Derivadas-ejercicios Resueltos y Aplicaciones (Nxpowerlite)

7/31/2019 Derivadas-ejercicios Resueltos y Aplicaciones (Nxpowerlite)

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-ejercicios-resueltos-y-aplicaciones-nxpowerlite 1/37

Ej e rc icios de Ap l i cación d e la der i vada con r ect as tang

1) Dadas las funciones ⎜⎝

⎛ −−=−=

21)(1)(

xSen x y x x f

π ϕ

0(1)f´

(1)´

c2

π´(1)

2

xπcos

2

π(x)´

2

π

2

xπcos(x)´

1(1)f´1f´(x)

=

−=⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

−=⇒−=

ϕ

ϕ ϕ ϕ

2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la cu

punto cuya abscisa es x = 0?

arctθ1θtg0xpara2x.1θtgθtgm

2x1m2x1y´tg

=⇒=⇒=−=⇒=

−=⇒−=



6) Determine el valor de la primera derivada de la función I(

X=0, Donde0I , B y A son constantes.

( ) ( )Ax Ax Ax e AB Be I x I Be I x I −−−

−

− −+−=′⇒⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2

1

1)(1)( 00

( ) ( ) ( 20

0

2Ax

Ax

1

I(0)I´

Be1

eABI(0)I´

Be1

eABII´(x) 000

+=⇒

+=⇒

+=

−

−

7) Hallar el punto de la curva 21

1

x y += cuya ecuación de

paralela al eje oy.

( ) ( ))1,0(1)0(00

1

2

1

2´

:existe0ysiox,ejealparalelaestagrectaLa

22⇒=⇒=⇒=

+−⇒

+−=

=′

p f x x

x

x

x y



11) Una recta que pasa por el punto (0, 54) es tangent

Hallar el punto de tangencia.

2754)3(3)()(54)()(),(54)(

)54,0()(Re:

32323

11

=⇒−=⇒+=⇒=′⇒=+′=⇒+′=

⇒∈⇒−=−⇒ tg tg tg

a a a a a a a f a a f a a f a f tg pto es b a p si x x f y

yl p x x m y y Tg cta l sea

12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horiz

a) f(x)= x2

-3x+2 b) f(x)= x3

-6x+5

−=+−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇒=⇒=−=

=′

4

12

2

9

4

9

2

3

2

3032)´()

0)(

PtoEl f x x x f a

x f si horizontal es tg La



14) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva 43= x y

paralelas al eje de abscisas.

( ) ( )

2 23 2´ 12 12 24 ´ 12 2 12

( ) 0

20 12 2 12 0 0

22 0 2 1 0

2 0 2; 1 0 1

.

(0) 20

y x x x y x x x m x x xtg

tg m Como son paralelas al eje de las abscisas f xtg

x x x x x

x x x x

x x x x

Sust en la función

f pto

θ

⎛ ⎞ ⎛ = + − ⇒ = + − ⇒ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

′= =

⎛ ⎞= + − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − = ⇒ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = ⇒ = − − = ⇒ =

= ⇒ (0, 20); ( 2) 12 ( 2,12); (1) 3 ( f pto f pto− = ⇒ − = − ⇒



[[ +∞−= ,2)() f Domb 22

1)´(

+−=

x x f

Si x =-2 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =2 la grtangente vertical.

17) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertic

x x f b x x f a =−= )()36)() 2

La gráfica tiene tangente vertical en x =a si f´(a) no existe.

[ ]2 36

)(362

2)´(6,6)()

xx f

x

x x f f Dom a =′⇒

−−=⇒−=

Si 6±= x entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en 6±= x launa tangente vertical.

[[ +∞= ,0)() f Domb x

x f 2

1)´( =

Si x =0 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto en x = 0 la grátangente vertical



20) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la

el punto cuya abscisa es 4= x

4

1

42

1

2

1

2

1´ =⇒=⇒=⇒=

tg tg tg m m

x m

x y

Sustituimos el valor de 4= x en la parábola para saber el pu

( )( ) ( ) 44424

4

1

12:

4448444

1

2:

)2,4(24

+⇒−−=−⇒−−=−

=+−⇒−=−⇒−=−

=⇒=

yx x y x y N

R

y x x y x y tg R

P y y to

21) Determine el punto P de la gráfica de 4x2y −= , p



24) En que punto la recta tangente a 32 23 +−= x x y en (2,3)

)5,0(50

4)2(434)2(43 2

−⇒−=⇒=

−=⇒−=−⇒=′⇒−=′

c p y x

x y x y y x x y

25) Usando derivada encontrar el vértice de la parábola = y

En el vértice de la parábola, la recta tangente a la gráfica tie

Luego, el vértice de la p12)2(

8)2(4)2()2(

20420´

2

−=−

−−+−=−

−=⇒=+⇒=

y

y

y



27) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la

el Punto (1,0).

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

tg

tg

x x x y x y

R y x y

mm

x

y x y

1011011

0

010113

1)1(

13

1´1

3

1´

3 23 2

3 / 2

−⇒+−=⇒−−=−∞⇒−∞

−=−

=⇒−∞=−

⇒−

==−

=⇒−=−



29) En que punto de la curva: 22 x x y x −=+ la recta tan

bisectriz del primer cuadrante.

xdx

dy x

dx

dy x x x y x 4121222 −=⇒−=+⇒−=+

Sea (a, (a)) el punto de la curva, donde la tangente es cuadrante.Sea x y L =: , la recta tangente a la curva (ya que, L div

iguales, el primer cuadrante) entonces 141 =⇒=− a a

Luego, 0020)0( 2 =−=y Por lo tanto, el punto es (0,



31) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva

perpendicular a la recta .0436 =−− y x

( )

( )

[ ]

( )

1/ 2

2 2

1 13 ´ 3 ´

22 3

6 3 4 0 2 4 /3 2

1

2

1 12 3 2 3 1 3 1

2 2 3

3 4 3 1 (4,1)2

11 4 2 2

2

recta

y x y x y

x x y y x m

Como es perpendicular a la recta tg mtg

x x x x

Sust x en la ec y x y y y Pto m

y x y x

−= − ⇒ = − ⇒ =

−− − = ⇒ = − ⇒ =

−⇒ =

− ⎡ ⎤/ /= ⇒− − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⎣ ⎦−

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −

− = − − ⇒ − =− + 4 2 6 0 x y Rtg⇒ + − =



33) Calcular la ecuación de la recta tangente y una ecuació

a la curva x

y1

= , que es paralela a la recta 062 =−+ y x .

t cta mm x

y x

y y x y y2

13

22

6062

1´

1Re

3=−=⇒+

−=⇒

+−=⇒=−+−⇒=



35) Determine los puntos en la curva3

1)(

+

+=

x

xxf donde

paralela a la recta de la ecuación 529 =+ yx y determine la

tangente en dichos puntos.



36) Determine el o los puntos donde la gráfic

54622 +−=+ y x y x tiene tangentes paralelas a la recta = y

x y y x

y x y

xmmsi

m x y ycon y

x

dx

dy

x

dx

dy y

dx

dy

dx

dy y x y x y x

tgrecta

recta

−=⇒=−

=−⇒=+

−⇒=

=⇒+=−≠+

−=

−=+⇒−=+⇒+−=+

1222

226142

26rectalaaparalelaesl

14242

26

26)42(4622546

tg

22

5446215)1(46)1(

546x)-1(x,puntoel

2

2222

22

⇒⇒

++−=+−+⇒+−−=−+

+−=+∈

x x x x x x x x x

y x y x



37) ¿En qué punto de la curva 32 2 x y = la tangente es per

0234 =+− y x ?

( )

( )

124)

1(

311,

1

16

1

256

1

256

1

512

2

8

12.

8 / 100812

24212232

3

4

3:(*)

4

31;

3

4

3

240234:

233

´2

6´6´22

3

3

222

323

3

2

3222

232

+−=⇒−

−=+⇒⎟

⎞⎜⎛ −

±=⇒±=⇒±=⇒±=⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=

=∧=⇒=−

⇒=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⇒=−⇒=

−

−=⇒−==⇒

+=⇒=+−

⇒±=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

xyxyPto

y y y y ySust

x x x x

x x x x x x

xeclaenSust

mmmm x

y y x L

m x y y

xm

y

x y

y

x y x y y x y

tgrectatgrecta

tgtg



38) Determine la ecuación de la tangente a la curva y x y x −=+ c

1698

815

21

83

.8

3,

8

15

2

3

.4

9

2

332

24122412)12(2

2

1

12

12´

2

1

12

12´´1

2

`1

−=⇒⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=−

==⇒=−⇒−=+

=+⇒=+⇒=+

+−+⇒++=−+⇒++=−+⇒

=++

−+=⇒=⇒

++

−+=⇒−=

+

+

x y x y

y x y x y x y xcurvala De

y x y x y x

x y x y x y x y x y x

y x

y x ym

y x

y x y y

y x

ytg



41) Calcule la pendiente de la recta Tangente a la curv

( ) 4222222 bxa4ayx =−++ en el punto 22, , cuando a = 2 y b =

( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

5

2

)2(5

22

2

2

25

2

25

2

210

4

240

16

240

8064

24

64

22224

)2(2)2()2(42)2(8

4

48'

48'22

08'222

222

2222

222

2222

2222222

2222

−=⇒

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=⇒

−

=⇒

−

=⇒

−

=⇒

−

=

−=⇒

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++−

=⇒++

++−=

++−=++

=−+++

TgTg

TgTgTgTg

TgTg

mm

mmmmm

mma y x y

a y x x xa y

a y x x xa yya y x

xa yy xa y x



( )

( )

( )

1 1

2 1 1

2 2 2 22 2

: ( )

2 2

1: ( )

tg T g

N

T g

b L y y m x x y b x a a y a b b x

a

ba y b x b a b a a y b x b a y x a

a

a L y y x x y b x a b y b a x

m b

a x a b a b ab y a x a b y y x

b b a

− = − ⇒ − = − − ⇒ − = −

= − + + ⇒ = − + ⇒ = − −

− = − − ⇒ − = − ⇒ − =

⎛ ⎞− + −= − + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

43) Determine las ecuaciones de la recta Tangente y de

curva x senx e y x += − en el origen.

cosy'1cos )(0

senxxexesenxey'xsenxey xxxx =→ +−++−=⇒+= −−−−



44) Determine la ecuación de la recta Tangente a la cur

punto ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

3

2

2

1, .

[ ]

π π π

π

π

π

π π

π

2

1

3

)33(4

3

2

3

)33(4'

4

3

3

33

'

1

'

2

3

2

1

2

3

3

21

'

32

1

33

21

'3

2,

2

1

)(

)(1'

1)(')(1')()(cos

⎡⎤⎡

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+−=−⇒=

+−=⇒

−−

=

−=⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=⇒

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

=

=−−⇒=+−⇒=

x ym y y

y y

sen

sen

yTgPto

y xsen x

y xsen y y

xysen xy y x ysen y x y y xsen x xy

Tg



45) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva lnx y =

la recta 0332 =+− y x .

( ) ( ) 2

5

ln

2

5ln2ln23

)ln(

1

3

2

1)ln(

111)ln(

2 / 52 / 52 / 52 / 5

ln 25

25

−−−− −=⇒=

=⇒=⇒−

=⇒+=−

+−⇒=⇒⇒=

+

−=⇒−=⇒=+=′

−−

e

yeee y

x x x

xmm Llaa paralelaesesta perom

xm

mmm x y

x

recta N N recta

N

tg

N tg

AAA

( )( )

( ) ( ) 2 / 52 / 52 / 52 / 5

2 / 52 / 5

2 / 5

2

5

3

2

2

5

15

1

2

5

1ln

1

−−−−

−−

−

=⇒−−=⇒−−

+−

−=

−−+

−=

yee x yee x y

ee xe

y



Se iguala con la curva dada

145145145

2

1210

2

5610

2

)11()1(410010

01110148233

1482)3()1()3(

1482

3

1

21

222

2

2

2

−−=⇒+−=⇒±−=

±−=⇒

±−=⇒

−±−=

=++⇒−−−=−−+

−−−=+−⇒+

−−−=

+

−/

x x x

x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x

x

x

Ahora calculamos las pendientes y las rectas:

44

2)142(

)1(4)1(

)142(

42

)142(

4

)3145(

4

)3(

4

22

21212

−+−

+=⇒+

−=+

+−=⇒

++−=⇒

+=

x y x y

mm x

m tg



48) Encuentre los puntos del círculo 122 =+ y x para los qu

recta tangente vale -2.

ymy

x y y y x y x tg −⇒−=′=⇒

−=′⇒=′+⇒=+ 2022122



49) Calcular la ecuación de la recta tangente a la parábola y

de su gráfica ),( 00 y x P .

2

0000

2

00

0000

0

0

0

00

2

)()(

),(

2

2222

y px px yy px px y yy

px px y y y x x y

p y y

y

p M y x puntoelen

y

p y

y

p y p y y px y

tg

+−=⇒−=−

−=−⇒−=−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⇒=

=′⇒=′⇒=

2000 y px px yy +−=

Pero la parábola en el Pto

22),( 00002000 px px px yy px yes y x +−=⇒=



2

20

2

20

2

0

2

0

22

20

2

22

220

22

20

22

02

20

2220

200

2220

20

20

20

2

02

002

0

02

20

0 )()()(

b

y

a

x

a

x x

b

y y

ba

ya

ba

b x

ba

b x x

ba

y ya

yab x xb x y yab x xb x ya y ya

x x xab y y ya x x ya

b x y y

+=+⇒/

/+/

/

=/

/

+/

/

+=+⇒+−=−

−−=−⇒−−

=−

/

/

Pero; en el ),( 00 y x P la elipse es 12

20

2

20 =+

b

y

a

x

Entonces: 12

0

2

0 =+a

x x

b

y yEcuación de la recta Tg a la elipse.

52) Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la c

el punto .16

9,

16

1 22⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ k k

´01

−=⇒=′

+ psustal y

y y



54) Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la

puntos diferentes.Suponemos que existe una recta tangente a la curva en d

),(),( 111000 y x P y y x P se debe demostrar que .10 x x =

Para :0P

)1.()(2)(2

;)(22

200000

20

2000000

´0

Ec x x x x y x x x x y

x y pero x x x y y x y

+−=⇒−=−

=−=−⇒=

Para :1

)2.()(2)(2

)(22

211111

21

1111´1

Ec x x x x y x x x x y

x x x y y x y

+−=⇒−=−

−=−⇒=

Las ecuaciones de las tangentes y de la curva son satisfecha

012

01

2010

21

20010

21

0)(

02)(2

x x x x

x x x x x x x x x

=⇒=−

=+−⇒+−=



56) Determine los valores de las constantes a, b y c en la

cbxax y ++= 2 si ésta pasa por (1,0) y además la recta = y

en ella (-1, -4).

5235,2,3:

E-4b-2a-1en xcurvalaatangenteesdadarectalaComo

4m8--4xyDe2)(

4)1()1()1(

0)1()1()1()(

2

recta

22

22

−+=⇒−===

=+⇒=

−=⇒=⇒+=′−=+−⇒+−+−=−

=++⇒++=⇒++=

x x ycbaecuacionesdeSistema

bax x f

Eccbacba f

Ecbacba f cbxax x f



12;

)1(2)2,1(

2535

1.3´03´

3

33

223

−=−−

−⇒=−−

=⇒=+⇒=

=+=⇒=−−⇒=−−

x x y Luego

bax x ycurvalaen puntoelSustituir

aam

xSust a x ya x ybax x y

recta

2



60) Determinar un punto ),( baP en la curva de ecuación 2= y

tangente a la curva en dicho punto forma con los ejes coorden el primer cuadrante de área 25/2 con a>1.

( )

⎟ ⎞

⎜⎛

⇒⇒

⇒−±

=⇒=+−⇒−=++−−

⇒=−

+−−⇒=⇔=

−

−−+=⇒=

+−−=⇒=⇒−

−+−

−−=

−

−=⇒⇒

−

=

−

+−−=

43

;42

)32(;32

4

48497067255122

25)1(

)1()12(252

25

2:

)1(

)1()12(0

)1()12(01

12)(

)1(

1:

),(;

)1(

1)´(),(

)1(

1

)1(

1222´)

22

2

2

2

2

222

PbaSiPbaSi

aaaaaaaa

a

aaa xy xytriángulodelárea

a

aaa y xsi

aaa x ysia

aa x

a y L

eba p

a

a yba p

x x

x x yi

tg



62) Determine el valor de la constante C

,)1()1(ln 3 c x y x y =−+++ sabiendo que la recta tangent

1+= e x tiene pendiente( )

.3

1

+

+−=

e

em

Derivando la ecuación de la curva se obtiene

sustituyendo de acuerdo a la información suministrada, qued

( ) ( )

( ),

3

1

4

11

+

+−=

+

++−

e

e

ye

yeCuya solución es y = e – 1.

Haciendo ahora las correspondientes sustituciones de

en la ecuación dada .42 += eC

64) Dete mine los alo es de las constantes a



64) Determine los valores de las constantes a y

,2cos xb xsena y += sabiendo que la recta2

3= y es tangente

Al evaluar en6

π = x , la ecuación dada, queda a +

usando el hecho de que la tangente tiene pendien

.0222cos´ =−⇒−= ba xsenb xa y

Resolvamos ahora el sistema .1,202

3==⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−

=+ba

ba

ba

65) Determine los valores de las constantes a y

0933 =−+ xybyax si la recta normal en (2,1) está dada por 4

Sustituyendo las coordenadas del punto de tangencia en la

2 3 2D l i b D l i+ +



5

2 3 2

6 2 .( 4 3

8 2 2 8 2 2

4 2

De las ecuacio nes y a b c De las ecu acion es

a b c b c

b c Ec b c

b a

= + +

= − + + − = − −

= + = +

= = −



68) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la

sabiendo que la recta 045453 =−−+ y x es tangente a

abscisa x = 3

69) La recta 02+ yx es tangente en el punto (1 1) a la cu



69) La recta 02 =−+ y x , es tangente en el punto (1,1) a la cu

.0bxyayx 55 =−+ Determine los valores de las constantes a

0)1)(1()1)(1(1:

55)1,1(55

1)('1202

'0'550)'(55

44

4444

⇒=−+

⇒+−=+−⇒⇒+−=+−

=−⇒=−=⇒+−=⇒=−+

=⇒=−−′+⇒=+−′+

bcurvalaenadevalor el y pelsust

abbaPSust by xbxay

x f m x y y xrectala De

ybxyby yay x xy yb yay x

tg

tg

70) Encontrar el valor de “a” en la curva3

3

+

+=

ax

axy . Sa

tangente a la curva en 1=x es paralela a la recta 22 =+− xy

72) D i l l d l C l



72) Determine el valor de la constante C en la ecuac

sabiendo que la recta tangente a dicha curva en el punto de

pendiente .2

1−=m

( )

3cLn(1)3c1)Ln(23c1Ln2eLn:EclaenSust

Ln2yLn2y

Lne2y

e

2y

2ey

ey

e12y

ey

e

ye1

2

1y'

2

1m

y'ye1y'ye11

ye

y'

y

e1

−=⇒−=−⇒−=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

=→=→=

=+−→⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=−⇒

−=−⇒=−=

=→−=→−=−

⇒⇒−=−

pero

mlaCalcular xc Ln tg ye

73) Determine el valor de la constante c en la ecuación y =

π



75) La recta 12

−=π

y , es tangente a la curva senxa x y +=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −1

2,

2

π π . Determine los valores de las constantes a y b.

12122cos2212

122

cos2

1cos

cos10)(0cos1)('

−=⇒=−−⇒⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+=−

−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇒=⇒−=−

−+=⇒=⇒−+=

aasena

curvalaenSust

senb xa xsenxb xa

bahorizontalrectamsenxb xa x f

π π π π π π

π π π

76) Hallar las ecuaciones de las tangentes a 52169 22 =+ y x



77) Hallar los puntos de las tangentes horizontale

27164 22 =++ y xy x

( ) ( )yxyx

yy xy y x yy xy y x

222

0´32´4420´32´)(42

++/

=+++⇒=+++

59) Calcule el valor de K en la ecuación Κ+= xxy 85 2 sa



59).Calcule el valor de K en la ecuación Κ +−= x x y 85 sa

12 −= x y es tangente a ella.

)1(8)1(5)1,1(11)1(2

181022810'

2 Κ+−⇒⇒=⇒−=⇒

=⇒−=⇒=⇒−=

sust P y yrectalaenSust

x xm x y

tg

recta

www . LI BR OS P DF 1 . b lo s o t . c om w

Derivadas-ejercicios Resueltos y Aplicaciones (Nxpowerlite)

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