Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente … · 2014. 11. 7. · Problemas...

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Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente Matemáticas I 7 Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. ¿Qué condiciones debe verificar este punto? ݔݕ ,ݔ ݕݕ,ݔCondiciones ݕ,ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ2 ݕ ݔ ݕ2 ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݕ,ݔ3 ݔ2 ݕ ݔ ݕ10 ݕݔ ݔ ݕ10 ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݕ,ݔ ݔ ݕ ݕݔ ݕݔ1 1 ݕݔ0 ݕ,ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݕ,ݔ2 ௫ା௬ 2 ௫ା௬ ܮ2 1 ݔ ݕ2 ௫ା௬ ܮ2 1 ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݕ,ݔ ݔ ݕ ݔݕ௬ଵ ݕܮ ݕ ݔܮ ݔ ݕݔ௫ଵ ݔ0 ݕ0 ݕ,ݔݎ ݐ ݕ ݔݎ ݐ ݔ ݕ ݔݕ1 ݔݕ⁄ሻ 1 ݕ1 ݕݔ⁄ሻ 0 1 ݔ1 ݔݕ⁄ሻ ݕݔ1 ݕݔ⁄ሻ 0 ݔ0 ݕ0 ݕ,ݔ ݔ ݕ ሺെ2 ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ2 ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݕ,ݔ ݔ ݕ ݔ ݕ4 ݕݔ ݔ ݕ4 ݔ ݕ ݔ ݕ ݔ ݕ0 ݔݖ ,ݕ ,ݔ ݕݖ ,ݕ ,ݔ ݖݖ ,ݕ ,ݔCondiciones ݖ ,ݕ ,ݔܮ ݏ ݔ ݕ ݖݐ ݔ ݕ ݖݐ ݔ ݕ ݖݐ ݔ ݕ ݖcos ݔ ݕ ݖ| ݔ ݕ ݖ| ߨ2 2 ߨ אԺ ݖ ,ݕ ,ݔ ݏ ݖݔ ݖݕݏ ݖ ݖݔ ݖݕݏݖ ݖݔ ݖݕെሺ ݔ ݕݏ ݖݔ ݖݕݖ ,ݕ ,ݔ אԹ ݖ,ݕ,ݔ ݏ ݕcos ݖ ݏ ݕcos ݖ ݕݏcos ݖݏ ݕsen ݖݖ ,ݕ ,ݔ אԹ Página 1

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Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente Matemáticas I

7 Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. ¿Qué condiciones debe verificar este punto?

, , Condiciones

, 2

2

0

, 3 2

10

10

0

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Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I

8 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto que se indica:

, 1,1

,1

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1

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Problemas resueltos de derivadas parciales. Vector gradiente. Matemáticas I

, , 2 1,1,1

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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.

9. Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto P que se indica:

, 1,1

Derivadas de primer orden:

,3 2 4

,3 2 4

,

4

4 1,111

Derivadas de segundo orden:

,4

,4 8 2 2 4 4 12

, 12 5 2 2 4

9 9

,4

, 5 12 2 2 4 9 9

,8 4 2 2 4 12 4

,

4 12 9 9

9 9 12 4 1,1 1 0

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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.

, 1,0

Derivadas de primer orden:

,

, , ,

1,001

Derivadas de segundo orden:

, ,

, 1

, , 1

,

,

, 11

1,0 0 11 1

, 2 0,2

Derivadas de primer orden:

, 2

,2

2

0 ,2

0,2

0

10

Derivadas de segundo orden:

, 2 , 0

,2

21

, ,

1

,

,0

1

1 0,2

0

2

20

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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.

, 1,2

Derivadas de primer orden:

, 2

,

, ,

2

1,2

2 2 2 2 2

2 2

21

Derivadas de segundo orden:

, 2

, 2 2 2

, 2 2

,

, 2 2

,

, ,

4 2 2 2

2 2

1,2

11 1

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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.

, , 0,1, 1

Derivadas de primer orden:

, ,1

, ,

, ,1

, ,

1

0,1, 1 1 2⁄1 4⁄1 4⁄

Derivadas de segundo orden:

, ,1

, , 0

, ,1

, ,1

, ,

, ,1

, ,2 2

, ,2 2

, ,

, ,1

, ,2

, ,2 2

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1 2 2

1 2 2

0,1, 1

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14

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014

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Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I.

, , 1,1,2

Derivadas de primer orden:

, , 1 1

, , 1

1

,

, ,1

, ,

1

1

1

1,1,2 1 2⁄1 2⁄1 2⁄

Derivadas de segundo orden:

, , 1

, ,1

, ,1

, , 0

, ,1

, ,1

, ,1

,

, , 0

, ,1

, , 0

, , 0

, ,1

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1 10

1 10

0 01

1,1,2

14

14

01

41

40

0 014

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