UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

METODOS EXPERIMENTALES

CICLO I/2011

APLICACIÓN DEL MÉTODO CIENTÍFICO

EXPERIMENTAL A.M.C.E.

EL PENDULO SIMPLE

GL: Mesa No: Fecha:

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FECHA DE ENTREGA:

INDICE

I. RESUMEN ............................................................................................ 1

II. INTRODUCCIÓN ................................................................................. 2

III. MATERIALES Y MÉTODOS .............................................................. 4

IV. RESULTADOS ..................................................................................... 6

V. DISCUSIÓN.......................................................................................... 8

VI. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA ....................................................... 9

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I. RESUMEN

El presente trabajo experimental consiste en verificar que la relación de

proporcionalidad entre el periodo de oscilación de un péndulo simple y su longitud es

potencial, la que según el modelo del oscilador armónico simple es T = k L ½ donde k, la

constante de proporcionalidad es 2/√g.

Después de realizar un experimento sencillo en el que medimos el tiempo de 10

oscilaciones para diferentes longitudes del péndulo; graficamos y determinamos la

ecuación empírica que relaciona a las variables.

Al comparar el valor teórico del exponente con el valor experimental, observamos que el

error que representa la validez del experimento es de 1.92%, menos del 2%.

Este resultado indica que el experimento realizado tiene una buena calidad y precisión,

este experimento puede ser reproducido con plena confianza por otro investigador.

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II. INTRODUCCIÓN

En el curso de Métodos Experimentales, se pretende que el estudiante conozca y aplique

paso a paso el método científico experimental, para tal fin se propone como ejemplo

verificar el modelo o teoría conocida que describe el movimiento de un péndulo simple,

a saber, el modelo del oscilador armónico simple.

Para formular el problema se realizan las actividades propuestas por el método:

observación del fenómeno y consulta bibliográfica.

En la observación del fenómeno, hicimos oscilar una esfera pequeña con una amplitud

aproximada de 5 cm, atendiendo la teoría conocida sobre el modelo para oscilaciones

pequeñas.

Luego de identificar algunas magnitudes físicas que intervienen en el fenómeno, se

investigo posibles relaciones entre las mismas, verificando que el periodo de oscilación

de la partícula no depende de la masa de la partícula oscilante ni de la amplitud de la

oscilación sino solo depende de la longitud del péndulo.

En la investigación bibliográfica pudimos conocer la relación de proporcionalidad entre

el periodo de oscilación y la longitud del péndulo, así como las aproximaciones a

considerar en la verificación del modelo mencionado.

Se formularon diferentes hipótesis, los estudiantes que participaron en el experimento

valoraron suficientemente la consulta bibliográfica y plantearon que el periodo del

péndulo es directamente proporcional a la longitud del péndulo, elevado a una potencia

“n”.

Planteado el problema y la hipótesis se procedió a diseñar el experimento, tomando en

cuenta la región en la que interesan los resultados y la precisión requerida de estos, se

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eligió los instrumentos de medición, se redactó el procedimiento experimental,

realizamos el experimento de prueba y el análisis tentativo de los resultados.

Se analizaron los resultados del experimento en forma grafica y se encontró la relación

empírica entre las variables consideradas.

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III. MATERIALES Y MÉTODOS

Con la ayuda de un grupo de estudiantes de la asignatura Métodos Experimentales de la

Facultad de Ingeniería de la Universidad de El Salvador, diseñamos el experimento

basados en la observación del fenómeno, en la que verificamos que el periodo de

oscilación del péndulo solo depende de la longitud del mismo, así el experimento debe

responder a la siguiente pregunta ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre el

periodo y la longitud de un péndulo simple?

La variable independiente es la longitud de la cuerda, la cual variaremos entre 0.50 m y

2.50 m, la variable dependiente será el periodo de oscilación.

Como péndulo simple usamos una esfera pequeña de acero con un diámetro de

aproximadamente 1.5 cm, unida a una cuerda de masa despreciable de unos 2.70 m de

longitud. Los instrumentos de medición son: una cinta métrica graduada en centímetros

y un cronómetro digital con una escala mínima de centésimas de segundo. Estos

medidores cumplen con los requisitos de precisión que requieren nuestros resultados.

Dispusimos el péndulo en una base y en un soporte que permita extender la cuerda y

fijar diferentes valores de longitud asignados previamente, tal como se muestra en la

tabla 1 y figura 1.

Para cada valor de longitud de la cuerda, medimos el tiempo que tarda el péndulo en

realizar 10 oscilaciones, esta operación la repetimos 5 veces y calculamos la media

aritmética, luego calculamos la duración de una oscilación (periodo de oscilación),

dividiendo la media aritmética por 10.

Graficamos en un par de ejes coordenados cada valor de la longitud y el correspondiente

periodo y procedimos a calcular las constantes de la ecuación empírica que relaciona a

las variables; para comparar nuestro experimento con el modelo teórico aplicamos el

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método de mínimos cuadrados para ajustar los datos. También graficamos en papel

logarítmico y encontramos las constantes por método grafico.

Figura 1: Péndulo simple

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IV. RESULTADOS

Los datos asignados a la longitud y los obtenidos del periodo se registraron en la tabla 1.

A continuación graficamos para observar la tendencia y calcular las constantes; como es

una relación potencial, figura 2, encontramos la constante de proporcionalidad, k y el

exponente n, el cual debe ser mayor que cero pero menor que 1.

TIEMPO

PROM (s)

PERIODO

(s)

LONGITUD

(m)

14.09 1.41 0.50

20.06 2.01 1.00

24.64 2.46 1.50

28.51 2.85 2.00

31.85 3.19 2.50

Tabla 1. Resultados. Longitud y periodo de un péndulo simple

Figura 2. T vrs L. péndulo simple

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Para el cálculo del exponente y la constante usamos las expresiones:

Para n obtuvimos un valor de 0.51 y para k, 2.00 s/m0.51

La grafica en papel logarítmico se muestra en anexo 1.

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V. DISCUSIÓN

Tomando en cuenta que la hipótesis sugerida por los estudiantes, “La relación entre el

periodo y la longitud del péndulo es de proporcionalidad directa elevada a una potencia

n” basada en la observación del fenómeno. Los resultados confirman la hipótesis

planteada en base a la investigación bibliográfica, según el modelo teórico, el exponente

en la relación T=k L n

es 0.5 y la constante k= 2.0 s/m0.5

tomando la aceleración de la

gravedad como 9.8 m/s2.

Obtuvimos en el experimento para el exponente un valor de 0.5096 y para la constante

1.9992 s/m0.5.

Comparando el valor experimental del exponente con el valor teórico del

mismo, obtuvimos un error porcentual de 1.92%, lo que indica que el resultado de este

experimento se considera aceptable.

Por la exactitud obtenida podemos sugerir que el experimento puede servir para calcular

la aceleración de la gravedad (9.88 m/s2) en el lugar donde se realizó el experimento,

igualando la constante de proporcionalidad obtenida a 2/√g.

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VI. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Sears, F.; Zemansky, M,; Young, H.; Freedman,R. (2005). Física Universitaria

volumen 1, undécima edición, Mexico, Pearson.

Resnick, R.; Halliday, D.; Krane, K (2002). Física volumen 1, cuarta edición,

México, CECSA

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ANEXO 1

Grafico en papel log-log

Trazamos la línea de tendencia, para determinar el valor de la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas:

ANEXO 2

El péndulo simple.

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por

un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición 0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y

luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un

arco de una circunferencia de radio l.

Estudiaremos su movimiento en la dirección

tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa

m son dos

el peso mg

La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·sen en la

dirección tangencial y mg·cos en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la part’icula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su

trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cos

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular podemos determinar la

tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la

posición de equilibrio, T=mg+mv2/l Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando

la velocidad es cero, T=mgcos0

Principio de conservación de la energía. En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene

energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la

posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es

solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte

cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva, v2=2gl(cosθ-cosθ0). La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-

2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor

máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la

velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-

mg·sen

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular es at= ·l. La

ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

Cuando el ángulo es pequeño entonces, sen , el péndulo describe oscilaciones

armónicas cuya ecuación es =0·sen( t+ ) de frecuencia angular 2=g/l, o de periodo

ANEXO 3

CALCULO DEL PORCENTAJE DE ERROR

Para la potencia:

Para la constante “k”:

CALCULO DE AL ACELERACION DE LA GRAVEDAD