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LA ARMONIA EN LA NATURALEZA:
EL NUMERO AUREO
Jaime Bravo Febres 2007
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.
Kepler
El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Es el llamado número de oro (representado
habitualmente con la letra griega ) o también
sección áurea, proporción áurea o razón áurea
La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón.
Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente.
1
x
x
x1
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es:
...61803398.1
2
51x
01xxxx11
x
x
x1 22
ESTE ES EL NUMERO AUREO
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo
A B C o
R Q
Construcción del rectángulo áureo:
Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y
compás. Procederemos de la siguiente manera:
1. Construimos un cuadrado de lado 2a
2a
2a
2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales,
y trazamos la diagonal del segundo rectángulo:
a a
2a 5a
da 5
Por el teorema de Pitágoras se tiene:
222)2( daa
2224 daa
225 da
3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene:
a a
2a 5a
A
B C
D
ABCD, ES RECTANGULO AUREO
Como determinar cuando un rectángulo es áureo.
A B
C D
x
y
M
N P
y
x
Como los triángulos rectángulos ABC
y AMN son semejantes resulta: yx
x
x
y
POR TANTO
ABCD ES
RECTANGULO
AUREO
Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo. Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo
ESPIRAL AUREA O ESPIRAL DE DURERO
El resultado es otra similar cuya pulsación, el
factor de crecimiento es el número áureo.
Otra espíral gnómica basada en el número
áureo es la que se construye tomando como
base un triángulo isósceles cuyo ángulo
menor mide 36°. A partir de cada triángulo se
construye otro triángulo isósceles cuyo lado
menor coincide con el mayor del triángulo
anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado
menor de cada triángulo tiende hacia el
número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante
arcos de circunferencia los vértices
consecutivos de estos triángulos. Espiral de Durero
La espiral (El número de oro) está en los moluscos como el NAUTILIUS,
EN LA NATURALEZA
En el huevo de las aves se encontrado también relaciones del numero áureo.
EN EL GIRASOL EN LAS FLORES
Está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
En las hormigas
En las aves
En las flores
En las Plantas
Galaxias Lenticulares
Su carnet de identidad es un rectángulo áureo,
y por tanto las tarjetas de crédito, y en gran
parte de las tarjetas que utilizamos así como el
frente de casi todas las cajetillas de tabaco.
EN LA ECONOMIA
a
b
En los objetos caseros
EN EL SER HUMANO
EL PRIMERO EN ESTUDIAR LA RELACION DEL NUMERO AUREO EN EL HOMBRE FUE LEONARDO DA VINCI
LEONARDO
DA VINCI
LUCA PACIOLI
LUCA PACIOLI A LA PROPORCION AUREA LA DENOMINO PROPORCION DIVINA POR SUS PROPIEDADES.
LEONARDO DA VINCI ENCONTRO EL NUMERO AUREO EN RELACIONES CORPORALES DEL SER HUMANO.
VITRUBIO
Este sería a juicio de un artista el rostro más perfecto de mujer
En la mano humana, la distancia entre las falanges están en razón áurea.
Es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos.
Cuando los dientes no están juntos, la linea de los labios divide la parte inferior del rostro según la proporción áurea.
Un detalle curioso conocido por los clásicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razón áurea de su altura.
Para verificar las medidas antropométricas en el ser humano podemos llenar la tabla siguiente, recordando que dos razones geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción geométrica.
ESTUDIANTE Estatura
a
Longitud del
ombligo hasta
la planta del
pie
b
Longitud de la
cima de la
cabeza hasta
el ombligo
(a – b)
C
a/b b/c
Esta espiral se encuentra en un gran nº de
moluscos como el Nautilus de la foto.
El número de oro está también en todos los animales, plantas y objetos pentagonales: flores, estrellas de mar, etc
Si tomamos un rectángulo aúreo (largo/ancho = nº de oro) y lo dividimos en dos partes de tal forma que una de ellas sea un cuadrado de lado el ancho del rectángulo, la otra parte es otro rectángulo aúreo.
Podemos repetir esta operación de forma indefinida, logrando una espiral como muestra el dibujo
EN EL ARTE
LA SAGRADA FAMILIA
MIGUEL ANGEL
LA GIOCONDA
LEONARDO DA VINCI
Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
LEDA
ATOMICA
Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres esculturas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.)
Aparece en la Venus de
Milo.
Venus de Milo
Museo del Louvre, París
EN LA ARQUITECTURA
EL PARTENON GRIEGO
Desde tiempos muy remotos el hombre ha realizado bellas y armoniosas construcciones teniendo en cuenta la proporción áurea
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un
pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el
número áureo. En un pentágono regular está basada la
construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia
Menor.
Tumba Rupestre de Mira
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2
Herodoto relata que los sacerdotes
egipcios le habian enseñado que las
proporciones establecidas en la Gran
Pirámide eran tales que:
El cuadrado de la altura de la
piramide es igual al área de cada
una de las caras triangulares.
12
aa
Es decir: ( 1 ) aAH2
P
MoPor el teorema de Pitágoras en el
triángulo POM: 222 aHA
Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se
tiene:
2H 2a
Φa
A haciendo ;1
a
A
a
A2
2
Tenemos la ecuación del numero Áureo:
Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.
Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal están
en proporción áurea.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.
Así La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.
A
G F N
M
Considerando el lado del
pentágono regular la unidad,
(AG = 1), se tiene:
MF = NG = 1; MG =
1
1
1LD
L
L
D
De donde se tiene: 012
Cuya raíz positiva es: 2
51
¿ Qué pudo hacer
que los pitagóricos
sintieran tanta
admiración por el
número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la
consideración del irracional , de cuya existencia
tuvieron conciencia antes que, tuvo que causar
una profunda reflexión en las teorías de la secta.
52
Unas proporciones
armoniosas para el cuerpo,
que estudiaron antes los
griegos y romanos, las
plasmó en el dibujo que
Leonardo da Vinci, hizo para
ilustrar el libro La Divina
Proporción de Luca Paccioli,
editado en 1509.
"Huye de esos estudios cuyo resultado muere con el que los hace.“
Luca Paccioli
Leonardo da Vinci
Resulta que el cociente entre la altura
del hombre (lado del cuadrado) y la
distancia del ombligo a la punta de la
mano (radio de la circunferencia) es
el número áureo
Vitrubio
Estirando manos y pies y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la
circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura
del cuerpo que coincide en un
cuerpo armonioso, con la longitud
entre los extremos de los dedos de
ambas manos cuando los brazos
están extendidos y formando un
ángulo de90º con el tronco. a
b
Es decir: b
a
Conocemos desde la antiguedad la ubicación exacta de los puntos
energéticos (Xue) utilizados en Medicina Tradicional China para el
tratamiento de las enfermedades del hombre a través de la acupuntura.
Conocemos también los efectos de cada uno de ellos y sabemos cómo
utilizarlos; Pero, porqué los puntos tiene la ubicación que tienen ? A qué
ley o regla obedece la uniformidad en la distribución? Y también, porqué
esa ubicación es invariablemente la misma en cada ser humano?
Así, la ubicación de los puntos chinos de acción energética específica
responde a la ley geométrica y aritmética conocida, desde la
antiguedad clásica, como :
"sección áurea" (según leonardo Da Vinci), "sección divina"(según
Kepler) o "divina proporción"(según Luca Pacioli) y cuyo valor
numérico, denominado "Número de oro“.
El NUMERO DE ORO EN LA MEDICINA
En el caso que nos ocupa, diremos que el rostro
humano visto de frente, puede encuadrarse en el
interior de un rectángulo ABCD.
Dr. Marcelo Manneti
Médico Acupunturista
.7..1.68033988DC
ADφdonde
La serie de Fibonacci queda establecida
mediante la serie numérica siguiente:
La sucesión de Fibonacci y el número áureo.
La serie de Fibonacci proviene de considerar la
serie que se forma mediante (comenzando la
serie por 1, se tiene) :
1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, ... , 8 + 13 = 21, ....
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, .....
Cada número es la suma de los dos números anteriores
Leonardo de Pisa
La sucesión formada por los cocientes de números de
Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el
número áureo.
•f 2 / f 1 = 1 / 1 = 1
•f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2
•f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
•f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66...
•f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6
•f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
•f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
•f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
•f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
...1.61803398f
fLim
1-n
n
n
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Finalmente se tiene:
Adviértase que,
1 / 0,618 = 1,618
1 / 1,618 = 0,618
Al dividir dos números consecutivos de la serie de
Fibonacci,
13 / 21 = 0.619047619
21 / 34 = 0.617647058
34 / 55 = 0.618181818
21 / 13 = 1.615384615
34 / 21 = 1.619047619
55 / 34 = 1.617647059
el resultado converge a 0,618 ó 1,618
...1.6181f
fLin
n
n
n
...0.618f
1fLin
n
n
n
La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando
por la izquierda y la derecha de la razón áurea, y que conforme
va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
1.618….
2 1.5 1.66.. 1.6
2
3
1
2
3
5
5
8
8
13
1.625..
13
21
1.615..
.1.618033..φf
fLim
1-n
n
n
1
1
1
Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8.
Verdes – 8, Rojas –13
Verdes – 5, Naranjas –8
Otra espiral de Fibonacci
La experiencia ha demostrado con rotundidad que en la práctica
las medias móviles funcionan mejor cuando los periodos de
tiempo elegidos para el cálculo de las medias móviles son
números de la Serie de Fibonacci. Estos números de Fibonacci
se ajustan bastante bien a periodos y ciclos bursátiles.
LA SERIE DE FIBONACCI EN LA ECONOMÍA
Elliott escribió un libro llamado "Las leyes de la naturaleza"
donde se refiere específicamente a la serié numérica de
Fibonacci como la base matemática para el principio de lo
que conocemos como la teoría de las "Ondas de Elliott".
Esta teoría analiza el comportamiento de los mercados, pudiendo
predecir los movimientos en ciclos de largo, mediano y corto
plazo. Libro de alberto moreno-internet:www.finanzas.com
LA SERIE DE FIBONACCI Y LA BOLSA
Se puede observar las siguientes reglas se que cumplen siempre en esta
serie:
La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es
siempre del 61,80%.
1.
La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente
(n+2) en la serie es siempre del 38.19%.
2.
Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correc-
ciones técnicas de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia
alcista o bajista, se ha podido comprobar que las correcciones general-
mente coinciden en porcentaje con las proporciones de Fibonacci.
Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia
claramente alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de
corrección del 38% o del 62% del movimiento. Esta aplicación es de
especial interés a la hora de aplicar la teoría de Elliott. Son las llamadas
lineas de Fibonacci, que suelen representar lineas de soporte o
resistencia.
Las Lineas de Fibonacci son muy similares a las lineas de velocidad. Para
trazarlas solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos del
grupo, por ejemplo, desde el inicio del alza hasta la primera parada, con
un pequeño inicio de caída. Desde éste segundo punto trazamos la
proyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta distancia en
dos lineas especiales: siguiendo las proporciones en la linea del 62% y la
linea del 38%.
Proporción Áurea AD/AB=1,6180339.......=(1+ raiz(5))/2
Veamos como se hace el dibujo:
1. Se traza el segmento AB.
2. Se traza dos perpendiculares al segmento AB, una que pase por A y
otra por B.
3. Con ayuda de la circunferencia de centro B y radio AB obtenemos el
punto E.
4. Trazando una paralela al segmento AB obtenemos el punto F.
5. Señalamos el punto medio del segmento AF y tomándolo como centro
se traza la circunferncia que pasa por el punto B obteniéndose en la
prolongación de AF, el punto D.
6. Trazando un paralela al segmento AB que pase por D se obtiene el
punto C.
RECTÁNGULO ÁUREO CON CABRI
Introduzca la definición de razón áurea: r=(sqrt(5)-1)/2.
Sus potencias verifican la relación de recurrencia:
r^(n+1)=r^(n-1)-r^n .
raurea=(sqrt(5)-1)/2;
r=linspace(0,0,100) ;
r(1)=1;r(2)=raurea ;
for n=2:100
r(n+1)=r(n-1)-r(n);
end
fprintf(' n r^n raurea^n\n'),
fprintf(' ___________________________\n'),
for n=1:10:101
fprintf('%3i,%10.5f, %g\n',n,r(n),raurea^n)
end
(UN ALGORITMO CON Matlab)
n r^n raurea^n
______________________________________
1 1.00000, 0.618034
11 0.00813, 0.005025
21 0.00007, 4.08563e-05
31 0.00000, 3.32187e-07
41 -0.00000, 2.70089e-09
51 -0.00000, 2.19599e-11
61 -0.00008, 1.78548e-13
71 -0.01034, 1.4517e-15
81 -1.27202, 1.18032e-17
91 -156.44857, 9.59676e-20
101 -19241.90183, 7.80276e-22
ALGUNAS EXPRESIONES INFINITAS DEL NUMERO Fi
Sabemos que:
01ΦΦ2 De donde: 1ΦΦ2
...Φ111Φ11Φ1Φ
Por lo que , lo obtenemos a través de la expresión
infinita:
...111111Φ
y sustituyendo, en forma reiterada, por su valor en esta ecuación
tenemos:
...1
1 1
1 1
1 1
1 1
Φ
1 1
1 1
1 1
Φ
1 1
1 1Φ
Φ
1 1Φ
1ΦΦ2
Otra expresion infinita de , es a través de las Fracciones:
Rafael Alberti A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.
Poema al Número Áureo
Espero que nuestros nietos me estarán
agradecidos, no solamente por las cosas
que he explicado aquí, sino también por
las que he omitido intencionadamente a fin
de dejarles el placer de descubrirlas.
Descartes (Geometría)
Bibliografía:
1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 1956
2. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea.
3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci
Association, 1969. Houghton Mifflin.
4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid.
5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto.
Buenos Aires. Lib. Hachette, 1958.
6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide).
Abelardo Falleti. Bs Aires. Emece Editores. 1966.
7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 1985
8. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática",
H. E. Huntley, Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em
1985
9. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón