DERIVADAS-TEORA Y EJERCICIOS RESUELTOS (NXPowerLite)

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DEFINICIN DE LA DERIVADA. INTERPRETACIN GEOMTRICA Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto mvil de esa curva, prximo a P. Considrese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La recta tangente en P es la posicin lmite (si existe) de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva. Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene al nmero a. En la figura 1.1 se ilustran la grfica de y una recta secante lpq que pasa por P ( a , ( a ) ) y Q( x, ( x )). La recta de trazo punteado l representa una posible recta tangente en el punto P.

Y

R

O

a

SP

D

F1 .b

x

lo

P

gs p

ot .c om

l

Q

lPQ

X

w

La pendiente m de l se define como el valor de lmite de la pendiente de lPQ

cuando Q

tiende a P.

As por la definicin tenemos:

m = lm x0

f ( x) f (a) xa

siempre y cuando el lmite exista. Si se introduce una nueva variable h tal que x = a + h (es decir, h = x - a), como se ilustra en la figura 1.2. l lPQ Y Q P

a

a+h

X

( fig. 1.2 )

( + ) ( ) se obtiene la siguiente frmula para la pendiente m = Lm f a h f a , que es h 0 h equivalente a la anterior. El lmite anterior es uno de los conceptos fundamentales del clculo y se llama derivada de la funcin en a.

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w

w

.L

IB

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Definicin 1. Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de en a, denotada por (a), est dada por f ( a + h) f ( a) , si este lmite existe. f ( a) = Lmh0

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h

Si este lmite existe, decimos que es diferenciable en a. Encontrar la derivada se llama derivacin; la parte de clculo asociada con la derivada se llama clculo diferencial. La diferenciabilidad implica continuidad. Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto en ese punto. La formulacin precisa de este hecho es un teorema importante. Teorema 1. Si existe (a), entonces es continua en a. Una funcin es derivable en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todos los nmeros c de (a,b). Tambin se considerarn funciones que son derivables en un intervalo infinito (- , a), (a,) o bien (- , ). Definicin 2. Una funcin es derivable en un intervalo cerrado [a , b], si

gs

po t.c

Para intervalos cerrados usaremos la siguiente definicin. lo es en el intervalo (a , b) y los lmitesexisten.

F1

l mh

0

+

f (a + h ) f (a ) h

lmh0

f (a + h) f (a ) h

La derivada de una funcin en intervalos de la forma [a, b), [a,), (a ,b] o bien (- , b] se define usando los lmites por la derecha o por la izquierda en uno de los puntos extremos. Si est definida en un intervalo abierto que contiene a a, entonces (a) existe si y slo si las derivadas por la derecha y por la izquierda en a existen y son iguales. El inverso del teorema 1. Es falso. Si una funcin es continua en c, no se sigue que tenga derivada en c. Esto se ve con facilidad examinando la funcin (x)=| x | en el origen. Esta funcin, por cierto, es continua en cero, pero no tiene derivada ah. (Demostracin a cargo del lector) El argumento recin presentado demuestra que en cualquier punto en el que la grfica de tiene un pico o presenta una esquina aguda, es continua, pero no diferenciable. Suponiendo que la funcin es derivable en a, se puede enunciar la siguiente definicin. Definicin 3. Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la grfica de en el punto (a, (a)) es (a ).

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w

w

w

Los lmites por la derecha y por la izquierda en la definicin anterior, se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda de en a y b, respectivamente.

.L

IB

R

O

SP

D

.b

lo

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om

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Derivada como una funcin Si es derivable para todo x en un intervalo entonces, asociando a cada x el nmero (x), se obtiene una funcin llamada derivada de f. El valor de , en x est dado por el siguiente lmite. f = lm f(x + h) f(x), (Lmite (x)h0 h

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unilateral), ntese que el nmero x es fijo, pero arbitrario y el lmite se toma haciendo tender h a cero. Derivar (x) o encontrar la derivada de (x) significa determinar (x). En los siguientes ejercicios se determinar la primera derivada por definicin, o la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado. Ejercicios Resueltos:

x 0

R

x 0

O

f (x) = Lm

5

w

w w

f (x) = Lm

5 x + x x = f (x) = 0 IND x 0 x 0 5 x + x x x + x + x . f (x) = Lm x 0 x x + x + x 5 (x + x x) 5 x = f (x) = Lm x 0 x x + x + x x x + x + 1 5 = f (x) = f (x) = 5 Lm x 0 x + x + x 2 x

x

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x + x 5 x x

.L IB

SP D

(

)

F1 .b

f (x) = Lm

f(x + x) f(x) Aplicando la ecuacin x

lo

gs

1) y = 5 x f(x) = 5 x

po

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t.c om

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1x 0

2)

f(x) =

1 x 3

f (x) = Lm x + x 3

x + x 3 x

1 x 3 = 0 ind 0

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x 3 f (x) = Lm Aplicando f (x) = Lm f (x) = Lm f (x) = f (x) =x 0 x 0

x + x 3 x 3 x 1 conjugada : ( x 3 x

= Lm

x 3 x

x 0

[

x + x 3 x 3

x + x 3

]

[

x + x 3 ) x + x 3 x 3

]

x 3 + x 3 +

x + x 3 x + x 3

x 0

x (x 3 ) x + x 3 + (x + x 3 ) x 3 1

(x 3 ) (x 3 ) + (x 3 ) (x 3 )1

3( x +x2) 3 x2 3( x + x 2)2 + 3( x + x 2) 3 x 2 + 3( x 2)2 f(x) = Lm x 0 x3( x + x 2)2 + 3( x + x 2) 3 x 2 + 3( x 2)2 f(x) = Lmx 0

3(( x + x 2))3 3( x 2)3 x3( x + x 2)2 + 3( x + x 2) 3 x 2 + 3( x 2)2

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3 x +x2 3 x2 0 = ind x 0 x 0 a3 b3 = (a b) (a2+ab+b2) Identidad Donde: a = 3( x+x2) ; b = 3 x2w w w .L IB

3) f(x) = 3 x2

f(x) = Lm

R

O

SP

D

F1

( x 3 )3 + ( x 3 )3

lo

f (x) = 2

gs p

1

(x

3)

.b

ot .c om

3

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[

x 3 x x + 3

]

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f (x) = Lmx 0

x + x 2 x + 2 x 3 ( x + x 2 )2 + 3 ( x + x 2 ) 1 3 x 2 + 3 ( x 2 )2

3 2 3 ( x + x 2 ) 3 x 2 + 3 ( x 2 )2 ( x + x 2 ) + 1 1 f (x) = f (x) = 3 ( x 2 ) 2 + 3 ( x 2 ) 2 + 3 ( x 2 )2 33 ( x 2 )2x 0

f (x) = Lm

ot .c om

1x 0

4) f(x) =

x x3

f(x) = x

x x x

f(x) =

1 x

f (x) = Lm

.b

lo

x + x x + x x

gs p

x + x x

1 x = 0 0 ind

F1

w

f (x) =

5) F(x) = x + 5 y= Lm x + x + 5 x + 5 0 Ind = x 0 x + x + 5 x + 5 x + x + 5 + x + 5 y = Lm x 0 x x + x + 5 + x + 5 (x + x + 5 ) (x + 5 ) y= Lm x + x + 5 x + 5 y = Lm x 0 x 0 x x + x + 5 + x + 5 x x + x + 5 + x + 5x 0

[

w

x

x +x

x

w

1

f (x) =

1 x3 + x3

f (x) =

1 2 x3

]

[

]

y= Lm

1 x + x + 5 + x + 5

x 0

y =

1 2 x+5

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.L

IB

x 0

x x

R

f (x) = Lm

[

O

x + x + (x + x

x x x

SP

D

f (x) = Lm

x

x 0

f (x) = Lm

( x

x

x 0

[

x + x ) x + x x

]

)

x

]

f (x) = Lm

x + x x + x + x 1 x + x

x 0

x

x + x + (x + x)

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6)f (x) =

1 3x

f(x) = Lm 3x 3 (x + x ) x 1 3x

x 0

3 (x + x ) x 3x

1

1 3x = 0 0 IND

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3 (x + x ) f(x) = Lm 3x xx 0

f(x) = Lm

x 0

[

3 (x + x )

3 (x + x ) 3x

]

f(x) = Lm

[

x 0

x x

[

3 (x + x ) 3x 3 (x + x ) 3x 3x 3x 3x 3

] ]

+ +

3 (x + x ) 3 (x + x )

f(x) = Lm

x 0

[

3 (x + x )

(3x )

3x 3x

3 (x + x )

] ] f(x) = 3 2 27 x 3

f(x) = Lm f(x) = Lm

x 0

x 0

R

O

7) f(x) =

f(x) = Lm

( 3x + 4 ) [ 2x + 2 x 3 ] ( 3x + 3 x + 4 ) ( 2x x 0 ( 3x + 3 x + 4 ) ( 3x + 4 )

w

w

f(x) = Lm

x 0

( 2x ( 3x

+ 3x + 4 )

.L

+ 2x

w

3)

( 2x ( 3x

+ 4)

3)

=

0 Ind 0 3)

6x 2 + 6xx 9x + 8x + 8 x 12 6x 2 + 9x 6xx + 9 x 8x + 12 f(x) = Lm x 0 ( 3x + 3 x + 4 ) ( 3x + 4 ) Ordenando: 6x 2 + 6xx 9x + 8x + 8 x 12 6x 2 + 9x 6xx + 9 x 8x + 12 f(x) = Lm x 0 x ( 3x + 3 x + 4 ) ( 3x + 4 ) f(x) = Lm 17 x 17 f(x) = 2 x ( 3x + 3 x + 4 ) ( 3x + 4 ) ( 3x + 4 )

x 0

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IB

2x 3 3x + 4

SP

D

F1

.b

lo

gs p

3x (3x ) +

3

3x (3x )