Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas P · PDF fileProblemas Resueltos de Ecuaciones...

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  • Problemas Resueltos deEcuaciones en DerivadasParciales

    Alberto Cabada Fernandez

    2 de mayo de 2018.

  • 2

  • Indice general

    Introduccion I

    1. Ecuaciones de primer orden 11.1. Metodo de las bandas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2. Metodo de las Integrales Primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.3. Ecuaciones de Primer Orden No Lineales . . . . . . . . . . . . . 231.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2. Ecuaciones de Segundo Orden 392.1. Clasificacion de Ecuaciones Cuasilineales de Segundo Orden . . . 39

    2.1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.2. Ecuaciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.3. Ecuaciones Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    Bibliografa 85

  • 4 INDICE GENERAL

  • Introduccion

    En esta memoria se recopilan una serie de problemas de la materia de quintocurso de la licenciatura de Ciencias matematicas de la Universidad de Santiagode Compostela denominada Ecuaciones en Derivadas Parciales.

    La intencion es proporcionar al alumnado interesado en esta materia pro-blemas relacionados con los distintos tipos de problemas abordados a lo largode la materia. As pues resolveremos en el primer captulo problemas de primerorden, tanto cuasilineales como no lineales. En el primer caso, la resolucion sebasara tanto en el metodo de las curvas caractersticas como en el de las in-tegrales primeras. El calculo de las generatrices del cono de Monge seran lasherramientas usadas para la resolucion de las ecuaciones no lineales.

    El segundo tema esta dedicado a la clasificacion de ecuaciones cuasilinealesy a la resolucion de ecuaciones hiperbolicas y parabolicas. En el primer caso sereduciran a su forma canonica por medio de las curvas caractersticas y, cuandoello sea posible, se obtendra la solucion explcita del problema tratado. Parala resolucion efectiva de las ecuaciones hiperbolicas y parabolicas, usaremos laexpresion de la solucion general obtenida en el desarrollo de las clases teoricas.En buena parte de los casos la resolucion directa de las integrales involucradasno va a ser posible, por lo que se recurrira a las propiedades cualitativas de lasfunciones que aparecen en la expresion de la solucion tratada en los problemasparabolicos y a los resultados clasicos del analisis vectorial en los hiperbolicos.

    Si bien en muchos casos estas integrales pueden ser resueltas directamentepor medio de programacion matematica, se han realizado los calculos con de-talle, por considerar que el desarrollo del calculo vectorial es fundamental en laformacion del alumnado al que va dirigido esta materia.

    Todas las superficies solucion de los problemas resueltos son representadosen el propio ejercicio.

    Las distintas secciones finalizan con problemas propuestos, aportandose laexpresion de la solucion buscada.

    Tambien se han realizado programas informaticos en lenguaje MAPLE quepueden ser utilizados en la resolucion de varios de los problemas tratados.

  • ii Introduccion

  • Captulo 1

    Ecuaciones de primer orden

    1.1. Metodo de las bandas caractersticas

    Cuando los sistemas caractersticos considerados sean lineales la resoluciones inmediata. La expresion vendra dada del calculo efectivo de la matriz expo-nencial correspondiente.

    A continuacion presentamos una serie de problemas que se resuelven de estemodo.

    1.1.1. Ejercicios resueltos

    Ejercicio 1.1.1 Resolver la siguiente ecuacion:

    (6x 2 y 3u)ux 9uuy = 4 y ; u(x, 0) = 1.

    Solucion: En este caso

    f1(x, y, z) = 6x 2 y 3 z,f2(x, y, z) = 9 z,f(x, y, z) = 4 y

    y

    (s) = (1(s), 2(s), (s)) (s, 0, 1).

    Dado que

    det

    (f1((s))

    1(s)

    f2((s)) 2(s)

    )= det

    (6 s 3 19 0

    )= 9 6= 0,

    sabemos que hay una unica solucion entorno a la condicion inicial.

    1

  • 2 Ecuaciones de Primer Orden

    with(plots):plot3d(sqrt(1-4 * (y^2)/9), x=-1..1, y=-3/2..3/2, axes=normal,axis[3]=[color=red]);

    -1,0x -0,5

    -1,5

    y-1,0 -0,5

    0,00,0

    0,00,5

    0,25

    1,0 1,5

    0,5

    0,75

    1,0

    0,51,0

    Figura 1.1: Solucion del Ejercicio 1.1.1

    El sistema caracterstico resulta ser: x = 6x 2 y 3 z, x(0) = s,y = 9 z, y(0) = 0,z = 4 y, z(0) = 1,

    y su solucion viene dada por x(t, s)y(t, s)z(t, s)

    = eA t s0

    1

    , con A = 6 2 30 0 9

    0 4 0

    .Es decir:

    x(t, s) = s e6 t 12

    sen 6 t,

    y(t, s) = 32

    sen 6 t,

    z(t, s) = cos 6t.

    A partir de esta expresion vemos que la superficie solucion esta sobre elcilindro elptico 9 z2 + 4 y2 = 9. De la condicion inicial deducimos que (verfigura 1.1)

    u(x, y) z(t(x, y), s(x, y)) =

    1 4 y2/9.ut

    Nota 1.1.1 El problema anterior, al igual que todos aquellos en los que el siste-ma caracterstico es un sistema lineal, puede ser resuelto directamente medianteprogramacion en lenguajes de calculo simbolico. En este caso concreto la pro-gramacion en lenguaje MAPLE sera:

    with(linalg):

  • Metodo de las Bandas Caractersticas 3

    with(plots):

    A := array( [[6,-2,-3],[0,0,-9],[0,4,0]] );

    DD:=exponential(A, t);

    C:=vector([s, 0,1]);

    SS := multiply(DD, C);

    Ejercicio 1.1.2 Resolver la siguiente ecuacion

    (y x)ux + 2 y uy = 3x y + 2u ; u(0, x) = x.

    Solucion:Los datos del problema considerado son

    f1(x, y, z) = y x,f2(x, y, z) = 2 y,

    f(x, y, z) = 3x y + 2 z

    y

    (s) = (1(s), 2(s), (s)) (0, s,s).

    Dado que

    det

    (f1((s))

    1(s)

    f2((s)) 2(s)

    )= det

    (s 0

    2 s 1

    )= s,

    la condicion de transversalidad se verifica siempre que s 6= 0.

    El sistema caracterstico a resolver es el siguiente: x = x+ y, x(0) = 0,y = 2 y, y(0) = s,z = 3x y + 2 z, z(0) = s,

    y su solucion viene dada por

    x(t, s)y(t, s)z(t, s)

    = eA t 0ss

    , siendo A = 1 1 00 2 0

    3 1 2

    .Con lo cual

  • 4 Ecuaciones de Primer Orden

    Figura 1.2: Solucion en forma pa-rametrica del Ejercicio 1.1.3

    -3

    -2 -1,0

    -2

    xy-1 -0,5

    -1

    00,00

    10,5

    1

    2

    1,0 2

    3

    Figura 1.3: Plano z = x y

    x(t, s) =(e2t et

    ) s3,

    y(t, s) = e2t s,

    z(t, s) =(4 e2t + et

    ) s3.

    Notese que la parametrizacion de la superficie solucion se reduce al origencuando s = 0 (vease la figura 1.2). Ello se debe a que la curva inicial no estrasversal al flujo en (0, 0, 0), con lo cual el metodo de las curvas caractersticasno permite garantizar la existencia de solucion en ese punto. Sin embargo, usan-do esa misma expresion, no es difcil comprobar que la solucion del problemaconsiderado viene dada explcitamente por la expresion (ver figura 1.3)

    u(x, y) z(t(x, y), s(x, y)) = x y.

    Lo cual pone de manifiesto que la condicion de trasversalidad es una condi-cion suficiente para garantizar la existencia y unicidad de solucion que no ha deverificarse necesariamente en todos los puntos de la curva inicial. ut

    Ejercicio 1.1.3 Resolver la siguiente ecuacion:

    (x+ y 4u)ux (y + x)uy = 3u ; u(x, x) = x2.

    Solucion: En este caso los datos del problema vienen dados por

    f1(x, y, z) = x+ y 4 z,f2(x, y, z) = x y,f(x, y, z) = 3 z

  • Metodo de las Bandas Caractersticas 5

    y

    (s) = (1(s), 2(s), (s)) (s, s,s2).

    Dado que

    det

    (f1((s))

    1(s)

    f2((s)) 2(s)

    )= det

    (2 s+ 4 s2 12 s 1

    )= 4 (s+ s2),

    deducimos que el problema tiene solucion unica para los valores del parametros 6= 0 y s 6= 1.

    El sistema caracterstico sera: x = x+ y 4 z, x(0) = sy = x y, y(0) = sz = 3 z, z(0) = s2.

    La unica solucion de este problema viene dada por la expresion

    x(t, s)y(t, s)z(t, s)

    = eA t sss2

    , con A = 1 1 41 1 0

    0 0 3

    .Es decir

    x(t, s) = (1 + 2 t) s(4

    3t 8

    9+

    8

    9e3 t

    )s2,

    y(t, s) = (1 2 t) s(

    4

    3t 4

    9+

    4

    9e3 t

    )s2,

    z(t, s) = e3 ts2.

    La superficie solucion (t, s) (x(t, s), y(t, s), z(t, s)) se representa en lasfiguras 1.4 y 1.5, pudiendo observarse en la segunda de ellas como la solucionverifica la condicion inicial. Notese que, al igual que en el ejercicio 2.3.1, en elorigen la superficie parametrizada se reduce al (0, 0, 0) dado que la curva inicialno es trasversal al flujo en ese punto. ut

    Ejercicio 1.1.4 Resolver la ecuacion

    (12x+ 8 y 8u)ux + 3 (y + u)uy = y + 7u ; u(x, 0) = x.

    Solucion: Los datos del problema considerado son

    f1(x, y, z) = 12x+ 8 y 8 z,f2(x, y, z) = 3 y + 3 z,

    f(x, y, z) = y + 7 z

  • 6 Ecuaciones de Primer Orden

    Figura 1.4: Solucion del Ejercicio 1.1.3 Figura 1.5: Condicion inicial

    y

    (s) = (1(s), 2(s), (s)) (s, 0,s).

    La condicion de transversalidad se verifica siempre que

    det

    (f1((s))

    1(s)

    f2((s))