10

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

1. Antecedentes de la Investigación

Como antecedentes de la presente investigación, se consultaron diversos

trabajos previos relacionados con el estudio, que servirán como fundamento

teórico para desarrollar los objetivos formulados.

Iragorry (2005), dentro de la investigación titulada “Modelos Matemáticos

de procesos basados en Funciones de Laguerre para Calderas Indeck”,

realizada en tres de estas calderas ubicadas en la planta eléctrica del

Complejo Petroquímico Ana María Campos, obtuvo los modelos matemáticos

para cada una de estas unidades generadoras de vapor. Identifico como

variable de medición la producción de vapor de cada una de las calderas y la

variable de controlada identificada es la medición de presión del cabezal,

como perturbaciones todos los consumidores de vapor y el cambio de poder

calorífico del gas.

Iragorry, con la variable de medición de flujo de vapor desarrollo los

modelos dinamicos para cada una de estas calderas. Ella concluyo que los

modelos obtenidos utilizando funciones de Laguerre arrojaron buen

resultados y que la validación de los mismos estuvo dentro de los parámetros

aceptables.

10

11

De esta investigación se puede utilizar el desarrollo del modelo del

intercambiador de calor basado en el flujo de vapor, temperatura de entrada

y salida del crudo, ya que en el desarrollo de la misma se obtiene una

metodología para la obtención de modelos matemáticos de sistemas reales.

Esis (2009), desarrollo un trabajo titulado: “Optimización del rendimiento

de los generadores eléctricos de PDVSA Occidente mediante la aplicación de

control óptimo”. En el desarrollo de esta investigación para el modelado de

cada generador, se aplicó a los datos de entrada y salida un filtro del tipo

promedio móvil, con la finalidad de suavizar la forma de la curva y asi obtener

un modelo mas ajustado.

Esis, utilizo técnicas de identificación para la obtención de los modelos de

cada máquina de generación, se aplicaron los métodos paramétricos ARX,

ARMAX, OE y BJ.

En esta investigación se verifico la controlabilidad y observabilidad de

cada modelo y para finalizar se calcularon las variables de estado del lazo de

realimentación y del integrador de la ley de control óptimo lineal de cada

generador.

Al finalizar dicho estudio se determino que el criterio de escogencia del

modelo por mejor ajuste y estabilidad dada por polos en la frontera del circulo

unitario, no da garantía de que el modelo sea suficientemente bueno para la

implementación.

Como se estudió en este trabajo, cada modelo debe ser validado por una

serie de pruebas, desde el ajuste, estabilidad, análisis residual,

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controlabilidad, observabilidad, respuesta al escalón y respuesta a entrada

real, para tomarlo como candidato confiable para el momento de la

implementación.

De Pool (2005), desarrollo un trabajo titulado: “Diseño e Implementación

de un Control óptimo Lineal para la Regulación de Temperatura en Hornos

Eléctricos”. En el desarrollo de esta investigación se pretendió optimizar el

consumo energético en sus procesos operativos, específicamente en hornos

eléctricos por resistencia industriales.

Para solucionar este problema se llevó a cabo el presente estudio, el cual

tuvo como objetivo el diseño y puesta en marcha de un control óptimo lineal,

bajo la plataforma del computador personal; para ello se utilizó la

metodología de Ljunt que propone las fases secuenciales para desarrollo de

modelos matemáticos de procesos. Por otro lado se tomaron las

recomendaciones de Anderson para la síntesis de una ley de control óptimo

lineal y de Savant los lineamientos para el desarrollo de sistemas

electrónicos.

El tipo de investigación se enmarcó dentro de la modalidad de proyectos

factibles y especiales, utilizando como instrumento de recolección de datos

los de tipo electrónico, diseñados por el investigador. Los resultados

obtenidos de los experimentos, iniciaron el proceso de desarrollo utilizando

las metodologías antes mencionadas.

Echeto (2007), desarrolló un trabajo titulado: “Influencia del Tiempo

Muerto en Controladores Predictivos basados en Redes Neurales

13

Recurrentes”. La misma centra su interés en la Influencia Del Tiempo Muerto

En Controladores Predictivos Basados En Redes Neurales Recurrentes. La

misma se sustento con los teóricos Baum (2000), Queipo (2000), Ogata

(1998), Kuo(1998), Kosko (1992), Davis (1989). El estudio se enmarcó dentro

de la perspectiva explicativa, aplicada, cuasi-experimental, y de campo.

El método empleado reflejó que es un estudio experimental y esta

constituido por siete etapas: la primera contendrá el desarrollo del modelo

matemático de un proceso con tiempo muerto, en la segunda se simular el

modelo matemático de un proceso con tiempo muerto, en la tercera, estudiar

la dinámica del modelo matemático de un proceso con tiempo muerto, en la

cuarta, crear modelos basados en redes neurales recurrentes, en la quinta,

identificar la influencia de tiempo muerto en la identificación de los modelos

basados en redes neurales recurrentes, en sexto lugar, desarrollar un

controlador predictivo basado en redes neurales recurrentes.

Y en séptimo lugar realizar las simulaciones de control. Las técnicas e

instrumentos de recolección de datos de información se obtuvieron a través

búsqueda de información, bibliográfica, y de documentación en línea,

también se empleo la observación directa, herramientas matemáticas y de

programación de Matlab 7, entonamiento, algoritmos de entrenamientos para

las redes neurales recurrentes. Los resultados de la investigación arrojaron

los siguientes datos: la influencia del tiempo muerto (seleccionado según la

constante del proceso) sobre los controladores predictivos resulta ser

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efectiva ya que el controlador aplicado investigación resulto mejor con tiempo

muerto que sin él.

Muñoz (2002), desarrollo un trabajo titulado: “Algoritmos y Sistemas de

Control Borroso Aplicados en una Planta de Calcinación de la Industria de

Producción de Níquel”. En este trabajo se describen que los hornos

rotatorios de calcinación los cuales constituyen procesos multivariables

caracterizados por una gran incertidumbre y fuerte no linealidad en su

comportamiento. Los principales objetivos del control en los mismos son

garantizar la calidad del producto final y lograr un ahorro de energía, lo que

se obtiene manteniendo un perfil de temperaturas adecuadas y una buena

combustión.

En este trabajo se presentan los resultados alcanzados con la simulación

del control borroso de un horno de calcinación de níquel empleando un

software propio que se corresponde con una estructura clásica de

controlador borroso. Se realiza una comparación de estos resultados con los

que se obtienen mediante la utilización de un algoritmo PI discreto ya

implementado y otros paradigmas de control tales como robusto y óptimo,

observándose que el control borroso ofrece respuestas más suaves.

Cáliz (2006), desarrollo un trabajo titulado: “Sistema de control predictivo

para separadores no convencionales”. Este trabajo de investigación tuvo

como objetivo, desarrollar un sistema de control predictivo para separadores

no convencionales. Se propuso un controlador predictivo debido a que los

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sistemas de control convencionales realizan su ajuste una vez que ha

ocurrido el evento en el separador.

Inicialmente se realizo un estudio para comprender el comportamiento de

esta clase de separadores e identificar las variables de entrada, salida y

perturbaciones, mediante dos leyes físicas como es la ecuación de los gases

perfectos y la ley de la conservación de las masas se pudo determinar un

modelo matemático. A su vez se realizaron unas pruebas en el Centro

Experimental de la Producción (CEPRO) para poder obtener datos a lazo

abierto y por medio de modelos parametritos identificar su comportamiento.

Se identificaron tres problemas directos que inciden en el buen

desempeño del separador y estos son: el corto tiempo de residencia del

fluido dentro del equipo, una geometría compacta del separador, la

proporción de flujo como una mezcla de gas y líquido a la entrada del

separador en combinación con el patrón de flujo, utilizando un controlador

predictivo podrá ajustar el sistema antes que ocurra el evento en el

separador.

De este trabajo se utilizo la forma experimental en que obtuvieron los

modelos paramétricos ya que de forma similar se manipula manualmente el

intercambiador de calor a lazo abierto y por otra parte se observa su

comportamiento a lazo cerrado, midiendo en ambos casos las variables que

intervienen en el proceso las cuales son el punto de partida para la

elaboración del modelo.

16

2. Bases Teóricas

2.1. Sistemas de control

2.1.1. Definición de Sistema de control

Según Kuo (1993, P. 13) Expone que ”un sistema de control puede

describirse mediante el sencillo diagrama de bloque mostrado en la figura 1.

Figura 1. Sistema de Control Fuente. Kuo (1993)

El objetivo del sistema consiste en controlar la variable C de una manera

preestablecida mediante la señal de acción E a través de los elementos del

sistema de control.

Para Dorf (1993, P.2) indica que “un sistema de control es una

interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que

17

proporcionan una respuesta deseada del sistema. Por lo tanto un

componente o proceso que va a ser controlado puede representarse

mediante un bloque.

En concordancia con lo anterior, un sistema de control es la interconexión

de componentes que satisfacen una función de salida a través del

comportamiento de la función de entrada.

Aunado a esto, la forma de realizar el control se pueden dividir en sistema

de control de lazo cerrado, en los que el valor de alguna magnitud de salida

es regulada el valor deseado. Este sistema se denomina también sistema de

regulación por retroalimentación negativa, por autorregulación o por

retracción, o sistema de control en circuito cerrado; y en sistema de control

de lazo abierto, donde la salida del sistema es controlada únicamente por las

entradas. En tales sistemas no se tiene en cuenta la salida real del mismo.

Una ventaja del sistema de control de lazo cerrado es que el uso de la

retroalimentación hace que la respuesta del sistema sea relativamente

insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parámetros

del sistema. Desde el punto de vista de la estabilidad, en el sistema de

control de lazo abierto, este es más fácil de lograr, ya que en él la estabilidad

no constituye un problema importante.

En la mayoría de las plantas de proceso existen muchas variables que se

deben mantener en algún valor deseado o set point, lo cual implica realizar

cierto número de ajustes en el proceso. Para este procedimiento de ajuste se

requeriría una cantidad inmensa de operarios, por ello, se realiza el control

18

de manera automática, es decir, con instrumentos que controlan las variables

sin necesidad de que intervenga el operador. En esto radica la importancia

del control automático de procesos.

Para lograr este objetivo se debe diseñar e implementar un sistema de

control (Smith y Corripio, 1991), el cual debe contar por lo menos con los

siguientes elementos:

1. Sensor, que también se conoce como elemento primario.

2. Trasmisor, el cual se conoce como elemento secundario.

3. Controlador, que es el “cerebro” del sistema de control.

4. Elemento final de control, frecuentemente se trata de una válvula de

control aunque no siempre. Otros elementos finales de control

comúnmente utilizados son las bombas de velocidad variable, los

transportadores y los motores eléctricos.

La importancia de estos componentes estriba en que realizan las tres

operaciones básicas que deben estar presentes en todo sistema de

control, estas operaciones son:

1. Medición: la medición de la variable que se controla se hace

generalmente mediante la combinación de sensor y transmisor.

2. Decisión: con base en la medición, el controlador decide que hacer

para mantener la variable en el vapor que se desea.

3. Acción: como resultado de la decisión del controlador se debe efectuar

una acción en el sistema, generalmente esta es realizada por el

elemento final de control.

19

2.1.2. Tipos de Sistemas de control

Sistemas de control en lazo abierto

De acuerdo a Ogata (1997) un sistema de control en lazo abierto no se

mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada, razón por la

cual el control en lazo abierto solo se usa si se conoce la relación entre la

entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas.

Sistemas de control en lazo cerrado

Para Ogata (1998), Los sistemas que mantienen una relación prescrita

entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la

diferencia como medio de control se conoce como sistema de control a lazo

cerrado. En un sistema de este tipo, se alimenta al controlador de la señal de

error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal

de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de

la señal de salida y derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar

la salida del sistema a un valor conveniente.

2.1.3 Sistema de Control Clásico

La selección apropiada de un controlador depende de varios factores,

no solamente es necesario conocer los requerimientos del proceso, sino que

también se deben conocer las características de los controladores

20

disponibles. La selección del controlador dependerá de la dinámica del

proceso, los objetivos de control y su costo (Cáliz, 2006).

Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off)

(Ogata, 1998). En un sistema de control de dos posiciones el elemento de

actuación tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente

encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y

apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es

extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Acción de control proporcional (Ogata, 1998). Para un controlador con

acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y

la señal de error e(t) es:

O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,

en donde Kp se considera la ganancia proporcional.

Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de

operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con

una ganancia ajustable.

Acción de control Integral (Ogata, 1998). En un controlador con acción

de control integral, el valor de la salida de controlador u(t) se cambia a una

razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,

21

O bien

Donde K i es una constante ajustable. La función de transferencia del

controlador integral es

Acción de control proporcional-integral (Ogata, 1998). La acción de

control de un controlador proporcional-intgral (PI) se define mediante

O la función de transferencia del controlador es

Donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral.

Tanto Kp como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de

control integral, mientras que un cambio en el valor de Kp afecta las partes

integral y proporcional de la acción de control.

El inverso del tiempo integral se denomina velocidad de reajuste. La

velocidad de reajuste es la capacidad de veces por minuto que se duplica la

parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide

en términos de las repeticiones por minuto.

Acción de control proporcional-derivativa (Ogata, 1998). La acción de

control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante

22

Y la función de transferencia es

En donde Td es el tiempo derivativo.

Acción de control proporcional-integral-derivativa (Ogata, 1998). La

combinación de una acción de control proporcional, integral y derivativa se

denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta

acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de

control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción

combinada se define mediante

O la función de transferencia es

Donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el

tiempo derivativo.

2.1.4 Sistema de Control Moderno

Los métodos convencionales como el lugar geométrico de las raíces y

los de respuesta en frecuencia, son útiles para los casos de sistemas con

una entrada y una salida, son conceptualmente sencillos y requieren de un

número moderado de cálculos, pero son solo aplicables a sistemas lineales

23

invariantes en el tiempo con una entrada y una salida, no son aplicables al

diseño de sistemas de control óptimo y adaptable (Ogata, 1996).

Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y

salidas interrelacionadas de manera complicada. Los métodos en el espacio

de estado para el análisis y la síntesis de sistemas de control son mas

adecuados para tratar sistemas con varias entradas y salidas que se requiere

que sean óptimas en algún sentido (Ogata, 1996).

El método en el espacio de estado se basa en la descripción del

sistema en término de n ecuaciones diferenciales de primer orden, las cuales

pueden combinarse en una ecuación matricial diferencial de primer orden

(Ogata, 2006).

El diseño de sistemas mediante el uso del método de espacio de

estado permite diseñar sistemas de control con respecto a índices de

desempeño dados. El diseño en el espacio de estado se puede realizar para

toda una clase de entradas, en lugar de una función de entrada especifica

como la función impulso, escalón o senoidal. El método de espacio de estado

permite incluir condiciones iniciales dentro del diseño (Ogata, 1996).

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de

variables (conocidas como variables de estado), tal que el conocimiento de

dichas variables en t=t0, junto con el conocimiento de la entrada t= ti,

determinan por completo el comportamiento del sistema para cualquier

tiempo t=ti (Ogata, 1996).

24

Las variables de estado de un sistema dinámico son las que

conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado

del sistema dinámico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de

un sistema dinámico se requiere de por lo menos n variables x1, x2,…..,x0 de

tal manera que una vez dada la entrada para t=t0 y el estado inicial en t=t0 el

estado futuro del sistema queda completamente determinado (Ogata, 1996).

Si se necesita n variables de estado para describir completamente el

comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de estado

se pueden considerar como los n componentes de un vector x. Este vector se

conoce como el vector de estado (Ogata, 1996).

El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenadas están formadas

por los ejes x1, x2,…,xn se conoce como espacio de estado (Ogata, 1996).

Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variables en el

tiempo, la ecuación de estado se puede escribir como

Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la

ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:

Donde

x(k) = Vector de estado.

y(k) = Vector de salida.

25

u(k) = Vector de entrada.

G(k) = Matriz de estado.

H(k) = Matriz de salida.

C(k) = Matriz de transmisión.

2.2. Sistemas

A su vez Yourdon (1989) expone los sistemas son un conjunto

organizado de cosas o partes interactuantes e interdependientes, que se

relacionan formando un todo unitario y complejo. Cabe aclarar que las cosas

o partes que componen al sistema, no se refieren al campo físico (objetos),

sino más bien al funcional. De este modo las cosas o partes pasan a ser

funciones básicas realizadas por el sistema. Podemos enumerarlas en:

entradas, procesos y salidas.

2.2.1. Tipos de sistemas

Existen dos tipos de sistemas, que determinan el estado de un

proceso a controlar, estos son:

Sistemas lineales. Ogata (1998) explica que un sistema se denomina

lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que

la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de

entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto,

para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una

entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar

26

soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de

soluciones simples.

Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son

proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio

de superposición, el sistema se considera lineal.

Sistemas no lineales. Así mismo Ogata (1998) expone que un

sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto,

para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse

tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas

relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en

la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente

lineales.

2.2.2. Caracterización de un sistema

Según Jiménez y Soto (2001) todo proceso a ser estudiado debe ser

completamente analizado, incluyendo las más mínimas características que

identifiquen a su sistema. El patrón de comportamiento que presenta un

sistema es el que la identifica, este patrón característico se obtiene mediante

la respuesta a un estimulo proporcionado directamente al sistema.

Normalmente el estimulo enviado al sistema es una señal escalón, es decir,

un cambio instantáneo en el tiempo del valor de la señal a la que se le

observa su reacción.

27

Los parámetros mas importantes que se obtienen en la respuesta del

sistema son: la ganancia (k), el tiempo muerto (θ), y la constante de tiempo

(τ). La ganancia se calcula analítica o gráficamente como: la diferencia entre

los valores de salida (caudal GPM), dividido por la diferencia entre los valores

de entrada (voltaje).

c(t)

0

t

1

c(t)

t

υ

Figura 2. Señal escalón unitario y su Respuesta Fuente: Jiménez (2001)

VoltajeCaudal

EntradaSalida

kganancia∆∆

=∆∆

=)(

(1)

El tiempo muerto se obtiene gráficamente como la diferencia entre el

tiempo en el cual ocurre el cambio de la señal escalón y el instante en el que

actúa la válvula para obtener el desplazamiento correspondiente.

La constante de tiempo, es un valor representativo de la gráfica que

depende directamente de la inclinación de la curva (pendiente) y se obtiene

cortando la curva partiendo del eje de las ordenadas (∆S = caudal) en un

porcentaje del cambio total.

28

El valor correspondiente a este punto en el eje de las abscisas y contando

desde que se efectúa el cambio escalón representa la constante de tiempo.

2.3. Identificación de Sistemas

En términos llanos se dice que un sistema es un objeto en el cual

variables de distintos tipos interactúan y producen señales observables. Las

señales observables que son de interés se le conocen como salidas.

Adicionalmente el sistema se ve afectado por estímulos externos, los cuales

pueden o no ser manipulados. Los estímulos externos que pueden ser

manipulados se le conocen como entradas, mientras que los que no pueden

ser manipulados se conocen como perturbaciones, que pueden ser divididas

a su vez, en aquellas que pueden ser medidas y aquellas que solo pueden

observarse a través de su influencia en la salida (Ljung, 1987).

Los sistemas dinámicos son aquellos en los que los valores de la

salida no solo dependen de los estímulos externos, sino también de sus

valores anteriores. Cuando se interactúa con un sistema, se necesita conocer

a un cierto nivel cómo sus variables se relacionan entre sí. Esa relación entre

las señales observadas es lo que se conoce como el modelo del sistema

(Ljung. 1987).

Fundamentalmente, un modelo debe ser construido a partir de datos

observados. Una ruta para ello consiste en dividir el sistema en subsistemas

cuyas propiedades sean conocidas de experiencias anteriores. Estos

subsistemas son luego conectados matemáticamente y se obtiene un modelo

29

de todo el sistema. A esta ruta se le conoce como modelado y no

necesariamente implica realizar experimentos directamente sobre los

sistemas. El procedimiento de modelado tiene basamento en recursos y

técnicas tradicionales y dependen en gran medida del área de aplicación

(Ljung, 1987).

La otra ruta para llevar a cabo modelos matemáticos y gráficos esta

directamente ligada a la experimentación. Señales de entrada y salida del

sistemas son registrados y sujetos análisis de datos para inferir un modelo. A

esta ruta se le conoce como identificación de sistemas (Ljung, 1987).

2.3.1 Elementos Básicas para la Identificación de Sistemas

La construcción de un modelo depende de tres entidades básicas

(Ljung, 1987).

- La data

La data seleccionada debe contener información relevante que puede ser

sujeta a pruebas o exigencias que se tengan a la mano. En los casos donde

no se puede modificar el experimento, se debe usar datos de condiciones

normales de operación del sistema.

- Un grupo posible de modelos

Se puede obtener un grupo de posibles modelos específicamente dentro

de la colección de modelos disponibles que se va a seleccionar uno

adecuado. Esta es una de las elecciones mas difíciles dentro del proceso de

identificación de sistemas.

30

- Una regla mediante la cual lo posibles modelos pueden ser evaluados

mediante data.

La evaluación de la calidad de un modelo se basa típicamente en cómo el

modelo se desempeñe cuando se trata de reproducir la data medida.

2.3.2 Modelos de Caja Negra y Caja Gris

- Modelos de caja negra: son aquellos modelos cuyos parámetros son vistos

como vehículos para ajustar los datos y no reflejan las consideraciones

físicas en el sistema.

- Modelo de caja gris: Modelos con parámetros ajustables con interpretación

física.

2.3.3 Arquetipo del Problema de Identificación

La identificación de sistemas permite construir modelos analíticos,

partiendo de los datos observados experimentalmente de un sistema (tanto

de su entrada como de su salida) se construye una representación

matemática que relacione las variables, sea en ecuaciones diferenciales

mediante el ajuste de parámetros de un modelo previamente especificado

hasta que su salida coincida con la salida medida de la planta.

Con la finalidad de describir e arquetipo del procedimiento de

identificación considere a P una planta o proceso con entrada u(kT) y salida

y(kT) muestreada con un periodo T, tal y como muestra la figura 4

31

Figura 3. Planta muestreada a lazo abierto

Fuente. el Autor (2010)

La entrada y la salida se encuentran relacionadas por la siguiente

descripción en ecuaciones diferenciales:

Los parámetros a1, …, an y b1, …, bm son desconocidos, pero se dispone de

un conjunto de paredes de entrada y salida hasta un tiempo N, por lo tanto,

arquetipo del problema de identificación puede enunciarse formalmente

como:

Teorema: Dado un conjunto de pares de entrada y salida f T obtenidos

en forma experimental hasta un tiempo N y construida según:

2.3.4 Técnica general de estimación de parámetros

En la sección anterior se presenta una manera de parametrizar

descripciones de un sistema dinámico. Existen muchas otras posibilidades

las cuales se presentarán en los apartados subsiguientes.

32

El problema general de identificación conduce al predictor de un paso

de adelanto:

Donde el valor estimado de los parámetros desconocidos y los datos

pasados hasta un instante ZkT-1, este predictor puede ser lineal en u e y,

aunque en la mayoría de los casos el predictor es de tipo no lineal.

De cualquier forma, se necesita un método para determinar un buen

valor de ? basado en la información que proveen los datos observados. El

predictor basado en mínimos cuadrados presentado anteriormente se

mantiene como una aproximación natural, aun cuando el predictor es

una función general de ?.

Una generalización del procedimiento presentado en el apartado

anterior es el siguiente:

- De los datos observados y predictor genere la secuencia de errores

en la predicción.

- Filtre el error de predicción mediante el uso de un filtro lineal.

- Seleccione una función positiva escalar para normalizar el error de

predicción

33

- Resuelva el problema de optimización:

Si existe una fuente de ruido en el sistema se asume como una secuencia

de variables aleatorias e(kT) cada uno con una densidad probabilística f(),

entonces lo anterior se convierte en el Estimado de Máxima Similitud (MLE),

si se selecciona:

2.3.5 Calidad del Modelo

Un requisito esencial para evaluar el desempeño del modelo consiste

en conocer las propiedades que el MLE posee. Estas dependen de las

propiedades del conjunto de datos E/S ZN. Es en general muy difícil

caracterizar la calidad de ?N con precisión. Por lo general, debe estar

contenida en las propiedades asintóticas de ?N mientras el horizonte de

identificación de N tiende a infinito.

Es de suma importancia para el método general de identificación que

las propiedades asintóticas del estimado resultante puedan ser expresadas

en términos generales para parametrizaciones de modelos arbitrarios.

El primer resultado es el siguiente:

Donde:

34

Esto significa que, conforme hay mayor número de datos disponibles,

estimado converge al valor de ?o, que minimizaría el valor esperado de la

norma de los errores filtrados de la predicción. Esto en el sentido de la mejor

aproximación posible del sistema verdadero utilizando una estructura de

modelo previamente seleccionada. La esperanza E en la ecuación anterior se

toma con respecto a las perturbaciones que afectan la data a la vez que

incluye un promedio sobre todas las propiedades de las entradas, ?o podrá

lograr que sea una buena aproximación de y(kT) con respecto a

ciertas características que se incrementan con la señal de entrada utilizada.

Teorema: Sea ruido blanco, entonces la matriz de

covarianza de es aproximadamente:

Donde:

2.3.6 Medidas del Ajuste del Modelo

Considere la medida del ajuste promedio entre cualquier modelo y del

sistema verdadero. Aquí el valor de la esperanza E es sobre los datos con

notación. Otros aspectos que afectan el ajuste del modelo también se

encuentran las propiedades de los datos, tales como: espectro de la entrada,

35

posible realimentación, etc, conocidos también como condiciones

experimentales.

El vector de parámetros del modelo es una variable aleatoria debido a

que es construida a partir de datos observados, que pueden se descritos por

variables aleatorias. Para evaluar el ajuste del modelo, se toma la esperanza

con respecto a los datos estimados. Esto conduce a:

En general, la medición FN depende de ciertos factores:

a) La estructura del modelo utilizado.

b) La longitud de la cadena de datos obtenidos N.

c) Las propiedades de los datos para los cuales V esta definida.

d) La propiedad de los datos utilizados para estimar ? N

Si las propiedades c) y d) de los datos coinciden, entonces el sistema es

asintótico en N:

Aquí ?o es el valor que minimiza el criterio esperado. La notación dim?

representa el numero de parámetro estimados. El resultado también asume

que el criterio de error es , y la estructura del modelo es exitosa en

el sentido de que es aproximadamente ruido blanco.

Esto indica que si un modelo es evaluado con un conjunto de datos con

las mismas propiedades que los datos estimados, entonces el ajuste no

dependerá de las propiedades, sino de la estructura del modelo en términos

36

de número de parámetros utilizados y del mejor ajuste ofrecido dentro de la

estructura.

2.3.7 Selección de la Estructura del modelo

La tarea más difícil para el usuario es la selección de un modelo que se

ajuste a sus necesidades, esto depende de la aplicación y la experiencia del

diseñador.

Por lo general el diseñador debe establecer un compromiso entre el

sesgo y la varianza. La “mejor” estructura de modelo es aquella que minimiza

a Fx, esto es, el ajuste entre el modelo y un conjunto de datos que no fueron

utilizados para la estimación del mismo.

La aproximación cruzada indica que el conjunto de datos disponibles

se divide en dos partes, la data de estimación ZN que es utilizada para

estimar los modelos:

Y la data de validación, ZN2, con la cual el criterio es evaluado:

Aquí FN será un estimado de sesgo de la medida de FN, definido por la

esperanza respecto a los datos aproximados. El procedimiento permite

probar diversas estructuras de modelo y seleccionar aquella que minimice a

FN1.

37

El criterio representado en la expresión anterior debe ser evaluado

sobre los datos de validación, este seria estrictamente decreciente como

función de flexibilidad del modelo si es evaluado con data de estimación, es

decir, el efecto adverso de la dimensión de ?. Existen numerosos criterio

usualmente derivados desde distintos puntos de vista, pero todos tratan de

capturarla influencia de los términos de varianza del error. Los dos mejores

criterios son:

a) El Criterio de información Teórica de Akaike (AIC), que posee la forma

siguiente (para perturbaciones gaussianas):

b) Criterio de mínima Descripción de Longitud de Rissanes (MDL):

2.3.8 Modelos de Identificación Paramétrica

- Modelo ARX

Se estima utilizando métodos cuadrados, la matriz z contiene los valores

de entrada y salida , donde las variables de entrada y salida son

vectores columna dentro de la matriz . Estos valores

representan el orden y retardo del modelo ARX.

38

- Modelo ARMAX

Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene

los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y

salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos

valores representan el orden y retardo del modelo ARMAX.

- Modelo OE

Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene

los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y

salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos

valores representan el orden y retardo del modelo OE.

- Modelo Box-Jenkins

Se estima utilizando el método de error de predicción, la matriz z contiene

los valores de entrada y salida , donde las variables de entrada y

salida son vectores columna dentro de la matriz . Estos

valores representan el orden y retardo del modelo Box-Jenkins.

39

2.4. Modelos Matemáticos

De acuerdo a Luyben (1990), El modelo de un sistema es la

representación matemática del comportamiento de un proceso y su control,

por lo tanto, el modelaje son las actividades que llevan a la construcción del

mismo. Es por eso, que es necesario analizar las relaciones entre las

variables del sistema y obtener un modelo matemático.

El modelaje de un proceso es una actividad de síntesis que requiere el

uso de todos los principios básicos de ingeniería tales como: termodinámica,

cinética, fenómenos de transporte, transferencia de calor y masa, entre otros.

Para investigar como cambia el comportamiento de un proceso en el tiempo

(salidas) bajo influencia de cambios en las perturbaciones externas en las

variables manipuladas (entradas), y en consecuencia diseñar un control

apropiado, pueden usarse dos enfoques diferentes:

- Enfoque Experimental: En este caso se dispone de equipos físicos del

proceso. En consecuencia se pueden cambiar los valores de las entradas y

observar cómo cambian las salidas en el tiempo. Este procedimiento

consume tiempo y esfuerzo y usualmente es costoso debido a la gran

cantidad de experimentos que deben ejecutarse.

- Enfoque Teórico: Es más común el caso donde debe diseñarse el

control antes de que el proceso haya sido construido. En este caso se

necesita una representación de un proceso para estudiar un comportamiento

dinámico. Esta representación es usualmente un conjunto de ecuaciones

40

matemáticas, cuya solución reproduce el comportamiento dinámico y estático

del proceso físico-químico examinado.

El resultado más importante de desarrollar el modelo matemático de un

proceso industrial es la comprensión que se gana en relación con lo que

hace que el proceso se comporte de una manera determinada. Se puede ver

con mayor claridad las relaciones causa-efecto entre las variables. Los

modelos matemáticos son útiles en todas las fases de un proyecto:

- Investigación y Desarrollo: Determinación de parámetros y mecanismos

cinéticos a partir de datos de laboratorio o de plantas piloto. Explorar los

efectos de diferentes condiciones de operación para estudios de

optimización.

- Diseño: Explorar el tamaño y arreglo de equipos de proceso para

estudiar el comportamiento dinámico del mismo. Estudiar la interacción de

varias partes del proceso y evaluar estrategias de control alternativas.

Simular procedimientos y situaciones de arranque, parada y emergencias.

- Operación de plantas: Estudiar problemas de control y procesamiento.

Adiestramiento de operadores. Auxiliar para arranques. Estudiar el efecto y

los requerimientos para expansión (remoción de cuellos de botella).

Optimizar la operación de plantas.

2.4.1. Principios de formulación de modelos

Según Luyben (1990) existen los siguientes principios que describen un

modelo:

41

- Bases: se pueden mencionar ciertas leyes fundamentales como son

Conservación de la masa y energía, Ecuaciones de estado, Relaciones de

equilibrio, cinética, entre otros.

- Suposiciones. El papel más importante que juega el ingeniero en el

modelaje de sistemas es el ejercicio de su juicio ingenieril para determinar las

suposiciones que pueden hacerse con validez. Se requiere un compromiso

de ingeniería entre una descripción rigurosa del proceso y obtener

respuestas que sean suficientemente buenas. En la práctica este

compromiso usualmente corresponde a un modelo que es tan complejo como

lo pueden permitir las facilidades de computación disponibles. Las

suposiciones deben ser consideradas con cuidado y enumeradas, ya que

ellas imponen limitaciones al modelo que siempre deben tenerse en cuenta

cuando se evalúan los resultados que predice.

- Consistencia matemática: El número de variables debe ser igual al

número de ecuaciones (Grado de libertad = 0). Se debe verificar que las

unidades de todos los términos en todas las ecuaciones sean consistentes.

- Solución de las ecuaciones del modelo: Se deben mantener en mente

las técnicas y herramientas de solución disponibles.

- Verificación / validación: Probar que el modelo describe la situación real

que simula.

La meta del control de procesos es el desarrollo de un sistema de control

para un proceso determinado, el cual garantice que los objetivos

operacionales del proceso sean satisfechos en presencia de perturbaciones

42

siempre cambiantes. Para alcanzar esta meta se necesita una descripción

simple de cómo el proceso reacciona ante varias entradas y esto es lo que

los modelos matemáticos pueden proporcionar al diseñador de control a un

bajo costo.

De la misma manera los modelos pueden ser utilizados como

controladores (en este caso se modela la dinámica inversa del sistema).

2.5. Intercambiador de Calor

Es un equipo cuya principal función es la transferencia de calor entre dos

o más fluidos que se encuentran a diferentes temperaturas. Existen diversos

tipos de intercambiadores de calor, donde varían desde su forma, tamaño,

función y tipo de fluidos con que operan.

El tipo más sencillo es un recipiente donde se une el fluido caliente con el

frío, ambos fluidos alcanzan la misma temperatura, pero los intercambiadores

de calor más comunes son aquellos donde los fluidos de trabajo están

separados por una pared, el intercambiador más utilizado en la industria

petrolera, petroquímica y refinerías es del tipo carcasa y tubo.

Cuando son usados para cumplir con transferencia de calor y

transferencia de masa simultáneamente, los intercambiadores de calor llegan

a ser equipos de tipo especial, con frecuencia conocidos por otros nombres.

Cuando se someten directamente a un proceso de combustión, son llamados

hornos, hervidores, calentadores, calentadores de tubos fijos, y motores. Si

hay un cambio de fase en alguno de los fluidos en flujo — condensación de

43

vapor a agua, por ejemplo — el equipo entonces podría ser llamado chiller,

evaporador, sublimador, rehervidor columna-destilación, desaireador,

condensador, enfriador-condensador.

Los intercambiadores de calor pueden ser diseñados para que reacciones

químicas o procesos de generación de energía puedan ser traídos hasta el

interior de los intercambiadores de calor. Entonces los intercambiadores

pasan a ser parte integral del sistema de reacción y pueden ser conocidos

como; por ejemplo, reactores nucleares, reactor catalítico o polimerizador.

Los intercambiadores de calor son generalmente usados sólo para la

transferencia y útil eliminación o recuperación del calor sin que la acompañe

un cambio de fase. Los fluidos a los lados de la barrera son usualmente

líquidos, pero también pueden ser gases como vapor, aire, o vapores de

hidrocarburos; los fluidos también pueden ser metales líquidos como sodio o

mercurio. Las sales fundidas de igual manera son usadas en algunas

aplicaciones.

2.5.1. Funciones de los Intercambiadores de Calor

La función básica de los intercambiadores es la transferencia de

energía térmica entre dos o más fluidos a diferente temperatura. El calor

fluye, como resultado del gradiente de temperatura, desde el fluido caliente

hacia el frío a través de una pared de separación, la cual se le denomina

superficie o área de transferencia de calor. Es decir, no existe fuente de

44

energía térmica en un intercambiador de calor. Por otro lado, si los fluidos

son inmiscibles (no se pueden mezclar), el área física de transferencia de

calor puede ser eliminada, y la interfase formada entre los fluidos puede

servir como área de transferencia de calor.

En resumen, las funciones típicas de un intercambiador de calor en los

procesos industriales son las siguientes:

• Recuperación de calor: la corriente fría recupera parte del calor contenido

en la corriente caliente. Es decir, calentamiento y enfriamiento de las

corrientes involucradas, las cuales fluyen simultáneamente a ambos lados

del área de transferencia de calor.

• Evaporación: una de las corrientes involucradas en el intercambio de calor

cambia de fase líquida a vapor.

• Condensación: una de las corrientes involucradas en el intercambio de

calor cambia de fase vapor a fase líquida.

2.5.2. Clasificación de los Intercambiadores de Calor

Muchos tipos de intercambiadores de calor son empleados en una gran

variedad de instalaciones tales como: plantas de vapor, plantas de procesos

químicos, calefacción de edificios, sistemas de refrigeración, para plantas de

poder portátiles para automóviles, naves marítimas y aeroespaciales. Existe

una gran diversidad de intercambiadores de calor, variando desde su forma,

tamaño, tipo de servicio y según el fluido que operan. El tipo más simple es

un recipiente donde se mezclan ambos fluidos el caliente y el frío, los

45

calentadores abiertos de agua y los enfriadores son ejemplos de este tipo de

intercambiadores de calor que emplean mezcla directa de fluidos. Los

equipos de transferencia de calor más comunes son aquellos donde un fluido

está separado del otro por una pared o división a través de la cual fluye el

calor, existen muchas modalidades de estos equipos tales como:

intercambiadores de calor tipo carcasa y tubo, condensadores de superficie,

evaporadores, radiadores, etc.

A continuación se muestra un esquema donde se clasifican los

intercambiadores de calor según su aplicación, y según su geometría y tipo

de construcción.

Figura 4. Tipos de intercambiadores de calor Fuente. Rolle (2000)

2.6. Control Óptimo

Enid R.(1995), El control óptimo es una técnica matemática usada

para resolver problemas de optimización en sistemas que evolucionan en el

46

tiempo y que son susceptibles de ser influenciados por fuerzas externas.

Pueden ser sistemas que evolucionan en el tiempo el cuerpo humano y el

sistema económico. Una vez que el problema ha sido resuelto el control

óptimo nos da una senda de comportamiento para las variables de control, es

decir, nos indica qué acciones se deben seguir para poder llevar a la

totalidad del sistema de un estado inicial a uno final de forma óptima.

El desarrollo de la teoría del control óptimo se inició en la década de

los cincuenta gracias al esfuerzo de los científicos rusos y norteamericanos

por explorar el sistema solar. El problema a resolver era el de llevar un

vehículo espacial de algún punto en la tierra a algún otro en el espacio en

tiempo mínimo y consumiendo la menor cantidad de combustible posible. Es

decir, de lo que se trataba era de encontrar trayectorias óptimas en espacios

tridimensionales. Como se puede ver, la solución de dicho problema no podía

encontrarse aplicando las técnicas de optimización tradicionales que sólo nos

dan valores de la variable independiente para los que una función dada

alcanza un punto máximo o mínimo, ya sea local o global.

3. Definición de Términos Básicos

- Proceso: Es el proceso esencial de un lazo de control. Es una

operación que conduce a un resultado determinado o cualquier operación

que se va a controlar. (Ogata, 1998).

47

- Señal de control: Es la señal que produce el controlador para modificar

la variable controlada de tal forma que se disminuya, o elimine el error.

(Daum, 2000).

- Sistema: Consiste en un conjunto de elementos que actúan

coordinadamente para realizar un objetivo determinado. (Ogata, 1998).

- Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla

por un fin determinado. (Kuo, 1998).

- Control predictivo: son controladores que permiten predecir la evolución

futura de un proceso, para luego llevar el proceso a los objetivos deseados.

(Zamareño, 1999).

- Variable manipulada: Es la cantidad o condición que el controlador

modifica para afectar el valor de la variable controlada. (Kuo, 1998).

- Controlador: Es el elemento que contiene el programa o algoritmo de

control. (Ogata, 1998).

- Redes neurales recurrentes: están compuestas de un gran número de

elementos de procesamiento altamente interconectados (neuronas)

trabajando al mismo tiempo para la solución de problemas específicos.

(Kosko, 1992).

- Controladores analógicos: se utilizan en sistemas simples de control,

llevan un registro continuo de la variable del proceso y la compara

continuamente con la variable del proceso y el valor de ajuste. (Ogata, 1998).

- Señal análoga: Es una señal continua en el tiempo. (Dorf, 1989).

48

- Controladores digitales: Poseen una gran velocidad y son capaces de

calcular todos los efectos de los cambios en la interrelación de las variables

del proceso, y reproducir rápidamente una señal de reajuste de la salida de

cada controlador. (Ogata, 1998).

- Error: Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida

real. (Davis, 1989).

- Señal digital: Es una señal que solo toma valores de 1 y 0. el pc solo

envía y/o recibe señales digitales. (Dorf, 1989).

4. Sistema de variables

Las variables, según Valera (2001) son características observables de

algo que es susceptible de adoptar diferentes valores o de ser expresadas en

diferentes categorías. Tomando en cuenta lo anterior expuesto, en la

presente investigación se ubican una variable, llamada: “control óptimo”

4.1. Definición Nominal

Control Óptimo

4.2. Definición Conceptual

El control óptimo es una técnica matemática usada para resolver

problemas de optimización en sistemas que evolucionan en el tiempo y que

son susceptibles de ser influenciados por fuerzas externas. Pueden ser

sistemas que evolucionan en el tiempo el cuerpo humano y el sistema

49

económico. Una vez que el problema ha sido resuelto el control óptimo nos

da una senda de comportamiento para las variables de control, es decir, nos

indica qué acciones se deben seguir para poder llevar a la totalidad del

sistema de un estado inicial a uno final de forma óptima.

Definición operacional

Se concibe como control óptimo la estrategia de control planteada para

regular la temperatura de salida del crudo del intercambiador a un valor

deseado para un consumo mínimo de vapor.

Con lo anterior expuesto, se procede a mostrar el cuadro 1 referente a la

Operacionalización de las variables:

50

Cuadro 1. Operacionalización de la variable

Objetivo General Diseñar el control óptimo lineal para la regulación de temperatura en un intercambiador de calor.

Objetivos Específicos

Variable Dimensión Indicador

Describir el sistema de calentamiento de crudo a través de un intercambiador de calor

Intercambiador de calor

Variables de entrada y

salida

Temperatura (°F), Flujo de

Vapor(Ton/H), Flujo de Crudo (BB)

Determinar el proceso de regulación de temperatura de salida de crudo del intercambiador de calor Definir las variables del proceso de regulación de temperatura de salida de crudo en el intercambiador de calor

Modelar matemáticamente el intercambiador de calor

Control óptimo Modelo matemático

ARX, ARMAX, OE y JB. Función de Transferencia. Error de la función de transferencia

Diseñar el PI óptimo lineal para la regulación de temperatura en un intercambiador de calor para calentar crudo pesado

Estabilidad, Orden, robustez y precisión

Validar el sistema de control óptimo diseñado

No se operacionaliza por ser producto de lo anterior. El cumplimiento de este objetivo se logró mediante la simulación y comparación del modelo obtenido con data

real del proceso. Fuente. El Autor (2010)