1 Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pág. 2 Tema 2...

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Tema 2

SISTEMASDE

ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pág. 2Tema 2Tema 2

INTRODUCCIÓN

Muchos problemas que se nos plantean pueden reducirse a encontrar uno o varios números desconocidos, que llamamos incógnitas, sujetos a una serie de condiciones que nos permiten plantear una o varias ecuaciones (sistemas). El objetivo de este tema es el estudio de los sistemas lineales y de métodos para su resolución. Terminaremos el tema dando algunas estrategias para el planteamiento de los llamados problemas lineales y algunos “modelos” resueltos.


1. Ecuaciones lineales.

a) 5x + 6y – 1 = 0, es una ecuación lineal con dos incógnitas.

Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, …, xn es de la forma:

, con algún ai distinto de 0.

A los ai se les llama coeficientes de las incógnitas y a b término independiente

Una solución de la ecuación es una n-upla de números reales (s1, s2, …, sn)

que sustituidos en las correspondientes incógnitas hacen que sea cierta la igualdad.

b) x – 3y + 2z = 5, es una ecuación lineal con tres incógnitas.

(–1, 1) es una solución de esta ecuación:

(0, –1, 1) es una solución de esta ecuación.

x2 + 3y = 52x – xy = 1x + 2y = 0no son ecuaciones lineales

5·(–1) + 6·1 – 1 = 0

5·2 + 6·1 – 1 0(2, 1) no es una solución de esta ecuación:

EJEMPLOSEJEMPLOS

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b


Para encontrar una solución particular de una ecuación lineal con n incógnitas, se les da valores arbitrarios a n – 1 cualesquiera de ellas, con lo que se reduce la ecuación a otra de una sola incógnita y se resuelve.

Vamos a encontrar dos soluciones particulares de la ecuación 3x + 2y – z = 1.

Para encontrar la solución general de la ecuación lineal, se consideran a n – 1 incógnitas como parámetros y se resuelve en función de éstos.

Consideremos la ecuación 2x – 3y + z = 1; es una ecuación lineal con tres incógnitas; 3 – 1 = 2, es decir depende de 2 parámetros.

Si hacemos x = t, e y = s, quedaría z = 1 – 2t + 3s.

La solución sería (t, s, 1 – 2t + 3s).

EJEMPLOEJEMPLO

EJEMPLOEJEMPLO

1. Ecuaciones lineales.

Si damos a x = 0 , y = 1, se obtiene z = 1 la solución es (0, 1, 1).

Si x = 1, y = 0 , nos da z = 2 y la solución es la terna (1, 0, 2).Comprobarlas.


2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.

es un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas.

EJEMPLOSEJEMPLOS

x + 2y + z = 82x – y + z = 5 x + 3y – 5z = 4

es un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas.

x + 2y + z = 82x – y + z = 5

es un sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas.

2x + 3y = 13x – y = 0


Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas las ecuaciones, o concluir que el sistema no tiene solución.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir, en general:

En este sistema x1, x2, ....xn son las incógnitas; los números aij son los

coeficientes del sistema y b1, b2,......bm los términos independientes.

El sistema se dirá homogéneo si todos los bj son cero.

a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2

………………………………… am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm



Clasificación de sistemas.

Si el sistema tiene solución se dice compatible. Si la solución es única se dice determinado y en otro caso indeterminado. Si no tiene solución se dirá incompatible.

Determinado

(Solución única)

Compatible

Sistema Indeterminado

(Infinitas soluciones)

Incompatible No tiene solución

Determinado

(Solución única)

Compatible

Sistema Indeterminado

(Infinitas soluciones)

Incompatible No tiene solución

Es decir, los sistemas lineales se clasifican, según el número de soluciones en:



Sistema incompatible

No existe ninguna solución.Por ejemplo:

2x – 2y = 3 x + 2y = 4 3x + y = 3

Vemos que no tiene solución, pues las tres rectas no tienen ningún punto en común.

Sistema compatible

Existe alguna solución.

Determinado

Existe sólo una solución.Por ejemplo:

x + 3y = 62x – y = 53x + 2y = 11

Vemos que tiene solución única, pues las tres rectas tienen un único punto común.

Indeterminado

Existe más de una solución.Por ejemplo:

3x – y = 1–6x + 2y = –26x – 2y = 2

Vemos que tiene infinitas soluciones, pues las tres rectas tienen todos los puntos comunes.



3. Significado geométrico de los sistemas lineales

I) Significado geométrico de las ecuaciones lineales

1) La ecuación ax + by = c, representa una recta en el plano.

2) En el espacio tridimensional real la ecuación ax + by + cz = d, representa un plano.

z

y

x

(x, y, z)

yx

2

1

0

–1

–2 – 8

–5

–2

1

4

3x – y = 2

y = 3x – 2

Recuerda como se representa gráficamente una recta:


II) Significado geométrico de los sistemas lineales.

► Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sin solución –2x + y = 3 –4x + 2y = 2 Las rectas son paralelas. No hay puntos de intersección.No tiene solución.

Solución única x + 3y = 9 –2x + y = –4 Las rectas se cortan en el punto (3, 2)Solución única,x = 3, y = 2.

Infinitas soluciones 4x – 2y = 6 6x – 3y = 9Ambas ecuaciones tienen la misma gráfica. Cualquier punto de la recta es una solución. Infinitas soluciones.

4x – 2y = 66x – 3y = 9–2x + y = 3

–4x + 2y = 2

x + 3y = 9 –2x + y = –4

(3, 2)



► Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

A) Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

■ Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.

A

B

A

B

P

Q

La resolución de este sistema en términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos.Casos que se presentan:

● Planos que se cortan en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.

■ Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad


a x + b y + c z = da’ x + b’ y + c’ z = d’


B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

▲ Un punto único. Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en P.

A

B

CP

A

B

CP


a1 x + b1 y + c1 z = d1

a2 x + b2 y + c2 z = d2

a3 x + b3 y + c3 z = d3

Solución única


▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

► Una recta. Son soluciones todos los puntos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

A

B

C

P

Q A B C


Infinitas soluciones


◄ Ningún punto. El sistema es incompatible.Se pueden presentar varios casos, por ejemplo:

A

B

C

A

B

C


Sin solución


4. Método de Gauss.

Sistemas escalonados

Sea el sistema x + y – 2z = 5 3y – z = 7 2z = 4

En este sistema cada ecuación tiene menos incógnitas que la anterior. Este tipo de sistemas se llaman sistemas escalonados.

Los sistemas escalonados son muy sencillos de resolver mediante sustitución hacia arriba.

Resolvemos la tercera ecuación, en la que sólo aparece la incógnita z:

x + y – 2z = 5 3y – z = 7 2z = 4

x + y – 2z = 5 3y – z = 7 z = 2


Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y hallamos el valor de y:

x + y – 2z = 5 3y – 2 = 7 z = 2

Sustituimos los valores de z e y en la 1ª ecuación y hallamos el valor de x:

x + 3 – 2·2 = 5 y = 3 z = 2

Dado un sistema de ecuaciones lineales cualquiera, siempre podremos resolverlo de este modo si somos capaces de transformarlo en un sistema escalonado equivalente. En esto consiste el método de Gauss.

Recordemos en primer lugar cuáles son las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente.


x + y – 2z = 5 y = 3 z = 2

x = 6y = 3z = 2


Definición 1. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Definición 2. Se llaman transformaciones elementales (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente.

Transformaciones elementales (o de equivalencia) de sistemas.

Transformaciones elementales Ejemplo

(E1) x – y = 3(E2) x + 4y = 8

Permutar dos ecuaciones

Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero

Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número

equivale a

equivale a

equivale a

(E1) x – y = 3(E2) x + 4y = 8

(E1) x – y = 3(E2) x + 4y = 8

(E2) x + 4y = 8(E1) x – y = 3

(2E1) 2x – 2y = 6 (E2) x + 4y = 8

(E1) x – y = 3(E2+3E1) 4x + y = 17



Método de Gauss

El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como una generalización del de reducción (para los sistemas con dos o tres incógnitas). En esencia consiste en hacer al sistema de ecuaciones lineales determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.

(–3E1): –3x – 6y = –21 E2: 3x – 4y = 1

E2 –3E1: –10y = –20

Recuerda el método de reducción para sistemas 2 x 2:

x = 3y = 2


x + 2y = 73x – 4y = 1

x + 2y = 7 – 10y = –20

x + 2y = 7 y = 2

x + 2·2 = 7 y = 2

E2/2E2 E2–3E1

Sustituye E2 por E2 – 3E1


Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:

Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:

E2: 2x + 4y + 5z = –7–2E1: –2x – 4y – 6z = 19

– z = 11

Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:

E2: –5x – 6y – z = –15E1: 5x + 10y + 15z = –45

4y + 14z = –46

que es un sistema escalonado.

EJEMPLOEJEMPLO Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = –9 2x + 4y + 5z = –7–5x – 6y – z = –1

x + 2y + 3z = –9 – z = 11–5x – 6y – z = –1

x + 2y + 3z = –9–5x – 6y – z = –1 – z = 11

x + 2y + 3z = –9 4y + 14z = –46 – z = 11



Ya se ha conseguido un sistema escalonado; ahora para resolverlo se procede por sustitución hacia arriba:

z = –11

La solución es: (–30, 27, –11)

la x la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ;

x + 2·27 + 3·(–11)= – 9 x = –30x + 2y + 3z = –9

4y + 14z = –46

– z = 11


4y + 14·(–11) = –46 y = 27


El método se puede generalizar al caso de m ecuaciones con n incógnitas, y se puede llegar a enunciar el siguiente:

Teorema. Todo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, puede reducirse a un sistema equivalente del tipo:

(Se harían cero los coeficientes necesarios hasta dejarlo escalonado usando el método de Gauss que se ha indicado en el ejemplo)

c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + ……… + c1n xn = d’1

c22 x2 + c23 x3 + ……… + c2n xn = d’2

c33 x3 + ……… + c3n xn = d’3

………………… ckk xk + … + ckn xn = d’k

0 = d’k+1

………… 0 = d’m



Consecuencias:

1) Si alguno de los dk+1, .....,dm, es distinto de 0 el sistema es incompatible.

2) Si todos los dk+1, .....,dm son 0 es compatible, y a su vez se pueden

presentar dos casos:

Si k = n el sistema queda reducido a uno equivalente con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Luego la solución es única: compatible determinado.

Si k < n, es decir, hay más incógnitas que ecuaciones, entonces, asignando valores arbitrarios a las incógnitas xk+1, .....,xn, existirá una

solución única de las x1, x2,....,xk, y por lo tanto el sistema tiene infinitas

soluciones; es indeterminado con n - k grados de libertad.



El teorema nos da una forma de clasificar el sistema.

Solución:

EJEMPLOEJEMPLO

Resolver el sistema

x + 2y – 5z = 43x – 2y + z = 42x – y = 3

x + 2y – 5z = 4 – 8y + 16z = –82x – y = 3

x + 2y – 5z = 4 – 8y + 16z = –8 – 5y + 10z = –5


x + 2y – 5z = 4 y – 2z = 1 – 5y + 10z = –5

x + 2y – 5z = 43x – 2y + z = 42x – y = 3

E2 E2 – 3E1

E3 E3 – 2E1

E2 E2 /(–8)


la 3ª ecuación puede eliminarse,

El sistema nos queda de dos ecuaciones con tres incógnitas: es compatible indeterminado (con un grado de libertad)

Pasando la z al otro miembro y haciendo z = t,

De donde: x = 4 – 2(1 + 2t) + 5t = 2 + t;

x + 2y – 5z = 4 y – 2z = 1 – 5y + 10z = –5

x + 2y – 5z = 4 y – 2z = 1 0z = 0

x + 2y = 4 + 5t y = 1 + 2t

x = 2 + ty = 1 + tz = t


La solución es:

E3 E3 + 5E2


Notación matricial

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

mb

bb

2

1

b

nx

xx

X 2

1

Matriz de coeficientes del sistema Vector de incógnitas Vector de términos independientes

a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2

…………………………………am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm


Sea el sistema:

Asociadas al sistema, definimos las matrices:

Matriz ampliada del sistema

a11 a12 …… a1n b1

a21 a22 …… a2n b2

… … …… … …am1 am2 …… amn bm

A =


Con esta notación matricial, el sistema

a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2

…………………………………am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm

se puede escribir

O de forma más compacta: AX = b

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

nb

bb

2

1

nx

xx

2

1

Notación matricial4. Método de Gauss.


2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = – 2

A = 2 5 –31 –4 1

A’ = (A | b) = 2 5 –3 11 –4 1 –2

=2 5 –31 –4 1

xyz

1–2

Matriz de coeficientes:

Matriz ampliada:

El sistema en forma matricial:

2x + 5y – 3z = 0 x – 4y + z = – 3–x + 2z = 7

A = 2 5 –3 1 –4 1–1 0 2

Matriz de coeficientes:

Matriz ampliada:

El sistema en forma matricial:

A’ = (A | b) = 2 5 –3 0 1 –4 1 –3–1 0 2 7

= 2 5 –3 1 –4 1–1 0 2

xyz

0–3 7


EJEMPLOEJEMPLO EJEMPLOEJEMPLO


Observación: En todo el proceso lo que se manejan son los coeficientes de las incógnita y los términos independientes.

Teniendo en cuenta la observación anterior abreviaremos el proceso escribiendo sólo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes, entre paréntesis y separados por una barra, esto se denomina tratamiento matricial del sistema.

En los ejemplos siguientes se muestra el esquema de trabajo que se sigue.

Resuelve el sistema:

25073132

zyxzyxzyx

Solución.

La matriz ampliada es

Aplicamos transformaciones elementales a esta matriz para obtener una matriz escalonada.

EJEMPLOEJEMPLO


1 –2 –3 1 3 1 –7 0 1 5 –1 2


Luego el sistema es incompatible.

(Observar que se ahorra bastante tiempo con la forma matricial del método de Gauss.)

Nota: Cuando permutemos las incógnitas se debe indicar. Se suelen escribir las incógnitas encima de la matriz ampliada del sistema.


1 –2 –3 1 3 1 –7 0 1 5 –1 2

1 –2 –3 1 0 7 2 –3 1 5 –1 2

1 –2 –3 1 0 7 2 –3 0 7 2 1

1 –2 –3 1 0 7 2 –3 0 0 0 4

F2 F2 – 3F1 F3 F3 – F1

F3 F3 – F2

Esta fila corresponde a la ecuación0x + 0y + 0z = 4que no tiene solución.


Resolver el siguiente sistema

El sistema es compatible determinado.

5z = 10– y – 2z = –9 x + y + z = 11

z = 2– y – 4 = –9

y = 5

x + 5 + 2 = 11

x = 4

x + y + z = 112x – y + z = 53x + 2y + z = 24

x + y + z = 11 – y – 2z = –9 5z = 10

F2 F2 – 2F1

F3 F3 – 3F1F2 F3

EJEMPLOEJEMPLO


1 1 1 112 –1 1 53 2 1 24

1 1 1 110 –3 –1 –170 –1 –2 –9

1 1 1 110 –1 –2 –90 –3 –1 –17

1 1 1 110 –1 –2 –90 0 5 10

F3 F3 – 3F2


Resolver el siguiente sistema

El sistema es compatible indeterminado. Damos la solución en forma paramétrica.

2x – 4y + 6z = 2 y + 2z = –3 x – 3y + z = 4

x – 2y + 3z = 1 y + 2z = –3

z = y + 2 = –3

y = –3 – 2x – 2(–3 – 2) + 3 = 1

x = –7 – 5

F1 F1 /2 F3 F3 – F1

F3 F3 + F2

EJEMPLOEJEMPLO


2 –4 6 20 1 2 –31 –3 1 4

1 –2 3 10 1 2 –31 –3 1 4

1 –2 3 10 1 2 –30 –1 –2 3

1 –2 3 10 1 2 –30 0 0 0


Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas

Las consecuencias del teorema anterior se pueden expresar con la nueva notación así:

1) Si la disposición final de los coeficientes al aplicar el método de Gauss es:

el sistema es incompatible.

2) Si no ocurre lo anterior, el sistema es compatible. Se pueden dar dos casos:

el sistema es compatible determinado compatible indeterminado

c11 c12 … c1n d’1

0 c22 … c2n d’2

… … … … … 0 0 … 0 d’n

c11 c12 … c1n d’1

0 c22 … c2n d’2

… … … … … 0 0 … cnn d’n

c11 c12 … c1k … c1n d’1

0 c22 … c2k … c2n d’2

… … … … … … 0 0 … cnk … cnn d’n

4. Método de Gauss. Discusión de sistemas


Sistema incompatible Sistema compatible

Determinado IndeterminadoAl operar con las filas de la matriz ampliada aparece una fila cuyos elementos son todos cero, excepto el correspondiente al término independiente.Por ejemplo:

1 3 2 05 –1 0 10 0 0 3

La última fila corresponde a la ecuación

0x + 0y + 0z = 3que no tiene solución, ya que el 1er miembro es siempre 0.

En este caso el sistema es incompatible.

Al operar con las filas de la matriz ampliada se llega a una matriz escalonada equivalente asociada a un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas.Por ejemplo:

2 4 1 –10 –2 1 30 0 2 1

El sistema asociado a la matriz puede resolverse por sustitución hacia arriba y tiene una única solución.

En este caso el sistema es compatible determinado.

Al operar con las filas de la matriz ampliada se llega a una matriz escalonada equivalente asociada a un sistema con más incógnitas que ecuaciones.Por ejemplo:

–3 1 3 –1 0 –2 3 1 0 0 0 0

La 3º fila se puede eliminar; quedan más incógnitas que ecuaciones. El sistema asociado a la matriz tiene infinitas soluciones.

En este caso el sistema es compatible indeterminado.

4. Método de Gauss. Discusión de sistemas


1. Clasificar los siguientes sistemas y si fuese posible resolverlos:

5222233

zyxzyxzyx

2327432332

zyxzyxzyx

9544223

932

uzyxuzyxuzyx

myxyxyx

21332

a) b) c)

EJERCICIOSEJERCICIOS

2. Calcula el valor de m para que el sistema sea compatible determinado.



5. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.

Un sistema lineal es dependiente de un parámetro cuando uno (o varios) de sus coeficientes (o términos independientes) es variable. Para su resolución aplicamos de nuevo el método de Gauss, discutiendo las soluciones según los valores del parámetro (coeficiente variable).

Discutir el sistema según los distintos valores del parámetro k:

Cambiamos, en primer lugar, el orden de las ecuaciones y de las incógnitas y nos queda el sistema equivalente:

EJEMPLOEJEMPLO

x + ky – z = 012x – 3y – 2z = 2 x – 2y + z = 0


La matriz ampliada del sistema es:

x z y

F2 F2 / (–7)


F2 F2 – 12F1 F3 F3 – F1

x + z – 2y = 012x – 2z – 3y = 2 x – z + ky = 0

1 1 –2 012 –2 –3 2 1 –1 k 0

1 1 –2 0 0 –14 21 2 1 –1 k 0

1 1 –2 0 0 –14 21 2 0 –2 k+2 0

1 1 –2 0 0 2 –3 –2/7 0 –2 k+2 0


Luego nos queda:

Discusión

a) Si k = 1, nos quedaría 0·y = –2/7, con lo que el sistema sería incompatible.

b) Si k 1 , y se puede despejar con lo que el sistema es compatible determinado.


1 1 –2 0 0 2 –3 –2/7 0 0 k –1 –2 /7

x + z – 2y = 0 2z – 3y = –2/7 (k –1)y = –2/7

F3 F3 + F2

1 1 –2 0 0 2 –3 –2/7 0 –2 k+2 0


3. Clasifica y resuelve, según los distintos valores del parámetro k, el sistema:

4. Hallar los valores de k para los cuales el sistema:

tenga soluciones distintas de la trivial. Hallar en ese caso la solución general.

EJERCICIOSEJERCICIOS

x + y + z = 22x + 3y + z = 3kx + 10y + 4z = 11

x – y + z = 02x + y – z = 0 x + y + kz = 0



6. Resolución de problemas lineales.Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases:

1ª. Comprender el problema.Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:¿Cuáles son los datos?, ¿cuáles son las incógnitas?, ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas?, ¿son redundantes?

2ª Concebir un plan.Determinar la relación entre los datos y la incógnitas. De no encontrar una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares:¿Conoces problemas relacionados con éste?¿Podrías plantear el problema de forma diferente?¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?Obtener finalmente un plan de solución. Para nuestro caso: Escribir las ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.

3ª. Ejecutar el plan.Resuelve el sistema por los métodos estudiados.

4ª. Examinar la solución obtenida.Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.


Problemas resueltos

Solución

1º. Comprender el problema.

Hoy dentro de 8 años

La madre x x + 8

La hija y y + 8

2º. Concebir un plan.

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución.

x = 27 + y x + 8 = 2(y + 8)

Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:

Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.Ordenamos los elementos del problema:

Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?

1

6. Resolución de problemas.


3º Ejecutar el plan.

4º Examinar la solución obtenida.

x = 27 + y x + 8 = 2(y + 8) y = 19

x = 4627 + y + 8 = 2(y + 8)

Carmen tiene 19 años y Alejandra 46 años.

46 = 19 + 17

46 + 8 = 2(19 +8)

La solución obtenida es factible por ser entera. Puedes comprobar que la solución cumple las condiciones del problema:

Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?

1

Problemas resueltos6. Resolución de problemas.


Solución

Sean: hombres x mujeres y niños z

Luego:

Se resuelve por el método de Gauss.

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

x + y + z = 20 x + y = 3zx = y + 1

F2F3F2F2 – F1

F3F3 – F1

1 1 1 201 1 –3 01 –1 0 1

1 1 1 200 0 –4 –200 –2 –1 –19

1 1 1 200 –2 –1 –190 0 –4 –20

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?

2



El sistema que resulta es:

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y por tanto Compatible Determinado.

Comprobar que la solución es: z = 5, y = 7 y x = 8.

x + y + z = 20 2y + z = 19 z = 5

1 1 1 200 –2 –1 –190 0 –4 –20

1 1 1 200 2 1 190 0 1 5

F2F2·(–1)F3F3/(–4)

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?

2



Solución

Se resuelve por Gauss

Luego queda:

que tiene menos ecuaciones que incógnitas y por lo tanto es indeterminado con un grado de libertad. Haciendo x = t, nos queda

Sean: x, y, z los números de tornillos de medidas A, B y C respectivamente.Se verifica:

x + y + z = 10050x + 10y + z = 500

z + y + x = 100 9y + 49x = 400

1 1 1 10050 10 1 500

z y x

1 1 1 1001 10 50 500

z y x

1 1 1 1000 9 49 400

Compré 100 tornillos de distintas medidas por un total de 5 euros. Los precios por unidad fueron: 50 céntimos los de medida A, 10 céntimos los de medida B y 1 céntimo los de medida C. ¿Cuántos tornillos compré de cada clase?

3



x = t

9

49400 ty

ttt

z 4010099

49400100

Como las soluciones tienen que ser enteros positivos se sigue que t tiene que ser menor que 3 (para que z de positivo), luego debe de valer 1 ó 2.

La solución válida es t = 1, pues, para t = 2, y da decimal.

Por lo tanto:

Y la solución es 1 de A, 39 de B y 60 de C.

400 491

9

.x = 1, y = = 39, z = 60.

z + y + t = 100 9y + 49t = 400

Compré 100 tornillos de distintas medidas por un total de 5 euros. Los precios por unidad fueron: 50 céntimos los de medida A, 10 céntimos los de medida B y 1 céntimo los de medida C. ¿Cuántos tornillos compré de cada clase?

3



Llamamos: x al nº de copias vendidas al precio original, 12 €; y al nº de copias vendidas con un 30% de descuento, 0,7 · 12 = 8,4 €; z al nº de copias vendidas con un 40% de descuento, 0,6 · 12 = 7,2 €.

x + y + z = 60012x + 8,4y + 7,2z = 6384y + z = x/2

x + y + z = 60012x + 8,4y + 7,2z = 6 384x – 2y – 2z = 0

Solución

Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 €. El precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias rebajadas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias rebajadas vendidas fue la mitad del de copias sin rebajar, calcula a cuántas copias se le aplicó el 30% de descuento.

4



z = 80y = 120x = 400

Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

x + y + z = 600 y + z = 200 1,2z = 96

1 1 1 60012 8,4 7,2 6384 1 –2 –2 0

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 3 3 600

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 1 1 200

1 1 1 6000 1 1 2000 3,6 4,8 816

1 1 1 6000 1 1 2000 0 1,2 96

F2 –F2 + 12F1

F3 –F3 + F1F3 F3/3

F2 F3F3 F3 – 3,6F2


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