

“Si se producen y venden 10 juguetes, la utilidad disminuye a una razón de 3 dólares por unidad”.

Ejemplo 3

Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de educación, cuando busca empleo por primera vez puede esperar recibir un ingreso anual medio de I dólares, donde:

Halle la razón de cambio instantánea del ingreso con respecto al número de años de educación. Evalúela cuando x = 9 e interprete el resultado.

164;59005)( 2

5

xxxI

a. Primero, derivamos la función ingreso dada:

2

3

225

)( xxI

Evaluamos la derivada de la función ingreso en x = 9

añodólares

5,337)9(225

)9( 2

3

I

Interpretación:

“El ingreso de una persona, cuando tiene 9 años de educación, aumenta a razón de 337,5 dólares por año adicional de educación”

Ejercicio 1Un comerciante determinó que el costo, en miles de soles, por la producción de un producto es

donde x es la cantidad producida en cientos de unidades.

a. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del costo cuando la cantidad cambia de x=10 a x=20 (cientos de unidades)?

b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto a la cantidad vendida para x=10 cientos de unidades.

c. Interprete los resultados obtenidos en los ítems a y b.

202,0520)( xxxC

Rpta. a. 56 dólares/ unidad b. 54 dólares/unidad c. Cuando la cantidad cambia de 1000 a 2000 unidades, el costo aumenta, en promedio, a razón de 56 dólares por unidad. Cuando la cantidad producida es de 1000 unidades, el costo aumenta a razón de 54 dólares por unidad.

Ejercicio 2

Una empresa se dedica a la venta de casacas de cuero. Sabiendo que la función ingreso, en soles, por la venta de x casacas es y que el costo, en soles, por la producción de x casacas es

a. ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de la utilidad, cuando se producen y venden 50 unidades?

b. Interprete el resultado.

xxI 150)( xxxC 8035,05000)( 2

a. 35 soles/unidad b. Si la cantidad producida y vendida es de 50 unidades, la utilidad aumenta a razón

de 35 soles por unidad.

Ejercicio 3

Durante el mes de enero las acciones de una empresa han tenido una cotización, en soles, que viene dada por la función , donde x representa el número de días transcurridos del mes.

Se pide:a. Determinar la razón de cambio instantánea de la cotización de las acciones para x = 12.

b. Interprete el valor hallado en la parte a.

10031,0)( 2 xxxC

Rpta. a. -0,6 soles / día b. Si han transcurrido 12 días, el valor de la acción disminuye a razón de 0,6 soles por día.

Análisis Marginal

Ejemplo 1Los costos mensuales, en soles, de una empresa vienen dados por: . Halle el costo marginal para x = 50. Interprete.

50003002,0)( 2 xxxC

Solución

Primero hallamos el costo marginal, el cual se obtiene derivando la función costo.

3004,0)(' xxC

Luego, evaluamos el costo marginal para x = 50

unidadsoles

3230)50(04,0)50(' C

Finalmente, interpretamos el resultado:El costo adicional aproximado por pasar a producir de 50 a 51 unidades será de 32 soles.

Ejemplo 2Una empresa se dedica a la producción y venta de ciertos artículos. Se sabe que el costo y el ingreso, en miles de soles, son e . Si x está en miles de unidades, se pide:a. La utilidad al producir y vender x miles de unidades.b. La utilidad marginal cuando x = 6 mil unidades.c. Interprete la utilidad marginal de la parte b.

11623,0)( 2 xxxC xxxI 1102,0)( 2

Solucióna. Recordemos que U = I – C , entonces:

11525,011623,01102,0)( 222 xxxxxxxU

b. Para hallar la utilidad marginal debemos derivar la función utilidad hallada en a. y evaluarla en x = 6.

unidadsoles

2millar

soles de miles25)6(5,0)6('55,0)(' UxxU

c. Si se tienen 6 mil unidades vendidas, producir una unidad adicional (la 6001) genera una utilidad de 2 soles, aproximadamente.

Ejemplo 3

Suponga que la ecuación de demanda para el Club de Salud es donde p es la cuota anual en dólares y q es la cantidad de socios al año. Si cada nuevo socio cuesta $120 anuales al Club de la Salud por concepto de exámenes médicos y entrenamiento personal y suponiendo que el costo fijo es nulo, determine:

a. Las funciones de ingreso y utilidad marginal.

b. La utilidad marginal para q = 15 y q = 25 e interprete los resultados.

qp 20960

a. La función de ingreso es el producto del precio p y la demanda q. Por ello, el ingreso será: 22096020960)( qqqqpqqI

El costo será: qqC 120)(

Entonces, la utilidad será: 22 2084012020960)( qqqqqqU

Con la utilidad ya podemos calcular la utilidad marginal:

qqU 40840)('

b. Para q=15, la utilidad marginal es 840-40(15)=240 dólares/socio Si se tiene 15 socios, el tener un socio adicional (el socio 16) genera una utilidad de 240 dólares, aproximadamente.

Para q=25, la utilidad marginal es 840-40(25)= -160 dólares/ socio Si se tiene 25 socios, el tener un socio adicional (el socio 26) genera una pérdida de 160 dólares, aproximadamente.

Solución

Ejercicio 1

Los costos mensuales, en soles, de una empresa vienen dados por: . . Halle el costo marginal para x = 40. Interprete.

40002505,0)( 2 xxxC

Rpta. El costo marginal es 29 soles / unidad.

Interpretación: Si se producen 40 unidades, el costo aproximado de producir la unidad 41 será de 29 soles.

Ejercicio 2Una empresa importa relojes de China y los vende en el mercado peruano. Se sabe que sus costos e ingresos están en miles de soles y vienen dados por e . Si x está en miles de unidades, se pide: a. La utilidad al producir y vender x miles de unidades.b. La utilidad marginal cuando x = 6 mil unidades.c. Interprete la utilidad marginal de la parte b.

8065,0)( 2 xxxC

xxxI 1615,0)( 2

Rpta. a. b. 2,2 soles/ unidad c. Si se producen y venden 6 mil unidades, la utilidad aproximada por la unidad 6001 es de 2,2 soles.

801065,0)( 2 xxxU

Ejercicio 3Suponga que la ecuación de demanda para el Club de Salud es donde p es la cuota anual en dólares y q es la cantidad de socios al año. Si cada nuevo socio cuesta $100 anuales al Club de la Salud por concepto de exámenes médicos y entrenamiento personal y suponiendo que el costo fijo es nulo, determine:

a. Las funciones de ingreso y utilidad marginal.b. La utilidad marginal para q = 20 y q = 30 e interprete los resultados.

qp 12780

Rpta. a. b. 200 dólares / socio y -40 dólares por socio. Si se tienen 20 socios, la utilidad que se genera por el socio 21 es de aprox. $200 Si se tienen 30 socios, la pérdida que se genera por el socio 31 es de aprox. $40

qqUqqqI 24680)( 12780)( 2

Máximos y Mínimos

EjemplosPara cada una de las funciones dadas, halle el valor máximo y mínimo.a. 40 , 42)( 2 xxxxf

Solución

Paso 1: Derivar la función 22)(' xxf

Paso 2: Igualar la derivada a cero y hallar los valores críticos1022 xx Sí pertenece al intervalo

Paso 3: Se tabula la función en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

x 1 0 4

f (x) 3 4 12

El valor máximo es 12 y ocurre para x=4; en cambio, el mínimo es 3 y ocurre en x = 1

b. 25,1393)( 23 xxxxxg

Solución

Paso 1: Derivar la función 963)(' 2 xxxg

Paso 2: Igualar la derivada a cero y hallar los valores críticos130963 2 xxxx 3 no pertenece al

intervalo…se descarta

Paso 3: Se tabula la función en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

x -1 -5 2

f (x) -8 -168 -35

El valor máximo es -8 y ocurre para x = -1; en cambio, el mínimo es -168 y ocurre en x = -5

EjerciciosPara cada una de las funciones dadas, halle el valor máximo y mínimo.

a.

b.

20,9157)( 23 xxxxxf

41 , 2323

)( 23

xxxx

xg

a. El máximo es 32/27 y el mínimo, -9b. El máximo es -2/3 y el mínimo, -22/3

Ejemplo 1

Una empresa estima que su ingreso en miles de dólares, está dado por:

donde x está en miles de unidades.

a. Halle cuántas unidades se deben vender para alcanzar el ingreso máximo.

b. Halle el ingreso máximo.

700con x32408000)( xxxxI

Solución

Paso 1: Derivar la función ingreso: 23808000)(' xxxI

Paso 2: Igualar la derivada a cero y hallar los valores críticos

3200

4003808000 2 xxxx Se descarta el negativo pues no pertenece al intervalo

Paso 3: Se tabula la función ingreso en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

x 40 0 70

I (x) 192 000 0 21 000

El ingreso máximo es 192 000 miles de dólares y ocurre para un nivel de producción de 40 mil unidades.

Ejemplo 2

Una empresa ha determinado que las funciones Costo total e Ingreso (ambas expresadas en miles de dólares) para la producción y venta de cierto producto vienen dadas por:

respectivamente, donde x representa la cantidad producida, en miles de artículos. Encuentre la utilidad máxima que se puede alcanzar.

70; x144)( 2 xxxC

32

3

140)( xxxxI 70; x

Solución

Paso 1: Derivar la función utilidad: 236)(' xxU

Paso 2: Igualar la derivada a cero y hallar los valores críticos

66036 2 xxx Se descarta el negativo pues no pertenece al intervalo

Paso 3: Se tabula la función ingreso en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

x 6 0 7

I (x) 130 -14 123,67

La utilidad máxima es 130 mil dólares y ocurre para un nivel de producción de 6 mil unidades.

Primero hallamos la función utilidad:

1431

3614431

40)( 3232 xxxxxxxxU

Ejemplo 3

La utilidad mensual, en miles de soles, que obtiene una empresa está dada por: donde x es el número de artículos vendidos, en miles.Además, .Determine el volumen de ventas que maximiza la utilidad e indique la utilidad máxima.

10402)( 2 xxxU

150 x

Solución

Paso 1: Derivar la función utilidad: 404)(' xxU

Paso 2: Igualar la derivada a cero y hallar los valores críticos

100404 xx Se considera el valor pues pertenece al intervalo dado

Paso 3: Se tabula la función ingreso en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

x 10 0 15

I (x) 190 -10 140

La utilidad máxima es 190 mil dólares y ocurre para un nivel de producción de 10 mil unidades.

Ejercicio 1

Una empresa estima que su ingreso en miles de dólares, está dado por:

donde x está en miles de unidades.

a.Halle cuántas unidades se deben vender aproximadamente para alcanzar el ingreso máximo.

b. Halle el ingreso máximo.

800con x32

31

206000)( xxxxI

Rpta. a. 60 mil unidades b. 216 000 000 dólares

Ejercicio 2

Una empresa ha determinado que las funciones Costo total e Ingreso (ambas expresadas en miles de dólares) para la producción y venta de cierto producto vienen dadas por:

respectivamente, donde x representa la cantidad producida, en miles de artículos. Encuentre la utilidad máxima que se puede alcanzar.

60; x214)( 2 xxxC

32

32

54)( xxxxI 60; x

Rpta. Aprox. 145 667 dólares.

Ejercicio 3

La utilidad mensual, en miles de soles, que obtiene una empresa está dada por: donde x es el número de artículos vendidos, en miles.Además, .Determine el volumen de ventas que maximiza la utilidad e indique la utilidad máxima.

2001503)( 2 xxxU

3015 x

Rpta. 25 000 unidades - 1675 000 soles