Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas-DefinicionMatrices Escalonadas-Metodo de Eliminacion

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Martha C. Moreno

Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Martha C. Moreno

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia

EjemplosEjercicios

Definicion

EjemplosEjercicios

Definicion

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variablesx1, x2, ....., xn se denomina:

EjemplosEjercicios

Definicion

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variablesx1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales oSistema lineal

EjemplosEjercicios

Definicion

En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas sepuede escribir como:

EjemplosEjercicios

Definicion

En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas sepuede escribir como:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + .....+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + .....+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ..... + amnxn = bm

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De manera equivalente se puede expresar como:

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a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

am1 am2 am3 · · · amn

x1x2x3...xn

b1b2b3...bm

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a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

x1x2x3...xn

b1b2b3...bm

AX = B

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a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

x1x2x3...xn

b1b2b3...bm

AX = B

Si B = 0 el sistema se denomina Homogeneo

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a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

x1x2x3...xn

b1b2b3...bm

AX = B

Si B = 0 el sistema se denomina HomogeneoSi B 6= 0 es No Homogeneo

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Una solucion del sistema AX = B es una sucesion de numerosc1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:

EjemplosEjercicios

Una solucion del sistema AX = B es una sucesion de numerosc1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

c1c2c3...cn

b1b2b3...bm

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Ejemplo

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Ejemplo

Consideremos el sistema:

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

2x + y − 2z = −5

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

2x + y − 2z = −5En notacion matricial es:

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

1 2 1−1 1 22 1 −2

36−5

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

1 2 1−1 1 22 1 −2

36−5

El sistema es No Homogeneo

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

1 2 1−1 1 22 1 −2

36−5

−112

es solucion?

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Ejemplo

x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

1 2 1−1 1 22 1 −2

36−5

−112

es solucion?

12−3

es solucion?

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Consideremos los siguientes sistemas:

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x + y = 3

x − y = −1

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x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

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x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

EjemplosEjercicios

x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

EjemplosEjercicios

x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

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x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

EjemplosEjercicios

x + y = 3

x + y = 6

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x + y = 3

x + y = 6No existen reales x y y que lo satisfagan

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x + y = 3

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x + y = 3

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x + y = 3

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x + y = 3

2x + 2y = 6

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x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2,

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x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,

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x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

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x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

EjemplosEjercicios

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

EjemplosEjercicios

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

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En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas:

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En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o

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En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o

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En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o No tiene solucion.

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En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o No tiene solucion.En general los sistemas se clasificaran en:

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Consistentes:

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Consistentes: Tienen solucion;

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Consistentes: Tienen solucion; Unica o

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Consistentes: Tienen solucion; Unica o Infinitas

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Inconsistentes:

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Inconsistentes:No tienen solucion.

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Los Sistemas Homogeneos:

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Los Sistemas Homogeneos: AX = 0

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Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,

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Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina

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Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina Solucion trivial,

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Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina Solucion trivial,puede pasarque sea la unica o que tenga infinitas soluciones.

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Ejercicio

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Ejercicio

Sean X1 y X2 soluciones del sistema homogeneo:

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Ejercicio

AX = 0

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Ejercicio

AX = 0

Mostrar que:

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Ejercicio

AX = 0

Mostrar que:

X1 − X2 es tambien solucion.

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Ejercicio

AX = 0

Mostrar que:

2X1 + 3X2 es tambien solucion.

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Ejercicio

AX = 0

Mostrar que:

En general cualquier combinacion lineal (c.l) de X1 y X2 estambien solucion, es decir:

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Ejercicio

AX = 0

Mostrar que:

En general cualquier combinacion lineal (c.l) de X1 y X2 estambien solucion, es decir:αX1 + βX2 con α, β ∈ R es solucion.

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Teorema

Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces esverdadera solo una de las siguientes afirmaciones:

Tiene unica solucion

Es inconsistente

Tiene infinitas soluciones

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Teorema

Es inconsistente

Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = O

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Teorema

Es inconsistente

Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 =

EjemplosEjercicios

Teorema

Es inconsistente

Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O

EjemplosEjercicios

Teorema

Es inconsistente

Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = OConsideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R

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Teorema

Es inconsistente

A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 =

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Teorema

Es inconsistente

A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B,

EjemplosEjercicios

Teorema

Es inconsistente

A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B, es decir es soluciondel sistema AX = B

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Definicion

EjemplosEjercicios

Definicion

Una matriz A de tamano m × n esta en forma Escalonada por filascuando satisface:

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Definicion

Todas las filas que constan solo de ceros, si las hay, estan enla parte inferior de la matriz.

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Definicion

El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina

EjemplosEjercicios

Definicion

El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denominauno principal de su fila.

EjemplosEjercicios

Definicion

El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denominauno principal de su fila.

El uno principal de cada fila debe estar a la derecha del unoprincipal de la fila inmediatamente anterior.

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Ejemplo

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Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

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Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

EjemplosEjercicios

Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

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Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada

EjemplosEjercicios

Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada

1 7 −41 0 10 0 0

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Ejemplo

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada

1 7 −41 0 10 0 0

No Escalonada

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Definicion

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Definicion

Una matriz A de tamano m × n esta en forma EscalonadaReducida por filas cuando satisface:

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Definicion

Es Escalonada por filas

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Definicion

Es Escalonada por filas

Si una columna contiene un uno principal en alguna fila,entonces el resto de entradas de esta columna deben ser ceros.

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Ejemplo

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Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

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Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

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Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

EjemplosEjercicios

Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida

EjemplosEjercicios

Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida

1 0 −40 1 00 0 1

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Ejemplo

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida

1 0 −40 1 00 0 1

Escalonada pero no reducida

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Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la formaEscalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizandoOperaciones Elementales con filas.

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Operaciones Elementales por Filas

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Intercambiar la fila i y la fila j

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Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj

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Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo

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Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi

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Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i

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Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i Fi + Fj

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Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i Fi + Fj

Combinaciones de las operaciones anteriores, por ejemploαFi + Fj .

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Metodo de Eliminacion de Gauss

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Para resolver el sistema lineal:

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AX = B

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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada

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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B)

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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes)

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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes) yesta se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valorde la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia atraspara las demas incognitas.

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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes) yesta se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valorde la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia atraspara las demas incognitas.

(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A′

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Metodo de Eliminacion de Gauss-Jordan

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AX = B

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AX = B

La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducidapor filas.

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AX = B

La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducidapor filas.

(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A”|B”)

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Ejemplo

Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:

2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

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Ejemplo

2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17

EjemplosEjercicios

Ejemplo

2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17

∼F1←→F3

1 −3 11 −11 |4−1 5 −17 19 | − 22 −4 16 −14 |103 −4 18 −13 |17

EjemplosEjercicios

Ejemplo

2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17

∼F1←→F3

1 −3 11 −11 |4−1 5 −17 19 | − 22 −4 16 −14 |103 −4 18 −13 |17

∼F1+F2 −2F1+F3 −3F1+F4

EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5

EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5

∼−2F2+F3 −5F2+F4

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 0 0 0 |00 0 0 0 |0

EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5

∼−2F2+F3 −5F2+F4

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 0 0 0 |00 0 0 0 |0

EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1

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